Pembahasan Logaritma Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Petunjuk C digunakan.
$ {}^3 \log x + 2{}^9 \log y = 3 $ dan $ {}^3 \log \left( \frac{x-y}{2} \right) = 0 $ , maka $ x + y = ..... $
(1). $ \, 2\sqrt{7} $
(2). $ \, -4\sqrt{7} $
(3). $ \, -2\sqrt{7} $
(4). $ \, 4\sqrt{7} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
syaratnya : $ b > 0 , a > 0 , a \neq 1 $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b = \frac{1}{m}. {}^a \log b $
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Menyederhanakan persamaan :
-). Persamaan pertama : $ {}^3 \log x + 2{}^9 \log y = 3 $
$ \begin{align} {}^3 \log x + 2{}^9 \log y & = 3 \\ {}^3 \log x + 2{}^{3^2} \log y & = 3 \\ {}^3 \log x + 2. \frac{1}{2}.{}^3 \log y & = 3 \\ {}^3 \log x + {}^3 \log y & = 3 \\ {}^3 \log xy & = 3 \\ xy & = 3^3 = 27 \end{align} $
Dari persamaan pertama kita peroleh syaratnya : $ x > 0 $ dan $ y > 0 $
-). Persamaan kedua : $ {}^3 \log \left( \frac{x-y}{2} \right) = 0 $
$ \begin{align} {}^3 \log \left( \frac{x-y}{2} \right) & = 0 \\ \frac{x-y}{2} & = 3^0 \\ \frac{x-y}{2} & = 1 \\ x - y & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x + y $ dari $ x - y = 2 $ dan $ xy = 27 $ :
$ \begin{align} x - y & = 2 \\ (x - y)^2 & = 2^2 \\ x^2 + y^2 - 2xy & = 4 \\ x^2 + 2xy + y^2 - 4xy & = 4 \\ (x + y)^2 - 4xy & = 4 \\ (x + y)^2 & = 4 + 4xy \\ (x + y)^2 & = 4 + 4. 27 \\ (x + y)^2 & = 112 \\ x + y & = \pm \sqrt{112} \\ x + y & = \pm 4 \sqrt{7} \end{align} $
Karena $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ ,maka $ x + y = 4\sqrt{7} $ yang memenuhi.
Jadi, nilai $ x + y = 4\sqrt{7} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Diberikan grafik fungsi $ f(x) = 3x^\frac{5}{3} - 15x^\frac{2}{3} $ , maka ......
(1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada
(2). fungsi naik di selang $ (2, \infty ) $
(3). fungsi turun di selang $ (0,2) $
(4). terjadi minimum relatif di titik $ (2, -9\sqrt[3]{4} ) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Terdapat fungsi $ y = f(x) $ :
-). Nilai maksimum/minimum relatif diperoleh saat $ f^\prime (x) = 0 $
Misalkan hasilnya adalah $ x = a $. Kita cek jenis stasionernya :
Jika $ f^{\prime \prime }(a) > 0 $, maka jenisnya minimum relatif,
Jika $ f^{\prime \prime }(a) < 0 $, maka jenisnya maksimum relatif,
Jika $ f^{\prime \prime }(a) = 0 $, maka jenisnya titik belok.
-). Syarat fungsi turun : $ f^\prime (x) < 0 $
-). Syarat fungsi naik : $ f^\prime (x) > 0 $
*). Suatu fungsi tidak terdefinisi (tidak ada) jika hasilnya per nol.
*). Turunan fungsi : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ \begin{align} f(x) & = 3x^\frac{5}{3} - 15x^\frac{2}{3} \\ f^\prime (x) & = \frac{5}{3}.3.x^\frac{2}{3} - \frac{2}{3}.15.x^{-\frac{1}{3}} \\ & = 5x^\frac{2}{3} - 10x^{-\frac{1}{3}} \\ & = 5x^\frac{2}{3} - \frac{10}{x^\frac{1}{3}} \\ & = \frac{5x - 10}{x^\frac{1}{3}} \\ f^{\prime \prime }(x) & = \frac{5x^\frac{1}{3} - (5x - 10). \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} }{x^\frac{2}{3}} \end{align} $
*). Kita cek masing-masing pernyataan :
(1). $ f^\prime (0) = \frac{5.0 - 10}{0^\frac{1}{3}} = \frac{-10}{0} $
Karena bentuknya per nol, maka $ f^\prime (0) $ tidak ada (tidak terdefinisi).
(pernyataan (1) BENAR)
(4). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $ :
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow \frac{5x - 10}{x^\frac{1}{3}} = 0 \rightarrow x = 2 $
Nilai fungsinya : $ f(x) = 3x^\frac{5}{3} - 15x^\frac{2}{3} = 3x\sqrt[3]{x^2} - 15\sqrt[3]{x^2} = (3x - 15)\sqrt[3]{x^2} $
$ f(2) = (3.2-15)\sqrt[3]{2^2} = -9\sqrt[3]{4} $
Jenis stasionernya :
$ f^{\prime \prime }(2) = \frac{5.2^\frac{1}{3} - (5.2 - 10). \frac{1}{3}.2^{-\frac{2}{3}} }{2^\frac{2}{3}} = \frac{5}{2^\frac{1}{3}} > 0 $
Sehingga jenisnya minimum relatif. (Pernyataan (4) BENAR).
*). Karena pernyataan (1) dan (4) BENAR, maka berdasarkan petunjuk C jawabannya adalah option E yaitu semua pernyataan BENAR.
*). Mari kita cek pernyataan (2) dan (3) :
-). Fungsi naik : $ f^\prime (x) > 0 $ (positif) dan fungsi turun : $ f^\prime (x) < 0 $ (negatif)
$ f^\prime (x) > 0 \rightarrow \frac{5x - 10}{x^\frac{1}{3}} > 0 $
Akar-akarnya :
Pembilang : $ 5x - 10 = 0 \rightarrow x = 2 $
Penyebutnya : $ x^\frac{1}{3} = 0 \rightarrow x = 0 $.
Garis bilangannya :

-). Interval naik : $ x < 0 $ atau $ x > 2 $ yang dapat kita tulis $( -\infty, 0) $ atau $ (2, \infty) $
-). Interval turun : $ 0 < x < 2 $ yang dapat ditulis $ (0,2) $.
Sehingga pernyataan (2) dan (3) BENAR.
Jadi, jawabannya semua BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Merasionalkan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Nilai dari
$ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}} = ..... $
A). $ 10 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk merasionalkan bentuk akar, caranya cukup kali bentuk sekawannya.
bentuk $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $ sekawannya adalah $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $
Perkaliannya : $ (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita Rasionakan masing-masing :
$ \begin{align} \frac{1}{1+\sqrt{2}} & = \frac{1}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1- \sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{1- \sqrt{2}}{1-2} = -1+ \sqrt{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} & = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3} = -\sqrt{2}+\sqrt{3} \\ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} & = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4} = -\sqrt{3}+\sqrt{4} \\ ........... & \\ \frac{1}{\sqrt{62}+\sqrt{63}} & = \frac{1}{\sqrt{62}+\sqrt{63}} \times \frac{\sqrt{62}-\sqrt{63}}{\sqrt{62}-\sqrt{63}} = \frac{\sqrt{62}-\sqrt{63}}{62-63} = -\sqrt{62}+\sqrt{63} \\ \frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}} & = \frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}} \times \frac{\sqrt{63}-\sqrt{64}}{\sqrt{63}-\sqrt{64}} = \frac{\sqrt{63}-\sqrt{64}}{63-64} = -\sqrt{63}+\sqrt{64} \end{align} $
*). Menjumlahkan semuanya :
$ \begin{align} & \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}} \\ & = (-1+ \sqrt{2}) + (-\sqrt{2}+\sqrt{3}) + .... + (-\sqrt{62}+\sqrt{63}) + (-\sqrt{63}+\sqrt{64}) \\ & = -1+ \sqrt{2} -\sqrt{2}+\sqrt{3} -\sqrt{3}+\sqrt{4} + .... -\sqrt{62}+\sqrt{63} -\sqrt{63}+\sqrt{64} \\ & = -1+ \sqrt{64} = -1+ 8 = 7 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Sekumpulan data mempunyai rata-rata 15 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai dari data dikurangi A kemudian hasilnya dibagi dengan B ternyata menghasilkan data baru dengan rata-rata 7 dan jangkauan 3, maka nilai A dan B masing-masing adalah .....
A). 3 dan 2
B). 2 dan 3
C). 1 dan 2
D). 2 dan 1
E). 3 dan 1

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perubahan data pada statistika :
-). Untuk rata-rata : berubah untuk semua operasi hitung.
-). Untuk jangkauan : berubah hanya untuk operasi kali atau bagi.
-). Misalkan Data dikurang $ a $, lalu dibagi $ b $, maka :
$ \overline{X}_{baru} = \frac{(\overline{X}_awal - a)}{b} $
$ J_{baru} = \frac{J_{awal}}{b} $
Silahkan baca artikelnya lebih mendalam pada "Statistika : Perubahan Data".

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pada soal :
$ \overline{X}_{awal} = 15 $ dan $ J_{awal} = 6 $
Data diubah : dikurang $ A $ , lalu dibagi $ B $,
$ \overline{X}_{baru} = 7 $ dan $ J_{baru} = 3 $
*). Menentukan nilai $ B $ dari jangkauannya :
$ \begin{align} J_{baru} & = \frac{J_{awal}}{B} \\ 3 & = \frac{6}{B} \\ B & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ A $ dari rata-rata :
$ \begin{align} \overline{X}_{baru} & = \frac{(\overline{X}_awal - A)}{B} \\ 7 & = \frac{(15 - A)}{2} \\ 15 - A & = 14 \\ A & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai A dan B adalah 1 dan 2 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Turun Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = (x^2-a)(2x+b)^3 $ turun pada interval $ -1 < x < \frac{2}{5} $ , maka nilai $ ab = ..... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat Fungsi Turun : $ f^\prime (x) < 0 $ .
*). Turunan fungsi :
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime. V + U . V^\prime $
*). Pertidaksamaan $ f(x) < 0 $ memiliki penyelesaian $ a < x < b $ , artinya $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari $ f(x) = 0 $ .
*). Operasi akar-akar $ ax^2 + bx + c = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ \begin{align} y & = (x^2-a)(2x+b)^3 = U.V \\ U & = (x^2-a) \rightarrow U^\prime = 2x \\ V & = (2x+b)^3 \rightarrow V^\prime = 3(2x+b)^2. 2 = 6(2x+b)^2 \\ y^\prime & = U^\prime . V + U. V^\prime \\ & = 2x. (2x+b)^3 + (x^2 - a). 6(2x+b)^2 \\ & = 2(2x+b)^2 [x(2x+b) + 3(x^2 - a)] \\ & = 2(2x+b)^2 (5x^2 + bx - 3a) \end{align} $
*). Syarat fungsi $ y = (x^2-a)(2x+b)^3 $ turun :
$ y^\prime < 0 \rightarrow (2x+b)^2 (5x^2 + bx - 3a) < 0 $
Karena nilai $ 2(2x+b)^2 $ selalu positif,
maka haruslah $ (5x^2 + bx - 3a) < 0 $
*). Sesuai pada soal, $ (5x^2 + bx - 3a) < 0 $ solusinya adalah $ -1 < x < \frac{2}{5} $ , artinya $ x_1 = -1 $ dan $ x_2 = \frac{2}{5} $ adalah akar-akar dari persamaan $ 5x^2 + bx - 3a = 0 $ dengan $ a = 5 $ , $ b = b $ , dan $ c = -3a $.
*). Nilai $ a $ dan $ b $ dengan operasi akar-akar:
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{5} \rightarrow -1 + \frac{2}{5} = \frac{-b}{5} \rightarrow b = 3 $
$ x_1 . x_2 = \frac{-3a}{5} \rightarrow -1 . \frac{2}{5} = \frac{-3a}{5} \rightarrow a = \frac{2}{3} $
Sehingga nilai : $ ab = \frac{2}{3}. 3 = 2 $
Jadi, nilai $ ab = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ {}^2 \log x - {}^\frac{1}{x} \log \left( \frac{1}{2} \right) \geq 0 $ adalah ....
A). $ \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \, $
B). $ 1 \leq x \leq 2 \, $
C). $ 1 < x \leq 2 \, $
D). $ \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \, $ atau $ x > 2 $
E). $ \frac{1}{2} \leq x < 1 \, $ atau $ x \geq 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
*). Syarat logaritma :
$ {}^a \log b = c $ , syaratnya : $ b > 0 , a > 0 , a \neq 1 $
*). Sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b \, $ dan $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log x = b \rightarrow x = a^b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Syarat logaritmanya : $ {}^2 \log x - {}^\frac{1}{x} \log \left( \frac{1}{2} \right) \geq 0 $
$ x > 0 $ dan $ \frac{1}{x} \neq 1 \rightarrow x \neq 1 $
*). Menentukan akar-akar :
$ \begin{align} {}^2 \log x - {}^\frac{1}{x} \log \left( \frac{1}{2} \right) & \geq 0 \\ {}^2 \log x - {}^{x^{-1}} \log 2^{-1} & \geq 0 \\ {}^2 \log x - \frac{-1}{-1} . {}^x \log 2 & \geq 0 \\ {}^2 \log x - {}^x \log 2 & \geq 0 \\ {}^2 \log x - \frac{1}{ {}^2 \log x } & \geq 0 \\ \frac{({}^2 \log x)^2 - 1 }{ {}^2 \log x } & \geq 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
Pembilang :
$({}^2 \log x)^2 - 1 = 0 \rightarrow ({}^2 \log x)^2 = 1 \rightarrow {}^2 \log x = \pm 1 $
$ {}^2 \log x = 1 \rightarrow x = 2^1 = 2 $
$ {}^2 \log x = -1 \rightarrow x = 2^{-1} = \frac{1}{2} $
Penyebutnya :
$ {}^2 \log x = 0 \rightarrow x = 2^0 = 1 $.
Garis bilangannya :
 

*). Karena yang diminta $ \geq 0 $ , maka solusinya adalah daerah positif dan memenuhi syarat $ x > 0 , x \neq 1 $ .
HP $ = \{ \frac{1}{2} \leq x < 1 \vee x \geq 2 \} $ .
Jadi, HP $ = \{ \frac{1}{2} \leq x < 1 \vee x \geq 2 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Virus Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Pada suatu hari dilakukan pengamatan terhadap virus-virus tertentu yang berkembang dengan membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 2 virus. Pembelahan terjadi setiap 24 jam. Jika setiap 3 hari, seperempat dari virus dibunuh, maka banyaknya virus setelah satu minggu pertama adalah .....
A). $ 24 \, $ B). $ 36 \, $ C). $ 48 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 72 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pada pembelahan virus, penghitungannya menggunakan barisan geometri.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita lakukan pengitungan secara manual setiap harinya :
-). Membelah menjadi dua kali lipat, artinya satu virus menjadi dua.
Hari ke-1 (awal) = 2
Hari ke-2 = $ 2 \times 2 = 4 $
Hari ke-3 = $ 2 \times 4 = 8 $
Hari ke-4 = $ 2 \times 8 - \frac{1}{4} . (2 \times 8) = 12 $
Hari ke-5 = $ 2 \times 12 = 24 $
Hari ke-6 = $ 2 \times 24 = 48 $
Hari ke-7 = $ 2 \times 48 - \frac{1}{4} . (2 \times 48) = 72 $
Jadi, ada 72 virus setelah satu minggu pertama $ . \, \heartsuit $