Pembahasan Suku Banyak UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Jika akar-akar persamaan suku banyak $ x^3-12x^2+(p+4)x-(p+8)=0 $ membentuk deret aritmetika dengan beda 2, maka $ p - 36 = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 12 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi akar-akar suku banyak :
Misalkan $ ax^3 + bx^2 + cx +d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2 $ dan $ x_3 $.
Operasi penjumlahan : $ x_1+x_2+x_3 = \frac{-b}{a} $
Operasi perkalian : $ x_1.x_2.x_3 = \frac{-d}{a} $
*). Barisan aritmetika :
Rumus suku ke-$n $ : $ U_n = a+(n-1)b $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaannya : $ x^3-12x^2+(p+4)x-(p+8)=0 $
$ a = 1 , b = -12, c = p + 4 , $ dan $ d = -(p+8) $.
*). Akar-akar $ x_1, x_2, x_3 $ membentuk barisan aritmetika dengan beda 2, kita misalkan $ x_1 = k $, maka $ x_2 = k+ 2 $ dan $ x_3 = k + 4 $ (mereka membentuk barisan aritmetika $ k , k+2, k+ 4 $).
*). Menentukan nilai $ k $ dengan operasi penjumlahan :
$\begin{align} x_1+x_2+x_3 & = \frac{-b}{a} \\ k+(k+2)+(k+4) & = \frac{-(-12)}{1} \\ 3k+6 & = 12 \\ k & = 2 \end{align} $
Sehingga akar-akarnya :
$ x_1 = k = 2 , x_2 = k+2 = 4 , $ dan $ x_3 = k+4 = 6 $.
*). Menentukan nilai $ p $ dengan operasi perkalian :
$\begin{align} x_1.x_2.x_3 & = \frac{-d}{a} \\ 2.4.6 & = \frac{-[-(p+8)]}{1} \\ 48 & = p+8 \\ p & = 40 \end{align} $
Sehingga nilai $ p - 36 = 40 - 36 = 4 $.
Jadi, nilai $ p - 36 = 4 . \, \heartsuit $

Catatan :
Salah satu nilai akar yang sudah kita temukan bisa langsung disubstitusi ke persamaan $ x^3-12x^2+(p+4)x-(p+8)=0 $, akan kita peroleh juga nilai $ p = 40 $. Cara ini kita lakukan jika lupa dengan operasi perkaliannya.

Pembahasan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(0)=1 $ dan $ f^\prime (0) = 2 $. Jika $ g(x) = \frac{1}{(2f(x)-1)^3} $ , maka $ g^\prime (0) = .... $
A). $ -12 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 12 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan Fungsi
*). Turunan Fungsi :
$ y = [h(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[h(x)]^{n-1}.h^\prime (x) $.
*). Sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan substitusi $ x = 0 $ :
$\begin{align} g(x) & = \frac{1}{(2f(x)-1)^3} \\ g(x) & = (2f(x)-1)^{-3} \\ g^\prime (x) & = -3.(2f(x)-1)^{-3-1}. 2f^\prime (x) \\ g^\prime (x) & = -3.(2f(x)-1)^{-4}. 2f^\prime (x)\\ & \text{(ganti } x = 0 ) \\ g^\prime (0) & = -3.(2f(0)-1)^{-4}. 2f^\prime (0) \\ & = -3.(2.1-1)^{-4}. 2.2 \\ & = -3.(1)^{-4}.4 \\ & = -3.1.4 = -12 \end{align} $
Jadi, nilai $ g^\prime (0) = -12 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Dalam memilih pengurus kelas, terpilih 5 calon, 3 laki-laki dan 2 perempuan. Posisi yang tersedia yaitu ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara I, dan bendahara II. Jika ketua kelas harus laki-laki, maka banyak susunan pengurus yang mungkin adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 24 \, $ C). $ 48 \, $ D). $ 72 \, $ E). $ 120 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan perkalian,
Jika ada beberapa kejadian sekaligus, maka total cara adalah semuanya dikalikan. Contohnya adalah dalam kasus banyak susunan jabatan untuk suatu pengurus.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Banyaknya cara masing-masing posisi jabatan :
Ada 3 laki-laki dan 2 perempuan,
-). Ketua harus laki-laki, ada 3 cara (kemungkinan)
Tersisa 2 laki-laki dan 2 perempuan (total 4 orang) yang posisinya bebas.
-). wakil ketua, ada 4 kemungkinan yang tersisa
-). sekretasi, ada 3 kemungkinan yang tersisa
-). bendahara I, ada 2 kemungkinan yang tersisa
-). bendahara II, ada 1 kemungkinan yang tersisa
Kotak penyusunannya seperti berikut ini :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline K & W & S & B-I & B-II \\ \hline 3 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} $
Sehingga total cara penyusunan :
$ 3 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 72 \, $ cara.
Jadi, ada 72 susunan pengurus yang mungkin$ . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^3 \log x + {}^4 \log y^2 = 5 $, maka nilai maksimum dari $ {}^3 \log x . {}^2 \log y $ adalah ....
A). $ \frac{25}{4} \, $ B). $ \frac{25}{9} \, $ C). $ \frac{25}{16} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{25}{36} $

$\spadesuit $ Konsep Rumus Cepat
*). Jika ada $ a + b = k $, maka $ ab $ akan maksimum pada saat $ a = b = \frac{k}{2} $.
*). Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m}. {}^a \log b $.

$\clubsuit $ Pembahasan : Cara 2
*). Menyusun persamaan dan Fungsi :
-). Misalkan $ a = {}^3 \log x $ dan $ b = {}^2 \log y $.
-). Persamaan pertama :
$\begin{align} {}^3 \log x + {}^4 \log y^2 & = 5 \\ {}^3 \log x + {{}^2}^2 \log y^2 & = 5 \\ {}^3 \log x + \frac{2}{2}. {}^2 \log y & = 5 \\ {}^3 \log x + {}^2 \log y & = 5 \\ a + b & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
-). bentuk $ {}^3 \log x . {}^2 \log y = a.b $ akan maksimum pada saat :
$ a = b = \frac{k}{2} = \frac{5}{2} $
Nilai maksimum dari $ a.b $ :
$ ab = \frac{5}{2}.\frac{5}{2} = \frac{25}{4} $.
Jadi, nilai maksimum $ {}^3 \log x . {}^2 \log y $ adalah $ \frac{25}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 713

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^3 \log x + {}^4 \log y^2 = 5 $, maka nilai maksimum dari $ {}^3 \log x . {}^2 \log y $ adalah ....
A). $ \frac{25}{4} \, $ B). $ \frac{25}{9} \, $ C). $ \frac{25}{16} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{25}{36} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m}. {}^a \log b $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan dan Fungsi :
-). Misalkan $ a = {}^3 \log x $ dan $ b = {}^2 \log y $.
-). Persamaan pertama :
$\begin{align} {}^3 \log x + {}^4 \log y^2 & = 5 \\ {}^3 \log x + {{}^2}^2 \log y^2 & = 5 \\ {}^3 \log x + \frac{2}{2}. {}^2 \log y & = 5 \\ {}^3 \log x + {}^2 \log y & = 5 \\ a + b & = 5 \\ a & = 5 - b \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
-). bentuk $ {}^3 \log x . {}^2 \log y = a.b $
$ \begin{align} ab & = (5-b)b \\ f(b) & = 5b - b^2 \end{align} $
Artnya nilai maksimum $ {}^3 \log x . {}^2 \log y $ sama dengan nilai maksimum dari fungsi $ f(b) = 5b - b^2 $.
*). Syarat maksimum : $ f^\prime (b) = 0 $ :
$ \begin{align} f^\prime (b) = 0 \\ 5 - 2b = 0 \\ b = \frac{5}{2} \end{align} $ .
pers(i) : $ a = 5 - b = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} $.
Artinya $ ab $ akan maksimum pada saat $ a = \frac{5}{2} $ dan $ b = \frac{5}{2} $.
Nilai maksimum dari $ a.b $ :
$ ab = \frac{5}{2}.\frac{5}{2} = \frac{25}{4} $.
Jadi, nilai maksimum $ {}^3 \log x . {}^2 \log y $ adalah $ \frac{25}{4} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UTUL UGM 2017 Matematika IPA Kode 713


Nomor 1
Jika $ {}^3 \log x + {}^4 \log y^2 = 5 $, maka nilai maksimum dari $ {}^3 \log x . {}^2 \log y $ adalah ....
A). $ \frac{25}{4} \, $ B). $ \frac{25}{9} \, $ C). $ \frac{25}{16} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{25}{36} $
Nomor 2
Dalam memilih pengurus kelas, terpilih 5 calon, 3 laki-laki dan 2 perempuan. Posisi yang tersedia yaitu ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara I, dan bendahara II. Jika ketua kelas harus laki-laki, maka banyak susunan pengurus yang mungkin adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 24 \, $ C). $ 48 \, $ D). $ 72 \, $ E). $ 120 $
Nomor 3
Diketahui $ f(0)=1 $ dan $ f^\prime (0) = 2 $. Jika $ g(x) = \frac{1}{(2f(x)-1)^3} $ , maka $ g^\prime (0) = .... $
A). $ -12 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 12 $
Nomor 4
Jika akar-akar persamaan suku banyak $ x^3-12x^2+(p+4)x-(p+8)=0 $ membentuk deret aritmetika dengan beda 2, maka $ p - 36 = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 12 \, $
Nomor 5
Titik pusat lingkaran L terletak di kuadran I dan terletak pada garis $ y = 2x + 1 $. Jika lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik ($0,11$), maka persamaan lingakran L adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 5x - 11y = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 + 5x + 11y - 242 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 - 10x - 22y + 121 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 - 5x + 11y = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 + 10x + 22y - 363 = 0 \, $

Nomor 6
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 $ dan garis $ y = (2m-2)x $ mempunyai luas $ 1\frac{1}{3} $ , maka $ m = .... $
A). $ 2\frac{1}{2} \, $ atau $ -\frac{1}{2} $
B). $ 2 \, $ atau $ 0 $
C). $ 3\frac{1}{2} \, $ atau $ -1\frac{1}{2} $
D). $ 4 \, $ atau $ -2 $
E). $ 4\frac{1}{2} \, $ atau $ -2\frac{1}{2} $
Nomor 7
Jika tiga bilangan berbeda $ x, y $ , dan $ z $ membentuk barisan geometri, maka $ \frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} = .... $
A). $ \frac{1}{x} \, $ B). $ - \frac{1}{y} \, $ C). $ \frac{1}{z} \, $
D). $ \frac{1}{x+z} \, $ E). $ \frac{1}{x - z} $
Nomor 8
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \sqrt{x^2 - 7x + 6 } \geq 2x \, $ adalah ....
A). $ -3 \leq x \leq \frac{1}{3} \, $
B). $ -3 \leq x \leq \frac{2}{3} \, $
C). $ x \leq -3 \, $ atau $ x \geq \frac{2}{3} $
D). $ x \leq 1 \, $ atau $ x \geq 6 $
E). $ x \leq \frac{2}{3} $
Nomor 9
$ \displaystyle \lim_{x \to -4} \frac{1 - \cos (x+4)}{x^2+8x+16} = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 2 $
Nomor 10
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{2} \log (2x-1) + {}^\frac{1}{2} \log (2 - x) \geq 2 . {}^\frac{1}{2} \log x $ adalah ....
A). $ \frac{2}{3} \leq x \leq 1 \, $
B). $ x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ x \geq 1 $
C). $ \frac{1}{2} < x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ 1 \leq x < 2 $
D). $ \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{2}{3} \, $ atau $ 1 \leq x \leq 2 $
E). $ x \leq \frac{1}{2} \, $ atau $ x > 2 $

Nomor 11
Jika panjang vektor $ \vec{u}, \vec{v}, $ dan $ (\vec{u}+\vec{v}) $ berturut-turut 12, 8, dan $ 4\sqrt{7} $, maka besar sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ 45^\circ \, $ B). $ 60^\circ \, $ C). $ 90^\circ \, $ D). $ 120^\circ \, $ E). $ 150^\circ $
Nomor 12
Jika proyeksi $ \vec{u} = (6,1) \, $ pada $ \vec{p} = (1,1) $ sama dengan proyeksi $ \vec{v}=(\alpha , 5) $ pada $ \vec{p} $ , maka nilai $ \alpha $ yang memenuhi adalah ....
A). $ -12 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 12 $
Nomor 13
Misalkan $ x_1 $ dan $ x_2 $ merupakan akar-akar persamaan $ px^2 + qx - 1 = 0 , p \neq 0 $. Jika $ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = -1 $ dan $ x_1 = -\frac{3}{2}x_2 $, maka $ p + q = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 7 $
Nomor 14
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang AHF dan CHF, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ -\frac{2}{3}\sqrt{2} \, $ B). $ -\frac{1}{3}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{2}{3}\sqrt{2} $
Nomor 15
Dektahui $ 0 \leq x < \frac{\pi}{2} $. Jika $ 5\sin 2x + 10\cos ^2 x = 26 \cos 2x $ , maka $ \cos 2x = .... $
A). $ \frac{215}{233} \, $ B). $ \frac{205}{233} \, $ C). $ \frac{169}{233} \, $ D). $ \frac{115}{233} \, $ E). $ \frac{105}{233} $