Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 574 tahun 2011 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diberikan kurva $y=x^3+2x^2-x+5$ . Jika garis singgung kurva di titik ($a,b$) sejajar dengan garis $y-3x-4=0$ , maka nilai $b$ yang mungkin adalah ...
$\clubsuit \, $ Garis $y-3x-4=0$ memiliki gradien $m=\frac{-x}{y} = \frac{-(-3)}{1} = 3 $
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $y-3x-4=0$ artinya gradiennya sama yaitu $m = 3 $
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung di titik ($a,b$) : $m = f^\prime (a) $
$\begin{align*} y & = x^3+2x^2-x+5 \\ y^\prime & = 3x^2+4x-1 \\ m & = f^\prime (a) \\ 3 & = 3a^2+4a-1 \\ 3a^2+4a -4 & = 0 \\ (3a-2)(a+2) & = 0 \\ a=\frac{3}{2} & \vee a = -2 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $a=-2$ ke kurva
$\begin{align*} a=-2 \rightarrow y & = x^3+2x^2-x+5 \\ b & = (-2)^3+2(-2)^2-(-2)+5 \\ b & = -8+8+2+5 \\ b & = 7 \end{align*}$
Jadi, salah satu nilai $b$ yang mungkin adalah 7 . $\heartsuit $
Nomor 12
Grafik $y=f^\prime (x) $ ditunjukkan pada gambar berikut
sbmptn_mat_ipa_k574_1_2011.png
Pernyataan yang benar adalah ...
$\spadesuit \, $ Titik maksimum/minimum saat $f^\prime (x) = 0 $
Dari gambar di atas, $f^\prime (x) = 0 $ tercapai untuk $x=-2$ dan $x=2$ , artinya titik maksimum/minimum saat $x=-2$ dan $x=2$ .
$\spadesuit \, $ Fungsi naik/turun
fungsi turun dengan syarat $f^\prime (x) < 0 $ ($ f^\prime (x) $ negatif)
fungsi naik dengan syarat $f^\prime (x) > 0 $ ($ f^\prime (x) $ positif)
Dari gambar di atas :
* $f^\prime (x) $ negatif (bagian kurva di bawah sumbu X) ada pada interval $-2 < x < 2 $ , artinya $y=f(x) $ turun pada interval $-2 < x < 2 $
* $f^\prime (x) $ positif (bagian kurva di atas sumbu X) ada pada interval $ x < -2 \vee x > 2 $ , artinya $y=f(x) $ naik pada interval $ x < -2 \vee x > 2 $
$\spadesuit \, $ Deskripsi gambar fungsi awal $y=f(x) $
sbmptn_mat_ipa_k574_5a_2011.png
sbmptn_mat_ipa_k574_5b_2011.png
Jadi, fungsi $y=f(x) $ minimum saat $x = 2 . \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui vektor $\vec{u} = (1, -3a+1, 2) $ dan $\vec{v} = (a^3-3a^2, 3, 0) $ dengan $-2 < a < 4 $ . Nilai maksimum $\vec{u} . \vec{v} $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan $\vec{u}.\vec{v} $
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v} & = 1.(a^3-3a^2) + (-3a+1).3 + 2.0 \\ f(a) & = a^3-3a^2-9a+3 \\ f^\prime (a) & = 3a^2 - 6a - 9 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai maksimum
$\begin{align*} f^\prime (a) & = 0 \\ 3a^2 - 6a - 9 & = 0 \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ a^2 - 2a - 3 & = 0 \\ (a+1)(a-3) & = 0 \\ a=-1 & \vee a = 3 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi semua nilai $a$ ke fungsi awal
$a=-1 \rightarrow f(-1)= (-1)^3-3.(-1)^2-9.(-1)+3 = 8 $
$a=3 \rightarrow f(3)= (3)^3-3.(3)^2-9.(3)+3 = -24 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 8. $ \heartsuit $
Nomor 14
Bola dengan diameter 8 cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah ... cm.
$\spadesuit \, $ Gambarnya
sbmptn_mat_ipa_k574_6a_2011.png sbmptn_mat_ipa_k574_6b_2011.png
$AB = \sqrt{R^2+t^2} $
$\spadesuit \, $ Konsep kesebangunan pada $\Delta$AED dan $\Delta$ABC
$\begin{align*} \frac{ED}{BC} & = \frac{AE}{AB} \\ \frac{4}{R} & = \frac{t-4}{\sqrt{R^2+t^2}} \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{16}{R^2} & = \frac{t^2-8t+16}{R^2+t^2} \\ 16R^2+16t^2 & = R^2(t-8t)+16R^2 \\ R^2 & = \frac{16t^2}{t-8t} \\ R^2 & = \frac{16t}{t-8} \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Volume maksimum/minimum, syarat : $V^\prime = 0 $
$\begin{align*} V & = \frac{1}{3} \pi R^2 t \, \, \, \text{substitusi pers(i)} \\ V & = \frac{1}{3} \pi .\frac{16t}{t-8} . t \\ V & = \frac{1}{3} \pi .\frac{16t^2}{t-8} \\ V^\prime & = 0 \\ \frac{16\pi}{3} \left[ \frac{2t(t-8)-t^2}{(t-8)^2} \right] & = 0 \\ \frac{16\pi}{3} \left[ \frac{t^2-16t}{(t-8)^2} \right] & = 0 \\ t^2-16t & = 0 \\ t(t-16) & = 0 \\ t=0 & \vee t=16 \end{align*}$
Jadi, tinggi kerucut adalah 16 cm. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Gambarnya
sbmptn_mat_ipa_k574_6a_2011.png
$\spadesuit \, $ Berdasarkan gambar, volume kerucut minimum saat :
$t=4r \, \, $ dan $\, \, R = 2\sqrt{2}$
Sehingga $t=4r=4\times 4 = 16 $
Jadi, tinggi kerucut adalah 16 cm. $ \heartsuit $
Nomor 15
Diberikan lingkaran dengan persamaan $(x+5)^2+(y-12)^2= 14^2 $ . Jarak minimal titik pada lingkaran tersebut ke titik asal adalah ...
$\clubsuit \, $ Unsur-unsur lingkaran
$(x-a)^2+(y-b)^2= r^2 \, \, \, \, $ memiliki pusat ($a,b$) dan jari-jari $r$
$(x+5)^2+(y-12)^2= 14^2 \, \, \, \, $ memiliki pusat (-5,12) dan $r=14$
$\clubsuit \, $ Gambarnya
sbmptn_mat_ipa_k574_7_2011.png
$\clubsuit \, $ Menentukan jarak PA
jarak titik P(-5,12) ke A(0,0)
$PA = \sqrt{((-5)-0)^2 + (12-0)^2 } = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2 } = \sqrt{25 + 144 } = 13 $
$\clubsuit \, $ Menentukan jarak terdekat
Jarak terdekat/minimal titik pada lingkaran dengan titik asal (titik A(0,0)) yaitu jarak titik A ke semua titik yang ada pada lingkaran, misalkan AB, AC, AD, ... dan AH. Namun yang paling kecil jaraknya adalah AB. Sehingga jarak minimalnya adalah AB, dengan PB sama dengan jari-jari lingkaran.
$\begin{align*} AB & = PB - PA \\ & = r - PA \\ & = 14 - 13 \\ AB & = 1 \end{align*}$
Jadi, jarak minimalnya adalah 1. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 574 tahun 2011 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Prisma tegak segitiga sama sisi ABC.DEF dengan panjang AB = $s$ dan AD = $t$ . Jika titik G terletak di tengah-tengah sisi EF, maka panjang AG adalah ...
$\spadesuit \, $ gambar :
sbmptn_mat_ipa_k574_3_2011.png
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang AH :
$\begin{align*} AH^2 & = AB^2 - HB^2 \\ & = s^2 - \left( \frac{s}{2} \right)^2 \\ & = s^2 - \frac{s^2}{4} \\ AH^2 & = \frac{3s^2}{4} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang AG :
$\begin{align*} AG^2 & = AH^2 + HG^2 \\ AG^2 & = \frac{3s^2}{4} + t^2 \\ AG & = \sqrt{ \frac{3s^2}{4} + t^2 } \end{align*}$
Jadi, panjang AG = $ \sqrt{ \frac{3s^2}{4} + t^2 } . \heartsuit $
Nomor 7
Jika $0 < x < \pi $ dan $x$ memenuhi $\sin ^2 x + \sin x = 2 $ , maka $\cos x $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $\sin x $ dan $\cos x$
$\begin{align*} \sin ^2 x + \sin x & = 2 \\ \sin ^2 x + \sin x - 2 & = 0 \\ (\sin x + 2)(\sin x -1 ) & = 0 \\ \sin x = -2 \rightarrow & \, \, \text{(tidak memenuhi)} \\ \sin x = 1 \rightarrow & x = 90^o \\ \text{sehingga} \, \cos x = \cos 90^o & = 0 \end{align*}$
Jadi, nilai $\cos x = 0 . \heartsuit$
Nomor 8
$\sin 35^o \cos 45^o - \cos 35^o \sin 40^o = ... $
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
$\sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \, \, \, \, \, $ dan
$\sin x = \cos (90^o - x) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align*} \sin 35^o \cos 40^o - \cos 35^o \sin 40^o & = \sin (35^o - 40^o) \\ & = \sin (-5^o) \, \, \, \text{...(rumus 2)} \\ & = \cos (90^o - (-5^o)) \\ & = \cos 95^o \end{align*}$
Jadi, hasil $\sin 35^o \cos 40^o - \cos 35^o \sin 40^o = \cos 95^o . \heartsuit$
Nomor 9
Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri atas 4 angka yang disusun oleh angka-angka 0, 1, 3, 5, dan 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah ...
$\clubsuit \, $ Angka pertama atau terakhir tidak nol, artinya jika angka pertama tidak nol maka angka yang lain bebas, dan jika angka terakhir tidak nol maka angka yang lain bebas.
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal :
A menyatakan angka pertama tidak nol
sbmptn_mat_ipa_k574_4a_2011.png
B menyatakan angka terakhir tidak nol
sbmptn_mat_ipa_k574_4b_2011.png
A$\cap$B menyatakan angka pertama dan terakhir tidak nol
sbmptn_mat_ipa_k574_4c_2011.png
Sehingga banyak A atau B :
$n(A\cup B ) = n(A) + n(B) - n(A\cap B ) = 500 + 500 - 400 = 600 $ .
$\clubsuit \, $ Penjelasan salah satu kejadian :
sbmptn_mat_ipa_k574_4a_2011.png
I. Angka pertama tidak nol, sehingga angka pertama bisa diisi oleh angka-angka 1,3,5,7 yaitu ada 4 cara.
II. angka kedua bebas, sehingga ada 5 pilihan (cara) angka untuk mengisinya yaitu angka-angka 0,1,3,5,7 . begitu juga untuk angka III dan IV .
Jadi, total kupon ada 600. $ \heartsuit $
Nomor 10
Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa -2 bila dibagi ($x+1$), bersisa 3 bila dibagi $x-2$ . Suku banyak $g(x)$ bersisa 3 bila dibagi $x+1$ dan bersisa 2 bila dibagi $x-2$ . Jika $h(x)=f(x)g(x)$ , maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^2-x-2$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x+a} \rightarrow \text{sisa} \, = f(-a) $
$\frac{f(x)}{x+1} \rightarrow \text{sisa} \, = f(-1) \rightarrow f(-1)=-2 $
$\frac{f(x)}{x-2} \rightarrow \text{sisa} \, = f(2) \rightarrow f(2)=3 $
$\frac{g(x)}{x+1} \rightarrow \text{sisa} \, = g(-1) \rightarrow f(-1)=3 $
$\frac{g(x)}{x-2} \rightarrow \text{sisa} \, = g(2) \rightarrow g(2)=2 $
$\spadesuit \, $ Misalkan sisa pembagian $h(x)$ dengan $x^2-x-2$ adalah $ax+b$ .
Sisa = $ax+b$ dan $h(x)=f(x)g(x)$ .
$\frac{h(x)}{x^2-x-2} = \frac{h(x)}{(x+1)(x-2)} \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = h(-1) \\ \text{sisa} = h(2) \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan dengan sisa = $ax+b$ dan $h(x)=f(x)g(x)$
$\begin{align*} \text{sisa} & = h(-1) \\ a(-1) + b & = f(-1).g(-1) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ -a+b & = -2.3 \\ -a+b & = -6 \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$ $\begin{align*} \text{sisa} & = h(2) \\ a(2) + b & = f(2).g(2) \\ 2a+b & = 3.2 \\ 2a+b & = 6 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 2a+ b = 6 & \\ -a+b = -6 & - \\ \hline 3a = 12 \rightarrow a=4, b=-2 \end{array} $
Jadi, sisa = $ax+b = 4x-2 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 574 tahun 2011


Nomor 1
Diketahui vektor $\vec{u}=(a, -2, -1) $ dan $\vec{v}=(a, a, -1) $ . Jika vektor $\vec{u} $ tegak lurus pada $\vec{v}$ , maka nilai $a$ adalah ...
$\clubsuit \, $ vektor $ \vec{u} $ tegak lurus vektor $ \vec{v} $ , syarat : $\vec{u}.\vec{v} = 0 $
$\begin{align*} \vec{u} . \vec{v} & = 0 \\ \, \, \, a.a+(-2).a+(-1).(-1) & = 0 \\ a^2-2a+1 & = 0 \\ (a-1)^2 & = 0 \\ a-1 & = 0 \\ a & = 1 \end{align*}$
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
Nomor 2
Pernyataan berikut yang benar adalah ...
(A) Jika $\sin x = \sin y $ , maka $x=y$
(B) Untuk setiap vektor $\vec{u}, \vec{v} $ dan $\vec{w} $ berlaku $\vec{u}.(\vec{v}.\vec{w}) = (\vec{u}.\vec{v}).\vec{w} $
(C) Jika $\int \limits_a^b f(x)dx=0 $ , maka $f(x) = 0 $
(D) Ada fungsi $f$ sehingga $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) \neq f(c) $ untuk suatu $c$
(E) $1-\cos 2x = 2\cos ^2 x $
$\spadesuit \, $ Analisa setiap pilihan :
(A) Jika $\sin x = \sin y $ , maka belum tentu $x=y$ ,
contohnya $\sin 30^o = \sin 150^o $ maka $30^o \neq 150^o $ . (salah)
(B) Perkalian dot hasilnya skalar (bilangan), dan perkalian dot hanya berlaku vektor dengan vektor bukan dengan skalar.
$\vec{u}.(\vec{v}.\vec{w}) = \vec{u} $ . (skalar)
tidak bisa dioperasikan (salah)
(C) Ada fungsi lain dengan $f(x) \neq 0 $ yang menyebabkan $\int \limits_a^b f(x)dx=0 $ .
Contoh : $f(x) = x $
$\int \limits_{-1}^1 f(x)dx = \int \limits_{-1}^1 x dx = \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{-1}^1 = 0 $
(D) $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) \neq f(c) $ artinya fungsi diskontinu, dan fungsi tersebut ada.
Contoh : $f(x) = \frac{1}{x-1} $ diskontinu saat $x=1 $ . (Benar)
(E) konsep dasar :
$\cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $ dan $ 1- \cos ^2 x = \sin ^2 x $ (identitas)
$\begin{align*} 1- \cos 2x & = 1- ( \cos ^2 x - \sin ^2 x ) \\ & = (1- \cos ^2 x ) + \sin ^2 x \\ & = \sin ^2 x + \sin ^2 x \\ 1- \cos 2x & = 2\sin ^2 x \end{align*}$
Artinya $ 1- \cos 2x \neq 2\cos ^2 x $ . (salah)
Jadi, yang benar adalah opsi D. $ \heartsuit $
Nomor 3
Luas daerah di bawah $y=-x^2+8x$ , di atas $y=6x-24 $ , dan terletak di kuadran I adalah ...
$\clubsuit \, $ gambarnya :
sbmptn_mat_ipa_k574_2_2011.png
Luas daerah yang dimaksud adalah daerah A dan B.
$\clubsuit \, $ Titik potong kedua kurva
$\begin{align*} y_1 & = y_2 \\ 6x-24 & = -x^2+8x \\ x^2 -2x -24 & = 0 \\ (x+4)(x-6) & = 0 \\ x=-4 & \vee x = 6 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan luas
$\begin{align*} \text{Luas} & = \text{Luas A} \, + \, \text{Luas B} \\ & = \int \limits_{0}^4 y_2 dx + \int \limits_{4}^6 (y_2-y_1) dx \\ & = \int \limits_{0}^4 (-x^2+8x) dx + \int \limits_{4}^6 (-x^2+8x)-(6x-24) dx \\ & = \int \limits_{0}^4 (-x^2+8x) dx + \int \limits_{4}^6 (-x^2+2x+24) dx \end{align*}$
Jadi, luasnya adalah $ \int \limits_{0}^4 -x^2+8x) dx + \int \limits_{4}^6 (-x^2+2x+24) dx . \heartsuit $
Nomor 4
Delapan titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada tiga titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapa dibuat dengan titik-titik sudut dari titik-titik tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Untuk membuat segitiga dibutuhkan 3 titik , artinya akan dipilih 3 titik dari 8 titik yang ada tanpa memperhatikan urutan ($\Delta$ABC sama saja dengan $\Delta$BCA ) sehingga menggunakan kombinasi.
Total cara = $C_3^8 = 56 $ cara.
Jadi, banyak segitiga yang terbentuk ada 56 segitiga. $ \heartsuit $
Nomor 5
Vektor $\vec{u} = 4\vec{i} + b\vec{j}+c\vec{k} $ tegak lurus vektor $\vec{w} = 2\vec{i} -2\vec{j}+3\vec{k} $ dan $|\vec{u} | = 2|\vec{w}| $ , maka nilai $b$ memenuhi ...
$\vec{u} = (4, \, \, b, \, \, c ) $ , $\vec{w} = (2, \, \, -2, \, \, 3) $
panjang vektor $\vec{u} $ : $|\vec{u}| = \sqrt{4^2+b^2+c^2} = \sqrt{16+b^2+c^2} $
panjang vektor $\vec{w} $ : $|\vec{w}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+3^2} = \sqrt{17} $
$\clubsuit \, $ Vektor $\vec{u} $ dan $\vec{w} $ tegak lurus, syarat : $\vec{u}. \vec{w} = 0 $
$\begin{align} \vec{u}. \vec{w} & = 0 \\ 4.2 + b.(-2)+c.3 & = 0 \\ 8-2b+3c & = 0 \\ c & = \frac{2b-8}{3} \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan bentuk $b$ dengan substitusi pers(i)
$\begin{align} |\vec{u} | & = 2|\vec{w}| \\ \sqrt{16+b^2+c^2} & = 2 \sqrt{17} \, \, \, \text{(dikuadratkan)} \\ 16+b^2+c^2 & = 4 \times 17 \, \, \, \text{...pers(i)} \\ 16+b^2+\left( \frac{2b-8}{3} \right)^2 & = 68 \\ b^2+\left( \frac{4b^2-32b+64}{9} \right)^2 & = 52 \, \, \, \text{(kali 9)} \\ 9b^2+ 4b^2-32b+64 & = 468 \\ 13b^2 -32b - 404 & = 0 \end{align}$
Jadi, nilai $b$ memenuhi $ 13b^2 -32b - 404 = 0. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15