Kode 371 Pembahasan Matriks Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika A memenuhi $ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) A + \left( \begin{matrix} -1 & -2 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) $ , maka det(A) = ....
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Misalkan ada matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Determinan : $ |A| = ad - bc $
Inversnya : $ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers :
$ BA = C \rightarrow A = B^{-1} C $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks A dari persamaan
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) A + \left( \begin{matrix} -1 & -2 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) A & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -1 & -2 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) A & = \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2.1 - 1.1} \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{1} \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan determinan matriks A :
$ \begin{align} A & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right) \\ |A| & = -1. 2 - 2. 0 \\ & = -2 - 0 \\ & = -2 \end{align} $
Jadi, determinan matriks A adalah $ -2 . \, \heartsuit $



Kode 371 Pembahasan Barisan Geometri kedua Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui barisan geometri dengan jumlah suku ke-1 dan ke-3 adalah 100 dan jumlah suku-2 dan ke-4 adalah 75, maka suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). $ 24 \, $ B). $ 27 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 48 \, $ E). $ 64 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
              $ u_n = a^{r-1} $
Keterangan :
$ u_n = \, $ suku ke-$n$
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
persamaan pertama : jumlah suku ke-1 dan ke-3 = 100
$ \begin{align} u_1 + u_3 & = 100 \\ a + ar^2 & = 100 \\ a(1 + r^2) & = 100 \\ a & = \frac{100 }{(1 + r^2)} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua : jumlah suku-2 dan ke-4 = 75
$ \begin{align} u_2 + u_4 & = 75 \\ ar + ar^3 & = 75 \\ ar(1 + r^2) & = 75 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} ar(1 + r^2) & = 75 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ \frac{100 }{(1 + r^2)} \times r(1 + r^2) & = 75 \\ 100r & = 75 \\ r & = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai suku pertama ($ a $) dari pers(i)
$ \begin{align} a & = \frac{100 }{(1 + r^2)} \\ & = \frac{100 }{(1 + (\frac{3}{4} )^2)} \\ & = \frac{100 }{1 + \frac{9}{16} } \\ & = \frac{100 }{\frac{16}{16} + \frac{9}{16} } \\ & = \frac{100 }{\frac{25}{16} } \\ & = 100 \times \frac{16}{25} \\ & = 64 \end{align} $
Jadi, suku pertamanya adalah 64 $. \, \heartsuit $



Kode 371 Pembahasan Barisan Geometri Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika jumlah suku ke-1 dan ke-3 deret geometri adalah $-5$ dan suku ke-2 dikurangi suku ke-3 sama dengan 6, maka jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 deret tersebut adalah ....
A). $ -18 \, $ atau $ -12 $
B). $ -9 \, $ atau $ -4 $
C). 18 atau 12
D). 9 atau 4
E). 18 atau 4

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
              $ u_n = a^{r-1} $
Keterangan :
$ u_n = \, $ suku ke-$n$
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
persamaan pertama : jumlah suku ke-1 dan ke-3 = -5
$ \begin{align} u_1 + u_3 & = -5 \\ a + ar^2 & = -5 \\ a(1 + r^2) & = -5 \\ a & = \frac{-5 }{(1 + r^2)} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua : suku ke-2 dikurangi suku ke-3 = 6
$ \begin{align} u_2 - u_3 & = 6 \\ ar - ar^2 & = 6 \\ a(r - r^2) & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} a(r - r^2) & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ \frac{-5 }{(1 + r^2)} \times (r - r^2) & = 6 \\ -5(r - r^2) & = 6 (1 + r^2) \\ -5r + 5 r^2 & = 6 + 6r^2 \\ r^2 + 5r + 6 & = 0 \\ (r+2)(r+3) & = 0 \\ r = -2 \vee r & = -3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dan hasil $ u_3 + u_4 $ :
Untuk $ r = -2 \, $ dan pers(i) :
$ \begin{align} a & = \frac{-5 }{(1 + r^2)} = \frac{-5 }{(1 + (-2)^2)} = \frac{-5 }{5} = -1 \\ u_3 + u_4 & = ar^2 + ar^3 \\ & = -1 \times (-2)^2 + -1 \times (-2)^3 \\ & = -4 + 8 \\ & = 4 \end{align} $
Untuk $ r = -3 \, $ dan pers(i) :
$ \begin{align} a & = \frac{-5 }{(1 + r^2)} = \frac{-5 }{(1 + (-3)^2)} = \frac{-5 }{10} = -\frac{1}{2} \\ u_3 + u_4 & = ar^2 + ar^3 \\ & = -\frac{1}{2} \times (-3)^2 + -\frac{1}{2} \times (-3)^3 \\ & = -\frac{9}{2} + \frac{27}{2} \\ & = \frac{18}{2} \\ & = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ u_3 + u_4 \, $ adalah 4 atau 9 $. \, \heartsuit $