Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 532 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika untuk setiap bilangan asli $ n , \, L_n \, $ merupakan luas daratan yang dibatasi oleh sumbu X dan parabola yang melalui titik $ ( 0, 4^{1-n}), \, (-2^{1-n}, 0 ) \, $ dan $ (2^{1-n},0) \, $ , maka $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty L_n = ..... $
$\spadesuit \, $ Gambar parabola dan daerah arsirannya
sbmptn_3_mat_ipa_k532_2014.png
Untuk menentukan luas daerah arsirannya sebenarnya menggunakan perhitungan integral. Akan tetapi kita harus menentukan fungsi parabolanya dulu. Nah disini perhitungan luasnya tidak perlu menggunakan integral, tapi langsung dari luas persegi panjangnya.
$\spadesuit \, $ Menentukan luas daerah arsiran dari luas persegi panjang
Perbandingan luas daerah yang diarsir dan tidak diarsir pada persegi panjang ABCD adalah 2 : 1. artinya, luas arsir = $ \frac{2}{3} \, $ Luas ABCD dan Luas bersih = $ \frac{1}{3} \, $ Luas ABCD.
catatan : Perbandingan ini hanya berlaku pada parabola yang melalu puncaknya.
$\spadesuit \, $ Menentukan luas arsiran, panjang $ AB = 2\times 2^{1-n} \, $ dan $ BC = 4^{1-n} $
$\begin{align} \text{ Luas arsiran } & = \frac{2}{3} . \text{ Luas ABCD } \\ L_n & = \frac{2}{3} . AB . BC \\ L_n & = \frac{2}{3} . 2\times 2^{1-n} . 4^{1-n} = \frac{4}{3} . 2^{1-n} . 4^{1-n} \\ n= 1 \rightarrow L_1 & = \frac{4}{3} . 2^{1-1} . 4^{1-1} \\ L_1 & = \frac{4}{3} . 2^{0} . 4^{0} = \frac{4}{3} \\ n= 2 \rightarrow L_2 & = \frac{4}{3} . 2^{1-2} . 4^{1-2} \\ L_1 & = \frac{4}{3} . 2^{-1} . 4^{-1} = \frac{4}{3} . \frac{1}{8} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty L_n $
deret tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
$\begin{align} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty L_n & = L_1 + L_2 + .... \\ & = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} . \frac{1}{8} + .... \\ & = s_\infty = \frac{a}{1-r} \\ & = \frac{ \frac{4}{3} }{1- \frac{1}{8} } \\ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty L_n & = \frac{32}{21} \end{align}$
Jadi, nilai $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty L_n = \frac{32}{21} . \heartsuit $
Nomor 7
Diberikan barisan geometri $ a, \, a+b, \, 4a + b + 9 . \, $ Jika $ a, \, a+b, \, $ dan $ 4a + b \, $ merupakan suatu barisan aritmetika, maka $ b = .... $
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $ a, \, a+b, \, $ dan $ 4a + b \, $
Selisih sama :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ 2(u_2) & = u_1 + u_3 \\ 2(a+b) & = a + ( 4a + b ) \\ b & = 3a \, \, \, \text{ ....pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ a, \, a+b, \, 4a + b + 9 $
Rasio sama dan nilai $ a \neq 0 \, $ :
$\begin{align} \frac{u_2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ (u_2)^2 & = u_1.u_3 \\ (a+b)^2 & = (a) . (4a+b+9) \, \, \, \text{ (subst. } \, b = 3a ) \\ (a+3a)^2 & = (a) . (4a+3a+9) \\ (4a)^2 & = (a) . (7a+9) \\ 16a^2 & = 7a^2 + 9a \\ 9a^2 - 9a & = 0 \\ 9a(a-1) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 1 \\ \text{ dari pers(i) , } & \text{ diperoleh } \\ a = 0 \rightarrow b & = 3a = 3.0 = 0 \, \text{(tidak memenuhi)} \\ a = 1 \rightarrow b & = 3a = 3.1 = 3 \, \text{(memenuhi)} \end{align}$
Jadi, nilai $ b = 3 . \heartsuit$
Nomor 8
Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik (2,-1) dan menyinggung sumbu X dan sumbu Y adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
sbmptn_4_mat_ipa_k532_2014.png
*). Suatu lingkaran menyinggung sumbu X dan sumbu Y, maka pusat dan jari-jarinya sama seperti gambar di atas ( gambar (1) ) dengan pusat $ (a,b) = (p,p) \, $ dan $ r = p $
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ \, (a , b) \, $ dan jari - jari $ \, r $
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Persamaan garis yang melalui perpotongan dua lingkaran caranya langsung dikurangkan kedua persamaan.
$\clubsuit \, $ Menentukan pusat lingkaran yang melalui titik (2,-1) dengan pusat $ (a,b) = (p,-p) \, $ dan jari-jari $ r = p $

$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-p)^2 + (y-(-p))^2 & = p^2 \\ (2,-1) \rightarrow (x-p)^2 + (y+p)^2 & = p^2 \\ (2-p)^2 + (-1+p)^2 & = p^2 \\ 4 - 4p + p^2 + 1 - 2p + p^2 & = p^2 \\ p^2 - 6p + 5 & = 0 \\ (p-1)(p-5) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = 5 \end{align}$
Sehingga pusat lingkaran yang mungkin : (1,-1) dan (5,-5) seperti gambar di atas ( gambar (2) )
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan lingkarannya
Pusat $(a,b) = (1,-1) \, $ dengan jari - jari $ r = 1 $
$\begin{align} (x-1)^2 + (y-(-1))^2 & = 1^2 \\ (x-1)^2 + (y+1)^2 & = 1^2 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 & = 1 \\ x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 & = 0 \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
Pusat $(a,b) = (5,-5) \, $ dengan jari - jari $ r = 5 $
$\begin{align} (x-5)^2 + (y-(-5))^2 & = 5^2 \\ (x-5)^2 + (y+5)^2 & = 5^2 \\ x^2 - 10x + 25 + y^2 + 10y + 25 & = 25 \\ x^2 + y^2 - 10x + 10y + 25 & = 0 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 10x + 10y + 25 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0 & - \\ \hline -8x+8y+24 = 0 & \\ -x + y + 3 = 0 & \\ x - y - 3 = 0 & \end{array} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ x - y - 3 = 0 . \heartsuit $
Nomor 9
Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis $x=-2$, dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis $4x+y=4$. Titik puncak parabola tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan persamaan fungsinya , $y=f(x)=ax^2+bx+c$. Dengan titik puncak $(x_p,y_p) \, \,$ : $x_p=-\frac{b}{2a}$ dan $y_p=f(x_p)$ , serta $f^\prime(x)=2ax+b$.
$\clubsuit \, $ Sumbu simetrinya $x=-2 \,$ dengan $ x=x_p$ :
$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:
$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=ax^2+bx+1$
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $4x+y=4$, artinya gradiennya sama dengan gradien garis $4x+y=4\, $ yaitu $m=-4$.
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):
$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) : $b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=-x^2-4x+1$
$\clubsuit \, $ Menentukan titik puncak:
$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$.
Jadi, titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$
Nomor 10
Jika $ u \, $ dan $ v \, $ adalah vektor-vektor sehingga $ ||u|| = 5, ||v|| = 3, \, $ dan $ u.v = -1 , \, $ maka $ ||u - v || = ..... $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ |u - v | \, $
Rumus dasar : $ |u-v| = \sqrt{|u|^2 + |v|^2 - 2(u.v)} $
$\begin{align} |u-v| & = \sqrt{|u|^2 + |v|^2 - 2(u.v)} \\ & = \sqrt{5^2 + 3^2 - 2(-1)} \\ & = \sqrt{25 + 9 + 2 } \\ & = \sqrt{36 } \\ |u-v| & = 6 \end{align}$
Jadi, nilai $ |u-v| = 6 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 532 tahun 2014


Nomor 1
Jika $ A(x) = \frac{1}{2}\left( p^x - p^{-x} \right) \, $ dan $ B(x) = \frac{1}{2}\left( p^x + p^{-x} \right) \, $ denga $ p > 1 \, $ , maka $ B(nx) = .... $
(A) $ \left( B(x) - A(x) \right)^\frac{1}{n} + A\left( \frac{x}{n} \right) $
(B) $ \left( B(x) - A(x) \right)^\frac{1}{n} + A\left( nx \right) $
(C) $ \left( B(x) - A(x) \right)^n + A\left( nx \right) $
(D) $ \left( A(x) - B(x) \right)^n + A\left( nx \right) $
(E) $ \left( A(x) - B(x) \right)^n + A\left( \frac{x}{n} \right) $
$\clubsuit \, $ Menentukan $ B(nx) \, $
$\begin{align} B(x) & = \frac{1}{2}\left( p^x + p^{-x} \right) \\ B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} + p^{-nx} \right) \, \, \, \text{ ...pers(i)} \end{align}$
Karena pada pilihannya dalam bentuk $ A(nx) \, $ atau $ A(\frac{x}{n}) \, $ , maka pers(i) harus diubah atau dimodifikasi menjadi bentuk $ A(nx) \, $ atau $ A(\frac{x}{n}) \, $ .
$\clubsuit \, $ Memodifikasi pers(i)
$\begin{align} B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} + p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} \right) + \frac{1}{2}\left( p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} \right) + p^{-nx} - \frac{1}{2}\left( p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = p^{-nx} + \frac{1}{2}\left( p^{nx} - p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = p^{-nx} + A(nx) \, \, \, \text{ ...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Memodifikasi bentuk $ p^{-nx} $
$\begin{align} p^{-nx} & = (p^{-x})^n \\ & = ( \frac{1}{2} . p^{-x} + \frac{1}{2} . p^{-x} )^n \\ & = ( \frac{1}{2} . p^{-x} + \frac{1}{2} . p^{-x} + \frac{1}{2} . p^{x} - \frac{1}{2} . p^{x} )^n \\ & = ( \frac{1}{2} . p^{x} + \frac{1}{2} . p^{-x} - \frac{1}{2} . p^{x} + \frac{1}{2} . p^{-x} )^n \\ & = \left( \frac{1}{2} (p^{x} + p^{-x}) - \frac{1}{2} (p^{x} - p^{-x} ) \right)^n \\ p^{-nx} & = \left( B(x) - A(x) \right)^n \, \, \, \text{ ...pers(iii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iii) ke pers(ii)
$\begin{align} B(nx) & = p^{-nx} + A(nx) \\ B(nx) & = \left( B(x) - A(x) \right)^n + A(nx) \end{align}$
Jadi, diperoleh bentuk $ B(nx) = \left( B(x) - A(x) \right)^n + A(nx) . \heartsuit $
Nomor 2
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ 3p . \, $ Titik-titik P, Q, dan R masing-masing pada FB, FG, dan AD sehingga BP = GQ = DR = $ p \, $ . Jika S adalah titik potong bidang yang melalui P, Q, dan R dengan rusuk DH, maka jarak dari S ke P adalah .....
$\spadesuit \, $ Gambar bidang irisannya
sbmptn_1_mat_ipa_k532_2014.png
Perpotongan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan rusuk DH adalah Bidang irisan (bidang VPQZSR) dengan rusuk DH yaitu di titik S.
Ternyata jarak DS sama dengan BP , sehingga jarak SP sama saja dengan jarak BD yaitu panjang diagonal sisi.
Misal panjang rusuknya adalah $ s \, $ dengan $ s = 3p $
$\spadesuit \, $ Menentukan jarak S ke P
$\begin{align} \text{jarak S ke P } & = \text{ Panjang BD (Diagonal sisi) } \\ & = s\sqrt{2} \\ & = 3p\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, jarak S ke P adalah $ 3p\sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 3
Banyaknya akar real $f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.
$\spadesuit \, $ Bentuk pemfaktoran :
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\spadesuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
Nomor 4
Tujuh anak laki-laki dan tiga perempuan akan duduk berdampingan dalam satu baris. Peluang kedua ujung ditempati anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan adalah .....
$\spadesuit \, $ Ada 7L dan 3P duduk berdampingan, sehingga $ n(S) = 10!$
Pada kasus orang duduk, urutan atau letak diperhatikan sehingga menggunakan permutasi. Rumus : $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $
$\spadesuit \, $ Susunan agar kedua ujung ditempati anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan, ada dua kemungkinan :
sbmptn_2_mat_ipa_k532_2014.png
Keterangan Kasus I :
*). dua anak laki-laki dipilih dari 7 anak laki-laki untuk menempati kedua ujung , ada $ P_2^7 = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7.6 \, $ cara
*). agar tidak ada anak perempuan berdampingan, maka 8 posisi yang ditengah harus dikelompokkan seperti gambar kasus I menjadi lima kelompok dengan tiga kelompok berpasangan (ada anak laki dan perempuan dengan perempuan didepan dan laki-laki dibelakangnya).
*). lima kelompok yang ada bisa diacak urutannya , ada $ 5! \, $ cara.
*). karena lima kelompok sudah diacak, maka tinggal menentukan tiga anak laki-laki dari 5 anak laki-laki untuk berpasangan dengan tiga anak perempuan, ada $ P_3^5 = \frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!} = 5.4.3 $
total cara I = $ P_2^7 . 5!. P_3^5 $
Keterangan kasus II :
*). kasus II mirip dengan kasus I, hanya saja untuk kelompok yang berpasangan urutannya dibalik yaitu laki-laki dulu baru perempuan.
total cara II = $ P_2^7 . 5!. P_3^5 $
$\spadesuit \, $ Sehingga total cara :
$ n(A) = \, $ total cara I + total cara II
$ n(A) = \, $ = $ 2. ( P_2^7 . 5!. P_3^5 ) \, $ = 2.7.6.5!.5.4.3
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang $ P(A) $
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} \\ & = \frac{2.7.6.5!.5.4.3}{10!} \\ & = \frac{2.7.6.5!.5.4.3}{10.9.8.7.6.5!} \\ & = \frac{1}{6} \\ \end{align}$
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{1}{6} . \heartsuit $
Nomor 5
Nilai maksimum $ f(x) = 2x + \sqrt{p-4x} \, $ adalah $ \frac{13}{2} . \, $ Nilai $ f(2) + f^\prime (2) \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep turunan bentuk akar
$ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} f(x) & = 2x + \sqrt{p-4x} \\ f^\prime (x) & = 2 + \frac{-4}{2\sqrt{p-4x}} \\ f^\prime (x) & = 2 - \frac{2}{\sqrt{p-4x}} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Fungsi $ f(x) \, $ maksimum, syaratnya : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 2 - \frac{2}{\sqrt{p-4x}} & = 0 \\ \frac{2}{\sqrt{p-4x}} & = 2 \\ 2\sqrt{p-4x} & = 2 \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sqrt{p-4x} & = 1 \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \left( \sqrt{p-4x} \right)^2 & = 1^2 \\ p-4x & = 1 \\ x & = \frac{p-1}{4} \end{align}$
artinya fungsi $ f(x) \, $ maksimum pada saat $ x = \frac{p-1}{4} \, $
$\clubsuit \, $ Substitusi $ x = \frac{p-1}{4} \, $ ke fungsi $ f(x) \, $ diperoleh nilai maksimum
$\begin{align} x = \frac{p-1}{4} \rightarrow f(x) & = 2x + \sqrt{p-4x} \\ f_\text{maks} \left( \frac{p-1}{4} \right) & = \frac{13}{2} \\ 2.\left( \frac{p-1}{4} \right) + \sqrt{p-4.\left( \frac{p-1}{4} \right)} & = \frac{13}{2} \\ \frac{p-1}{2} + 1 & = \frac{13}{2} \, \, \, \text{(kali 2)} \\ p-1 + 2 & = 13 \\ p & = 12 \end{align}$
Sehingga fungsinya : $ f(x) = 2x + \sqrt{12-4x} $
dan turunannya : $ f^\prime (x) = 2 - \frac{2}{\sqrt{12-4x}} $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} f(2) + f^\prime (2) & = \left( 2.2 + \sqrt{12-4.2} \right) + \left( 2 - \frac{2}{\sqrt{12-4.2}} \right) \\ & = \left( 4 + \sqrt{12-8} \right) + \left( 2 - \frac{2}{\sqrt{12-8}} \right) \\ & = \left( 4 + \sqrt{4} \right) + \left( 2 - \frac{2}{\sqrt{4}} \right) \\ & = \left( 4 + 2 \right) + \left( 2 - \frac{2}{2} \right) \\ & = 6 + \left( 2 - 1 \right) \\ f(2) + f^\prime (2) & = 7 \end{align}$
Jadi, nilai $ f(2) + f^\prime (2) = 7 . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15