dunia informa

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Garis singgung kurva

$f(x) = -x^2 + 2\sqrt{x} \,$ di titik (4,-12) memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik

$(p,0)$ dan

$(0,q)$ . Nilai

$q - 5p = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep Garis singgung
Persamaan garis singgung (PGS) pada kurva

$y = f(x) \,$ di titik

$(x_1,y_1) \,$ adalah

$y - y_1 = m(x-x_1) \,$ dengan

$m = f^\prime (x_1)$ .

$\clubsuit \,$ Menentukan gradien

$(m) \,$ di titik

$(x_1,y_1) = (4,-12)$

$\begin{align} f(x) & = -x^2 + 2\sqrt{x} \\ f^\prime (x) & = -2x + 2\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ f^\prime (x) & = -2x + \frac{1}{\sqrt{x}} \\ m & = f^\prime (x_1) = f^\prime (4) \\ m & = -2.4 + \frac{1}{\sqrt{4}} \\ & = -8 + \frac{1}{2} \\ & = - \frac{15}{2} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan PGS

$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - (-12) & = - \frac{15}{2} (x-4) \\ y + 12 & = - \frac{15}{2} (x-4) \end{align}$

$\clubsuit \,$ Memotong sumbu X, substitusi

$y = 0$

$\begin{align} y = 0 \rightarrow y + 12 & = - \frac{15}{2} (x-4) \\ 0 + 12 & = - \frac{15}{2} (x-4) \\ 24 & = -15x + 60 \\ 15x & = 36 \\ x & = \frac{36}{15} = \frac{12}{5} \end{align}$
titiknya :

$(p,0) = (\frac{12}{5} , 0) \,$ artinya

$p = \frac{12}{5}$ .

$\clubsuit \,$ Memotong sumbu Y, substitusi

$x = 0$

$\begin{align} x = 0 \rightarrow y + 12 & = - \frac{15}{2} (x-4) \\ y + 12 & = - \frac{15}{2} (0-4) \\ y + 12 & = 30 \\ y & = 18 \\ \end{align}$
titiknya :

$(0,q) = (0,18) \,$ artinya

$q = 18$ .
Sehingga nilai :

$q - 5p = 18 - 5.(\frac{12}{5}) = 6$
Jadi, nilai

$q - 5p = 6. \, \heartsuit$

Nomor 12

Jika diberikan

$\left[ \begin{matrix} 2x-5 & 1 \\ 8 & 5^{-4+3y} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 8 & 25 \end{matrix} \right]$
maka nilai dari

$2x - 3y \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Menyusun persamaan :

$\left[ \begin{matrix} 2x-5 & 1 \\ 8 & 5^{-4+3y} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 8 & 25 \end{matrix} \right]$
Persamaan pertama :

$\begin{align} 2x-5 & = 3 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x = 4 \end{align}$
Persamaan kedua :

$\begin{align} 5^{-4+3y} & = 25 \\ 5^{-4+3y} & = 5^2 \\ -4+3y & = 2 \\ 3y & = 6 \\ y & = 2 \end{align}$
Sehingga nilai :

$2x - 3y = 2.4 - 3.2 = 8 - 6 = 2$ .
Jadi, nilai

$2x - 3y = 2 \,$ (tidak ada di pilihan) .

$\heartsuit$

Nomor 13

Luas daerah A yang dibatasi oleh grafik

$y = x^2, \, y = x^2 - 20x + 100 \,$ dan

$y = 0 \,$ dapat dinyatakan sebagai ...
A).

$\int \limits_0^{10} (2x^2 - 20x + 100) dx$
B).

$\int \limits_0^{10} ( 20x - 100) dx$
C).

$\int \limits_0^{5} x^2 dx - \int \limits_5^{10} ( 20x - 100) dx$
D).

$\int \limits_0^{5} x^2 dx + \int \limits_0^{10} ( x^2 - 20x + 100) dx$
E).

$\int \limits_0^{5} x^2 dx + \int \limits_5^{10} ( x^2 - 20x + 100) dx$

$\clubsuit \,$ Menggambar grafik fungsi kuadratnya
*). fungsi

$y = x^2 \,$ menyinggung sumbu X di 0 dan hadap atas karena

$a = 1 > 0$ .
*). fungsi

$y = x^2 - 20x + 100 \,$ menyinggung sumbu X di 10 dan hadap atas karena

$a = 1 > 0$ .
*). fungsi

$y = 0 \,$ berupa garis yaitu sumbu X itu sendiri.

$\clubsuit \,$ titik potong kedua kurva

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = x^2 - 20x + 100 \\ 20x & = 100 \\ x & = 5 \end{align}$
Ilustrasi gambarnya :
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_13

Dari gambar ini, daerah yang dibatasi oleh ketiga kurva dibagi menjadi dua yaitu daerah A dan daerah B.

$\clubsuit \,$ Menentukan luas daerah arsiran

$\begin{align} \text{Luas total } & = L_A + L_B \\ & = \int \limits_{0}^{5} x^2 dx + \int \limits_{5}^{10} x^2 - 20x + 100 dx \end{align}$
Jadi, luas daerahnya adalah

$\int \limits_{0}^{5} x^2 dx + \int \limits_{5}^{10} x^2 - 20x + 100 dx . \, \heartsuit$

Nomor 14

Pertaksamaan

$\frac{x^2 + 2x - 15}{2x^2 + 11x + 5} \leq 0 \,$ berlaku untuk ....

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan pertidaksamaan

$\begin{align} \frac{x^2 + 2x - 15}{2x^2 + 11x + 5} & \leq 0 \\ \frac{(x-3)(x+5)}{(2x+1)(x+5)} & \leq 0 \\ x = 3, \, x = -5 , \, x & = -\frac{1}{2} \end{align}$
Keterangan :
Akar-akar penyebut tidak boleh ikut

$( x = -5, x = -\frac{1}{2} )$ .
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_14

Karena yang diminta

$\leq 0 \,$ , maka daerah yang diarsir adalah daerah bertanda negatif. Sehingga solusinya

$HP = \{ -\frac{1}{2} < x \leq 3 \}$
Jadi, solusinya

$\, HP = \{ -\frac{1}{2} < x \leq 3 \} . \, \heartsuit$

Nomor 15

Dalam himpunan penyelesaian yang memenuhi seistem pertaksamaan

$x \geq 1, \, y \geq 3, \, x + y \leq 8 \,$ dan

$2x + 3y \leq 20, \,$ nilai minimum dari fungsi

$f(x,y) = 3x + 2y \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Menggambar Daerah Himpunan Penyelesaiannya (DHP)
*). Gambar garis kedua persamaan :

$x + y = 8 \rightarrow (0,8) , \, (8,0)$

$2x + 3y = 20 \rightarrow (0,\frac{20}{3}) , \, (10,0)$
garis

$x = 1 \,$ adalah garis tegak.
garis

$y = 3 \,$ adalah garis mendatar.
*). Titik potong kedua garis, eliminasi kedua persamaan :

$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 20 & \times 1 & 2x + 3y = 20 & \\ x + y = 8 & \times 2 & 2x + 2y = 16 & - \\ \hline & & y = 4 & \end{array}$
pers(i) :

$x + y = 8 \rightarrow x + 4 = 8 \rightarrow x = 4$ .
titik potongnya : (4,4)
Gambar DHP nya :
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_15

*). Susbstitusi

$x = 1 \,$ ke persamaan

$2x + 3y = 20 \,$ :

$2x + 3y = 20 \rightarrow 2.1 + 3y = 20 \rightarrow 2 + 3y = 20 \rightarrow y = 6$
Sehingga diperoleh titik D(1,6)
*). Susbstitusi

$y=3 \,$ ke persamaan

$x + y = 8 \,$ :

$x + y = 8 \rightarrow x + 3 = 8 \rightarrow x = 5$
Sehingga diperoleh titik B(5,3)

$\clubsuit \,$ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan :

$f(x,y) = 3x + 2y$

$\begin{align} A(1,3) \rightarrow f(1,3) & = 3.1 + 2.3 = 9 \\ B(5,3) \rightarrow f(5,3) & = 3.5 + 2.3 = 21 \\ C(4,4) \rightarrow f(4,4) & = 3.4 + 2.4 = 20 \\ D(1,6) \rightarrow f(1,6) & = 3.1 + 2.6 = 15 \end{align}$
Jadi, nilai minimumnya adalah 9.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pages - Menu

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015 nomor 11 sampai 15