Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 26 tahun 2014 Nomor 11 sampai 15


Nomor 11
$\int \frac{3x}{\left( 3x^2 + 1 \right)^2} dx = ...$
Substitusi $U=3x^2 + 1 \Rightarrow U^\prime = 6x $
$\int \frac{3x}{\left( 3x^2 + 1 \right)^2} dx = \int 3x \left( 3x^2 + 1 \right)^{-2} dx $
$\begin{align*} \int \frac{3x}{\left( 3x^2 + 1 \right)^2} dx &= \int 3x \left( 3x^2 + 1 \right) ^{-2} dx \\ &= \int 3x \left( U \right) ^{-2} \frac{dU}{U^\prime} \\ &=\int 3x \left( U \right) ^{-2} \frac{dU}{6x} \\ &=\frac{1}{2} \int U^{-2} dU \\ &=\frac{1}{2} . \frac{1}{-1} U^{-1} + c \\ &=- \frac{1}{2} \frac{1}{U} + c \\ &=- \frac{1}{2} \frac{1}{\left( 3x^2 + 1 \right)} + c \\ &=- \frac{1}{2\left( 3x^2 + 1 \right)} + c \, \heartsuit \end{align*}$
Nomor 12
Jika ${}^{b} log a + {}^{a} log b^4 = 5$ , maka nilai ${}^{b} log a$ yang mungkin adalah ...
Sifat logaritma : ${}^{a} log b = \frac{1}{{}^{b} log a} \, $ dan $\, {}^{a} log b^n = n {}^{a} log b $
Misal : $ p = {}^{b} log a $
$\begin{align*} {}^{b} log a + {}^{a} log b^4 &= 5 \\ {}^{b} log a + 4 {}^{a} log b &= 5 \\ {}^{b} log a + 4 \frac{1}{{}^{b} log a} &= 5 \, \, \, \left( p = {}^{b} log a \right) \\ p + \frac{4}{p} &= 5 \, \, \, (\text{kali} \, p) \\ p^2 + 4 &= 5p \\ p^2 - 5p +4 &= 0 \\ (p-1)(p-4)&=0 \\ p=1 \, \text{atau} \, p=4 \end{align*}$
Jadi, nilai $ {}^{b} log a \, $ adalah 1 atau 4 . $\heartsuit $
Nomor 13
Jika $y + 3z = 11$ , $x + y = 3$ , dan $2x + 5z = 17$ maka $3x + 2y + z = ...$
$ \text{SPL} : \left\{ \begin{array}{ll} y + 3z = 11 \Rightarrow y=11-3z & \text{....(persmaan (i))}\\ x + y = 3 & \mbox{...(persmaan (ii))} \\ 2x + 5z = 17 & \mbox{...(persmaan (iii))} \end{array} \right. $
$\clubsuit \,$ Substitusi pers (i) ke pers (ii):
$x+y=3 \Leftrightarrow x+(11-3z)=3 \Leftrightarrow x=3z-8 \, \text{....persamaan (iv)}$
$\clubsuit \,$ Substitusi pers (iv) ke pers (iii):
$2x + 5z = 17 \Leftrightarrow 2(3z-8) +5z=17 \Leftrightarrow z=3$
$\clubsuit \, x=3z-8 \Leftrightarrow x=3.3-8 \Leftrightarrow x=1$
$\clubsuit \, x + y = 3 \Leftrightarrow 1 + y = 3 \Leftrightarrow y=2 $
Sehingga : $3x + 2y + z = 3.1 + 2.2 + 3 = 10 \, \heartsuit $
Nomor 14
Nilai $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{6\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right) }{x^2 - 3x}$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Merasionalkan pembilang :
$\begin{align*} \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{6\left( \sqrt{x} - \sqrt{3} \right) }{x^2 - 3x} \frac{ \sqrt{x} + \sqrt{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{3}} &= \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{6\left( x-3 \right) }{x(x-3)\left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)} \\ &= \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{6}{x\left( \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)} \\ &= \frac{6}{3\left( \sqrt{3} + \sqrt{3} \right)}\\ &= \frac{6}{3\left( 2 \sqrt{3} \right)}\\ &= \frac{1}{\left( \sqrt{3} \right)}\\ &= \frac{1}{3} \sqrt{3} \, \heartsuit \end{align*}$
Nomor 15
Daerah $D$ dibatasi oleh grafik $y = x^2$ dan $y = 2x^2 - 1$. Luas daerah $D$ dapat dinyatakan sebagai ...
Titik potong kedua kurva:
$\begin{align*} y_1 &= y_2 \\ 2x^2 - 1 &= x^2 \\ x^2 - 1 &= 0 \\ x&= \pm 1 \end{align*}$
Grafik kedua fungsi :
spmk3_ub_mat_2014
Menghitung luas daerah yang diarsir:
$\begin{align*} L_\text{arsir} &= \int_{-1}^{1} \text{(kurva atas)} - \text{(kurva bawah)} dx \\ &= \int_{-1}^{1} (x^2) - (2x^2 - 1) dx \\ &= \int_{-1}^{1} (-x^2 + 1) dx \end{align*}$
Jadi luasnya : $ \int_{-1}^{1} (-x^2 + 1) dx . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 26 tahun 2014 Nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $f(x) = 2x - 1$ dan $g(x) = 2x^2 - 3$ maka $g\circ f^{-1}(x) = ...$
Definisi : $y=f(x) \Leftrightarrow x=f^{-1}(y)$
Menetukan $f^{-1}(x)$ : misal $y=f(x)$
$\begin{align*} f(x) &= 2x - 1 \\ y&=2x-1\\ x&=\frac{y+1}{2}\\ f^{-1}(x)&=\frac{x+1}{2} \end{align*}$
Menentukan $g\circ f^{-1}(x)$ (komposisi fungsi), dengan $g(x) = 2x^2 - 3$ :
$\begin{align*} g\circ f^{-1}(x) &= g \left( f^{-1}(x) \right) \\ &=g \left( \frac{x+1}{2} \right)\\ &=2\left( \frac{x+1}{2} \right)^2 - 3\\ &=\left( \frac{x^2+2x+1}{2} \right) - 3\\ &=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{5}{2} \, \heartsuit \end{align*}$
Nomor 7
Negasi dari pernyataan "jika semua anggota keluarga pergi, maka bibi Ina menyapu halaman" adalah ...
Negasi dari implikasi : $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$
$\text{Jika} \, \underbrace{\text{semua }}_{\forall} \, \underbrace{\text{ anggota keluarga pergi}}_{p} \, \text{ maka} \, \\ \underbrace{\text{ bibi Ina menyapu halaman}}_{q}$
Pernyataan di atas dapat ditulis : $(\forall p \Rightarrow q)$
Sehingga:
$\sim (\forall p \Rightarrow q) \equiv \forall p \wedge \sim q$
Jadi negasinya adalah
Semua anggota keluarga pergi dan bibi Ina tidak menyapu halaman . $\heartsuit $
Nomor 8
Jika $n(A)$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $A$ dan diketaui $n(A \cap B)=x$ , $n(A - B) = 2(x^2 + 1)$ , $n(B - A) = 9x + 10$ dan $n(A \cup B) = 40$ maka $n(A - B) = ...$
Menentukan Rumus $n(A \cup B)$ :
$\clubsuit \, n(A - B) = n(A) - n(A\cap B) \Leftrightarrow n(A) = n(A-B) + n(A\cap B) \\ \clubsuit \, n(B - A) = n(B) - n(A\cap B) \Leftrightarrow n(B) = n(B-A) + n(A\cap B)$
$\begin{align*} \clubsuit \, n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A\cap B) \\ &=\left[ n(A-B) + n(A\cap B) \right] + \left[ n(B-A) + n(A\cap B) \right] - n(A\cap B)\\ n(A \cup B)&=n(A-B) + n(B-A) + n(A\cap B) \, .... \, \text{pers (i)} \end{align*}$
Menentukan nilai $x$ :
$n(A \cap B)=x$ , $n(A - B) = 2(x^2 + 1)$ , $n(B - A) = 9x + 10 \, $ dan $\, n(A \cup B) = 40$
$\begin{align*} n(A \cup B)&=n(A-B) + n(B-A) + n(A\cap B) \\ 40 &= 2(x^2 + 1) + (9x + 10) + x \\ 2x^2 + 10x-28 &= 0 \, \text{bagi 2}\\ x^2 + 5x - 14 &= 0\\ (x-2)(x+7) &= 0 \\ x=2 \, \, & \text{atau} \, \, x=-7 \end{align*}$
Karena banyaknya anggota suatu himpunan selalu positif, maka nilai yang memenuhi $x=2$.
Sehingga : $n(A - B) = 2(x^2 + 1) \Leftrightarrow n(A - B) = 2(2^2 + 1) \Leftrightarrow n(A - B) = 10 \, \heartsuit $

Cara II :
Menggunakan diagram venn:
spmk_ub_mat_2014
Dari diagram venn di atas diperoleh total gabungan $A$ dan $B$ :
$n(A \cup B)=n(A-B) + n(B-A) + n(A\cap B)$
Selanjutnya sama dengan cara 1. $\heartsuit $
Nomor 9
Himpunan penyelesaian dari $| 2x - 5 | < | x + 4 |$ adalah ...
Definisi : $ |x| = \sqrt{x^2} \, $ , sehingga $|x|^2 = x^2$
Pemfaktoran : $p^2 - q^2 = (p+q)(p-q)$
$\spadesuit \, $ Kedua ruas dikuadratkan :
$\begin{align*} | 2x - 5 | &< | x + 4 | \\ | 2x - 5 |^2 &< | x + 4 |^2 \\ ( 2x - 5 )^2 &< ( x + 4 )^2 \\ ( \underbrace{2x - 5}_{\text{sbg} \, p} )^2 - ( \underbrace{x + 4}_{\text{sbg} \, q })^2 &< 0 \\ (p+q)(p-q)&<0\\ [( 2x - 5 ) + ( x + 4 )][( 2x - 5 )-( x + 4 )]&<0\\ (3x-1)(x-9)&<0\\ x=1/3 \, & \text{atau} \, x=9 \end{align*}$
spmk2_ub_mat_2014
Jadi, HP = $\{ \frac{1}{3} < x < 9 \} \, \heartsuit $
Nomor 10
Jika $f(x) = \left( x^2 + 1 \right) cos^2 (x) $ maka $f^\prime(\pi ) = ...$
Definisi : $y=UV \Rightarrow y^\prime = U^\prime V + UV^\prime $
$ f(x) = \underbrace{\left( x^2 + 1 \right)}_{\text{sbg} \, U} \underbrace{cos^2 (x)}_{\text{sbg} \, V} $
$U=x^2 + 1 \Rightarrow U^\prime = 2x \\ V = cos^2 (x) \Rightarrow V^\prime = 2cosx . (-sinx) \Leftrightarrow V^\prime =-2cosxsinx$
Sehingga :
$\begin{align*} f(x)&=U.V \\ f^\prime(x) &= U^\prime V + UV^\prime \\ f^\prime(x) &= 2x.cos^2 x + \left( x^2 + 1 \right). (-2cosxsinx) \end{align*}$
Substitusi $x= \pi $ :
$\begin{align*} f^\prime(\pi ) &= 2\pi .cos^2 \pi + \left( \pi^2 + 1 \right). (-2cos\pi sin\pi ) \\ &=2\pi(-1)^2 + \left( \pi^2 + 1 \right).\left( -2.(-1).0 \right) \\ &=2\pi + 0 \\ &=2\pi \end{align*}$
Jadi, $f^\prime(\pi ) = 2\pi . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 26 tahun 2014


Nomor 1
Jika $n$ memenuhi
$\underbrace{27^{0,2}\times 27^{0,2}\times ...\times 27^{0,2}}_{n \text{ faktor}}=729$
maka $(n-5)(n-2)= ...$
$\begin{align*} \underbrace{27^{0,2}\times 27^{0,2}\times ...\times 27^{0,2}}_{n \text{faktor}}&=729\\ 27^{\underbrace{0,2+0,2+...+0,2}_{\text{sebanyak } \ n}}&=729\\ (27)^{0,2n}&=(27)^{2}\\ 0,2n&=2\\ n&=\frac{2}{0,2}=10\\ \end{align*}$
Sehingga, $(n-5)(n-2)=(10-5)(10-2)=5.8=40 \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika matriks $A$ memenuhi $\left( \begin{matrix} -q+s & q \\ -p+r & p \end{matrix} \right).A =\left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right)$ , maka determinan matriks $A$ adalah ...
Sifat determinan : $|AB|=|A|.|B|$
$\begin{align*} AB = C \Leftrightarrow |AB|&=|C|\\ |A|.|B|&=|C|\\ |A|&=\frac{|C|}{|B|} \end{align*}$
$\begin{align*} \left( \begin{matrix} -q+s & q \\ -p+r & p \end{matrix} \right).A &=\left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) \ \text{ (kedua ruas diberi determinan)}\\ \left| \left( \begin{matrix} -q+s & q \\ -p+r & p \end{matrix} \right).A \right| &=\left| \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right| \ \text{ (Berdasarkan sifat determinan)}\\ \left| \begin{matrix} -q+s & q \\ -p+r & p \end{matrix} \right| . \left| A \right| &=\left| \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right| \\ (ps-qr).\left| A \right| &=(ps-qr)\\ \left| A \right| &= \frac{(ps-qr)}{(ps-qr)}\\ \left| A \right| &= 1 \end{align*}$
Jadi determinan matriks $A$ adalah 1 . $\heartsuit $
Nomor 3
Jika $a, 2, b, c, d, e, 27$ adalah deret aritmatika, maka $a+c+e = ...$
Barisan Aritmatika , Suku ke-$n$ : $ U_n = a + (n-1)b$
Barisannya: $\underbrace{a}_{U_1} , \underbrace{2}_{U_2} ,\underbrace{b}_{U_3} ,\underbrace{c}_{U_4} ,\underbrace{d}_{U_5} ,\underbrace{e}_{U_6} ,\underbrace{27}_{U_7}$
$U_2 = 2 \Rightarrow a + b = 2 \Rightarrow a = 2 - b \text{ ...Persmaan (i)}\\ U_7 = 27 \Rightarrow a + 6b = 27 \text{ ...Persmaan (ii)}$
Substitusi persamaan (i) ke (ii) untuk memperoleh nilai $a$ dan $b$:
$a + 6b = 27 \Leftrightarrow (2 - b) + 6b = 27 \Leftrightarrow 5b = 25 \Leftrightarrow b = 5$
Substitusi $b=5$ ke persamaan (i):
$a+b=2 \Leftrightarrow a+5=2 \Leftrightarrow a=-3$
Seingga :
$\begin{align*} a+c+e&=a+U_4 + U_6 \\ &=a+(a+3b)+(a+5b)\\ &=3a+8b\\ &=3(-3)+8(5)\\ &=31 \end{align*}$
Jadi, nilai $a+c+e=31 . \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $3x^2 + ax + b = 0$ adalah 2 dan -3 . Nilai $ - \frac{b}{2a} = ...$
PK : $3x^2 + ax + b =0$ dengan akar - akar 2 dan -3
Substitusi akar-akar nya ke PK
$x=2 \Rightarrow 3(2)^2 + a(2) + b =0 \Rightarrow b=-12 - 2a \text{ ....pers (i)}\\ x=-3 \Rightarrow 3(-3)^2 + a(-3) + b =0 \Rightarrow -3a+b=-27 \text{ ....pers (ii)}$
Substitusi pers (i) ke pers (ii);
$-3a+b=-27 \Leftrightarrow -3a+(-12-2a)=-27 \Leftrightarrow a=3$
pers (i) : $b=-12-2a \Leftrightarrow b=-12-2(3) \Leftrightarrow b=-18$
Sehingga: Nilai $ - \frac{b}{2a} =- \frac{-18}{2.3}=\frac{18}{6}=3 $
Jadi, Nilai $ - \frac{b}{2a} = 3 \, \heartsuit $

Cara II :
PK : $3x^2 + ax + b =0$ dengan akar - akar $x_1=2$ dan $x_2=-3$
Manggunakan operasi akar-akar:
$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \Leftrightarrow 2 + (-3) = \frac{-a}{3} \Leftrightarrow a=3 \\ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} \Leftrightarrow 2 . (-3) = \frac{b}{3} \Leftrightarrow b=-18$
Sehingga: Nilai $ - \frac{b}{2a} =- \frac{-18}{2.3}=\frac{18}{6}=3 $
Jadi, Nilai $ - \frac{b}{2a} = 3 \, \heartsuit $
Nomor 5
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar - akar dari $x^2 + (2k + 1)x + (4k+2) = 0$ dan $x_1 = 2$ , maka $x_1x_2 = ...$
PK : $x^2 + (2k + 1)x + (4k+2) = 0 \, \, $ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_1=2$
Substitusi $x_1=2$ ke PK :
$\begin{align*} x^2 + (2k + 1)x + (4k+2) &= 0\\ 2^2 + (2k + 1)2 + (4k+2) &= 0\\ 4 + 4k +2 + 4k +2 &= 0 \\ 8k &= -8\\ k&= -1 \end{align*}$
Substitusi $k=-1$ ke PK:
$\begin{align*} x^2 + (2k + 1)x + (4k+2) &= 0\\ x^2 + (2(-1) + 1)x + (4(-1)+2) &= 0\\ x^2 - x - 2 &=0 \end{align*}$
Sehingga $x_1x_2 =\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2 \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Kode 1 tahun 2014 nomor 36 sampai 40


Nomor 36
Data berat badan (dalam kg) 30 balita seperti disajikan dalam histogram berikut.
soal_un_sma_mat_ipa_4_2014.png
Median dari data tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Total data : $n=2+7+12+6+3=30$
$\spadesuit \, $ Letak median = kuartil 2 ($Q_2$) :
$Q_i=X_{\frac{i.n+2}{4}} \Rightarrow Q_2=X_{\frac{2.30+2}{4}}=X_{15,5}$
artinya median terletak antara data ke 15 dan 16 yaitu pada interval : 8,5 - 11,5
tepi bawah : $tb=8,5$ dan panjang kelas : $c=11,5-8,5=3$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $Q_i=tb + \frac{\frac{i}{4}.n-fks_{Q_2}}{f_{Q_2}}.c$
keterangan :
$f_{Q_2} = \,$ frekuensi kelas $Q_2$ = 12
$ fks_{Q_2} = \, $ frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q_2$ = 2+7 = 9
$\spadesuit \, $ Menentukan median ($Q_2$)
$\begin{align*} Median = Q_2 &= tb + \frac{\frac{2}{4}.n-fks_{Q_2}}{f_{Q_2}}.c \\ &= 8,5 + \frac{\frac{1}{2}.30-9}{12}.3 \\ &= 8,5 + \frac{6}{4} \\ &= 8,5 + 1,5 \\ &= 10 \end{align*}$
Jadi, nilai mediannya adalah 10.$ \heartsuit$
Nomor 37
Kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah ...
soal_un_sma_mat_ipa_5_2014.png
$\clubsuit \, $ Total data : $n=4+6+6+10+12+8+4=50$
$\clubsuit \, $ Letak kuartil atas = kuartil 3 ($Q_3$) :
$Q_i=X_{\frac{i.n+2}{4}} \Rightarrow Q_3=X_{\frac{3.50+2}{4}}=X_38$
artinya kuartil atas terletak pada data ke 38 yaitu pada interval : 44 - 49
tepi bawah : $tb=44-0,5=43,5$ dan panjang kelas : $c=49-44+1=6$
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $Q_i=tb + \frac{\frac{i}{4}.n-fks_{Q_3}}{f_{Q_3}}.c$
keterangan :
$f_{Q_3} = \,$ frekuensi kelas $Q_3$ = 12
$ fks_{Q_3} = \, $ frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q_3$ = 4+6+6+10 = 26
$\clubsuit \, $ Menentukan kuartil atas ($Q_3$)
$\begin{align*} Kuartil \, atas = Q_3 &= tb + \frac{\frac{3}{4}.n-fks_{Q_3}}{f_{Q_3}}.c \\ &= 43,5 + \frac{\frac{3}{4}.50-26}{12}.6 \\ &= 43,5 + \frac{11,5}{2} \\ &= 43,5 + 5,75 \\ &= 49,25 \end{align*}$
Jadi, nilai kuartil atasnya adalah 49,25.$ \heartsuit$
Nomor 38
Joni mempunyai koleksi 3 pasang sepatu dengan merk yang berbeda, 4 baju berlainan coraknya, dan 3 celana yang berbeda warna. Banyak cara berpakaian Joni dengan penampilan yang berbeda adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan : S = sepatu, B = baju, C = celana
$\spadesuit \, $ Ada 3S, 4B, dan 3C
$\spadesuit \, $ Banyak cara berpakaian menggunakan aturan perkalian :
Total = 3.4.3=36 cara.
Jadi, total berpakaian ada 36 cara. $\heartsuit $
Nomor 39
Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus, banyak cara pengambilan sedemikian hingga sedikitnya terdapat 2 bola putih adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan : M = bola merah, P = bola putih
$\clubsuit \, $ Ada 6M dan 4P, diambil 3 bola sekaligus dengan sedikitnya 2 bola putih.
Ada beberapa kemungkinan :
1. 2P1M (2 putih dan 1 merah) ada $C_2^4.C_1^6=6.6=36 \, $ cara.
2. 3P0M (3 putih dan 0 merah) ada $C_3^4.C_0^6=4.1=4 \, $ cara.
keterangan : simbol $C$ artinya kombinasi.
Jadi, totalnya ada 40 cara pengambilan.$\heartsuit$
Nomor 40
Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola kuning. Dari kotak tersebut diambil tiga bola sekaligus. Peluang bahwa bola yang terambil dua bola merah dan satu bola kuning sama dengan ...
$\spadesuit \, $ Misalkan : M = bola merah, K = bola kuning
$\spadesuit \, $ Ada 6M dan 4K, diambil 3 bola sekaligus : $n(S)=C_3^{10}=120$
$\spadesuit \, $ Harapannya terambil 2M1K : $n(A)=C_2^6.C_1^4=15\times 4 = 60$
$\spadesuit \, $ Peluangnya : $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{2}$
Jadi, peluang terambilnya 2M dan 1K adalah $\frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

Pembahasan Soal Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Kode 1 tahun 2014 nomor 31 sampai 35


Nomor 31
Nilai dari $ \int \limits_{-1}^2 (x-1)(3x+1) dx =...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $\int kx^n dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $
$\begin{align*} \int \limits_{-1}^2 (x-1)(3x+1) dx &= \int \limits_{-1}^2 (x-1)(3x+1) dx \\ &= \int \limits_{-1}^2 (3x^2-2x-1) dx \\ &= \left[ \frac{3}{3} x^3 - \frac{2}{2} x^2 - x \right]_{-1}^2 \\ &= \left[ x^3 - x^2 - x \right]_{-1}^2 \\ &= [2^3 - 2^2 - 2] - [(-1)^3 - (-1)^2 - (-1)] \\ &= 2-(-1) \\ &= 3 \end{align*}$
Jadi, $\int \limits_{-1}^2 (x-1)(3x+1) dx = 3 . \heartsuit$
Nomor 32
Nilai dari $ \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x \cos 2x) dx=...$
$\clubsuit \,$ Rumus dasar :
$\sin 2px = 2 \sin px . \cos px \Rightarrow \sin px . \cos px = \frac{1}{2} \sin 2px $
dan $ \int \sin ax \, dx = -\frac{1}{a} \cos ax + c$
$\begin{align*} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x \cos 2x) dx &= \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2.(2x) \, dx \\ &= \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 4x \, dx \\ &= \left[ \frac{1}{2} . -\frac{1}{4} \cos 4x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -\frac{1}{8} \left[ \cos 4x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -\frac{1}{8} . ( \left[ \cos 4.\frac{\pi}{2} \right] - \left[ \cos 4.0 \right] ) \\ &= -\frac{1}{8} . ( \left[ \cos 2\pi \right] - \left[ \cos 0 \right] ) \\ &= -\frac{1}{8} . ( \left[ 1 \right] - \left[ 1 \right] ) \\ &= -\frac{1}{8} . 0 \\ &= 0 \end{align*}$
Jadi, $\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x \cos 2x) dx = 0 .\heartsuit $
Nomor 33
Hasil dari $ \int (\cos ^23x \sin 3x)dx = ...$
$\spadesuit \, $ Menentukan integral dengan substitusi :
$\begin{align*} \int (\cos ^23x \sin 3x)dx &= \int (\cos 3x)^2 \sin 3x \, dx \\ &= \int (u)^2 \sin 3x \, \frac{du}{u^\prime} \, \text{(misal : } \, u=\cos 3x ) \\ &= \int (u)^2 \sin 3x \, \frac{du}{-3\sin 3x} \\ &= -\frac{1}{3} \int (u)^2 \, du \\ &= -\frac{1}{3} . \frac{1}{3} . u^3 +c \\ &= -\frac{1}{9}. (\cos 3x)^3 +c \\ &= -\frac{1}{9}.\cos ^3 3x +c \end{align*}$
Jadi, $\int (\cos ^23x \sin 3x)dx = -\frac{1}{9}.\cos ^3 3x + c . \heartsuit $
Nomor 34
Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus ...
soal_un_sma_mat_ipa_3_2014.png
$\clubsuit \, $ Titik potong kurva $y=x^2+4x+4$ pada sumbu X : $y=0$
$x^2+4x+4=0 \Rightarrow (x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2$
$\clubsuit \, $ Gambarnya:
soal_un_sma_mat_ipa_17_2014.png
$\clubsuit \, $ Menentukan luas A dan B :
$L_A= \int \limits_{-2}^{1} (x^2+4x+4) dx $
$L_B= \int \limits_{1}^{10} (10-x) dx $
$\clubsuit \, $ Luas total :
Jadi, $L_{\text{(arsir)}}=L_A + L_B =\int \limits_{-2}^{1} (x^2+4x+4) dx + \int \limits_{1}^{10} (10-x) dx . \heartsuit$
Nomor 35
Volume benda putar yang terbentuk dari daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva $y=\sqrt{3}x^2 $ , lingkaran $x^2+y^2=4$ dan sumbu X, diputar mengelilingi sumbu X adalah ...
$\spadesuit \, $ Gambarnya :
soal_un_sma_mat_ipa_18_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan volume A dan B :
$V_A = \pi \int \limits_{0}^{1} \left( \sqrt{3}x^2 \right)^2 \, dx = \pi \int \limits_{0}^{1} 3x^4 \, dx = \frac{3}{5} \pi $
$V_B = \pi \int \limits_{1}^{2} (4-x^2) \, dx = \frac{5}{3} \pi $
$\spadesuit \, $ Menentukan volume arsir :
$V_{(arsir)} = V_A + V_B = \frac{3}{5} \pi + \frac{5}{3} \pi = \frac{34}{15} \pi$
Jadi, $V_{(arsir)} = \frac{34}{15} \pi . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

Alamat website atau blog olimpiade matematika tingkat SMA seluruh dunia untuk OSN Matematika




    Olimpiade matematika pada awalnya diadakan oleh negara Eropa, kemudian mereka berinisiatif  mengadakan olimpiade matematika tingkat internasional yang di kenal dengan IMO (International  Mathematical Olympiad)  yang pertama kali diadakan padan tahun 1959, diikuti oleh 7 negara. Untuk persiapan mengikuti IMO, setiap negara mengadakan olimpiade untuk menyaring peserta  yang akan mewakili negaranya masing-masing dimana setiap negara hanya boleh diwakili maksimal 6 peserta.  Penghargaan yang diperoleh bagi peserta yaitu medali emas, medali perak, medali perunggu,  dan penghormatan (Honourable mention). Selain tingkat internasional, juga ada beberapa olimpiade yang  diadakan berdasarkan regional, misalnya wilayah Asia Pasifik namanya APMO (Asain Pacific Mathematical Olympiad).


     Soal olimpiade merupakan soal non rutin, artinya soal-soal olimiade bukan soal disekolah yang biasa  dikerjakan,melainnkan soal-soal yang lebih sulit dan bahkan belum ada buku-buku teks yang  dipelajari di sekolah. Butuh pengetahuan lebih (materi-materi olimpiade) dan banyak latihan  soal-soal untuk menambah wawasan. Berikut link atau alamat website olimpiade matematika  tingkat SMA seluruh dunia, pembaca bisa mendownload soal-soal dan pembahasan yang ada:
1.  IMO  (International Mathematical Olympiad)
2.  APMO  (Asian Pacific Mathematics Olympiad)  (website lagi diperbaiki)
3.  Nordic Mathematical Contest (NMC)
4.  The IMO Compendium  (kumpulan  Soal-soal dan materi olimpiade bahasa Inggris dari selurus dunia)
5.  Baltic Way Mathematical Contests
6.  The William Lowell Putnam Mathematics Competition
7.  Online mathematics competitions  NIMO / OMO
8.  Canadian Mathematical Society
9.  Art of Problem Solving  (kumpulan Soal-soal bahasa Inggris dari selurus dunia)
10. American Mathematics Competitions (AMC)
11. American Regions Mathematics League (ARML)
12. Mathematical Excalibur  (Artikel dan soal-soal olimpiade)
13. Mathematical Reflections (soal - soal dan jawaban)
14. SOUTH AFRICAN MATHEMATICS OLYMPIAD (soal dan jawaban)

Berikut Link atau alamat website atau blog yang menggunakan bahasa Indonesia yag khusus membahasa
olimpiade matematika di Indonesia:
1.  pintarmatematika.net (soal OSN dan jawabannya)
2.  ibnufajar75.wordpress.com
3.  matematikasmajateng.wordpress.com
4.  taktikmatematik.blogspot.com
5.  baktiolimpiade.wordpress.com


Semoga Bermanfaat.  Terima Kasih.

Pembahasan Soal Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Kode 1 tahun 2014 nomor 26 sampai 30


Nomor 26
Nilai dari $\cos 265^o - \cos 95^o = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $\cos x - \cos y = -2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right).\sin \left( \frac{x-y}{2} \right) $
$\begin{align*} \cos 265^o - \cos 95^o & = -2\sin \left( \frac{265^o+95^o}{2} \right).\sin \left( \frac{265^o-95^o}{2} \right) \\ &= -2\sin 180^o.\sin 85^o \\ &= -2\times 0 \times \sin 85^o \\ &= 0 \end{align*}$
Jadi, nilai $\cos 265^o - \cos 95^o = 0. \heartsuit$
Nomor 27
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+x+5} - \sqrt{x^2-2x+3} \right) =...$
$\clubsuit \,$ Rumus : $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+px+q} \right) = \frac{b-p}{2\sqrt{a}}$
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+x+5} - \sqrt{x^2-2x+3} \right) &= \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ &= \frac{1-(-2)}{2\sqrt{1}} \\ &= \frac{3}{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+x+5} - \sqrt{x^2-2x+3} \right)=\frac{3}{2} .\heartsuit $
Nomor 28
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{2x.\sin 2x} = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $\cos px = 1-2\sin ^2 \frac{p}{2}x \, $ dan $\, \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{bx}= \frac{a}{b}$
$\spadesuit \, $ sehingga $\cos x = 1-2\sin ^2 \frac{1}{2}x$
diperoleh: $1-\cos x = 1- (1-2\sin ^2 \frac{1}{2}x ) = 2\sin ^2 \frac{1}{2}x = 2\sin \frac{1}{2}x \sin \frac{1}{2}x $
$\spadesuit \, $ Menghitung nilai limitnya
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{2x.\sin 2x} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2}x \sin \frac{1}{2}x}{2x.\sin 2x} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2}x }{2x} . \frac{\sin \frac{1}{2}x }{\sin 2x} \\ &= \frac{2. \frac{1}{2} }{2} . \frac{\frac{1}{2} }{2} \\ &= \frac{1}{2}. \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{8} \end{align*}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{2x.\sin 2x} = \frac{1}{8} . \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Rumus yang digunakan: $1-\cos px = \frac{1}{2}(px)^2 \, $ dan $\, \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{bx}= \frac{a}{b}$
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{2x.\sin 2x} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}(1x)^2}{2x.\sin 2x} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{4} . \frac{x}{\sin 2x} \\ &= \frac{1}{4}. \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{8} \end{align*}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{2x.\sin 2x} = \frac{1}{8} . \heartsuit $
Nomor 29
Diketahui fungsi $g(x)= \frac{1}{3}x^3-A^2x-7$ , A konstanta. Jika $f(x)=g(2x-1)$ dan $f$ turun pada $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2} $ , nilai maksimum relatif $g(x)$ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan $f(x)$ dan turunannya :
$\begin{align*} f(x)&=g(2x-1) \\ &= \frac{1}{3}(2x-1)^3-A^2(2x-1)-7 \\ f^\prime (x) &= (2x-1)^2 . 2 - 2A^2 \\ f^\prime (x) &= 8x^2-8x+2-2A^2 \end{align*}$
$\clubsuit \, f \, $ turun pada $ -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{3}{2} $, artinya $ -\frac{1}{2} $ dan $ \frac{3}{2} $ adalah akar-akar dari $f^\prime (x) = 0 \Rightarrow 8x^2-8x+2-2A^2 = 0 $ .
$x_1 . x_2 = \frac{c}{a} \Rightarrow -\frac{1}{2} . \frac{3}{2} = \frac{2-2A^2}{8} \Rightarrow A^2 = 4 $
$\clubsuit \, $ Fungsi $g(x)$ menjadi $g(x)= \frac{1}{3}x^3-4x-7$
$\clubsuit \, $ Nilai maksimum/minimum : $g^\prime (x) = 0 $
$g^\prime (x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x=\pm 2$
$x=2 \Rightarrow g(2)=\frac{1}{3}.2^3-4.2-7=-\frac{37}{3} $
$x=-2 \Rightarrow g(2)=\frac{1}{3}.(-2)^3-4.(-2)-7=-\frac{5}{3} $
Jadi, nilai maksimum relatif dari $g(x)$ adalah $ -\frac{5}{3}. \heartsuit$
Nomor 30
Hasil dari $\int \frac{5x-1}{\left( 5x^2-2x+6 \right)^7}dx $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan integral dengan substitusi :
$\begin{align*} \int \frac{5x-1}{\left( 5x^2-2x+6 \right)^7}dx &=\int \frac{5x-1}{\left( u \right)^7} \frac{du}{u^\prime} \, \text{(misal : } \, u=5x^2-2x+6 ) \\ \\ &= \int \frac{5x-1}{u^7} \frac{du}{10x-2} \\ &= \int \frac{5x-1}{u^7} \frac{du}{2(5x-1)} \\ &= \frac{1}{2} \int u^{-7} du \\ &= \frac{1}{2}. \frac{1}{-6} . u^{-6} + c \\ &= -\frac{1}{12} . \frac{1}{u^6} + c \\ &= -\frac{1}{12\left( 5x^2-2x+6 \right)^6} + c \end{align*}$
Jadi, $\int \frac{5x-1}{\left( 5x^2-2x+6 \right)^7}dx = -\frac{1}{12\left( 5x^2-2x+6 \right)^6} + c . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

Pembahasan Soal Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Kode 1 tahun 2014 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Seutas tali dipotong menjasi 6 bagian sehingga potongan-potongan tersebut membentuk deret geometri. Jika tali terpendek 5 cm dan tali terplanjang 160 cm, panjang tali tersebut sebelum dipotong adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $u_n=ar^{n-1}$ dan $s_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$
Diketahui $a=5, u_6=160 , n=6$
$u_6=160 \Leftrightarrow ar^5=160 \Leftrightarrow 5r^5=160 \Leftrightarrow r=2$
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang total talinya ($s_6$) :
$\begin{align*} s_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ s_6 &= \frac{5(2^6-1)}{2-1} \\ &= 5. 36 =315 \end{align*}$
Jadi, panjang tali sebelumnya adalah 315 cm .$ \heartsuit$
Nomor 22
Diketahui balok KLMN.PQRS dengan KL = 3 cm , LM = 4 cm, dan KP = 12 cm. Jarak titik R ke garis PM adalah ....
$\clubsuit \,$ Gambar balok dan segitiganya :
soal_un_sma_mat_ipa_12_2014.png soal_un_sma_mat_ipa_13_2014.png
$\clubsuit \,$ Gunakan luas segitiga PMR :
$\begin{align*} L_{\Delta PMR} &= L_{\Delta PMR} \\ \frac{1}{2}.PM.TR &= \frac{1}{2}.RM.RP \, \, \text{(coret } \, \frac{1}{2} ) \\ PM.TR &= RM.RP \\ 13.TR &= 12.5 \\ TR &= \frac{60}{13} \end{align*}$
Jadi, panjang $TR = \frac{60}{13} $ cm. $ \heartsuit $
Nomor 23
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah $\alpha$ . Nilai $\sin \alpha = ...$
$\spadesuit \, $ Gambar balok dan segitiganya :
soal_un_sma_mat_ipa_14_2014.png soal_un_sma_mat_ipa_15_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan sinus sudutnya :
$\angle (EA, \Delta AFH ) = \angle ( AE,AP) = \theta $
$\begin{align*} \sin \theta &= \frac{EP}{AP} = \frac {2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac {\sqrt{2}}{\sqrt{6}} . \frac {\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac {\sqrt{12}}{6} = \frac {2\sqrt{3}}{6} \\ \sin \theta &= \frac {\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, nilai $\sin \theta = \frac{1}{3}\sqrt{3} . \heartsuit $
Nomor 24
Diketahui jajargenjang seperti gambar.
soal_un_sma_mat_ipa_2_2014.png
Panjang diagonal PR = ...
Cara I :
$\clubsuit \, $ Gambar lengkapnya :
soal_un_sma_mat_ipa_16_2014.png
$\clubsuit \, $ Aturan cosinus pada sisi $PR$ :
$\begin{align*} PR^2 &= QP^2 + QR^2 - 2.QP.QR. \cos PQR \\ &= 6^2 + 6^2 - 2.6.6.\cos 120^o \\ &= 36+36 - 72. (-\frac{1}{2}) \\ &= 72+ 36 \\ PR^2 &= 108 \\ PR &= \sqrt{108}=6\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, panjang $PR =6\sqrt{3}. \heartsuit$

Cara II :
$\clubsuit \, $ Gambar lengkapnya :
soal_un_sma_mat_ipa_16_2014.png
$\clubsuit \, $ Perhatikan segitiga $PQT$ :
$\begin{align*} \sin Q &= \frac{PT}{PQ} \\ \sin 60^o &= \frac{PT}{6} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} &= \frac{PT}{6} \\ PT &= 6. \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ PT &= 3\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, panjang $PR =2.PT=2\times 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}. \heartsuit$

Cara III :
$\clubsuit \, $ Gambar lengkapnya :
soal_un_sma_mat_ipa_16_2014.png
$\clubsuit \, $ Perhatikan segitiga $PQT$ , $QT=\frac{1}{2} QS=3$ dan gunakan pythagoras:
$\begin{align*} PT &= \sqrt{PQ^2-QT^2} \\ &= \sqrt{6^2-3^2} \\ &= \sqrt{36-9} \\ &= \sqrt{27} \\ PT &= 3\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, panjang $PR =2.PT=2\times 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}. \heartsuit$
Nomor 25
Himpunan penyelesaian dari persamaan $2\cos ^2x + 5\sin x-4 = 0$ untuk $0^o \leq x \leq 360^o $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan $p=\sin x $ dan gunakan $\sin ^2x + \cos ^2x =1 $ :
$\begin{align*} 2\cos ^2x + 5\sin x-4 &= 0 \\ 2(1-\sin ^2x) + 5\sin x-4 &= 0 \\ 2-2\sin ^2x + 5\sin x-4 &= 0 \\ 2\sin ^2x -5\sin x +2 &= 0 \\ 2p^2-5p+2 &= 0 \\ (2p-1)(p-2) &= 0 \\ p=\frac{1}{2} \, &\text{atau} \, p=2 \\ p=\frac{1}{2} \Rightarrow & \sin x =\frac{1}{2} \Rightarrow x=\{30^o, 150^o\} \\ p=2 \Rightarrow & \sin x =2 \, \text{(tidak ada nilai} \, x \, \text{ yang memenuhi )} \\ &\text{(nilai maksimum dari} \, \sin x \, \text{adalah 1)} \end{align*}$
Jadi, $HP=\{ 30^o, 150^o\} .\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

Pembahasan Soal Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Kode 1 tahun 2014 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Diketahui vektor $\vec{p}=\vec{i}+-\vec{j}+2\vec{k}$ dan $\vec{q}=2\vec{i}+-2\vec{j}+n\vec{k}$ . Jika panjang proyeksi vektor $\vec{p}$ pada $\vec{q}$ adalah 2, nilai $n=...$
$\spadesuit \, $ Panjang proyeksi $\vec{p}$ pada $\vec{q}$ adalah $|\vec{c}|=2$
$\begin{align*} |\vec{c}| &= \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|} \\ 2 &= \frac{1.2+(-1).(-2)+2.n}{\sqrt{2^2+(-2)^2+n^2}} \\ 2\sqrt{8+n^2} &= 4+2n \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sqrt{8+n^2} &= 2+n \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 8+n^2 &= (2+n)^2 \\ n^2+8 &= n^2 + 4n + 4 \\ 4n &= 4 \\ n&=1 \end{align*}$
Jadi, nilai $n=1. \heartsuit$
Nomor 17
Persmaan bayangan lingkaran $x^2+y^2=4$ bila dicerminkan terhadap garis $x=2$ dan dilanjutkan dengan translasi $\left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right)$ adalah ...
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan transformasi :
Refleksi: $(x,y) \overset{x=2}{\rightarrow} (x^\prime , y^\prime ) = (2.2-x,y)=(4-x,y) $

Translasi: $(x^\prime , y^\prime ) \overset{T \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right) }{\rightarrow} (x^{\prime \prime} , y^{\prime \prime } ) =(4-x +(-3),y+4)=(1-x,y+4) $

$\clubsuit \,$ Diperoleh :
$(x^{\prime \prime} , y^{\prime \prime } ) =(1-x,y+4) \left\{ \begin{array}{c} \Rightarrow x=1-x^{\prime \prime} \\ \Rightarrow y=y^{\prime \prime} - 4 \end{array} \right. $
$\clubsuit \,$ Menentukan bayangannya:
Awal : $x^2+y^2=4$
Bayangan :
$\begin{align*} x^2+y^2 &= 4 \\ (1-x^{\prime \prime})^2 + (y^{\prime \prime} - 4)^2 &= 4 \\ (1-x)^2 + (y - 4)^2 &= 4 \\ x^2-2x+1+y^2-8y+16 &= 4 \\ x^2 + y^2 -2x - 8y + 13 &= 0 \end{align*}$
Jadi, bayangannya adalah $x^2 + y^2 -2x - 8y + 13 = 0 .\heartsuit $
Nomor 18
Penyelesaian dari $3^{2x+3}-84.3^x+9 \geq 0 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan $p=3^x > 0 $ :
$\begin{align*} 3^{2x+3}-84.3^x+9 &\geq 0 \\ 3^3.3^{2x}-84.3^x+9 &\geq 0 \\ 27.(3^x)^2-84.3^x+9 &\geq 0 \\ 27.(p)^2-84.p+9 &\geq 0 \, \, \text{(bagi 3)} \\ 9p^2-28p + 3 &\geq 0 \\ (9p-1)(p-3) & = 0 \\ p=\frac{1}{9} \, &\text{atau} \, p=3 \\ p=\frac{1}{9} \Rightarrow 3^x &= \frac{1}{9} \Rightarrow 3^x=3^{-2} \Rightarrow x=-2 \\ p=3 \Rightarrow 3^x &= 3 \Rightarrow x=1 \end{align*}$
soal_un_sma_mat_ipa_10_2014.png
sehingga : $HP= \{ x \leq -2 \vee x \geq 1 \} $
Sehingga : penyelesaiannya adalah $\{ x \leq -2 \vee x \geq 1 \} . \heartsuit $
Nomor 19
Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{2}\log (x-2).{}^{x+1}\log 4 < 2- {}^{x+1}\log 4 $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Sifat logaritma : ${}^{a}\log b = {}^{a^n}\log b^n$ dan ${}^{a}\log b . {}^{b}\log c = {}^{a}\log c$
$\clubsuit \, $ Syarat Logaritmanya :
$x-2 > 0 \Rightarrow x>2 $
$x+1 > 0 \Rightarrow x>-1 $
$x+1 \neq 1 \Rightarrow x\neq 0 $
syarat yang memenuhi ketiganya adalah $HP_1=\{ x > 2 \} $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan soal :
$\begin{align*} {}^{2}\log (x-2).{}^{x+1}\log 4 &< 2- {}^{x+1}\log 4 \\ {}^{x+1}\log 4. {}^{2^2}\log (x-2)^2 &< {}^{x+1}\log (x+1)^2- {}^{x+1}\log 4 \\ {}^{x+1}\log 4. {}^{4}\log (x^2-4x+4) &< {}^{x+1}\log \frac{(x+1)^2}{4} \\ {}^{x+1}\log (x^2-4x+4) &< {}^{x+1}\log \frac{x^2+2x+1}{4} \, \, ({}^{x+1}\log \, \text{dicoret} ) \\ (x^2-4x+4) &< \frac{x^2+2x+1}{4} \\ 4(x^2-4x+4) &< x^2+2x+1 \\ 3x^2-18x+15 &< 0 \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 -6x +5 &< 0 \\ (x-1)(x-5) &< 0 \\ x=1 \, &\text{atau} \, x=5 \end{align*}$
soal_un_sma_mat_ipa_11_2014.png
$HP_2= \{ 1 < x < 5 \} $
Sehingga , $HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ 2 < x < 5 \} $
Jadi, penyelesaiannya adalah $ \{ 2 < x < 5 \} . \heartsuit$

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow {}^{2}\log (2-2).{}^{2+1}\log 4 &< 2- {}^{2+1}\log 4 \\ {}^{2}\log 0.{}^{3}\log 4 &< 2- {}^{3}\log 4 \\ \text{ salah pada} \, & {}^{2}\log 0 \end{align*}$
yang ada $x=2$ salah, opsi yang salah adalah A.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow {}^{2}\log (3-2).{}^{3+1}\log 4 &< 2- {}^{3+1}\log 4 \\ {}^{2}\log (1).{}^{4}\log 4 &< 2- {}^{4}\log 4 \\ 0.1 &< 2-1 \\ 0 & < 1 \, \, \text{(benar)} \end{align*}$
yang ada $x=3$ benar, opsi yang salah adalah B, C dan E.
Jadi, opsi yang benar adalah D yaitu
$HP=\{ 2 < x < 5 \} . \heartsuit$
Nomor 20
Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung pertunjukan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Diketahui : $a=20, b=4, n=15$
$\spadesuit \, $ Jumlah 15 baris ( $s_{15}$ ) : $s_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$\begin{align*} s_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ s_{15} &= \frac{15}{2}(2.20+(15-1).4) \\ &= \frac{15}{2}(40+14.4) \\ &= \frac{15}{2}.(96) \\ &= \frac{15.96}{2} = 720 \end{align*}$
Jadi, totalnya ada 720 kursi . $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

Pembahasan Soal Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Kode 1 tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui fungsi $f:R \rightarrow R$ dan $g:R \rightarrow R$ yang dinyatakan $f(x)=2x-1$ dan $g(x)=\frac{x}{x+2} , x\neq -2$. Invers $(fog)(x)$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Invers : $y=\frac{ax+b}{cx+d} \Rightarrow y^{-1}=\frac{dx-b}{-cx+a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan $(fog)(x)$ dan $(fog)^{-1}(x)$ :
$\begin{align*} (fog)(x) &= f(g(x)) \\ &= f \left( \frac{x}{x+2} \right) \\ &= 2.\left( \frac{x}{x+2} \right) -1 \\ &= \frac{2x-(x+2)}{x+2} \\ &= \frac{x-2}{x+2} \\ (fog)^{-1}(x) &= \frac{2x+2}{-x+1} = \frac{2x+2}{1-x} , \, \, \, x \neq 1 \end{align*}$
Jadi, Invers $(fog)(x)$ adalah $ (fog)^{-1}(x)=\frac{2x+2}{1-x} . \heartsuit $
Nomor 12
Di Zedland ada dua media massa koran yang sedang mencari orang untuk bekerja sebagai penjual koran. Iklan di bawah ini menunjukkan bagaimana mereka membayar gaji penjual koran.
soal_un_sma_mat_ipa_2014.png
Joko memutuskan untuk melamar menjadi penjual koran. Ia perlu memilih bekerja pada Media Zedland atau Harian Zedland . Grafik manakah di bawah ini yang menggambarkan bagaimana koran membayar penjual-penjualnya?
$\clubsuit \, $ Misalkan, banyak koran adalah $x$ :
$\clubsuit \, $ Koran Harian Zedland
0,05 per koran ($0,05x$) dan mendapatkan 60 zed, sehingga totalnya : $0,05x+60$
persamaannya : $y=0,05x+60$
soal_un_sma_mat_ipa_6_2014.png
$\clubsuit \, $ Koran Media Zedland
Sebelum 240 koran, gaji = $0,20x$ dan selebihnya 0,40 sehingga perkoran menjadi 0,60, gaji = $0,60x$
persamaannya : $y=0,20x$ untuk $x\leq 240$ dan $y=0,60x$ untuk $x>240$
soal_un_sma_mat_ipa_7_2014.png
Jadi, gabungan kedua gambar: $\heartsuit $
soal_un_sma_mat_ipa_8_2014.png
Nomor 13
Diketahui matriks $A= \left( \begin{matrix}2x & 3 \\ -3 & -1 \end{matrix} \right) , B= \left( \begin{matrix} x-y & y+1 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) , \text{dan} C= \left( \begin{matrix} -4 & -3 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right) $ . Jika $C^t$ adalah transpose dari matriks $C$ dan $A+B=C^t$, nilai dari $2x+3y=...$
$\begin{align*} A+B &= A^t \\ \left( \begin{matrix}2x & 3 \\ -3 & -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x-y & y+1 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -4 & 5 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 3x-y & y+4 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -4 & 5 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right) \\ y+4 = 5 \Rightarrow & y=1 \\ 3x-y = -4 \Rightarrow & 3x -1 =-4 \Rightarrow x=-1 \end{align*} $
sehingga $2x+3y=2.(-1)+3.1=1$
Jadi, nilai $2x+3y=1 . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui vektor-vektor $\vec{a}=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix} \right), \vec{b}=\left( \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ m \end{matrix} \right), \text{dan} \vec{c}=\left( \begin{matrix} 3 \\ -4 \\ 5 \end{matrix} \right)$. Jika $\vec{a}$ tegak lurus $\vec{b}$, hasil dari $\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c} = ...$
$\spadesuit \, $ Hubungan tegak lurus , $\vec{a} \bot \vec{b} \Rightarrow \vec{a}.\vec{b}=0$ , sehingga diperoleh :
$\begin{align*} \vec{a}.\vec{b}&=0 \\ \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ m \end{matrix} \right) &= 0 \\ 4+8-3m &= 0 \Rightarrow m=4 \\ \text{sehingga vektor } \, \vec{b} = \left( \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix} \right) \end{align*} $
$\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 6 \\ -8 \\ 10 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 14 \\ -9 \end{matrix} \right) $
Jadi, nilai $\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 14 \\ -9 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui vektor-vektor $\vec{u}=b\vec{i}+a\vec{j}+9\vec{k}$ dan $\vec{v}=a\vec{i}+-b\vec{j}+a\vec{k}$. Sudut antara vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah $\theta$ dengan $cos\theta = \frac{6}{11}$. Proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{p}=4\vec{i}+-2\vec{j}+4\vec{k}$. Nilai dari $b=...$
$\clubsuit \, $ Perkalian dot : $\vec{u}.\vec{v} =ab-ab+9a=9a \, \, $ dan $\, \, \vec{u}.\vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| cos \theta $
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v} &= |\vec{u}| |\vec{v}| cos \theta \\ 9a &= \left( \sqrt{a^2+b^2+9^2} \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right) . \frac{6}{11} \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align*} $
$\clubsuit \, $ Proyeksi vektor $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{p}$ :
$\begin{align*} \vec{p} &= \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{matrix} \right) &= \frac{9a}{\left( \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right)^2} \left( \begin{matrix} a \\ -b \\ a \end{matrix} \right) \end{align*} $
Persamaan yang terbentuk :
$4 = \frac{9a}{\left( \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right)^2} . a \, \, \, \text{...pers(ii)} $
$-2 = \frac{9a}{\left( \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right)^2} . (-b) \, \, \, \text{...pers(iii)} $
$\clubsuit \, $ Bagi pers(ii) dan pers(iii) , diperoleh :
$-2=\frac{-a}{b} \Rightarrow a=2b $
$\clubsuit \, $ Substitusi $a=2b$ ke pers(i) :
$\begin{align*} 9a &= \left( \sqrt{a^2+b^2+9^2} \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right) . \frac{6}{11} \, \, \, \text{...pers(i)} \\ 9.2b &= \left( \sqrt{(2b)^2+b^2+81} \sqrt{(2b)^2+b^2+(2b)^2} \right) . \frac{6}{11} \\ \not{18}b &= \left( \sqrt{4b^2+b^2+81} \sqrt{4b^2+b^2+4b^2} \right) . \frac{\not{6}}{11} \\ 3b &= \left( \sqrt{5b^2+81} \sqrt{9b^2} \right) . \frac{1}{11} \\ 11. \not{3b} &= \left( \sqrt{5b^2+81} \right) . \not{3b} \\ \sqrt{5b^2+81} &= 11 \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 5b^2+81 &= 121 \\ b^2 &= 8 \\ b &= \pm 2\sqrt{2} \end{align*} $
Jadi, nilai $b=2\sqrt{2} . \heartsuit $

Cara II :
$\clubsuit \, $ Perkalian dot : $\vec{u}.\vec{v} =ab-ab+9a=9a \, \, $ dan $\, \, \vec{u}.\vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| cos \theta $
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v} &= |\vec{u}| |\vec{v}| cos \theta \\ 9a &= \left( \sqrt{a^2+b^2+9^2} \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right) . \frac{6}{11} \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align*} $
soal_un_sma_mat_ipa_9_2014.png
$\clubsuit \, $ Hasil proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ adalah $\vec{p}$ yang artinya $\vec{p}$ sejajar dengan $\vec{v}$ , sehingga
$\begin{align*} \vec{p} &= n.\vec{v} \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{matrix} \right) &= n \left( \begin{matrix} a \\ -b \\ a \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} an \\ -bn \\ an \end{matrix} \right) \end{align*} $
Diperoleh :
$4 = an \Rightarrow n=\frac{4}{a}$
$-2 = -bn \Rightarrow -2 = -b. \frac{4}{a} \Rightarrow a= 2b $
$\clubsuit \, $ Substitusi $a=2b$ ke pers(i) :
$\begin{align*} 9a &= \left( \sqrt{a^2+b^2+9^2} \sqrt{a^2+b^2+a^2} \right) . \frac{6}{11} \, \, \, \text{...pers(i)} \\ 9.2b &= \left( \sqrt{(2b)^2+b^2+81} \sqrt{(2b)^2+b^2+(2b)^2} \right) . \frac{6}{11} \\ \not{18}b &= \left( \sqrt{4b^2+b^2+81} \sqrt{4b^2+b^2+4b^2} \right) . \frac{\not{6}}{11} \\ 3b &= \left( \sqrt{5b^2+81} \sqrt{9b^2} \right) . \frac{1}{11} \\ 11. \not{3b} &= \left( \sqrt{5b^2+81} \right) . \not{3b} \\ \sqrt{5b^2+81} &= 11 \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 5b^2+81 &= 121 \\ b^2 &= 8 \\ b &= \pm 2\sqrt{2} \end{align*} $
Jadi, nilai $b=2\sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

Pembahasan Soal Ujian Nasional (UN) SMA Matematika IPA Kode 1 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja.
Untuk bagian kedua pembahasan kali ini, kami menuliskan pembahasan soal uJIAN Nasional (UN) matemtaika ipa tahun 2014 nomor 6 sampai 10. Konsep persamaan dan fungsi kuadrat digunakan pada pembahasan soal nomor 6 dan nomor 7 tentang operasi akar-akar dan jenis akar-akar. Sementara untuk nomor 8 dan 9 menggunakan konsep perbandingan dan lingkaran, yang mana pada lingkaran erdapat banak rumus-rumus yang harus dihafal oleh siswa. Dan untuk soal nomor 10 tentang suku banyak yang penyelesaiannya butuh trik khusus.

Untuk pembahasan lengkap soal Ujian Nasional (UN) Matematika IPA tahun 2014 nomor 6 sampai 10, berikut pembahasannya. Selamat belajar.

Nomor 6
Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+mx+16=0$ adalah $\alpha $ dan $\beta$ . Jika $\alpha = 2\beta$ dan $\alpha , \beta$ positif, maka nilai $m=...$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\beta$ :
$\alpha = 2 \beta$ ....pers(i)
$\alpha . \beta = \frac{c}{a} \Rightarrow \alpha . \beta = \frac{16}{2} \Rightarrow \alpha . \beta = 8 $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align*} \alpha . \beta &= 8 \\ 2\beta . \beta &= 8 \\ \beta ^2 &= 4 \\ \beta &= \pm 2 \\ \text{yang memenuhi } \, \beta &=2 \, \, \text{(akar positif)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $\beta = 2$ ke pers kuadrat :
$\begin{align*} 2x^2+mx+16 & =0 \\ 2(2)^2+m.2+16&=0 \\ 2m &= -24 \\ m&=-12 \end{align*}$
Jadi, nilai $m=-12. \heartsuit $
Nomor 7
Persamaan kuadrat dari $x^2-2px-p+2=0$ mempunyai dua akar yang sama. Nilai $p$ yang memenuhi adalah ...
$\clubsuit \, $ Syarat dua akar sama atau kembar : $D = 0$
$\begin{align*} D & = 0 \\ b^2-4ac&=0 \\ (-2p)^2-4.1.(-p+2)&=0 \\ 4p^2+4p-8&=0 \, \text{(bagi 4)} \\ p^2+p-2 &= 0 \\ (p+2)(p-1)&=0 \\ p=-2 \, \text{atau} \, p=1 \end{align*}$
Jadi nilai $p$ adalah -2 dan 1. $ \heartsuit$
Nomor 8
Empat tahun yang lalu umur Andi $\frac{1}{2}$ umur Dani. Empat tahun yang akan datang umur Andi $\frac{3}{4}$ umur Dani. Umur Dani sekarang adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan , umur Andi sekarang A tahun, dan umur Dani sekarang D tahun :
$\spadesuit \, $ Empat tahun yang lalu :
$\begin{align*} \text{umur Andi} \, &= \frac{1}{2} \, \text{umur Dani} \\ (A-4) &= \frac{1}{2} . (D-4) \Rightarrow A = \frac{1}{2} D +2 \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Empat tahun yang akan datang :
$\begin{align*} \text{umur Andi} \, &= \frac{3}{4} \, \text{umur Dani} \\ (A+4) &= \frac{3}{4} . (D+4) \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align*} (A+4) &= \frac{3}{4} . (D+4) \, \, \text{...pers(ii)} \\ (\frac{1}{2} D +2+4) &= \frac{3}{4} . (D+4) \, \, \text{(kali 4)} \\ 2D+8+16 &= 3D +12 \\ D&= 12 \end{align*}$
Jadi, umur Dani sekarang adalah 12 tahun. $\heartsuit$
Nomor 9
Persamaan garis singgung pada lingkaran $2x^2+2y^2-4x+8y-8=0$ yang sejajar dengan garis $5x+12y-15=0$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$\begin{align*} 2x^2+2y^2-4x+8y-8&=0 \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2+y^2-2x+4y-4&=0 \Rightarrow A=-2 , B=4, C=-4 \\ a=\frac{-A}{2} \Rightarrow a &= \frac{-(-2)}{2}=1 \\ b=\frac{-B}{2} \Rightarrow b &= \frac{-4}{2}=-2 \\ \text{Pusat} (1,-2) & \\ r=\sqrt{a^2+b^2-C} \Rightarrow r &= \sqrt{1^2+(-2)^2-(-4)}=3 \\ \text{jari-jari :} \, r &= 3 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung lingkaran sama dengan gradien garis $5x+12y-15=0$ (karena sejajar): $5x+12y-15=0 \Rightarrow m=\frac{-5}{12}$
$\clubsuit \, $ Persamaan garis singgung (PGS) :
$\begin{align*} y-b &=m(x-a)\pm r \sqrt{1+m^2} \\ y+2 &=\frac{-5}{12}(x-1)\pm 3\sqrt{1+\left( \frac{-5}{12} \right)^2} \\ y+2 &=\frac{-5}{12}(x-1)\pm \frac{39}{12} \, \, \, \text{(kali 12)} \\ 12y+24 &=-5x+5\pm 39 \\ 12y+24 =-5x+5 + 39 \, &\text{atau} \, 12y+24 =-5x+5 - 39 \\ 5x+12y-20=0 \, &\text{atau} \, 5x+12y+58=0 \end{align*}$
Jadi, PGS nya : $5x+12y-20=0 \, \text{dan} \, 5x+12y+58=0 .\heartsuit $
Nomor 10
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi $(x^2+2x-3)$ bersisa $(3x-4)$, jika dibagi $(x^2-x-2)$ bersisa $(2x+3)$. Suku banyak tersebut dalah ...
$\spadesuit \, f(x)$ dibagi $g(x)$ , menghasilkan $h(x)$ dan sisanya $s(x)$
ditulis : $f(x)=h(x).g(x)+s(x)$
$\spadesuit \, f(x)$ dibagi $(x^2+2x-3)$ , menghasilkan $(x+a)$ dan sisanya $(3x-4)$
$\begin{align*} f(x)&=(x+a).(x^2+2x-3)+(3x-4) \\ f(x)&=x^3+(a+2)x^2+2ax-3a-4 \, \, \, \text{...pers(i)} \\ \end{align*}$
$\spadesuit \, f(x)$ dibagi $(x^2-x-2)$ , menghasilkan $(x+b)$ dan sisanya $(2x+3)$
$\begin{align*} f(x)&=(x+b).(x^2-x-2)+(2x+3) \\ f(x)&=x^3+(b-1)x^2-bx-2b+3 \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Pers(i) sama dengan pers(ii) :
$\begin{align*} x^3+(a+2)x^2+2ax-3a-4 &= x^3+(b-1)x^2-bx-2b+3 \\ 2a=-b &\Leftrightarrow b=-2a \\ b-1=a+2 &\Leftrightarrow (-2a)-1=a+2 \Leftrightarrow a=-1 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $a=-1$ ke pers(i) :
$\begin{align*} f(x)&=x^3+(a+2)x^2+2ax-3a-4 \\ f(x)&=x^3+(-1+2)x^2+2.(-1)x-3.(-1)-4 \\ f(x)&=x^3+x^2-2x-1 \end{align*}$
Jadi, suku banyaknya adalah $x^3+x^2-2x-1. \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, f(x)$ dibagi $(x^2+2x-3)$ bersisa $(3x-4)$
$\frac{f(x)}{(x^2+2x-3)}= \frac{f(x)}{(x-1)(x+3)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} f(1)=3.1-4=-1 \\ f(-3)=3.(-3)-4=-13 \end{array} \right. $

$\spadesuit \, f(x)$ dibagi $(x^2-x-2)$ bersisa $(2x+3)$
$\frac{f(x)}{(x^2-x-2)}= \frac{f(x)}{(x-2)(x+1)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} f(2)=2.2+3=7 \\ f(-1)=2.(-1)+3=1 \end{array} \right. $

Artinya substitusi $x=1$ ke opsi dan hasilnya harus -1 , dan yang hasilnya -1 hanya opsi B yaitu $x^3+x^2-2x-1.$
Jika ada opsi lain yang nilainya -1 , maka substitusi $x=-3$ hasilnya harus -13 atau substitusi $x=2$ hasilnya harus 7 atau substitusi $x=-1$ hasilnya harus 1.
Jadi, suku banyaknya adalah $x^3+x^2-2x-1. \heartsuit $

Jika ada masukan, saran, kritikan, alternatif penyelesaian lain yang lebih mudah, atau apapun yang berhubungan dengan halaman ini, silahkan kirim ke email : d.4rm.408@gmail.com , atau langsung isi komentar pada kotak komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat, terima kasih.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40