Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ m $ adalah gradien garis singgung dari kurva $ y = (x-1)^2 + 1 $ yang melalui $(0,t) $ , maka $ m = .... $
A). $ -2\pm \sqrt{2-2t} \, $
B). $ 2\pm \sqrt{2-2t} \, $
C). $ -2\pm \sqrt{2-t} \, $
D). $ 2\pm 2\sqrt{2-t} \, $
E). $ -2\pm 2\sqrt{2-t} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). syarat garis menyinggung parabola yaitu $ D = 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui garis singgung melalui titik $(0,t)$ dan menyinggung parabola $ y = (x-1)^2 + 1 $.
*). Misalkan persamaan garis singgungnya $ y = mx + c $.
*). Substitusi titik $(0,t) $ ke garis singgung :
$\begin{align} y & = mx + c \\ t & = m.0 + c \\ t & = c \end{align} $
Sehingga garisnya $ y = mx + t $.
*). Garis menyingung parabola :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ (x-1)^2 + 1 & = mx + t \\ x^2 - 2x + 1 + 1 & = mx + t \\ x^2 - 2x + 2 - mx - t & = 0 \\ x^2 - (m+2)x + (2 - t) & = 0 \\ \text{Syarat } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [-(m+2)]^2 - 4.1.(2-t) & = 0 \\ (m+2)^2 - 4(2-t) & = 0 \\ (m+2)^2 & = 4(2-t) \\ (m+2) & = \pm \sqrt{4(2-t)} \\ (m+2) & = \pm 2\sqrt{2-t} \\ m & = -2 \pm 2\sqrt{2-t} \end{align} $
Jadi, nilai $ m = -2 \pm 2\sqrt{2-t} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = \cos (\cos ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ 2\sin x. \sin (\cos ^2x) \, $
B). $ 2\sin 2x. \sin (\cos ^2x) \, $
C). $ \sin 2x. \sin (\cos ^2x) \, $
D). $ \sin ^2 x. \sin (\cos ^2x) \, $
E). $ 2\sin ^2x. \sin (\cos ^2x) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ 2\sin x . \cos x = \sin 2x $
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \cos g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) \sin g(x) $.
$ y = \cos ^n x \rightarrow y^\prime = -n \sin x . \cos ^{n-1} x $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ g(x) = \cos ^2 x $ , Turunannya :
$ g^\prime (x) = -2.\sin x .\cos x = -\sin 2x $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} f(x) & = \cos (\cos ^2 x ) \\ f(x) & = \cos ( g(x) ) \\ f^\prime (x) & = -g^\prime (x) \sin ( g(x) ) \\ f^\prime (x) & = - (-\sin 2x) .\sin (\cos ^2 x) \\ f^\prime (x) & = \sin 2x .\sin (\cos ^2 x) \end{align} $
Jadi, $ f^\prime (x) = \sin 2x .\sin (\cos ^2 x) . \, \heartsuit $

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $ mempunyai dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ....
A). $ y = 1 \, $ B). $ y = \frac{1}{2} \, $
C). $ y=-\frac{1}{2} \, $ D). $ y = -1 \, $
E). $ y = -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Kurva $ y = f(x) $ memiliki dua asimtot tegak jika penyebutnya hanya mempunyai dua faktor yang berbeda.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^3 + ...}{dx^3 + ... } = \frac{c}{a} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memfaktorkan bentuk $ x^3 -3x+2 $ .
$\begin{align} x^3 -3x+2 & = x^3 -x^2 + x^2 -3x+2 \\ & = (x^3 -x^2) + (x^2 -3x+2) \\ & = x^2(x-1) + (x-1)(x-2) \\ & = (x-1)(x^2+x-2) \\ & = (x-1)(x-1)(x+2) \end{align} $
*). Kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} = \frac{(x-1)(x-1)(x+2)}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $.
*). Penyebutnya $ \frac{1}{a}x(x^2-ax-6) $ mempunyai faktor $ x $ dan $ (x^2-ax-6) $ dimana $ (x^2-ax-6) $ terdiri dari dua faktor sehingga penyebut totalnya memiliki tiga faktor.
*). Agar penyebutnya hanya mempunyai dua faktor maka salah satu faktor dari $ (x^2-ax-6) $ harus sama dengan faktor dari pembilangnya yaitu $(x-1)$ atau $(x+2)$.
*). Salah satu faktor $(x^2-ax-6) $ adalah $ (x-1) $ pada saat $ a = 5 $ yaitu :
$ x^2 - ax - 6 = x^2-5x-6=(x-1)(x+6) $ .
Persamaan asimtot mendatarnya :
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{5}x(x^2-5x-6)} \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{5}x^3-x^2-\frac{6}{5}x} \\ y & = \frac{1}{\frac{1}{5}} \\ y & = 5 \, \, \, \, \, \text{(tidak ada pada optionnya)} \end{align} $
*). Salah satu faktor $(x^2-ax-6) $ adalah $ (x+2) $ pada saat $ a = 1 $ yaitu :
$ x^2 - ax - 6 = x^2-1x-6=(x+2)(x-3) $ .
Persamaan asimtot mendatarnya :
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{1}x(x^2-1x-6)} \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3 - 3x +2}{x^3-x^2-6x} \\ y & = \frac{1}{1} \\ y & = 1 \end{align} $
Jadi, asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x}}{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).x^2.\sin \frac{1}{x}} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin ay}{\sin by} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{ ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $.
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} px $
Sehingga :
$ 1 - \cos \frac{2}{x} = 1 - (1-2\sin ^2 (\frac{1}{2}.\frac{2}{x} ) = 2\sin ^2 \frac{1}{x} $
*). Bentuk pecahan : $ \frac{a}{bc} = \frac{a . \frac{1}{b}}{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x}}{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).x^2.\sin \frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x} . \frac{1}{x^2} }{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).\sin \frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin 3\frac{1}{x} \, . (\frac{1}{x})^2 }{\left(2\sin ^2 \frac{1}{x} \right).\sin \frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin 3y . y^2 }{\left(2\sin ^2 y \right).\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \left( \frac{1}{2}.\frac{\sin 3y}{\sin y} .\frac{y}{\sin y} .\frac{y}{\sin y} \right) \\ & = \frac{1}{2}. \frac{3}{1}. 1.1 = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-\tan x \sec x + \sin x}{x (\cos x - 1)} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ bx} = \frac{a}{b} $.
*). RUmus dasar Trigonometri :
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \, $ dan $ \sec x = \frac{1}{\cos x} $
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1 - \cos ^2 x = \sin ^2 x $
$ \cos x = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
*). Bentuk pecahan : $ \frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{bc} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal :
$\begin{align} -\tan x \sec x + \sin x & = -\frac{\sin x}{\cos x} . \frac{1}{\cos x} + \sin x \\ & = -\frac{\sin x}{\cos ^2 x} + \sin x \\ & = \frac{-\sin x + \sin x \cos ^2 x }{\cos ^2 x} \\ & = \frac{-\sin x ( 1 - \cos ^2 x ) }{\cos ^2 x} \\ & = \frac{-\sin x .\sin ^2 x }{\cos ^2 x} \\ & = \frac{-\sin ^3 x }{\cos ^2 x} \\ \cos x - 1 & = (1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x ) - 1 \\ & = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-\tan x \sec x + \sin x}{x (\cos x - 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin ^3 x }{\cos ^2 x} }{x(- 2\sin ^2 \frac{1}{2} x)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ^3 x }{ 2x\sin ^2 \frac{1}{2} x . \cos ^2 x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x }{ 2x}.\frac{\sin x }{ \sin \frac{1}{2} x }. \frac{\sin x }{ \sin \frac{1}{2} x }.\frac{1}{ \cos ^2 x} \right) \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{\frac{1}{2}}.\frac{1}{\frac{1}{2}}. \frac{1}{ \cos ^2 0} \\ & = \frac{1}{2} .2.2. \frac{1}{ 1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ ax^3 + 30x + 8b = (x-2)Q(x) + 20(a+b) $ dan $ 4a = b $ , maka $ Q(x) = .... $
A). $ x^2 - 2x - 34 \, $
B). $ x^2 + 2x + 34 \, $
C). $ x^2 - 4x + 60 \, $
D). $ 4x^2 + 2x + 34 \, $
E). $ 4x^2 + 4x - 60 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan hasil pembagian suatu suku banyak (polinom), bisa menggunakan cara bersusun atau skema horner.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). pada soal diketahui persamaan :
$ ax^3 + 30x + 8b = (x-2)Q(x) + 20(a+b) \, $ ....(i).
$ b = 4a \, $ ....(ii).
*). Kita Substitusikan $ x = 2 $ ke pers(i) :
$\begin{align} ax^3 + 30x + 8b & = (x-2)Q(x) + 20(a+b) \\ a.2^3 + 30.2 + 8b & = (2-2)Q(2) + 20(a+b) \\ 8a + 60 + 8b & = 0 + 20a+20b \\ 12a +12b & = 60 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 12)} \\ a + b & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \end{align} $
*). Substitusikan pers(ii) ke pers(iii) :
$\begin{align} a + b & = 5 \\ a + 4a & = 5 \\ 5a & = 5 \\ a & = 1 \end{align} $
Pers(ii): $ b = 4a = 4.1 = 4 $.
*). Menentukan $ Q(x) $ dengan $ a = 1 $ dan $ b = 4 $ :
$\begin{align} ax^3 + 30x + 8b & = (x-2)Q(x) + 20(a+b) \\ 1.x^3 + 30x + 8.4 & = (x-2)Q(x) + 20(1 + 4) \\ x^3 + 30x + 32 & = (x-2)Q(x) + 100 \\ x^3 + 30x - 68 & = (x-2)Q(x) \\ Q(x) & = \frac{x^3 + 30x - 68}{(x-2)} \\ Q(x) & = x^2 + 2x + 34 \end{align} $
Jadi, $ Q(x) = x^2 + 2x + 34 . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk menentukan hasil pembagian $ \frac{x^3 + 30x - 68}{(x-2)} $ bisa menggunakan skema horner seperti berikut ini.
Koefisien suku-suku yang dibagi : $ 1, 0 , 30, -68 $
$ \begin{array}{c|ccccc} 2 & 1 & 0 & 30 & -68 & \\ & * & 2 & 4 & \, \, 68 & + \\ \hline & 1 & 2 & 34 & \text{sisa } = 0 & \end{array} $
Hasilnya adalah $ x^2 + 2x + 34 $.

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Bentuk persamaan hiperbola yang memiliki asimtot $ y = 4x - 4 $ dan $ y = -4x + 4 $ adalan ....
A). $ (x-1)^2 - 16y^2 = c \, $
B). $ 16(x-1)^2 - y^2 = c \, $
C). $ 16(x+1)^2 - y^2 = c \, $
D). $ 4(x-1)^2 - y^2 = c \, $
E). $ 4(x+1)^2 - y^2 = c \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan asimtotnya :
$ y = 4x - 4 \rightarrow y = 4(x-1) $
$ y = -4x + 4 \rightarrow y = -4(x-1) $
Jika digabung persamaan asistotnya adalah :
$ y = \pm 4(x-1) $ atau $ y = \pm \frac{4}{1}(x-1) $
yang sama dengan $ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $ ,
artinya $ p = 1, q = 0 , a = 1, $ dan $ b = 4 $.
*). Menyusun persamaan hiperbola :
$\begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{1^2} - \frac{(y-0)^2}{4^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{1} - \frac{y^2}{16} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 16)} \\ 16(x-1)^2 - y^2 & = 16 \end{align} $
atau dapat ditulis :
$ 16(x-1)^2 - y^2 = c \, $ dengan $ c $ adalah konstanta.
Jadi, persamaannya $ 16(x-1)^2 - y^2 = c . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 0 < x <\frac{\pi}{2} $ dan $ 3\tan ^2 x + \tan x = 3 $, maka nilai $ \cos ^2 x - \sin ^2 x $ yang mungkin adalah ....
A). $ \frac{1}{\sqrt{37}} \, $ B). $ \frac{1}{\sqrt{38}} \, $ C). $ \frac{1}{\sqrt{39}} \, $ D). $ \frac{1}{\sqrt{40}} \, $ E). $ \frac{1}{\sqrt{41}} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \sin 2x = 2\sin x . \cos x \rightarrow \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x $
$ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x } $
$ \tan x = \frac{depan}{samping} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \tan 2x $ :
$\begin{align} 3\tan ^2 x + \tan x & = 3 \\ 3.\frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x} + \frac{\sin x}{\cos x} & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \cos ^2 x ) \\ 3\sin ^2 x + \sin x\cos x & = 3 \cos ^2 x \\ \sin x\cos x & = 3 \cos ^2 x - 3\sin ^2 x \\ \sin x\cos x & = 3 ( \cos ^2 x - \sin ^2 x ) \\ \frac{1}{2}\sin 2x & = 3 \cos 2 x \\ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} & = \frac{3}{\frac{1}{2}} \\ \tan 2x & = 6 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos 2x $ dari $ \tan 2x = 6 = \frac{6}{1} = \frac{depan}{samping} $ :
Segitiga siku-sikunya :
 

Nilai $ \cos 2x = \frac{samping}{miring} = \frac{1}{\sqrt{37}} $.
Sehingga $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x = \frac{1}{\sqrt{37}} $.
Jadi, nilai $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \frac{1}{\sqrt{37}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut tumpul $ \alpha $ dengan $ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} $ . Jika $ |\vec{a}| = \sqrt{5} $ dan $ |\vec{b}| = \sqrt{7} $ dan $ \vec{b}=\vec{a}+\vec{c} $ , maka $ \vec{a}.\vec{c} = .... $
A). $ \sqrt{5} - \sqrt{30} \, $ B). $ \sqrt{30} - 5 \, $
C). $ -\sqrt{5} - \sqrt{30} \, $ D). $ -5 - \sqrt{30} \, $
E). $ -\sqrt{5} + \sqrt{30} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha $
$ \vec{a}.\vec{a} = |\vec{a}|^2 $
$ \vec{p}(\vec{q}+\vec{r}) = \vec{p}.\vec{q}+\vec{p}.\vec{r} $
*). Rumus trigonometri :
$\sin x = \frac{depan}{miring} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \cos \alpha $ dari $ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} $ :
 

Sudut $ \alpha $ tumpul, sehingga nilai $ \cos \alpha $ negatif yaitu :
$ \cos \alpha = \frac{samping}{miring} = -\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} $.
*). Menentukan nilai $ \vec{a}.\vec{c} $ :
$\begin{align} \vec{b} & =\vec{a}+\vec{c} \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \vec{a}) \\ \vec{a}.\vec{b} & =\vec{a}.\vec{a}+\vec{a}.\vec{c} \\ |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha & = |\vec{a}|^2+\vec{a}.\vec{c} \\ \sqrt{5}. \sqrt{7}. - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} & = (\sqrt{5})^2+\vec{a}.\vec{c} \\ -\sqrt{30} & = 5 +\vec{a}.\vec{c} \\ -5 -\sqrt{30} & = \vec{a}.\vec{c} \end{align} $
Jadi, nilai $ \vec{a}.\vec{c} = -5 -\sqrt{30} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan $ S $ beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif $ x $ yang memenuhi $ \frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} < 0 $. Berakah nilai $ a $ sehingga hasil penjumlahan semua anggota $ S $ minimum?
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai minimum artinya nilai terkecil.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan bentuk pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} & < 0 \\ \frac{(x-a)^2}{(x+1)(x-4)} & < 0 \end{align} $
*). Karena pembilang selalu positif, maka nilai negatif hanya terjadi pada penyebut yaitu saat $ -1 < x < 4 $ yang merupakan solusi dari pertidaksamaan tersebut tanpa melibatkan akar pembilangnya yaitu $ a $.
*). Agar jumlah anggota himpunan $ S $ minimum, maka nilai $ a $ harus ada di antara $ -1 $ dan 4.
*). Menentukan himpunan $ S $ dan jumlahnya berdasarkan nilai $ a $ :
-). $ a = 0 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <0 \vee 0< x <4 $
$ S = \{ 1,2,3\} \, $ , jumlah $ = 1 + 2 + 3 = 6 $.
-). $ a = 1 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <1 \vee 1< x <4 $
$ S = \{ 2,3\} \, $ , jumlah $ = 2 + 3 = 5 $.
-). $ a = 2 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <2 \vee 2< x <4 $
$ S = \{ 1,3\} \, $ , jumlah $ = 1 + 3 = 4 $.
-). $ a = 3 $ , solusi pertidaksamaan $ -1< x <3 \vee 3< x <4 $
$ S = \{ 1,2\} \, $ , jumlah $ = 1 + 2 = 3 $.
Jadi, jumlah minimum pada saat $ a = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A , B $ memenuhi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2A}{A-2B} - \frac{6B}{A + 2B} = 3 \\ -\frac{A}{A-2B} + \frac{6B}{A + 2B} = -1 \\ \end{array} \right. $
maka $ \frac{AB}{A^2 - 4B^2} = .... $
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ \frac{4}{3} \, $ E). $ \frac{5}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan dapat dilakukan dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Misalkan : $ p = \frac{A}{A-2B} $ dan $ q = \frac{B}{A+2B} $
Sistem persamaan pada soal menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} 2p - 6q = 3 \\ -p+6q = -1 \\ \end{array} \right. $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 2p - 6q = 3 & \\ -p+6q = -1 & + \\ \hline p = 2 & \end{array} $
*). Menentukan hubungan A dan B dengan $ p = 2 $ :
$ p = 2 \rightarrow \frac{A}{A-2B} = 2 \rightarrow A = 2A - 4B \rightarrow A = 4B $
*). Substitusi bentuk $ A = 4B $ ke soal :
$\begin{align} \frac{AB}{A^2 - 4B^2} & = \frac{4B.B}{(4B)^2 - 4B^2} \\ & = \frac{4B^2}{16B^2 - 4B^2} \\ & = \frac{4B^2}{12B^2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{AB}{A^2 - 4B^2} = \frac{1}{3} . \, \heartsuit $