Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \{ x | a < x < b \} \, $ adalah himpunan penyelesaian $ 4^{x^2 + x} - 2^{5x + 2} < 0 \, $ maka $ ab = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen
*). Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Pertidaksamaan eksponen :
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ Memiliki solusi :
Untuk $ a > 1 , \, $ maka $ f(x) < g(x) $ atau
Untuk $ a < 1 , \, $ maka $ f(x) > g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} 4^{x^2 + x} - 2^{5x + 2} & < 0 \\ 4^{x^2 + x} & < 2^{5x + 2} \\ (2^2)^{x^2 + x} & < 2^{5x + 2} \\ 2^{2x^2 + 2x} & < 2^{5x + 2} \\ 2x^2 + 2x & < 5x + 2 \\ 2x^2 - 3x - 2 & < 0 \\ (2x+1)(x-2) & = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \vee x & = 2 \end{align} $
 
Sehingga solusinya $\{ -\frac{1}{2} < x < 2\} $
yang sama dengan $\{ a < x < b \} , \, $
artinya $ a = -\frac{1}{2} \, $ dan $ b = 2 $.
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$ ab = -\frac{1}{2} \times 2 = -1 $.
Jadi, nilai $ ab = -1 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Pembahasan Persamaan Kuadrat dan Barisan Geometri Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - (3p-2)x + ( 2p+8) = 0 \, $ adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2 . \, $ Jika $ p \, $ positif dan $ x_1, p , x_2 \, $ membentuk barisan geometri, maka $ x_1 + p + x_2 = .... $
A). $ -11 \, $ B). $ -10 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi akar-akar pada persamaan kuadrat (PK) :
PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $,
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan geometri memiliki perbandingan (rasio) yang sama antara dua suku berdekatan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui PK : $ x^2 - (3p-2)x + (2p+8) = 0 \, $ , akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $.
$ a = 1, \, b = -(3p-2) , \, $ dan $ c = (2p+8) $.
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-[-(3p-2)]}{1} = 3p - 2 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2p+8}{1} = 2p+8 $
*). Barisan geometri : $ x_1, \, p, \, x_2 $
Perbandingan sama :
$ \begin{align} \frac{p}{x_1} & = \frac{x_2}{p} \\ p^2 & = x_1.x_2 \\ p^2 & = 2p+8 \\ p^2 - 2p - 8 & = 0 \\ (p+2)(p-4) & = 0 \\ p = -2 \vee p & = 4 \end{align} $
Yang memenuhi $ p = 4 \, $ karena positif.
Sehingga nilai : $ x_1 + x_ 2 = 3p - 2 = 3.4 - 2 = 10 $.
*). Menentukan hasil dari $ x_1 + p + x_ 2 $
$ x_1 + p + x_ 2 = (x_1 + x_2) + p = 10 + 4 = 14 $.
Jadi, nilai $ x_1 + p + x_ 2 = 14 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Pembahasan Eksponen dan Logaritma Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x \, $ dan $ y \, $ positif memenuhi persamaan $ {}^2 \log (xy-2y) = 1 + {}^2 \log 5 \, $ dan $ \frac{3^{3x}}{9} = 3^{2y} , \, $ maka $ x + y = ..... $
A). $ 10 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Logartima :
Persamaan : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
sifat : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (b.c) $
*). Eksponen :
persamaan : $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
sifat : $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan
Pertama :
$ \begin{align} {}^2 \log (xy-2y) & = 1 + {}^2 \log 5 \\ {}^2 \log (xy-2y) & = {}^2 \log 2 + {}^2 \log 5 \\ {}^2 \log (xy-2y) & = {}^2 \log 2 \times 5 \\ {}^2 \log (xy-2y) & = {}^2 \log 10 \\ xy-2y & = 10 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
Kedua :
$ \begin{align} \frac{3^{3x}}{9} & = 3^{2y} \\ \frac{3^{3x}}{3^2} & = 3^{2y} \\ 3^{3x-2} & = 3^{2y} \\ 3x-2 & = 2y \\ y & = \frac{3x-2}{2} \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (ii) ke (i)
$ \begin{align} xy-2y & = 10 \\ x \times \frac{3x-2}{2}-2 \times \frac{3x-2}{2} & = 10 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ (3x^2 - 2x) - 6x + 4 & = 20 \\ 3x^2 - 8x - 16 & = 0 \\ (3x + 4)(x-4) & = 0 \\ x = - \frac{4}{3} \vee x & = 4 \end{align} $
Yang memenuhi $ x = 4 \, $ karena yang diminta positif.
Pers(ii) : $ y = \frac{3x-2}{2} = \frac{3.4-2}{2} = \frac{10}{2} = 5 $
*). Menentukan hasil $ x + y $
$ \begin{align} x + y = 4 + 5 = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y = 9 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Pembahasan Penggunaan Turunan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva fungsi $ f(x) = x^4 + 2x^3 \, $ mencapai minimum di titik $ (\alpha , \beta ) \, $ maka $ \alpha - \beta = .... $
A). $ \frac{1}{16} \, $ B). $ \frac{3}{16} \, $ C). $ \frac{5}{16} \, $ D). $ \frac{7}{16} \, $ E). $ \frac{9}{16} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan
*). Nilai minimum fungsi $ y = f(x) \, $ pada saat $ x_1 \, $ memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $
*). Cek $ x_1 \, $ ke Turunan kedua :
Jika $ f^{\prime \prime } (x_1) > 0 , \, $ maka jenisnya minimum,
Jika $ f^{\prime \prime } (x_1) = 0 , \, $ maka jenisnya titik belok,
Jika $ f^{\prime \prime } (x_1) < 0 , \, $ maka jenisnya maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan syarat $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f(x) & = x^4 + 2x^3 \\ f^\prime (x) & = 4x^3 + 6x^2 \\ \text{syarat } f^\prime (x) & = 0 \\ 4x^3 + 6x^2 & = 0 \\ 2x^2 (2x+3) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = -\frac{3}{2} \end{align} $
*). Cek turunan kedua :
$ f^\prime (x) = 4x^3 + 6x^2 \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 + 12x $
$ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 12.0^2 + 12.0 = 0 $
artinya di $ x = 0 \, $ adalah titik belok.
$ x = -\frac{3}{2} \rightarrow f^{\prime \prime } (-\frac{3}{2} ) = 12.(-\frac{3}{2} )^2 + 12.(-\frac{3}{2} ) = 3 $
artinya di $ x = -\frac{3}{2} \, $ adalah minimum.
*). Menentukan titik minimum :
$ x = -\frac{3}{2} \rightarrow f(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^4 + 2.(-\frac{3}{2})^3 = - \frac{27}{16} $
artinya titik minimumnya yaitu :
$ (\alpha , \beta) = (-\frac{3}{2}, - \frac{27}{16} ) $
*). Menentukan nilai $ \alpha - \beta $ :
$ \alpha - \beta = -\frac{3}{2} - ( - \frac{27}{16} ) = \frac{3}{16} $
Jadi, nilai $ \alpha - \beta = \frac{3}{16} . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Pembahasan Garis Singgung Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis singgung kurva $ f(x) = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} \, $ di titik $(3,1) \, $ sejajar sumbu-X, maka $ p+q = ..... $
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis singgung kurva $ y = f(x) \, $ di titik $(x_1,y_1)$ adalah $ m = f^\prime (x_1) $
*). Garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Garis yang sejajar sumbu X memiliki gradien nol.
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime V - U V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik (3,1) ke fungsi $ f(x) = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} $
$ \begin{align} (x,y) = (3,1) \rightarrow y & = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} \\ 1 & = \frac{p.3-q}{(3-1)(3-2)} \\ 1 & = \frac{3p-q}{2} \\ 3p - q & = 2 \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} $
$ \begin{align} f(x) & = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} = \frac{px-q}{x^2 - 3x + 2} \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime V - U V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{p(x^2 - 3x + 2) - (px-q)(2x - 3)}{(x^2 - 3x + 2)^2} \\ & = \frac{p(x-1)(x-2) - (px-q)(2x - 3)}{[(x-1)(x-2)]^2} \end{align} $
*). Gradien garis singgung di (3,1) adalah nol
$ \begin{align} m & = 0 \\ f^\prime (3) & = 0 \\ \frac{p(3-1)(3-2) - (p.3-q)(2.3 - 3)}{[(3-1)(3-2)]^2} & = 0 \\ \frac{2p - (3p-q).(3)}{[(3-1)(3-2)]^2} & = 0 \\ 2p- 3(3p-q) & = 0 \, \, \, \, \text{dari (i)} \\ 2p- 3.(2) & = 0 \\ 2p & = 6 \\ p & = 3 \end{align} $
*). Dari Pers(i) :
$ 3p - q = 2 \rightarrow 3.3 - q = 2 \rightarrow q = 7 $
Sehingga nilai $ p + q = 3 + 7 = 10 $ .
Jadi, nilai $ p + q = 10 . \, \heartsuit $
$\spadesuit $ Catatan
         Untuk lancar dalam mengerjakan soal-soal peluang, sebaiknya teman-teman menguasai materi kombinatorik terlebih dahulu yaitu kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi.



Pembahasan Limit Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(x-8)(\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{3}{ 2} \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ \infty $

$\heartsuit $ Logika Berpikir
         Soal limit seperti pada pembahasan limit soal UM UGM matematika Dasar tahun 2016 kode 571 ini biasanya hasilnya berbentuk $ \frac{0}{0} \, $ dimana bentuk ini tidak diperbolehkan sehingga harus kita proses lagi pengerjaannya. Ada tiga cara yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikan limit yaitu pemfaktoran, kali sekawan, dan menggunakan turunan (dalil L'Hopital). Pada pembahasan kali ini, kita akan menggunakan dua cara yaitu pemfaktoran dan turunan.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pemfaktoran :
$ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $
Sehingga bentuk $ (x-8) \, $ bisa kita faktorkan menjadi :
$ x-8 = (\sqrt[3]{x})^3 - (2)^3 = (\sqrt[3]{x} - 2)( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) $
*). Turunan fungsi :
$ y = ax^n \, \rightarrow y' = n\times a x^{n-1} $
Sehingga turunan dari :
$ y = \sqrt[3]{x} = x^\frac{1}{3} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} $
*). Konsep limit menggunakan turunan
Jika $ \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} , \, $ maka $ \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to a} \frac{f^\prime (x) }{g^\prime (x)} $ .
*). sifat eksponen : $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara I : Pemfaktoran
*). Bentuk $ (x - 8 ) = (\sqrt[3]{x} - 2)( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(x-8)(\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(\sqrt[3]{x} - 2)( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) (\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) (\sqrt[3]{x} - 1 )}{1} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} ( (\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) (\sqrt[3]{x} - 1 ) \\ & = ( (\sqrt[3]{8})^2 + 2\sqrt[3]{8} + 2^2) (\sqrt[3]{8} - 1 ) \\ & = ( (2)^2 + 2.2 + 4) (2 - 1 ) \\ & = 12 \times 1 \\ & = 12 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 12 . \, \heartsuit $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II : Menggunakan Turunan
*). Turunan $ y = \sqrt[3]{x} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(x-8)(\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 1 ) \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x} - 2 } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 1 ) \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{1}{\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} } \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 8} (\sqrt[3]{x} - 1 ) \displaystyle \lim_{ x \to 8} 3x^{\frac{2}{3}} \\ & = (\sqrt[3]{8} - 1 ) \times 3\times 8^{\frac{2}{3}} \\ & = (2 - 1 ) \times 3\times 4 \\ & = 1\times 3\times 4 \\ & = 12 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 12 . \, \heartsuit $

$\spadesuit $ Catatan
untuk menghitung nilai $ 8^{\frac{2}{3}} \, $ kita gunakan sifat eksponen yaitu :
$ 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{ 3 \times \frac{2}{3}} = 2^2 = 4 $ .