Kode 371 Pembahasan Sistem Persamaan Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $(x, y)$ adalah salah satu solusi sistem persamaan $ x^2 + y^2 - 16x + 39 = 0, \, x^2 - y^2 - 9 = 0 $ maka $ x + y = .... $
A). 9 B). 6
C). 5 D). $ -1 $
E). $ -3$

$\spadesuit $ Konsep Dasar Sistem Persamaan
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, ada beberapa cara yaitu teknik substitusi, eliminasi, atau teknik gabungan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ x^2 + y^2 - 16x + 39 = 0 \, $ ....pers(i)
$ x^2 - y^2 - 9 = 0 \rightarrow y^2 = x^2 - 9 \, $ ....pers(ii)
*). Substitusikan pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 16x + 39 & = 0 \\ x^2 + (x^2 - 9) - 16x + 39 & = 0 \\ 2x^2 - 16x + 30 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 - 8x + 15 & = 0 \\ (x - 3)(x-5) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = 5 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ x = 3 \, $ dan $ x = 5 \, $ ke pers(ii) dan
menentukan nilai $ x + y $ :
$ \begin{align} x = 5 \rightarrow y^2 & = x^2 - 9 \\ y^2 & = 5^2 - 9 \\ y^2 & = 25 - 9 \\ y^2 & = 16 \\ y & = \pm \sqrt{16} \\ y & = \pm 4 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x + y = 5 + 4 = 9 \, $ atau $ x + y = 5 + (-4) = 1 $
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y^2 & = x^2 - 9 \\ y^2 & = 3^2 - 9 \\ y^2 & = 9 - 9 \\ y^2 & = 0 \\ y & = \pm \sqrt{0} \\ y & = 0 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x + y = 3 + 0 = 3 $
Sehingga nilai $ x + y \, $ adalah $ \{ 1, \, 3, \, 9 \} $.
Jadi, nilai $ x + y \, $ adalah $ 9 \, $ yang ada dipilihan gandanya . $ \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 371 Pembahasan Fungsi Kuadrat Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui parabola $ y = x^2 - 4x +6 $ dipotong oleh garis $ l $ di dua titik berbeda. Jika garis $ l $ melalui titik $(3, 2)$ dan mempunyai gradien $m$, maka . . .
A). $ -4 < m < 0 \, $ B). $ 0 < m < 4 \, $
C). $ m < 0 \vee m > 4 \, $ D). $ m < 1 \vee m > 4 \, $
E). $ m < -4 \vee m > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Parabola dan garis lurus
*). Syarat garis dan parabola berpotongan adalah $ D > 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
Dimana nilai $ a, \, b \, $ dan $ c \, $ diperoleh dari $ ax^2 + bx + c = 0 $.
*). Persamaan garis lurus dengan gradien $ m $ adalah $ y = mx + c $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis $ l $ :
Garis $ l $ melalui titik $(3,2) $, substitusi titik tersebut ke persamaan umum garis :
$ \begin{align} (x,y) = (3,2) \rightarrow y & = mx + c \\ 2 & = m.3 + c \\ 2 & =3m + c \\ c & = 2 - 3m \end{align} $
Sehingga persamaan garis $ l $ :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx + (2 - 3m) $.
*). Kita samakan persamaan garis dan parabola
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 4x + 6 & = mx + 2 -3m \\ x^2 -4x + 6 - mx - 2 + 3m & = 0 \\ x^2 - ( m+4)x + (3m + 4) & = 0 \end{align} $
Kita peroleh : $ a = 1, \, b = -(m+4) \, $ dan $ c = 3m + 4 $.
*). Syarat berpotongan dua titik berbeda : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ [-(m+4)]^2 - 4.1.(3m+4) & > 0 \\ m^2 + 8m + 16 - 12m - 16 & > 0 \\ m^2 - 4m & > 0 \\ m(m-4) & = 0 \\ m = 0 \vee m & = 4 \end{align} $
gambar garis bilangannya :
Sehingga solusinya :
$ \{ m < 0 \vee m > 4\} $.
Jadi, solusinya adalah $ \{ m < 0 \vee m > 4\} . \, \heartsuit $



Diposting oleh 2 komentar:
Label:

Kode 371 Pembahasan Persamaan Kuadrat Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persamaan kuadrat
$ x^2 - 2x - 3 = 0 \, \, \, \, \, $ (1)
$ x^2 - ax + b = 0 \, \, \, \, \, $ (2)
Jika jumlah kedua akar persamaan (2) sama dengan tiga kali jumlah kedua akar persamaan (1) dan kuadrat selisih kedua akar persamaan (1) sama dengan kuadrat selisih kedua akar persamaan (2), maka $ b = .... $
A). $ b = 4 \, $ B). $ b = 5 \, $
C). $ b = 6 \, $ D). $ b = 7 \, $
E). $ b = 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK)
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat :
Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memisalkan akar-akarnya dan operasinya :
PK (1). $ x^2 - 2x - 3 = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $.
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2 $
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 . 1. (-3) = 4 + 12 = 16 $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{16}}{1} = \sqrt{16} $
PK (2). $ x^2 - ax + b = 0 \, $ akar-akarnya $ y_1 \, $ dan $ y_2 $.
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-a)}{1} = a $
$ D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4.1.b = a^2 - 4b $
$ y_1 - y_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{ a^2 - 4b}}{1} = \sqrt{ a^2 - 4b} $
*). Menyusun persamaan dan menyelesaikannya
Pertama :
Jumlah akar-akar PK (2) sama dengan tiga kali jumlah akar-akar PK(2)
$ \begin{align} y_1 + y_2 & = 3(x_1 + x_2) \\ a & = 3 \times 2 \\ a & = 6 \end{align} $
Kedua :
Kuadrat selisih akar-akar PK(1) sama dengan kuadrat selisih akar-akar PK(2)
$ \begin{align} (x_1-x_2)^2 & = (y_1-y_2)^2 \\ (\sqrt{16})^2 & = (\sqrt{ a^2 - 4b})^2 \\ 16 & = a^2 - 4b \\ 16 & = 6^2 - 4b \\ 16 & = 36 - 4b \\ 4b & = 36 - 16 \\ 4b & = 20 \\ b & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 5 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 371 Pembahasan Eksponen Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a^x = b^y = c^z \, $ dan $ b^2 = ac $ , maka $ x = .... $
A). $\frac{2yz}{y+z} \, $ B). $ \frac{2yz}{2z-y}\, $
C). $ \frac{2yz}{2y-z} \, $ D). $ \frac{yz}{2y-z} \, $
E). $ \frac{yz}{2z-y} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Eksponen
*). Sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ a^m = b^n \rightarrow a = b^\frac{n}{m} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Diketahui : $ a^x = b^y = c^z $
$ a^x = b^y \rightarrow a = b^\frac{y}{x} $
$ c^z = b^y \rightarrow c = b^\frac{y}{z} $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} b^2 & = a . c \\ b^2 & = b^\frac{y}{x} . b^\frac{y}{z} \, \, \, \, \, \, \text{(sifat eksponen)} \\ b^2 & = b^{\frac{y}{x} + \frac{y}{z}} \\ \not{b}^2 & = \not{b}^{\frac{yz + yx}{xz}} \, \, \, \, \, \, \text{(persamaan eksponen)} \\ 2 & = \frac{yz + yx}{xz} \\ 2xz & = yz + yx \\ 2xz - yx & = yz \\ x(2z - y) & = yz \\ x & = \frac{yz}{2z - y} \end{align} $
Jadi, bentuk $ x = \frac{yz}{2z - y} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Kode 371 Pembahasan Bentuk Akar Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} \, $ dapat dinyatakan sebagai $ \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{30}}{12} , \, $ maka $ a + b + c = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 $
C). $ 2 \, $ D). $ 3 $
E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Untuk merasionalkan bentuk akar, kita kalikan dengan sekawannya.
*). Perkalian bentuk sekawan menggunakan konsep :
$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.
*). Bentuk $ \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \, $ memiliki bentuk sekawan $ \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} $. Sehingga hasil perkaliannya :
$ \begin{align} (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} )(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} ) & = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 \\ & = (2 +3 + 2\sqrt{6}) - (5) \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Merasionalkan penyebutnya :
$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} } & = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} } \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} } \\ & = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{2\sqrt{6} } \\ & = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5} }{2\sqrt{6} } \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\ & = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{30} }{2 \times 6} \\ & = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{30} }{12} \\ & = \frac{ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{30} }{12} \end{align} $
Bentuk akhir harus sama dengan $ \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{30}}{12} $.
Sehingga :
$ \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{30}}{12} = \frac{ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{30} }{12} $
Kita peroleh nilai $ a = 3, \, b = 2 \, $ dan $ c = -1 $.
*). Menentukan nilai $ a + b + c $
$ a + b + c = 3 + 2 + (-1) = 4 $.
Jadi, nilai $ a + b + c = 4 . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Soal dan Pembahasan UM UGM Matematika Dasar kode 371 tahun 2016


Nomor 1
Jika $ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}} \, $ dapat dinyatakan sebagai $ \frac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{30}}{12} , \, $ maka $ a + b + c = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 $
C). $ 2 \, $ D). $ 3 $
E). $ 4 $
Nomor 2
Jika $ a^x = b^y = c^z \, $ dan $ b^2 = ac $ , maka $ x = .... $
A). $\frac{2yz}{y+z} \, $ B). $ \frac{2yz}{2z-y}\, $
C). $ \frac{2yz}{2y-z} \, $ D). $ \frac{yz}{2y-z} \, $
E). $ \frac{yz}{2z-y} $
Nomor 3
Diketahui persamaan kuadrat
$ x^2 - 2x - 3 = 0 \, \, \, \, \, $ (1)
$ x^2 - ax + b = 0 \, \, \, \, \, $ (2)
Jika jumlah kedua akar persamaan (2) sama dengan tiga kali jumlah kedua akar persamaan (1) dan kuadrat selisih kedua akar persamaan (1) sama dengan kuadrat selisih kedua akar persamaan (2), maka $ b = .... $
A). $ b = 4 \, $ B). $ b = 5 \, $
C). $ b = 6 \, $ D). $ b = 7 \, $
E). $ b = 8 $
Nomor 4
Diketahui parabola $ y = x^2 - 4x +6 $ dipotong oleh garis $ l $ di dua titik berbeda. Jika garis $ l $ melalui titik $(3, 2)$ dan mempunyai gradien $m$, maka . . .
A). $ -4 < m < 0 \, $ B). $ 0 < m < 4 \, $
C). $ m < 0 \vee m > 4 \, $ D). $ m < 1 \vee m > 4 \, $
E). $ m < -4 \vee m > 1 $
Nomor 5
Jika $(x, y)$ adalah salah satu solusi sistem persamaan $ x^2 + y^2 - 16x + 39 = 0, \, x^2 - y^2 - 9 = 0 $ maka $ x + y = .... $
A). 9 B). 6
C). 5 D). $ -1 $
E). $ -3$
Nomor 6
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{1+\sqrt{4 -x^2}}{x^2-x} > 0 $ adalah .....
A). $ -2 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \, $
B). $ -2 < x < 0 \vee 1 < x < 2 \, $
C). $ -2 \leq x < -1 \vee 0 < x \leq 2 \, $
D). $ x < 0 \vee x > 1 \, $
E). $ 0 < x < 1 $

Nomor 7
Pada gambar di bawah ini, daerah yang diarsir memenuhi sistem pertidaksamaan ....
 
A). $ y \geq 0, \, 2y - x \leq 1, \, x+y \leq 4 \, $
B). $ y \geq 0, \, 2y - x \leq 2, \, x+y \leq 4 \, $
C). $ y \geq 0, \, 2y - x \geq 2, \, x+y \leq 4 \, $
D). $ y \geq 0, \, 2y + x \leq 2, \, x+y \geq 4 \, $
E). $ y \geq 0, \, 2y + x \leq 2, \, x+y \leq 4 $
Nomor 8
Jika jumlah suku ke-1 dan ke-3 deret geometri adalah $-5$ dan suku ke-2 dikurangi suku ke-3 sama dengan 6, maka jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 deret tersebut adalah ....
A). $ -18 \, $ atau $ -12 $
B). $ -9 \, $ atau $ -4 $
C). 18 atau 12
D). 9 atau 4
E). 18 atau 4
Nomor 9
Diketahui barisan geometri dengan jumlah suku ke-1 dan ke-3 adalah 100 dan jumlah suku-2 dan ke-4 adalah 75, maka suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). $ 24 \, $ B). $ 27 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 48 \, $ E). $ 64 $
Nomor 10
Jika A memenuhi $ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) A + \left( \begin{matrix} -1 & -2 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) $ , maka det(A) = ....
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -3 $
Nomor 11
Mimi mendapatkan nilai rata-rata 6 untuk 3 kali ulangan Matematika, nilai rata-rata 7 untuk 3 kali ulangan Biologi dan nilai rata-rata 8 untuk 4 kali ulangan Bahasa Inggris, dan masih ada 5 ulangan lagi dari ketiga pelajaran tersebut yang akan diikuti Mimi. Agar Mimi mendapatkan nilai ratarata untuk tiga mata pelajaran minimal 7, 2, maka Mimi harus mendapatkan nilai rata-rata 5 ulangan minimal ....
A). $ 7,2 \, $ B). $ 7,3 \, $ C). $ 7,4 \, $ D). $ 7,5 \, $ E). $ 7,6 $
Nomor 12
Jika $ \cos ^2 x = \sqrt{3} \sin x $ , maka $ \sin x = .... $
A). $ \frac{1 - 2\sqrt{3}}{2} \, $ B). $ \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \, $
C). $ \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \, $ D). $ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} \, $
E). $ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} $

Nomor 13
Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari empat angka berbeda yang disusun dari angka 0, 1, 3, 5, 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak boleh nol, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah ....
A). $ 48 \, $ B). $ 72 \, $ C). $ 96 \, $ D). $ 108 \, $ E). $ 120 $
Nomor 14
Diberikan fungsi f dan g dengan $ f (x-2) = 3x^2 - 16x + 26 \, $ dan $ g(x) = ax - 1$. Jika $( f \circ g)(3) = 61, $ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ \frac{8}{9} \, $ C). $ \frac{9}{8} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $
Nomor 15
Jika $ \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{x^2+ax+b}{x^2+3x+2} = -4$, maka nilai $ a + b \, $ adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 $
Nomor 16
Garis lurus yang menyinggung kurva $ y = \sqrt[3]{6-x} \, $ di titik $ x = -2 \, $ akan memotong sumbu X di titik ....
A). $ (18,0) \, $ B). $ (19,0) \, $ C). $ (20,0) \, $ D). $ (21,0) \, $ E). $ (22,0) $
Nomor 17
Luas minimum segitiga yang dapat dibentuk oleh garis lurus yang melalui titik (4, 3) dengan sumbu-sumbu koordinat adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 24 \, $ E). $ 26 $
Nomor 18
Semua nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) > 3 \, $ berada pada ....
A). $ -3 < x < -2 \vee 2 < x < 5 \, $
B). $-5 < x < -2 \vee 2 < x < 3 \, $
C). $ -3 < x < -\sqrt{3} \vee \sqrt{3} < x < 5 \, $
D). $ x < -2 \vee x > 2 \, $
E). $ 2 < x < 5 $
Nomor 19
Titik $P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2),...,P_{10}(x_{10},y_{10}) \, $ dilalui oleh garis $ g $ yang mempunyai persamaan $ y + 2x - 3 = 0 $. Bilangan-bilangan $x_1,x_2,...,x_{10} $ membentuk barisan aritmetika. Jika $ x_{10}=2 \, $ dan $ y_5 = 7 $ , maka $ y_7 = .... $
A). $ \frac{19}{5} \, $ B). $ \frac{17}{5} \, $ C). $ \frac{15}{5} \, $ D). $ \frac{13}{5} \, $ E). $ \frac{11}{5} $
Nomor 20
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi $ {}^2 \log x^2 + {}^3 \log \frac{1}{y^3} = 4 $ dan $ {}^2 \log x + {}^3 \log y^4 = 13 $ , maka ${}^4 \log x - {}^y \log 9 = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $



Diposting oleh 2 komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)