Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 542 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Vektor-vektor $ u , \, v , \, $ dan $ x \, $ tidak nol. Vektor $ u+v \, $ tegak lurus $ u - x \, $ , jika ....
(A) $ |u+v| = |u-v| $
(B) $ |v| = |x| $
(C) $ u.u = v.v, \, v = -x $
(D) $ u.u = v.v, \, v = x $
(E) $ u.v = v.v $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : vektor $ a \, $ tegak lurus vektor $ b \, $ , maka $ a . b = 0 $
$\spadesuit \, $ Vektor $ u+v \, $ tegak lurus $ u - x \, $ , sehingga perkalian dot nya = 0
$\begin{align} (u+v).(u-x) & = 0 \\ u.u - u.x + u.v - v.x & = 0 \\ (u.u - v.x) + (u.v - u.x) & = 0 \\ \text{ agar nilainya nol, maka } & \\ (u.v - u.x) = 0 \, \text{ dan } & (u.u - v.x) = 0 \\ \text{ menyelesaikan kedua} \, & \, \text{persamaan } \\ (i). \, \, (u.v - u.x) & = 0 \\ u(v-x) & = 0 \\ u = 0 \vee v & = x \\ \text{karena } \, u \neq 0 , \, \text{ sehingga } & \text{ yang memenuhi } \, v = x \\ (ii). \, \, (u.u - v.x) & = 0 \\ u.u & = v.x \, \, \, \, \text{(substitusi} \, v = x ) \\ u.u & = v.v \end{align}$
Sehingga diperoleh : $ u.u = v.v \, $ dan $ v = x $
Jadi, $ u+v \, $ tegak lurus $ u - x \, $ jika $ u.u = v.v \, $ dan $ v = x . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui $ a, \, a+b, \, $ dan $ 4a + b \, $ merupakan 3 suku berurutan suatu barisan aritmetika. Jika $ a, \, a+b, \, 4a + b + 9 \, $ merupakan suatu barisan geometri, maka $ a + b = .... $
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $ a, \, a+b, \, $ dan $ 4a + b \, $
Selisih sama :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ 2(u_2) & = u_1 + u_3 \\ 2(a+b) & = a + ( 4a + b ) \\ b & = 3a \, \, \, \text{ ....pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ a, \, a+b, \, 4a + b + 9 $
Rasio sama dan nilai $ a \neq 0 \, $ :
$\begin{align} \frac{u_2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ (u_2)^2 & = u_1.u_3 \\ (a+b)^2 & = (a) . (4a+b+9) \, \, \, \text{ (subst. } \, b = 3a ) \\ (a+3a)^2 & = (a) . (4a+3a+9) \\ (4a)^2 & = (a) . (7a+9) \\ 16a^2 & = 7a^2 + 9a \\ 9a^2 - 9a & = 0 \\ 9a(a-1) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 1 \\ \text{ dari pers(i) , } & \text{ diperoleh } \\ a = 0 \rightarrow b & = 3a = 3.0 = 0 \, \text{(tidak memenuhi)} \\ a = 1 \rightarrow b & = 3a = 3.1 = 3 \, \text{(memenuhi)} \end{align}$
Sehingga nilai $ a + b = 1 + 3 = 4 $
Jadi, nilai $ a + b = 4 . \heartsuit$
Nomor 8
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{Ax+B} - 2 }{x } = 1, \, $ maka ....
(A) $ B = A^2 $
(B) $ 4B^2 = A $
(C) $ 4B = A^2 $
(D) $ 4B = A $
(E) $ A + B = 0 $
$\clubsuit \, $ Konsep penerapan turunan pada limit tak tentu
$ \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} \, $ sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $
Konsep Turunan : $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x) }{2\sqrt{f(x)}} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limitnya dengan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{Ax+B} - 2 }{x } & = 1 \, \, \, \text{ (diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{A}{2\sqrt{Ax+B}} }{1 } & = 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{A}{2\sqrt{Ax+B}} & = 1 \\ \frac{A}{2\sqrt{A.0+B}} & = 1 \\ \frac{A}{2\sqrt{B}} & = 1 \\ A & = 2\sqrt{B} \, \, \, \text{ (kuadratkan)} \\ A^2 & = 4B \end{align}$
Jadi, diperoleh $ A^2 = 4B . \heartsuit $
Nomor 9
Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis $x=-2$, dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis $4x+y=4$. Titik puncak parabola tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan persamaan fungsinya , $y=f(x)=ax^2+bx+c$. Dengan titik puncak $(x_p,y_p) \, \,$ : $x_p=-\frac{b}{2a}$ dan $y_p=f(x_p)$ , serta $f^\prime(x)=2ax+b$.
$\clubsuit \, $ Sumbu simetrinya $x=-2 \,$ dengan $ x=x_p$ :
$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:
$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=ax^2+bx+1$
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $4x+y=4$, artinya gradiennya sama dengan gradien garis $4x+y=4\, $ yaitu $m=-4$.
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):
$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) : $b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=-x^2-4x+1$
$\clubsuit \, $ Menentukan titik puncak:
$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$.
Jadi, titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$
Nomor 10
Diketahui $ P \, $ dan $ Q \, $ suatu polinomial sehingga $ P(x)Q(x) \, $ dibagi $ x^2 - 1 \, $ bersisa $ 3x + 5 . \, $ Jika $ Q(x) \, $ dibagi $ x-1 \, $ bersisa 4, maka $ P(x) \, $ dibagi $ x-1 \, $ bersisa ....
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
Suatu fungsi habis dibagi, artinya sisanya = 0 .
Pembagian Polinomial :
$ P(x)Q(x) : x^2 - 1 = (x-1)(x+1), \, $ sisa = $ 3x + 5 \, $ , artinya
$ P(1)Q(1) = 3.1 + 5 \rightarrow P(1)Q(1) = 8 \, $ ....pers(i)
$ Q(-1)f(-1) = 3.(-1) + 5 \rightarrow P(-1)Q(-1) = 2 \, $ ....pers(ii)
$ Q(x) : (x-1), \, $ sisa = 4 , artinya $ Q(1) = 4 \, $ ....pers(iii)
$\spadesuit \, $ Substitusi Pers(iii) ke pers(i) diperoleh
$ P(1)Q(1) = 8 \rightarrow P(1) . 4 = 8 \rightarrow P(1) = 2 \, $ ....pers(iv)
Sehingga $ P(x) : (x-1), \, $ maka sisanya = $ P(1) = 2 $
Jadi, sisanya adalah $ 2 . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15