Pembahasan Gradien PGS UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Gradien kurva $ f(x) = x^3 - 4x^2 + ax - 5 $ di titik $ (-1,f(-1)) $ sama dengan $ 5a-1$. Gradien kurva di titik $ (2, f(2)) $ adalah ...
A). $ 3 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Gradien persamaan garis singgung (PGS) kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) = x^3 - 4x^2 + ax - 5 \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 - 8x + a $ :
*). Gradien kurva $ f(x) = x^3 - 4x^2 + ax - 5 $ di titik $ (-1,f(-1)) $ sama dengan $ 5a-1$. artinya $ m = 5a - 1 $ saat $ x_1 = -1 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} m & = f^\prime (x_1) \\ 5a - 1 & = f^\prime (-1) \\ 5a - 1 & = 3.(-1)^2 - 8.(-1) + a \\ 5a - 1 & = 3 + 8 + a \\ 4a & = 12 \\ a & = 3 \end{align} $
Sehingga : $ f^\prime (x) = 3x^2 - 8x + 3 $
*). Menentukan gradien kurva di titik $ (2, f(2)) $ artinya $ x_1 = 2 $ :
$\begin{align} m & = f^\prime (2) \\ & = 3.2^2 - 8.2 + 3 \\ & = 12 - 16 + 3 \\ & = -1 \end{align} $
Jadi, gradiennya adalah $ -1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^n - 2^n}{x^\frac{n}{3} - 2^\frac{n}{3}} = 3\sqrt[3]{16} $ , maka $ n = ...$
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki penyelesaian $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Bentuk akar : $ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
*). Persamaan eksponen : $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasil limitnya dengan substitusi :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^n - 2^n}{x^\frac{n}{3} - 2^\frac{n}{3}} & = \frac{2^n - 2^n}{2^\frac{n}{3} - 2^\frac{n}{3}} = \frac{0}{0} \end{align} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0}$, maka bisa menggunakan turunan
*). Menentukan nilai $ n $ :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^n - 2^n}{x^\frac{n}{3} - 2^\frac{n}{3}} & = 3\sqrt[3]{16} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{nx^{n-1} - 0}{\frac{n}{3}x^{\frac{n}{3} - 1} - 0} & = 3\sqrt[3]{2^4} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{nx^{n-1} }{\frac{n}{3}x^{\frac{n}{3} - 1} } & = 3. 2^\frac{4}{3} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} 3x^{(n-1) -(\frac{n}{3} - 1)} & = 3. 2^\frac{4}{3} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} 3x^\frac{2n}{3} & = 3. 2^\frac{4}{3} \\ 3 . 2^\frac{2n}{3} & = 3. 2^\frac{4}{3} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 2^\frac{2n}{3} & = 2^\frac{4}{3} \\ \frac{2n}{3} & = \frac{4}{3} \\ n & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ n = 2 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi Invers UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f^{-1} $ adalah invers fungsi $ f $ dengan $ f^{-1}(1-x)=\frac{2x-1}{1-x} $ , maka $ \frac{f(x-2)-f^{-1}(x)}{2} = ...$
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{x}+2 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ \frac{1}{x} - 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat fungsi invers :
$ [f^{-1} (x) ]^{-1} = f(x) $
(bentuk invers di inverskan lagi maka kembali ke fungsi awal atau inversnya hilang).
*). Cara menentukan invers fungsi yaitu dengan permisalan.
*). Menentukan invers pecahan :
$ g(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{-dx + b}{cx - a } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah $ f^{-1}(1-x)=\frac{2x-1}{1-x} $ menjadi $ f^{-1} (x) $ :
Misalkan : $ 1 - x = p \rightarrow x = 1 - p $
$\begin{align} f^{-1}(1-x) & = \frac{2x-1}{1-x} \\ f^{-1}(p) & = \frac{2(1-P)-1}{1-(1-p)} \\ f^{-1}(p) & = \frac{2 - 2p - 1}{1- 1 + p} \\ f^{-1}(p) & = \frac{1 - 2p}{p} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1 - 2x}{x} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - \frac{ 2x}{x} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - 2 \end{align} $
*). Menentukan $ f(x) $ dari $ f^{-1}(x) = \frac{1 - 2x}{x} = \frac{-2x + 1}{x + 0 } $ yaitu dengan menginverskannya :
$\begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{-2x + 1}{x + 0 } \\ [f^{-1}(x)]^{-1} & = \frac{0x + 1}{x - (-2)} \\ f(x) & = \frac{1}{x+2} \\ \end{align} $
Sehingga : $ f(x-2) = \frac{1}{(x-2)+2} = \frac{1}{x } $
*). Menentukan hasil akhirnya :
$\begin{align} \frac{f(x-2) - f^{-1}(x)}{2} & = \frac{ \frac{1}{x } - (\frac{1}{x} - 2) }{2} \\ & = \frac{ \frac{1}{x } - \frac{1}{x} + 2 }{2} \\ & = \frac{ 2 }{2} = 1 \end{align} $
Jadi, bentuk $ \frac{f(x-2) - f^{-1}(x)}{2} = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Invers UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f^{-1} $ adalah invers fungsi $ f $ dengan $ f^{-1}(1-x)=\frac{2x-1}{1-x} $ , maka $ \frac{f(x-2)-f^{-1}(x)}{2} = ...$
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{x}+2 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ \frac{1}{x} - 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Sifat fungsi invers :
$ [f^{-1} (x) ]^{-1} = f(x) $
(bentuk invers di inverskan lagi maka kembali ke fungsi awal atau inversnya hilang).
*). Cara menentukan invers fungsi yaitu dengan permisalan.
*). Definisi invers fungsi :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1} (y) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah $ f^{-1}(1-x)=\frac{2x-1}{1-x} $ menjadi $ f^{-1} (x) $ :
Misalkan : $ 1 - x = p \rightarrow x = 1 - p $
$\begin{align} f^{-1}(1-x) & = \frac{2x-1}{1-x} \\ f^{-1}(p) & = \frac{2(1-P)-1}{1-(1-p)} \\ f^{-1}(p) & = \frac{2 - 2p - 1}{1- 1 + p} \\ f^{-1}(p) & = \frac{1 - 2p}{p} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1 - 2x}{x} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - \frac{ 2x}{x} \\ f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - 2 \end{align} $
*). Menentukan $ f(x) $ dari $ f^{-1}(x) = \frac{1}{x} - 2 $ yaitu dengan menginverskan bentuk $ f^{-1}(x) = \frac{1}{x} - 2 $ :
$\begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{1}{x} - 2 \\ y & = \frac{1}{x} - 2 \\ \frac{1}{x} & = y + 2 \\ x & = \frac{1}{y+2} \\ [f^{-1}(x)]^{-1} & = \frac{1}{x+2} \\ f(x) & = \frac{1}{x+2} \\ \end{align} $
Sehingga : $ f(x-2) = \frac{1}{(x-2)+2} = \frac{1}{x } $
*). Menentukan hasil akhirnya :
$\begin{align} \frac{f(x-2) - f^{-1}(x)}{2} & = \frac{ \frac{1}{x } - (\frac{1}{x} - 2) }{2} \\ & = \frac{ \frac{1}{x } - \frac{1}{x} + 2 }{2} \\ & = \frac{ 2 }{2} = 1 \end{align} $
Jadi, bentuk $ \frac{f(x-2) - f^{-1}(x)}{2} = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Dua perusahaan masing-masing memiliki 6 karyawan dengan rata-rata usia karyawannya adalah 35 tahun dan 38 tahun. Jika satu orang di masing-masing perusahaan dipertukarkan, maka rata-rata kedua kelompok tersebut menjadi sama. Selisih usia kedua karyawan yang dipertukarkan tersebut adalah ...
A). $ 3 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 9 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 18 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus rata-rata pada statistika :
rata-rata $ = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan perusahaannya adalah A dan B .
-). Perusahaan A :
$A_5 = \, $ jumlah total usia 5 orang yang tidak ditukar.
$ x_a = \, $ satu orang yang usianya ditukarkan.
rata - rata = 35
$ \frac{A_5 + x_a}{6} = 35 \rightarrow A_5 + x_a = 210 \, $ ....(i)
-). Perusahaan B :
$B_5 = \, $ jumlah total usia 5 orang yang tidak ditukar.
$ x_b = \, $ satu orang yang usianya ditukarkan.
rata - rata = 38
$ \frac{B_5 + x_b}{6} = 38 \rightarrow B_5 + x_b = 228 \, $ ....(ii)
*). Kurangkan pers(ii) dan (i) :
$\begin{array}{cc} B_5 + x_b = 228 & \\ A_5 + x_a = 210 & - \\ \hline \end{array} $
$ (B_5 - A_5) + (x_b - x_a) = 18 \, $ ....(iii)
*). Kedua orang ditukarkan ($x_a $ dan $ x_b $ ).
-). Perusahaan A menjadi : $ A_5 $ dan $ x_b $
-). Perusahaan B menjadi : $ B_5 $ dan $ x_a $
-). Rata-rata usia kedua perusahaan sama :
$ \frac{A_5 + x_b}{6} = \frac{B_5 + x_a}{6} \rightarrow A_5 + x_b = B_5 + x_a $
$ \rightarrow B_5 - A_5 = x_b - x_a \, $ ....(iv)
*). Substitusi pers(iv) ke pers(iii) :
$\begin{align} (B_5 - A_5) + (x_b - x_a) & = 18 \\ (x_b - x_a) + (x_b - x_a) & = 18 \\ 2(x_b - x_a) & = 18 \\ x_b - x_a & = 9 \end{align} $
Sehingga selisih usia kedua karyawan yang dipertukarkan tersebut adalah 9 .
Jadi, selisihnya adalah $ 9 . \, \heartsuit $