Pembahasan Statistika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 346

Soal yang Akan Dibahas
Nilai kuis geometri di suatu kelas dengan 38 siswa berupa bilangan bulat positif yang tidak lebih besar daripada 10. Rata-rata nilai kuis tersebut adalah 7. Dua siswa mengikuti kuis susulan dan memperoleh nilai yang berbeda. Jika nilai kedua siswa tersebut digabung dengan nilai kuis 38 siswa lainnya, ternyata rata-ratanya tetap 7, maka nilai siswa terendah yang mengikuti kuis susulan yang mungkin ada sebanyak ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata :
Rata-rata $ = \frac{\text{Jumlah semua nilai}}{\text{banyaknya nilai}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilai terendahnya adalah $ x $ dan tertingginya adalah $ y $ dengan $ x \neq y $, misalkan jumlah nilai 38 siswa selain satu orang dengan nilai terendah dan satu orang dengan nilai tertinggi adalah $ A_{38} $. Rata-rata 38 siswa adalah 7, maka :
$ \begin{align} \text{rata-rata } & = 7 \\ \frac{A_{38} }{38} & = 7 \\ A_{38} & = 38. 7 \\ A_{38} & = 266 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Jika nilai terendah dan tertinggi diikutkan, berarti ada 40 siswa dengan rata-rata 7 juga :
$ \begin{align} \text{rata-rata } & = 7 \\ \frac{x + A_{38} + y}{40} & = 7 \\ x + 266 + y & = 280 \\ x + y & = 14 \\ x & = 14 - y \end{align} $
*). Karena rata-rata 40 siswa adalah 7, maka nilai tertinggi yang mungkin (nilai $y$) adalah 7, 8, 9, dan 10. Menentukan nilai terkecil ($x$) yang mungkin :
$ \begin{align} y = 7 \rightarrow x & = 14 - y \\ x & = 14 - 7 \\ x & = 7 \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \\ y = 8 \rightarrow x & = 14 - y \\ x & = 14 - 8 \\ x & = 6 \, \, \, \text{(memenuhi)} \\ y = 9 \rightarrow x & = 14 - y \\ x & = 14 - 9 \\ x & = 5 \, \, \, \text{(memenuhi)} \\ y = 10 \rightarrow x & = 14 - y \\ x & = 14 - 10 \\ x & = 4 \, \, \, \text{(memenuhi)} \\ \end{align} $
Jadi, nilai terendah yang mungkin ada sebanyak tiga yaitu 4, 5 dan 6 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Bidang Datar SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 346

Soal yang Akan Dibahas
Titik X, Y, Z terletak pada segitiga ABC dengan $ AZ = AY, \, $ $ BZ = BX, \, $ dan $ CX = CY \, $ seperti pada gambar. Jika AB, AC, dan BC berturut-turut adalah $ a $ cm, $ b $ cm, dan $ c $ cm, maka $ \, 2AY = ....$ cm.
A). $ a + b + c \, $
B). $ a - b + c \, $
C). $ a + b - c \, $
D). $ -a - b + c \, $
E). $ b + c - a \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Bidang Datar
*). Untuk soal bidang datar ini, penyelesaiannya bisa menggunakan metode substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
*). Perhatikan gambar dan yang diketahui :
$ AZ = AY \rightarrow AZ + AY = 2AY $
$ BX = BZ $ dan $ XC = CY $
$ BC = a \rightarrow BX + XC = a \, $ ....(i)
$ BA = c \rightarrow BZ + ZA = c \rightarrow BZ = c - ZA \, $ ....(ii)
$ CA = b \rightarrow CY + AY = b \rightarrow CY = b - AY \, $ ....(iii)
*). Dari persamaan (i) :
$ \begin{align} BX + XC & = a \\ BZ + CY & = a \\ (c - ZA) + (b - AY) & = a \\ b + c - (AZ + AY) & = a \\ b + c - 2AY & = a \\ 2AY & = b + c - a \end{align} $
Jadi, bentuk $ 2AY = b + c - a . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 346

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^a \log (b), {}^a \log ( b + 2) , $ dan $ {}^a \log (2b + 4) $ adalah tiga suku berurutan suatu barisan aritmetika dan jumlah tiga suku tersebut adalah 3, maka $ a + b = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih dua suku berdekatan sama.
*). Sifat logaritma :
1). $ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
2). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
*). Persamaan logaritma : $ \log A = \log B \rightarrow A = B $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow a^c = b $
dengan syarat : $ a > 0 , a \neq 1, b > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ {}^a \log (b), {}^a \log ( b + 2) , $ dan $ {}^a \log (2b + 4) $ merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika, sehigga selisih dua suku berdekatan sama :
$ \begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ {}^a \log ( b + 2) - {}^a \log (b) & = {}^a \log (2b + 4) - {}^a \log ( b + 2) \\ {}^a \log \frac{ b + 2}{b} & = {}^a \log \frac{2b + 4}{ b + 2} \\ \frac{ b + 2}{b} & = \frac{2b + 4}{ b + 2} \\ (2b + 4)(b) & = (b + 2)(b+2) \\ 2b^2 + 4b & = b^2 + 4b + 4 \\ b^2 & = 4 \\ b & = \pm 2 \end{align} $
Karena bentuk $ {}^a \log b $ memiliki syarat $ b > 0 $ , maka $ b = 2 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nila $ a $ dengan jumlah tiga suku tersebut adalah 3 dan $ b = 2 $ :
$ \begin{align} {}^a \log (b) + {}^a \log ( b + 2) + {}^a \log (2b + 4) & = 3 \\ {}^a \log 2 + {}^a \log 4 + {}^a \log 8 & = 3 \\ {}^a \log 2. 4. 8 & = 3 \\ {}^a \log 64 & = 3 \\ a^3 & = 64 \\ a^3 & = 4^3 \\ a & = 4 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = 4 + 2 = 6 $.
Jadi, nilai $ a + b = 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 346

Soal yang Akan Dibahas
Jika matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) $ , $ B = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) $ , dan $ X = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \, $ memenuhi $ AXB^{-1} = I $ , maka $ abcd = .... $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perkalian Dua buah Matriks
Caranya BARIS KALI KOLOM.
$ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{matrix} \right) $
*). Determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ :
$ det(A) = |A| = ad - bc $
*). Invers matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers matriks :
1). $ (B^{-1})^{-1} = B $
2). $ AB = C \rightarrow A = C.B^{-1} $ dan $ B = A^{-1}.C $
3). $ IA = AI = A $
dengan I adalah matriks identitas $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks X dengan sifat invers matriks :
$ \begin{align} AXB^{-1} & = I \\ AX & = I .(B^{-1})^{-1} \\ AX & = I .B \\ AX & = B \\ X & = A^{-1}.B \\ & = \frac{1}{1.4 - 2.3} \left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{-2} \left( \begin{matrix} 0 & -2 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Sehingga nilai $ a = 0 , b = 1 , c = \frac{1}{2} $ , dan $ d = - 1 $.
*). Menentukan nilai $ abcd $ :
$ abcd = 0 . 1 . \frac{1}{2}.(-1) = 0 $
Jadi, nilai $ abcd = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Fungsi SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 346

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers dan memenuhi $ f(x + 2) = g(x) $, maka $ f^{-1}(x) = .... $
A). $ g^{-1}(x + 2) \, $ B). $ g^{-1}(x) + 2\, $
C). $ g^{-1}(2x) \, $ D). $ g^{-1}(x) - 2 \, $
E). $ g^{-1}(x) - 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi Fungsi Invers
$ f(A) = B \leftrightarrow A = f^{-1}(B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Pada soal diketahui : $ f(x + 2) = g(x) $
Kita Misalkan $ A = x + 2 \, $ dan $ B = g(x) $
Sehingga :
$ \begin{align} f(x + 2) & = g(x) \\ f(A) & = B \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi invers)} \\ A & = f^{-1}(B) \, \, \, \, \, \, \, \text{(ganti bentuk A dan B)} \\ x + 2 & = f^{-1}(g(x)) \, \, \, \, \, \, \, \text{atau} \\ f^{-1}(g(x)) & = x + 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Misalkan : $ p = g(x) $
Dengan definisi invers :
$ g(x) = p \rightarrow x = g^{-1}(p) $
*). Sehingga pers(i) menjadi :
$ \begin{align} f^{-1}(g(x)) & = x + 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ f^{-1}(p) & = g^{-1}(p) + 2 \end{align} $
Bentuk $ f^{-1}(p) = g^{-1}(p) + 2 \, $ sama saja dengan $ f^{-1}(x) = g^{-1}(x) + 2 $.
Jadi, kita peroleh $ f^{-1}(x) = g^{-1}(x) + 2 . \, \heartsuit $