Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 654 tahun 2014 Nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $cosx=2sinx$ , maka nilai $sinxcosx$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $tanx$ dengan $tanx=\frac{sinx}{cosx}$ :
$cosx=2sinx \Leftrightarrow \frac{sinx}{cosx}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow tanx=\frac{1}{2}$
$\spadesuit \, $ Buat segitiga dari nilai $tanx=\frac{1}{2}$ :
sbmptn_matdas_2_2014.png
sehingga $sinxcosx=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$
Jadi, nilai $ sinxcosx=\frac{2}{5}. \, \heartsuit $
Nomor 12
Suku tengah suatu barisan aritmetika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyak suku barisan itu adalah ...
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika :
$u_n=a+(n-1)b$ dan suku tengah $u_t=\frac{a+u_n}{2}$
$\clubsuit \, $ Diketahui $u_3=13,u_t=23, u_n=43$
$u_t=\frac{a+u_n}{2} \Rightarrow 23=\frac{a+43}{2} \Rightarrow a=3$
$u_3=a+2b \Rightarrow 13=3+2b \Rightarrow b=5$
$u_n=a+(n-1)b \Rightarrow 43=3+(n-1).5 \Rightarrow n=9$
Jadi, banyaknya suku ada 9 suku.$ \heartsuit $
Nomor 13
Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah ...
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Kendala: $x+2y \leq 20 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong pers. kendala terhadap sumbu $X$ dan sumbu $Y$ :
$x+2y \leq 40 \Rightarrow (0,20) \, \text{titik pojok} \, \text{dan} \, (40,0) \, \text{bukan titik pojok} $
$3x+y \leq 30 \Rightarrow (0,30) \, \text{bukan titik pojok} \, \text{dan} \, (10,0) \, \text{titik pojok} $

NOTE : disebut titik pojok jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.

$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua pertidaksamaan :
Eliminasi persamaan $x+2y = 20 $ dan $3x+y = 30$ diperoleh $x=4,y=18$, sehingga titik potongnya (4,18)
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :
$(0,20) \Rightarrow f(0,20)=0+20=20 $
$(10,0) \Rightarrow f(10,0)=10+0=10 $
$(4,18) \Rightarrow f(4,18)=4+18=22 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $

Cara II : Memodifikasi fungsi kendala sehingga jika dioperasikan bentuknya akan sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Memodifikasi fungsi kendalanya
$\begin{array}{c|c|cc} x+2y \leq 40 & \times 2 & 2x + 4y \leq 80 & \\ 3x+y \leq 30 & \times 1 & 3x+y \leq 30 & + \\ \hline & & 5x + 5y \leq 110 & \\ & & x + y \leq 22 & \end{array} $
Dari bentuk $ x + y \leq 22, \, $ artinya nilai maksimum dari $ x + y \, $ adalah 22, dan ini sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
Nomor 14
Jika $2a+1<0$ dan grafik $y=x^2-4ax+a$ bersinggungan dengan grafik $y=2x^2+2x$, maka $a^2+1=...$
$\clubsuit \,$ Syarat nilai $a$ : $ 2a+1<0 \Rightarrow a < - \frac{1}{2} $
$\clubsuit \, $ Grafik bersinggungan, syaratnya : $D=0$
$\begin{align*} y_1&=y_2 \\ 2x^2+2x&=x^2-4ax+a \\ x^2+2(2a+1)x-a&=0 \\ D=0 \Leftrightarrow b^2-4ac&=0 \\ [2(2a+1)]^2-4.1.(-a)&=0 \\ 4(4a^2+4a+1)+4a&=0 \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4a^2+5a+1&=0 \\ (4a+1)(a+1)&=0 \\ a=-\frac{1}{4} \, & \text{atau} \, a=-1 \end{align*} $
$\clubsuit \, $ karena syarat $ a < - \frac{1}{2} $ , maka yang memenuhi adalah nilai $a=-1$
sehingga $a^2+1=(-1)^2+1=2$
Jadi, nilai $a^2+1=2 \, \heartsuit $
Nomor 15
Agar sistem persamaan linear $\left\{ \begin{array}{c} ax+by-3z=-3 \\ -2x-by+cz=-1 \\ ax+3y-cz=-3 \end{array} \right. $
mempunyai penyelesaian $x=1, \, y=-1$, dan $z=2$, maka nilai $a+b+c$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $x=1,y=-1,z=2$ ke SPL :
$a-b-6=-3 \Rightarrow a-b=3 \, \, \text{...pers(i)} $
$-2+b+2c=-1 \Rightarrow b+2c=1 \, \, \text{...pers(ii)} $
$a-3-2c=-3 \Rightarrow a-2c=0 \, \, \text{...pers(iii)} $
$\spadesuit \, $ Jumlahkan pers(i) , pers(ii) dan pers(iii) , diperoleh $2a=4 \Rightarrow a=2$
$\spadesuit \, $ Substitusi $a=2$ ke pers(i) dan pers(iii), diperoleh $b=-1, c=1$
sehingga $a+b+c=2+(-1)+1=2$
Jadi, nilai $a+b+c=2. \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 654 tahun 2014 Nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Persamaan kuadrat $2x^2-px+1=0$ dengan $p>0$ , mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $x^2-5x+q=0$ mempunyai akar-akar $\frac{1}{\alpha^2}$ dan $\frac{1}{\beta^2}$, maka $q-p=...$
$\spadesuit \, $ pk1 $2x^2-px+1=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ :
$\alpha + \beta = \frac{-b}{a}=\frac{p}{2}$ dan $\alpha . \beta = \frac{c}{a}=\frac{1}{2}$
$\spadesuit \, $ pk2 $x^2-5x+q=0$ mempunyai akar-akar $x_1=\frac{1}{\alpha^2}$ dan $x_2=\frac{1}{\beta^2}$ :
$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{5}{1}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{q}{1}=q$
$\spadesuit \, $ menentukan nilai $p$ dan $q$ dari pk2 dan pk1
$\begin{align*} x_1.x_2&= \frac{1}{\alpha^2} . \frac{1}{\beta^2} \Rightarrow q=\frac{1}{(\alpha . \beta )^2} \Rightarrow q=\frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} \Rightarrow q=4 \\ x_1+x_2&= \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} \Rightarrow 5 = \frac{(\alpha + \beta )^2- 2\alpha \beta}{(\alpha . \beta )^2} \Rightarrow 5 = \frac{\left( \frac{p}{2} \right)^2- 2.\frac{1}{2}}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} \\ &\Rightarrow 5=p^2-4 \Rightarrow p=\pm 3 \end{align*}$
Karena $p>0$, maka nilai $p=3$ yang memenuhi , sehingga $q-p=4-3=1$ .
Jadi, nilai $q-p=1. \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui $f(0)=1$ dan $f^\prime (0)=2$. Jika $g(x)=\frac{1}{(2f(x)-1)^3}$ , maka $g^\prime (0)=...$
$\clubsuit \, $ Menurunkan fungsi $g(x)=\frac{1}{(2f(x)-1)^3}=(2f(x)-1)^{-3}$
$\begin{align*} g(x)&=(2f(x)-1)^{-3} \\ g^\prime(x)&=-3.(2f(x)-1)^{-4}.2f^\prime(x) \\ g^\prime(x)&=\frac{-6f^\prime(x)}{(2f(x)-1)^4} \\ g^\prime(0)&=\frac{-6f^\prime(0)}{(2f(0)-1)^4} =\frac{-6.2}{(2.1-1)^4}=\frac{-12}{1^4} =-12 \end{align*}$
Jadi nilai $ g^\prime(0) = -12 . \heartsuit$
Nomor 8
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian persamaan $\left( {}^{2}logx \right)^2 + {}^{2}logx=6$, maka $x_1x_2=...$
$\spadesuit \, $ Misalkan $p={}^{2}log \, x $
$\begin{align*} \left( {}^{2}log \, x \right)^2 + {}^{2}log\, x &=6 \\ p^2+p&=6 \\ p^2+p-6 &= 0 \\ (p-2)(p+3) &= 0 \\ p=2 \, & \text{atau} \, p=-3 \end{align*}$
$p=2 \Rightarrow {}^{2}log \, x = 2 \Rightarrow x=2^2 \Rightarrow x_1=4$
$p=-3 \Rightarrow {}^{2}log \, x = -3 \Rightarrow x=2^{-3} \Rightarrow x_2=\frac{1}{8}$
sehingga , $x_1.x_2=4.\frac{1}{8}=\frac{1}{2}.$
Jadi, $x_1.x_2= \frac{1}{2}. \heartsuit$
Nomor 9
Diketahui matriks $A=\left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & x \end{matrix} \right)$. Jika $|A|$ menyatakan determinan $A$ , maka deret geometri $|A|+|A|^2+|A|^3+...$ konvergen ke ...
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan A :
$ |A|=\frac{1}{2}x-\left( -\frac{1}{2} \right).\left( -\frac{1}{2} \right) \Rightarrow |A|=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}.$
$\clubsuit \, $ Deret geometri tak hingga : $s_\infty = \frac{a}{1-r} \, $ dengan $ -1 < r < 1 $
$\clubsuit \, $ Deret $|A|+|A|^2+|A|^3+...$ memiliki $a=|A|$ dan $r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{|A|^2}{|A|}=|A|$
$\clubsuit \, $ Menentukan jumlah $|A|+|A|^2+|A|^3+...$
$\begin{align*} |A|+|A|^2+|A|^3+...&=s_\infty \\ &= \frac{a}{1-r} = \frac{|A|}{1-|A|} \\ &= \frac{\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}{1-\left( \frac{1}{2}x-\frac{1}{4} \right) } \\ &= \frac{\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}{1-\left( \frac{1}{2}x-\frac{1}{4} \right) } . \frac{4}{4} \\ &= \frac{2x-1}{4-2x+1}=\frac{2x-1}{5-2x} = -\frac{2x-1}{2x-5} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan syarat rasio : $ -1 < r < 1 $
$\begin{align*} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, -1 < & r < 1 \\ -1 < | &A| < 1 \\ -1 < \frac{1}{2}x & -\frac{1}{4} < 1 \, \, \text{(kali 4)}\\ -4 < 2x & - 1 < 4 \, \, \text{(ditambah 1)} \\ -3 < 2 & x < 5 \, \, \text{(dibagi 2)} \\ -\frac{3}{2} < & x < \frac{5}{2} \end{align*}$
Jadi, $|A|+|A|^2+|A|^3+...=-\frac{2x-1}{2x-5} \, \, \, $ dengan $-\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}. \heartsuit $
Nomor 10
Jika titik $(x,y)$ memenuhi $x^2\leq y \leq x+6$, maka nilai maksimum $x+y$ adalah ...
$\spadesuit \, x^2\leq y \leq x+6$ dapat dipecah menjadi $y \leq x+6 \, $ dan $ \, y \geq x^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua kurva :
$\begin{align*} y_1&=y_2 \\ x^2 & = x+6 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x+2)(x-3)&=0 \\ x=-2 \, &\text{atau} \, x=3 \\ x=-2 \, &\Rightarrow y=(-2)^2=4 , \, \text{titiknya:} \, (-2,4) \\ x=3 \, &\Rightarrow y=(3)^2=9 , \, \text{titiknya:} \, (3,9) \end{align*}$
sbmptn_matdas_1_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai maksimum dari $x+y$ diperoleh di titik (3,9):
$x+y=3+9=12$
Jadi, nilai maksimum dari $x+y$ adalah 12. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 654 tahun 2014


Nomor 1
Jika $P=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, $ dan $\left( \begin{matrix} x & y \\ -z & z \end{matrix} \right)=2P^{-1}$, dengan $P^{-1}$ menyatakan invers matriks $P$, maka $x+y=...$
$\clubsuit \, $ Kedua ruas dikali $P$ dan gunakan $P^{-1}.P=I$
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x & y \\ -z & z \end{matrix} \right)&=2P^{-1} \\ \left( \begin{matrix} x & y \\ -z & z \end{matrix} \right).P&=2P^{-1}.P \\ \left( \begin{matrix} x & y \\ -z & z \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right)&=2I \\ \left( \begin{matrix} x+y & 2x+3y \\ 0 & z \end{matrix} \right)&=2\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x+y & 2x+3y \\ 0 & z \end{matrix} \right)&=\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, $x+y=2 . \, \heartsuit $
Nomor 2
SMA X memiliki 6 kelas dengan banyak siswa pada setiap kelas adalah 16 pria dan 16 wanita. Jika untuk kepengurusan OSIS dipilih satu orang dari setiap kelas, maka peluang 2 orang wanita yang menjadi pengurus OSIS adalah ...
$\spadesuit \, $ Satu kelas ada 16 pria dan 16 wanita, sehingga peluang terpilihnya satu orang pria atau wanita:
$P(pria)=\frac{16}{32}=\frac{1}{2} \, $ dan $P(wanita)=\frac{16}{32}=\frac{1}{2} \, $
$\spadesuit \, $ Ada 6 kelas, sehingga jika terpilih 2 wanita maka sisanya 4 pria,
(contohnya : pwppwp=$\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{64}\, $ )
yang dapat disusun sebanyak $C_2^6$ cara.
Sehingga peluangnya : $C_2^6.\frac{1}{64}=\frac{15}{64}$
Jadi, peluangnnya adalah $\frac{15}{64}. \heartsuit $
Nomor 3
Jika $f^{-1}(x-1)=\frac{4-3x}{x-2}$ , maka nilai $f(-5) \, $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Definisi invers : $y=f(x) \Leftrightarrow f^{-1}(y)=x$
$f^{-1}(x-1)=\frac{4-3x}{x-2} \Leftrightarrow x-1=f\left( \frac{4-3x}{x-2} \right) $ atau $f\left( \frac{4-3x}{x-2} \right)= x-1 $
$\begin{align} f\left( \frac{4-3x}{x-2} \right) &= x-1 \, \, \text{...pers(i)} \\ f(-5)&= ... \end{align}$
Artinya $\frac{4-3x}{x-2} = -5 \Rightarrow x=3$
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=3$ ke pers(i) :
$\begin{align} f\left( \frac{4-3x}{x-2} \right) &= x-1 \\ f\left( \frac{4-3.3}{3-2} \right) &= 3-1 \\ f(-5)&=2 \end{align}$
Jadi, $f(-5)=2. \heartsuit $
Nomor 4
Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata 20% data diantaranya adalah $p+0,1$ , 40% lainnya adalah $p-0,1$ , 10% lainnya lagi adalah $p-0,5$ dan rata-rata 30% data sisanya adalah $p+q$, maka $q=...$
$\spadesuit \, $ Rumus rata-rata gabungan : $\overline{x}_{gb}=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+...}{n_1+n_2+n_3+...}$
$\spadesuit \, $ Data dibagi menjadi 4 kelompok :
$n_1=20\%,\overline{x}_1=p+0,1 ; n_2=40\%, \overline{x}_2=p-0,1 ; \\ n_3=10\%, \overline{x}_3=p-0,5 ; n_4=30\% , \overline{x}_4=p+q ; \overline{x}_{gb}=p$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $q$
$\begin{align} \overline{x}_{gb}&=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+n_4.\overline{x}_4}{n_1+n_2+n_3+n_4} \\ p&=\frac{20\%.(p+0,1)+40\%.(p-0,1)+10\%.(p-0,5)+30\%.(p+q)}{20\%+40\%+10\%+30\%} \\ p&=\frac{0,2p+0,02+0,4p-0,04+0,1p-0,05+0,3p+0,3q}{100\%} \\ \not{p}&=\frac{\not{p}-0,07+0,3q}{1} \\ q&=\frac{0,07}{0,3}=\frac{7}{30} \end{align}$
Jadi, $q=\frac{7}{30}. \heartsuit $
Nomor 5
Jika ${}^{p}loga=2\, $ dan ${}^{q}log8p=2$, maka ${}^{2p}log\frac{pq^2}{a}=...$
$\clubsuit \, $ Definisi logaritma : ${}^{a}log \, b =c \Leftrightarrow b=a^c$
${}^{p}log \, a =2 \Leftrightarrow a=p^2 $ ...pers(i)
${}^{q}log \, 8p =2 \Leftrightarrow 8p=q^2 $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ gunakan pers(i) , pers(ii) dan sifat ${}^{a}log \, b =\frac{1}{{}^{b}log \, a}$
$\begin{align*} {}^{2p}log\frac{pq^2}{a}&={}^{2p}log \left( \frac{p.8p}{p^2} \right) \\ &={}^{2p}log8 \\ &={}^{2p}log2^3 \\ &=3.{}^{2p}log2 \\ &=3.\frac{1}{{}^{2}log2p}=\frac{3}{{}^{2}log2p} \end{align*}$
Jadi, bentuk ${}^{2p}log\frac{pq^2}{a}=\frac{3}{{}^{2}log2p}. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Kisi-Kisi Ujian Nasional Tahun Pelajaran 2014-2015 (Semua Tingkat Sekolah)

     Hai sobat. Tahun pelajaran 2014-2015 sudah berjalan dan sudah mendekati semester dua. Nah, bagi pembaca yang sekarang berada di tingkat kelas 6 SD, 9 SMP, dan 12 SMA, dan tingkat sekolah yang setara, harus lebih siap baik secara mental maupun fisik dan pikiran, karena di bulan April akan mengikuti Ujian Nasional (UN). Sebelum UN, biasanya juga ada Ujian Sekolah dan praktikum yang akan menyita waktu dan mengurangi waktu untuk persiapan UN.

     Agar persiapan UN yang lebih efektif, terutama menyangkut materi yang akan di ujiankan, ada baiknya siswa/siswi dan pengajar/guru melakukan pembelajaran berdasarkan kisi-kisi UN tahun 2014-2015. Dengan belajar berdasarkan kisi-kisi maka hasil pembelajaran akan maksimal karena bisa lebih terfokus dalam materi yang akan keluar di UN.

     Kisi-kisi Ujian Nasional 2014-2015 dibuat berdasarkan Peraturan Badan Standar Nasional Pendidikan (BSNP). Penyusunannya didasarkan Standar Kompetensi (SK) dan Kompetensi Dasar (KD) yag tercantum pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar isi untuk Satuan Pendidikan dasar dan Menengah.

Berikut kisi-kisi Ujian Nasional tahun 2014-2015 berdasarkan tingkat kelas dan jurusan yang dapat di download:

KISI-KISI UJIAN NASIONAL SMP/MTs  (Download di sini! )

KISI-KISI UJIAN NASIONAL SMPLB (Download di sini! )

KISI-KISI UJIAN NASIONAL SMA/MA (Download di sini! )

KISI-KISI UJIAN NASIONAL SMALB (Download di sini! )

KISI-KISI UJIAN NASIONAL SMK (Download di sini! )

KISI-KISI UJIAN NASIONAL PROGRAM PAKET B (Download di sini!)

KISI-KISI UJIAN NASIONAL PROGRAM PAKET C (Download di sini! )

KISI-KISI UJIAN NASIONAL PROGRAM PAKET C KEJURUAN (Download di sini! )

Sobat juga langsung bisa mendownload (pada link di bawah ini) semua kisi-kisi untuk semua tingkatan tanpa di pecah seperti di atas secara lengkap. Download di sini!

Semoga Bermanfaat. Terima Kasih.

Sumber : BSNP