Pembahasan Statistika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Dalam suatu kelas terdapat 23 siswa. Rata-rata nilai ujian Matematika mereka adalah 7. Terdapat hanya 2 orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi dan hanya 1 orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang o,1 jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah satu angka, maka jangkauan data nilai yang mungkin adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata :
Rata-rata $ = \frac{\text{Jumlah semua nilai}}{\text{banyaknya nilai}} $
*). Jangkauan = Nilai terbesar $ - $ nilai terkecil

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilai terendahnya adalah $ x $ dan tertingginya adalah $ y $, misalkan jumlah nilai 20 siswa selain satu orang dengan nilai terendah dan dua orang dengan nilai tertinggi (nilai tertingginya sama) adalah $ A_{20} $. Rata-rata 23 siswa adalah 7, maka :
$ \begin{align} \text{rata-rata } & = 7 \\ \frac{x + A_{20} + y + y}{23} & = 7 \\ x + A_{20} + 2y & = 23. 7 \\ x + A_{20} + 2y & = 161 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Jika nilai terendah dan tertinggi tidak diikutkan, berarti tersisa 20 siswa saja dengan jumlah kita misalkan $ A_{20} $ seperti sebelumnya, rata-ratanya berkurang 0,1, sehingga rata-rata 20 siswa tersebut :
$ \begin{align} \text{rata-rata } & = 7 - 0,1 \\ \frac{ A_{20}}{20} & = 6,9 \\ A_{20} & = 20 \times 6,9 \\ A_{20} & = 138 \end{align} $
*). Dari pers(i) dan nilai $ A_{20} = 138 $ :
$ \begin{align} x + A_{20} + 2y & = 161 \\ x + 138 + 2y & = 161 \\ x + 2y & = 161 - 138 \\ x + 2y & = 23 \end{align} $
*). semua nilai adalah bilangan cacah satu angka, artinya nilai terbesarnya adalah 9.
*). Karena rata-rata 23 siswa adalah 7, maka nilai tertinggi yang mungkin (nilai $y$) adalah 8 dan 9, dan nilai terendah yang mungkin harus kurang dari 7. Menentukan nilai terkecil ($x$) yang mungkin :
$ \begin{align} y = 8 \rightarrow x + 2y & = 23 \\ x + 2.8 & = 23 \\ x & = 7 \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \\ y = 9 \rightarrow x + 2y & = 23 \\ x + 2.9 & = 23 \\ x & = 5 \, \, \, \text{(memenuhi)} \end{align} $
yang memenuhi adalah $ x = 5 $ dan $ y = 9 $
Sehingga nilai jangkauannya $ = 9 - 5 = 4 $.
Jadi, nilai jangkauannya adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bidang Datar SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas

Jika ABC adalah segitiga samasisi dengan panjang sisi 8 cm dan semua daerah segitiga yang diarsir adalah kongruen seperti pada gambar, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
A). $ 12\sqrt{3} \, $ B). $ 10\sqrt{3} \, $ C). $ 6\sqrt{3} \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga ABC jika diketahui sudut A yaitu :
Luas $ = \frac{1}{2} . AB. AC . \sin \angle A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan luas segitiga samasisi ABC :
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2}.AB.AC. \sin \angle A \\ & = \frac{1}{2}. 8. 8. \sin 60^\circ \\ & = \frac{1}{2}. 8. 8. \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = 16\sqrt{3} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga-segitiga kecil dan semuanya kongruen. Segitiga ABC dibagi menjadi 16 segitiga kecil sama besar, sehingga luas segitiga kecil yaitu :
Luas segitiga kecil $ = \frac{Luas \, ABC}{16} = \frac{16\sqrt{3}}{16} = \sqrt{3} $
*). Menentukan luas segitiga kecil-kecil yang diarsir sebanyak 6 buah :
Luas segitiga arsir $ = 6 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} $.
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ 6\sqrt{3} \, $ cm$^2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah 10. Jika 40 ditambah jumlah 4 suku pertama sama dengan jumlah suku ke-6 hingga suku ke-9, maka suku ke-2 adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). Rumus suku ke-$n $ : $ U_n = a + (n-1)b $
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama : $ S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan dalam $ a $ dan $ b $ :
-). Persamaan pertama :
$ \begin{align} U_5 & = 10 \\ a + 4b & = 10 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua : 40 ditambah jumlah 4 suku pertama sama dengan jumlah suku ke-6 hingga suku ke-9
$ \begin{align} 40 + S_4 & = U_6 + U_7 + U_8 + U_9 \\ 40 + \frac{4}{2}(2a + 3b) & = (a + 5b) + (a+6b) + (a + 7b) + (a + 8b) \\ 40 + 4a + 6b & = 4a + 26b \\ 40 & = 20b \\ b & = 2 \end{align} $
Pers(i) : $ a + 4b = 10 \rightarrow a + 4.2 = 10 \rightarrow a = 2 $.
*). Menentukan suku kedua :
$ U_2 = a + b = 2 + 2 = 4 $.
Jadi, nilai $ U_2 = 4 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Matriks SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) $ mempunyai invers , maka semua bilangan real $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $ adalah .....
A). $ b < 0 \, $ B). $ b > 0 \, $ C). $ b > -2 \, $
D). $ -2 < b < 0 \, $ E). $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat matriks P mempunyai invers yaitu $ det(P) \neq 0 $
*). Determinan matriks $ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ yaitu $ det(A) = ad - bc $.
*). Sifat determinan :
1). $ det(A.B) = det(A) . det(B) $
2). $ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $, dimana pada pembahasan sebelumnya terdapat lebih dari satu jawaban yang benar. Namun, biasanya pada SBMPTN jawaban yang benar hanya satu, artinya bisa saja terjadi salah pengetikan soal. Agar bisa mengarah ke bentuk jawaban yang ada, berikut beberapa kemungkinan soalnya yaitu :
$ det(ABA^{-1} ) > 0 \, $ atau $ det(A A^{-1}B^{-1} ) > 0 $ yang memberikan hasil yang sama. Jadi, pada pembahasan kedua ini, kita coba ganti soalnya agar terdapat satu jawaban yang benar.
*). Menentukan determinan masing-masing :
$ \begin{align} A & = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) \rightarrow det(A) = 2a^2 + 8 \\ B & = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) \rightarrow det(B ) = 2b^2 + 4b \end{align} $
*). Syarat mempunyai invers : determinan $ \neq 0 $ :
-). Matriks A :
$ det(A) \neq 0 \rightarrow 2a^2 + 8 \neq 0 $
Terpenuhi untuk semua nilai $ a $
-). Matriks B :
$ det(B) \neq 0 \rightarrow 2b^2 + 4b \neq 0 \rightarrow 2b(b+2) \neq 0 $
terpenuhi untuk $ b \neq 0 $ atau $ b \neq -2 $.
*). Sementara dari $ det(ABA^{-1} ) > 0 $ :
$ \begin{align} det(ABA^{-1} ) & > 0 \\ det(A).det(B).det(A^{-1}) & > 0 \\ det(A).det(B).\frac{1}{det(A)} & > 0 \\ det(B) & > 0 \\ 2b^2 + 4b & > 0 \\ 2b(b+2) & > 0 \\ b = 0 \vee b & = -2 \end{align} $
Garis bilangannya :
 

Solusinya : $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $.
Artinya nilai $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1} ) > 0 $ dan matriks B mempunyai invers yaitu $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $
Jadi, nilai $ b $ yang memenuhi $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 . \, \heartsuit $


Pembahasan Matriks SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) $ mempunyai invers , maka semua bilangan real $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $ adalah .....
A). $ b < 0 \, $ B). $ b > 0 \, $ C). $ b > -2 \, $
D). $ -2 < b < 0 \, $ E). $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat matriks P mempunyai invers yaitu $ det(P) \neq 0 $
*). Determinan matriks $ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ yaitu $ det(A) = ad - bc $.
*). Sifat determinan :
1). $ det(A.B) = det(A) . det(B) $
2). $ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan determinan masing-masing :
$ \begin{align} A & = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) \rightarrow det(A) = 2a^2 + 8 \\ B & = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) \rightarrow det(B ) = 2b^2 + 4b \end{align} $
*). Syarat mempunyai invers : determinan $ \neq 0 $ :
-). Matriks A :
$ det(A) \neq 0 \rightarrow 2a^2 + 8 \neq 0 $
Terpenuhi untuk semua nilai $ a $
-). Matriks B :
$ det(B) \neq 0 \rightarrow 2b^2 + 4b \neq 0 \rightarrow 2b(b+2) \neq 0 $
terpenuhi untuk $ b \neq 0 $ atau $ b \neq -2 $.
*). Sementara dari $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $ :
$ \begin{align} det(ABA^{-1}B^{-1} ) & > 0 \\ det(A).det(B).det(A^{-1}).det(B^{-1}) & > 0 \\ det(A).det(B).\frac{1}{det(A)}.\frac{1}{det(B) } & > 0 \\ 1 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya nilai $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $ dan matriks B mempunyai invers yaitu $ b \neq 0 $ atau $ b \neq -2 $, atau dapat kita tulis himpunannya :
Penulisan pertama : HP = $ \{ b \neq 0 \text{ atau } b \neq -2 , b \in R \} $
Penulisan kedua : HP = $ \{ b < -2 \text{ atau } -2 < b < 0 \text{ atau } b > 0 , b \in R \} $
Jadi, jawabannya bisa option B, atau D atau E $ . \, \heartsuit $