Pembahasan Peluang SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 268

Soal yang Akan Dibahas
Lima baju dipindahkan secara acak dari lemari yang berisi 15 baju merah, 10 baju putih, dan 5 baju hijau. Peluang terambilnya 2 baju merah, 1 baju putih dan 2 baju hijau adalah ....

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Peluang kejadian A disimbolkan $P(A) $ :
$ \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ kejadian yang diharapkan,
$ n(S) = \, $ semua kemungkinan (ruang sampel).
*). Banyaknya cara penyusunan yang tidak memperhatikan urutan menggunakan kombinasi dengan rumus :
$ C(n,r)= \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
Bentuk $ C(n,r) $ sama dengan $ _nC_r = C^n_r $
*). Sifat pada kombinasi : $ C(n,r) = C(n,n-r) $
dengan $ r \leq n $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ n(S) $ :
ada 15 baju merah, 10 baju putih, dan 5 baju hijau (totalnya 30) yang akan dipilih 5 baju dengan semua kemungkinan cara :
$ n(S) = C(30,5) = C(30, 30-5)= C(30,25) $.
*). Misalkan A menyatakan terambilnya 2 baju merah, 1 baju putih dan 2 baju hijau
-). memilih 2 merah dari 15 merah $ = C(15,2) $
-). memilih 1 putih dari 10 merah $ = C(10,1) $
-). memilih 2 hijau dari 5 merah $ = C(5,2) = C(5,5-2)=C(5,3) $
Sehingga $ n(A) = C(15,2).C(10,1).C(5,3) $
*). Menentukan peluang kejadian A :
$ \begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} \\ & = \frac{C(15,2).C(10,1).C(5,3)}{C(30,25)} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{C(15,2).C(10,1).C(5,3)}{C(30,25)} . \, \heartsuit $
(Sesuai jawaban pada optionnya).

Pembahasan Limit SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 268

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = ax+b $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2-x}{xf(x)} = -\frac{1}{2} $, maka $ f(1) = .... $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Limit bentuk tak tentu
Jika $ g(k) = 0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g(x)}{f(x)} = c \, $ (hasilnya konstanta), maka $ f(k) = 0 $. Bentuk hasil limit $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{0}{0} $ disebut bentuk tak tentu.
*). Penerapan turunan pada limit bentuk tak tentu (dalil L'Hospital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g(x)}{f(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g^\prime (x)}{f^\prime (x)} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2-x}{xf(x)} = -\frac{1}{2} $ dengan pembilang bernilai nol ketika disubstitusikan $ x = 2 $ adalah bentuk tak tentu (agar hasilnya konstanta), sehingga $ f(2) = 0$ dengan $ f(x) = ax + b $.
$ f(2) = 0 \rightarrow 2a + b = 0 \rightarrow b = -2a \, $ ....(i).
*). Menyelesaikan limitnya dengan dalil L'Hospital :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2-x}{xf(x)} & = -\frac{1}{2} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2-x}{x(ax+b)} & = -\frac{1}{2} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2-x}{ax^2 + bx} & = -\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{-1}{2ax + b } & = -\frac{1}{2} \\ \frac{-1}{2a.2 + b } & = -\frac{1}{2} \\ \frac{-1}{4a + b } & = -\frac{1}{2} \\ 4a + b & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{....dari(i)} \\ 4a + (-2a) & = 2 \\ 2a & = 2 \rightarrow a = 1 \end{align} $
Pers(i): $ b = -2a = -2.(1) = -2 $.
Fungsinya amenjadi : $ f(x) = ax + b = x -2 $.
Sehingga nilai $ f(1) = 1 - 2 = -1 $.
Jadi, nilai $ f(1) = -1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 268

Soal yang Akan Dibahas
$ \int 9x^2 \sqrt{8-x^3} dx = .... $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus integral aljabar :
$ \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c $
*). Teknik integral Substitusi :
$ \, \, \, \, \int [f(x)]^n.g(x) dx = \int u^n g(x) \frac{du}{u^\prime} $
dengan $ u = f(x) $ dan $ u^\prime \, $ adalah turunan $ u $.
*). Sifat eksponen :
$ a^{m+n} = a^m.a^n \, $ dan $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ u = 8 - x^3 $ , maka $ u^\prime = -3x^2 $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \int 9x^2 \sqrt{8-x^3} dx & = \int 9x^2(8-x^3)^{\frac{1}{2}} dx \\ & = \int 9x^2(u)^{\frac{1}{2}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int 9x^2(u)^{\frac{1}{2}} \frac{du}{-3x^2} \\ & = -3\int (u)^{\frac{1}{2}} du \\ & = -3. \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} (u)^{\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = -3. \frac{1}{\frac{3}{2} } . u .(u)^{\frac{1}{2}} + c \\ & = -3. \frac{2}{3} .(8 - x^3) .\sqrt{8 - x^3} + c \\ & = -2(8 - x^3) \sqrt{8 - x^3} + c \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ -2(8 - x^3) \sqrt{8 - x^3} + c . \, \heartsuit $

Pembahasan Transformasi SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 268

Soal yang Akan Dibahas
Titik (3,1) dicerminkan terhadap garis $ y = x $ dan kemudian ditranslasi dengan $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ ke titik (5,0). Peta titik (1,3) di bawah transformasi yang sama adalah ....

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Translasi $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
*). Penecerminan terhadap garis $ y = x $ : $ MT = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Bayangan = MT $ \times $ Awal.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik $(3,1) $ ditransformasi :
-). Pertama : pencerminan terhadap garis $ y = x $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
-). Kedua : dilanjutkan Translasi oleh $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
menghasilkan bayangan $ (x^{\prime \prime} , y^{\prime \prime}) = (5,0) $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a + 1 \\ b + 3 \end{matrix} \right) \\ a + 1 & = 5 \rightarrow a = 4 \\ b + 3 & = 0 \rightarrow b = -3 \end{align} $

*). Menentukan bayangan titik (1,3) dengan transformasi yang sama :
-). Pertama : pencerminan terhadap garis $ y = x $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
-). Kedua : dilanjutkan Translasi oleh $ \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 7 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik (1,3) adalah $ (7,-2) . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 268

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ 2x+y \leq -2 $, $ x - y \leq 5 $ , $ x \geq 0 $ adalah .... satuan luas.

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga :
Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menggambar daerah penyelesaian (DHP) :
I). $ 2x+y \leq -2 \rightarrow (0,-2) $ dan $ (-1,0)$
II). $ x - y \leq 5 \rightarrow (0,-5) $ dan $ (5,0)$
III). $ x \geq 0 \rightarrow \, $ adalah sumbu Y.
 

*). Menentukan titik potong garis I dan garis II :
$ \begin{array}{cc} 2x + y = -2 & \\ x - y = 5 & + \\ \hline 3x = 3 & \\ x = 1 & \end{array} $
garis II : $ x - y = 5 \rightarrow 1 - y = 5 \rightarrow y = -4 $.
*). Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir yaitu berupa segitiga ABC dengan alas AB dan tingginya CD, Luasnya :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2}\times AB \times CD \\ & = \frac{1}{2}\times 3 \times 1 = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, luas daerah penyelesaiannya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 268

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P adalah titik tengah CG dan Q adalah titik tengah AP, seperti pada gambar. Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 6 cm, maka jarak Q ke H adalah .... cm

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Panjang garis berat :
Garis berat adalah garis di dalam segitiga yang ditarik dari salah satu titik sudutnya dan membagi sisi de depannya menjadi dua sama panjang. Contohnya pada soal adalah garis HQ merupakan garis berat karena titik Q membagi sisi AP menjadi dua sama panjang (terletak di tengahnya).
*). Rumus panjang garis berat HQ pada segitiga AHP yaitu :
$ HQ^2 = \frac{1}{2}HA^2 + \frac{1}{2}HP^2 - \frac{1}{4}AP^2 \, $
atau dapat ditulis :
$ HQ = \sqrt{\frac{1}{2}HA^2 + \frac{1}{2}HP^2 - \frac{1}{4}AP^2} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang beberapa sisi :
-). Panjang $ AH = 6\sqrt{2} \, $ (diagonal bidang/sisi)
-). Pada segitiga HGP :
$ HP=\sqrt{HG^2+GP^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45} $
-). Pada segitga APC :
$ AP = \sqrt{AC^2+CP^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+3^2} = \sqrt{72+9} = \sqrt{81} = 9 $
*). Menentukan panjang HQ (jarak H ke Q) :
$\begin{align} HQ & = \sqrt{\frac{1}{2}HA^2 + \frac{1}{2}HP^2 - \frac{1}{4}AP^2} \\ & = \sqrt{\frac{1}{2}(6\sqrt{2})^2 + \frac{1}{2}(\sqrt{45})^2 - \frac{1}{4}.9^2} \\ & = \sqrt{\frac{72}{2} + \frac{45}{2} - \frac{81}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{144}{4} + \frac{90}{4} - \frac{81}{4} } \\ & = \sqrt{\frac{153}{4}} = \sqrt{\frac{9 \times 17}{4}} = \frac{3}{2}\sqrt{17} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{3}{2}\sqrt{17} . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 268

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P adalah titik tengah CG dan Q adalah titik tengah AP, seperti pada gambar. Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 6 cm, maka jarak Q ke H adalah .... cm

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan Kosinus segitiga ABC :
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB.AC \cos A \rightarrow \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC}{2.AB.AC} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang beberapa sisi :
-). Panjang $ AH = 6\sqrt{2} \, $ (diagonal bidang/sisi)
-). Pada segitiga HGP :
$ HP=\sqrt{HG^2+GP^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45} $
-). Pada segitga APC :
$ AP = \sqrt{AC^2+CP^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+3^2} = \sqrt{72+9} = \sqrt{81} = 9 $
-). Q ditengah-tengah AP sehingga :
$ AQ = \frac{1}{2}AP = \frac{1}{2}.9 = \frac{9}{2} $
*). Menentukan $ \cos A $ dengan aturan kosinus :
-). Pada segitiga AQH :
$\cos A = \frac{AH^2+AQ^2-HQ^2}{2.AH.AQ} $
-). Pada segitiga APH :
$\cos A = \frac{AH^2+AP^2-HP^2}{2.AH.AP} $
*). Nilai $ \cos A $ dari kedua segitiga di atas sama, sehingga :
$\begin{align} \frac{AH^2+AP^2-HP^2}{2.AH.AP} & = \frac{AH^2+AQ^2-HQ^2}{2.AH.AQ} \\ \frac{AH^2+AP^2-HP^2}{AP} & = \frac{AH^2+AQ^2-HQ^2}{AQ} \\ \frac{(6\sqrt{2})^2+9^2-(\sqrt{45})^2}{9} & = \frac{(6\sqrt{2})^2+\left(\frac{9}{2}\right)^2-HQ^2}{\frac{9}{2}} \\ \frac{72+81-45}{1} & = \frac{72+\frac{81}{4}-HQ^2}{\frac{1}{2}} \\ 108 & = 2(72+\frac{81}{4}-HQ^2) \\ 108 & = 144+\frac{81}{2}-2HQ^2 \\ 2HQ^2 & = \frac{153}{2} \\ HQ^2 & = \frac{153}{4} \\ HQ & = \sqrt{\frac{153}{4}} = \sqrt{\frac{9 \times 17}{4}} = \frac{3}{2}\sqrt{17} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{3}{2}\sqrt{17} . \, \heartsuit $