Cara 2 : Kode 249 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = x^2 $ dan $ g(x) = ax, \, a >0 $. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva $ f $ dan $ y = 4 $. Jika kurva $ g $ membagi daerah D dengan perbandingan luas $ 1 : 7 $, maka $ a = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral Tanpa Menggambar
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva yaitu parabola dan parabola atau parabola dan garis adalah :
Luas $ = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Rumus Langsung
*). Untuk ilustrasi gambar, silahkan teman-teman lihat pada pembahasan cara 1.
*). Luas Daerah D :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = 4 \\ x^2 - 4 & = 0 \\ a = 1, b & =0, c = -4 \\ D & = b^2 - 4ac = 0^2 - 4.1. (-4) = 16 \\ \text{Luas D } & = \frac{D\sqrt{D}}{6.a^2 } = \frac{16. \sqrt{16}}{6.1^2 } = \frac{32}{3} \end{align} $
*). Menentukan Luas Daerah L1 :
$ L1 : L2 = 1 : 7 $ dan $ L1 + L2 = \, \text{Luas D} $, sehingga :
$ L1 = \frac{1}{8} \times \text{Luas D} = \frac{1}{8} \times \frac{32}{3} = \frac{4}{3} $
*). Menentukan nilai $ a $ dari luas L1 :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = ax \\ x^2 - ax & = 0 \\ a = 1, b & = (-a), c = 0 \\ D & = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4.1. 0 = a^2 \\ \text{Luas L1 } & = \frac{D\sqrt{D}}{6.a^2 } \\ \frac{4}{3} & = \frac{a^2\sqrt{a^2}}{6.1^2 } \\ \frac{4}{3} & = \frac{a^3}{6 } \\ a^3 & = 8 \\ a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 2 . \, \heartsuit $



Kode 249 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = x^2 $ dan $ g(x) = ax, \, a >0 $. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva $ f $ dan $ y = 4 $. Jika kurva $ g $ membagi daerah D dengan perbandingan luas $ 1 : 7 $, maka $ a = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Konsep Luas Menggunakan Integral
*). Ilustrasi Gambar :
 

*). Titik Potong Kedua Kurva Daerah D
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
*). Titik Potong Kurva $ f(x) = x^2 $ dan $ g(x) = ax $ :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = ax \\ x^2 - ax & = 0 \\ x(x - a) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = a \end{align} $
*). Luas daerah D :
$\begin{align} \text{Luas D} & = \int \limits_{-2}^2 ( 4 - x^2) dx \\ & = [4x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^2 \\ & = ( 4.2 - \frac{1}{3}.2^3) - ( 4.(-2) - \frac{1}{3}.(-2)^3) \\ & = ( 8 - \frac{8}{3}) - ( -8 + \frac{8}{3}) \\ & = \frac{32}{3} \end{align} $
*). Menentukan Luas Daerah L1 :
$ L1 : L2 = 1 : 7 $ dan $ L1 + L2 = \, \text{Luas D} $, sehingga :
$ L1 = \frac{1}{8} \times \text{Luas D} = \frac{1}{8} \times \frac{32}{3} = \frac{4}{3} $
*). Menentukan nilai $ a $ dari Luas L1 :
$\begin{align} \text{Luas L1} & = \int \limits_{0}^a [ g(x) - f(x) ] dx \\ \frac{4}{3} & = \int \limits_{0}^a ( ax - x^2) dx \\ \frac{4}{3} & = [ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^a \\ \frac{4}{3} & = [ \frac{a}{2}.a^2 - \frac{1}{3}.a^3]- [ \frac{a}{2}.0^2 - \frac{1}{3}.0^3] \\ \frac{4}{3} & = [\frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} ] - [0]\\ \frac{4}{3} & = \frac{a^3}{6} \\ a^3 & = 8 \\ a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 2 . \, \heartsuit $



Kode 249 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = x^3 - 3x^2 + a $ memotong sumbu Y di titik (0,10), maka nilai minimum $ f(x) $ untuk $ x \in [0,1]$ adalah ....
A). $ 10 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.
*). Uji Turunan kedua :
$ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 \rightarrow \, $ minimum,
$ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 \rightarrow \, $ titik belok,
$ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 \rightarrow \, $ maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ :
*). Substitusi titik (0,10) ke fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} f(x) & = x^3 - 3x^2 + a \\ y & = x^3 - 3x^2 + a \\ 10 & = 0^3 - 3.0^2 + a \\ 10 & = a \end{align} $
Sehingga fungsinya $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 10 $
dan $ f^\prime (x) = 3x^2 - 6x \, $ serta $ f^{\prime \prime } (x) = 6x - 6 $.
*). Syarat maksimum/minimum :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 - 6x & = 0 \\ 3x(x - 2) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 2 \end{align} $
Cek Turunan kedua :
$ \begin{align} x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) & = 6. 0 - 6 = -6 \, \text{(maksimum)} \\ x = 2 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) & = 6. 2 - 6 = 6 \, \text{(minimum)} \end{align} $
*). Artinya $ f(x) $ minimum untuk $ x = 2 $. Namun pada interval [0,1] tidak memuat $ x = 2 $, sehingga tinggal kita cek patas intervalnya saja yaitu 0 atau 1. Karena $ x = 0 $ jenisnya maksimum, maka tinggal cek $ x = 1 $ saja.
*). Nilai minimum $ f(x) $ saat $ x = 1 $ :
$\begin{align} f(x) & = x^3 - 3x^2 + 10 \\ f(1) & = 1^3 - 3.1^2 + 10 = 8 \end{align} $
Jadi, nilai minimum $ f(x) $ pada interval $ [0,1] $ adalah $ 8 . \, \heartsuit $



Kode 249 Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui barisan geometri $(a_n) $ dengan deret tak hingganya bernilai 6. Jika barisan geometri $(a_n^2) $ mempunyai deret tak hingga bernilai 18, maka suku pertama dari barisan $(a_n) $ adalah .....
A). $ 4 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $
*). Menentukan rasionya :
Rasio $ = \frac{u_2}{u_1} $
*). Rumus Jumlah Takhingga Deret Geometri :
$ s_\infty = \frac{\text{Suku Pertama}}{1 - \text{Rasio}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan suku pertamanya adalah $ a $ :
*). Barisan Geometri $\{ a_n \} $ :
$\begin{align} a_1 + a_2 + a_3 + .... & = 6 \\ a + ar + ar^2 + .... & = 6 \\ \frac{\text{Suku Pertama}}{1 - \text{Rasio}} & = 6 \\ \frac{a}{1 - r} & = 6 \\ a & = 6 - 6r \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Barisan Geometri $\{ a_n^2 \} $ :
$\begin{align} a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + .... & = 18 \\ a^2 + (ar)^2 + (ar^20^2 + .... & = 18 \\ \frac{\text{Suku Pertama}}{1 - \text{Rasio}} & = 18 \\ \frac{a^2}{1 - r^2} & = 18 \\ \frac{a}{1 - r} . \frac{a}{1 + r} & = 18 \\ 6 . \frac{a}{1 + r} & = 18 \\ \frac{a}{1 + r} & = 3 \\ a & = 3 + 3r \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{align} a & = a \\ 3 + 3r & = 6 - 6r \\ 9r & = 3 \\ r & = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \end{align} $
Pers(ii) : $ a = 3+ 3r = 3 + 3 \times \frac{1}{3} = 3 + 1 = 4 $
Jadi, suku pertamanya adalah $ 4 . \, \heartsuit $