Pembahasan Program Linear SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 213

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ x + y \geq 2 $, $ x + 4y \leq 3 $ , $ y \geq 0 $ adalah .... satuan luas.
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{25}{24} \, $ E). $ \frac{25}{12} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga :
Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menggambar daerah penyelesaian (DHP) :
I). $ x + y \geq 2 \rightarrow (0,2) $ dan $ (2,0)$
II). $ x + 4y \leq 3 \rightarrow \left( 0, \frac{3}{4} \right) $ dan $ (3,0)$
III). $ y \geq 0 \rightarrow \, $ adalah sumbu X.
 

*). Menentukan titik potong garis I dan garis II :
$ \begin{array}{cc} x + 4y = 3 & \\ x + y = 2 & - \\ \hline 3y = 1 & \\ y = \frac{1}{3} & \end{array} $
garis I : $ x + y = 2 \rightarrow x + \frac{1}{3} = 2 \rightarrow x = \frac{5}{3} $.
sehingga titik potongnya $ \left( \frac{5}{3} , \frac{1}{3} \right) $
*). Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir yaitu berupa segitiga ABD dengan alas AB dan tingginya CD, Luasnya :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta ABD & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2}\times AB \times CD \\ & = \frac{1}{2}\times 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{align} $
Jadi, luas daerah penyelesaiannya adalah $ \frac{1}{6} . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 213

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan T adalah titik tengah EF dan U titik tengah BC. Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 6 cm, maka panjang TU adalah .... cm.
A). $ 3\sqrt{6} \, $ B). $ 5\sqrt{2} \, $ C). $ 4\sqrt{3} \, $ D). $ 3\sqrt{5} \, $ E). $ 2\sqrt{7} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini :
 

Untuk menentukan panjang TU, kita gunakan pythagoras pada $ \Delta$TBU
*). Panjang TB pada segitiga TBF :
$ \begin{align} TB^2 & = TF^2 + FB^2 = 3^2 + 6^2 = 45 \end{align} $
*).Menentukan Panjang TU pada segitiga TBF :
$\begin{align} TU & = \sqrt{TB^2 + BU^2} = \sqrt{ 45 + 3^2} \\ & = \sqrt{64} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, panjang $ TU = 3\sqrt{6} . \, \heartsuit $

Pembahasan Komposisi Fungsi SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 213

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = x^2 + 2 $ dan $ g(x) = -3x + 8 $ , maka nilai maksimum fungsi $ ( g \circ f) (x) $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = h(x) $ mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ h^\prime (x) = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Menentukan hasil komposisinya :
$\begin{align} y & = ( g \circ f) (x) \\ y & = g( f(x)) \\ & = g(x^2 + 2) \\ & = -3(x^2 + 2) + 8 \\ y & = -3x^2 + 2 \\ y^\prime & = -6x \end{align} $
*). Syarat maksimum : turunan pertama = 0
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ -6x & = 0 \\ x & = 0 \end{align} $
Artinya fungsi $ y = -3x^2 + 2 $ maksimum saat $ x = 0 $ .
*).Menentukan nilai maksimumnya :
$\begin{align} y & = -3x^2 + 2 = -3.0^2 + 2 = 2 \end{align} $
Catatan : Karena fungsi $ y = -3x^2 + 2 $ berbentuk fungsi kuadrat maka nilai maksimumnya bisa menggunakan rumus $ \, y_{max} = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} $ .
Jadi, nilai maksimum dari $ ( g \circ f) (x) $ adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Geometri SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 213

Soal yang Akan Dibahas
Jika jumlah tak hingga suatu barisan geometri adalah 16 dan suku keduanya adalah 4, maka jumlah 4 suku pertama barsian tersebut adalah ....
A). $ 11 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 13 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 15 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Jumlah $ n $ suku pertama :
$ S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} $
*). Jumlah tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1 - r} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Menyusun persamaan :
-).jumlah tak hingga barisan geometri = 16
$\begin{align} S_\infty & = 16 \\ \frac{a}{1 - r} & = 16 \\ a & = 16(1 - r) \, \, \, \, ....\text{(i)} \end{align} $
-).suku keduanya adalah 4
$\begin{align} U_2 & = 4 \\ ar & = 4 \\ 16(1 - r)r & = 4 \\ 4(1 - r)r & = 1 \\ 4r - 4r^2 & = 1 \\ 4r^2 - 4r + 1 & = 0 \\ (2r - 1)^2 & = 0 \\ (2r - 1) & = 0 \\ r & = \frac{1}{2} \end{align} $
nilai $ a = 16(1-r) = 16.(1 -\frac{1}{2}) = 16. \frac{1}{2} = 8 $
*).Menentukan jumlah 4 suku pertama :
$\begin{align} S_n & = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ S_4 & = \frac{8[(\frac{1}{2})^4-1]}{\frac{1}{2}-1} \\ & = \frac{8[\frac{1}{16}-1]}{-\frac{1}{2} } \\ & = \frac{8[-\frac{15}{16} ]}{-\frac{1}{2} } \\ & = 8. \frac{15}{16} . \frac{2}{1} \\ & = 15 \end{align} $
Jadi, nilai $ S_4 = 15 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 213

Soal yang Akan Dibahas
Suku ke-10 dikurangi suku ke-4 suatu barisan aritmetika adalah 18. Jika jumlah suku ke-8, suku ke-9, dan suku ke-10 barisan tersebut adalah 90, maka suku pertamanya adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Aritmetika
*). Rumus suku k-$n$ : $ U_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Menyusun persamaan :
-).Suku ke-10 dikurangi suku ke-4 adalah 18
$\begin{align} U_{10} - U_4 & = 18 \\ (a + 9b) - (a + 3b) & = 18 \\ 6b & = 18 \\ b & = 3 \end{align} $
-).jumlah suku ke-8, suku ke-9, dan suku ke-10 adalah 90
$\begin{align} U_8 + U_9 + U_{10} & = 90 \\ (a + 7b) + (a + 8b) + (a + 9b) & = 90 \\ 3a + 24b & = 90 \\ 3a + 24.3 & = 90 \\ 3a + 72 & = 90 \\ 3a & = 18 \\ a & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 213

Soal yang Akan Dibahas
Koordinat titik puncak grafik $ f(x) = ax^2 + bx + c $ adalah $ (4,2) $. Jika $ f(2) = 0 $, maka nilai $ 6a + b = ..... $
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Titik puncak fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $
adalah $ (x_p,y_p) $ dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $ dan $ y_p = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} $
*). Substitusi semua titik yang diketahui ke fungsi kuadratnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $,
titik puncaknya $ (x_p,y_p) = (4,2) $, artinya :
$ x_p = 4 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 4 \rightarrow b = -8a \, $ ....(i)
*).Substitusi titik puncak ke FK :
$\begin{align} (x,y) = (4,2) \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + c \\ 2 & = a.4^2 + b.4 + c \\ 2 & = 16a + 4b + c \, \, \, ....\text{(ii)} \end{align} $
*).Dari bentuk $ f(2) = 0$ :
$\begin{align} f(2) = 0 \rightarrow f(x) & = ax^2 + bx + c \\ 0 & = a.2^2 + b.2 + c \\ 0 & = 4a + 2b + c \, \, \, ....\text{(iii)} \end{align} $
*). Kurangkan pers(ii) dan (iii), kita peroleh :
$ 12a + 2b = 2 \rightarrow 6a + b = 1 \, $ ....(iv)
Catatan : Jika ingin menentukan nial $ a $ dan $ b $, selesaikan pers(i) dan (iv).
Jadi, nilai $ 6a + b = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 213

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ A^T $ adalah transpos matriks A. Jika $ A = \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ 0 & a \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) $ sehingga $ A^TB = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ -4 & 4 \end{matrix} \right) $, maka $ a^2 - a = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Transpose matriks
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
*). Perkalian matriks = Baris $ \times $ kolom

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Transpos matriksnya :
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ 0 & a \end{matrix} \right) \rightarrow A^T = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & a \end{matrix} \right) $
*).Persamaan matriksnya :
$\begin{align} A^TB & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ -4 & 4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & a \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ -4 & 4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ -6 + a & 2a \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ -4 & 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari persamaan matriks di atas,
$ 2a = 4 \rightarrow a = 2 $.
Sehingga nilai $ a^2 - a = 2^2 - 2 = 2 $.
Jadi, nilai $ a^2 - a = 2 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika Dasar Kode 213


Nomor 1
Misalkan $ A^T $ adalah transpos matriks A. Jika $ A = \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ 0 & a \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) $ sehingga $ A^TB = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ -4 & 4 \end{matrix} \right) $, maka $ a^2 - a = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 20 $
Nomor 2
Jika himpunan penyelesaian $ |2x - a| < 5 $ adalah $ \{ x| -1 < x < 4 \} $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 3
Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bagian yang sama, berturut-turut oleh titik K, L, dan M, N. Jika luas $ \Delta ABC $ adalah $ x $ cm$^2$, maka luas $\Delta KMN $ adalah .... cm$^2$
A). $ \frac{x}{3} \, $ B). $ \frac{2x}{9} \, $ C). $ \frac{x}{9} \, $ D). $ \frac{x}{18} \, $ E). $ \frac{x}{36} $
Nomor 4
Koordinat titik puncak grafik $ f(x) = ax^2 + bx + c $ adalah $ (4,2) $. Jika $ f(2) = 0 $, maka nilai $ 6a + b = ..... $
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $
Nomor 5
Diketahui median dan rata-rata berat badan 5 balita adalah sama. Setelah ditambahkan satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita diurutan ke-4 adalah .... kg.
A). $ 4 \, $ B). $ \frac{9}{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ \frac{13}{2} \, $

Nomor 6
Suku ke-10 dikurangi suku ke-4 suatu barisan aritmetika adalah 18. Jika jumlah suku ke-8, suku ke-9, dan suku ke-10 barisan tersebut adalah 90, maka suku pertamanya adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 $
Nomor 7
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah $(6-0,02x) \, $ kg, dengan $ x $ menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah .... kg.
A). $ 400 \, $ B). $ 420 \, $ C). $ 435 \, $ D). $ 450 \, $ E). $ 465 $
Nomor 8
Jika jumlah tak hingga suatu barisan geometri adalah 16 dan suku keduanya adalah 4, maka jumlah 4 suku pertama barsian tersebut adalah ....
A). $ 11 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 13 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 15 $
Nomor 9
Jika $ f(x) = x^2 + 2 $ dan $ g(x) = -3x + 8 $ , maka nilai maksimum fungsi $ ( g \circ f) (x) $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $
Nomor 10
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan T adalah titik tengah EF dan U titik tengah BC. Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 6 cm, maka panjang TU adalah .... cm.
A). $ 3\sqrt{6} \, $ B). $ 5\sqrt{2} \, $ C). $ 4\sqrt{3} \, $ D). $ 3\sqrt{5} \, $ E). $ 2\sqrt{7} $

Nomor 11
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ x + y \geq 2 $, $ x + 4y \leq 3 $ , $ y \geq 0 $ adalah .... satuan luas.
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{25}{24} \, $ E). $ \frac{25}{12} $
Nomor 12
Transformasi yang bersesuaian dengan matriks A memetakan titik $(6, 3)$ ke titik $(4,-2)$. Jika transformasi yang sama memetakan titik $(-2,-1) $ ke titik $(m, n)$, maka nilai $ m - n $ adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $
D). $ 3 \, $ E). $ 7 $
Nomor 13
$ \int \frac{x }{ \sqrt{x^2 + 3}} dx = .... $
A). $ 2\sqrt{x^2 + 3} + C \, $
B). $ \sqrt{x^2 + 3} + C \, $
C). $ \frac{1}{2}\sqrt{x^2 + 3} + C \, $
D). $ \frac{x^2}{3\sqrt{(x^2 + 3)^3}} + C \, $
E). $ \frac{3x^2}{4\sqrt{(x^2 + 3)^3}} + C $
Nomor 14
Jika kurva $ f(x) = ax^2 + bx + c $ memotong sumbu Y di titik $ (0,1) $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{f(x)} = \frac{1}{4} $, maka $ a + c = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 15
Banyak bilangan 4 angka (boleh berulang) yang habis dibagi 2 atau 5 dan angka ribuannya 1 atau 3 adalah ....
A). 900 B). 1.000 C). 1.100
D). 1.200 E). 1.300