Pembahasan SPL Simak UI 2009 Matematika IPA kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x, y , $ dan $ z $ memenuhi sistem persamaan :
$ \begin{align} 3x + 2y - z & = 3 \\ 2x + y - 3z & = 4 \\ x - y + 2z & = -1 \end{align} $
maka nilai $ 2x + 2y - 3z = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier (SPL), dapat menggunakan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui sistem persamaan :
$ 3x + 2y - z = 3 \, $ ....(i)
2x + y - 3z = 4 \, $ ......(ii)
x - y + 2z = -1 \, $ ......(iii)
*). Mennyelesaikan sistem persamaannya :
-). 2 kali (i) ditambah (iii)
$ \begin{array}{cc} 6x + 4y - 2z = 6 & \\ x - y + 2z = -1 & + \\ \hline 7x + 3y = 5 & \end{array} $
Kita peroleh pers(iv) : $ 7x + 3y = 5 $
-). 3 kali (i) dikurangkan (ii)
$ \begin{array}{cc} 9x+6y-3z = 9 & \\ 2x + y - 3z = 4 & - \\ \hline 7x + 5y = 5 & \end{array} $
Kita peroleh pers(v) : $ 7x + 5y = 5 $
-). (iv) dikurangkan (v)
$ \begin{array}{cc} 7x + 3y = 5 & \\ 7x + 5y = 5 & - \\ \hline -2y = 0 \\ y = 0 & \end{array} $
pers(v) : $ 7x + 5y = 5 \rightarrow 7x + 5.0 = 5 \rightarrow x = \frac{5}{7} $
Pers(i) : $ 3x + 2y - z = 3 \rightarrow 3 . \frac{5}{7} + 2.0 - z = 3 \rightarrow z = \frac{-6}{7} $
*). Menentukan nilai $ 2x + 2y - 3z $ :
$\begin{align} 2x + 2y - 3z & = 2.\frac{5}{7} + 2.0 - 3.(\frac{-6}{7}) \\ & = \frac{10}{7} +0 + \frac{18}{7} \\ & = \frac{28}{7} = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ 2x + 2y - 3z = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2009 Matematika IPA kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ mx^2 - 2x^2 + 2mx + m - 3 $ . Agar fungsi tersebut senantiasa berada di bawah sumbu X, maka nilai $ m $ yang mungkin adalah
A). $ m < -3 \, $ B). $ m < -2 \, $ C). $ m < 1\frac{1}{5} \, $
D). $ m < 2 \, $ E). $ m < 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ selalu berada di bawah sumbu X (istilah lainnya adalah definit negatif) jika memenuhi syarat :
$ a < 0 \, $ dan $ D < 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui Fungsi $ f(x) = mx^2 - 2x^2 + 2mx + m - 3 $
dapat digabung menjadi : $ f(x) = (m-2)x^2 + 2mx + (m - 3) $
dengan $ a = m-2 , \, b = 2m $ , dan $ c = m-3 $
*). Mennyelesaikan syarat definit negatif (selalu di bawah sumbu X) :
(i). Syarat pertama : $ a < 0 $
$\begin{align} a & < 0 \\ m - 2 & < 0 \\ m & < 2 \, \, \, \, \, \text{....HP1} \end{align} $
(ii). Syarat kedua : $ D < 0 $
$\begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ (2m)^2 - 4.(m-2).(m-3) & < 0 \\ 4m^2 - 4(m^2 - 5m + 6) & < 0 \\ 4m^2 - 4m^2 + 20m - 24 & < 0 \\ 20m - 24 & < 0 \\ 20m & < 24 \\ m & < \frac{24}{20} \\ m & < \frac{6}{5} \\ m & < 1\frac{1}{5} \, \, \, \, \, \text{....HP2} \end{align} $
*). Solusi totalnya adalah irisan keduanya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP_2 \\ & = \{ m < 2 \} \cap \{ m < 1\frac{1}{5} \} \\ & = \{ m < 1\frac{1}{5} \} \end{align} $
Jadi, syaratnya adalah $ m < 1\frac{1}{5} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2009 Matematika Ipa Kode 924


Nomor 1
Diketahui fungsi $ mx^2 - 2x^2 + 2mx + m - 3 $ . Agar fungsi tersebut senantiasa berada di bawah sumbu X, maka nilai $ m $ yang mungkin adalah
A). $ m < -3 \, $ B). $ m < -2 \, $ C). $ m < 1\frac{1}{5} \, $
D). $ m < 2 \, $ E). $ m < 3 $
Nomor 2
Jika $ x, y , $ dan $ z $ memenuhi sistem persamaan :
$ \begin{align} 3x + 2y - z & = 3 \\ 2x + y - 3z & = 4 \\ x - y + 2z & = -1 \end{align} $
maka nilai $ 2x + 2y - 3z = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -8 $
Nomor 3
Fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ yang didefinisikan pada interval $ (0, 2\pi) $ mencapai nilai maksimum untuk $ x = .... $
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{4} \, $ C). $ \frac{\pi}{3} \, $ D). $ \frac{\pi}{2} \, $ E). $ \frac{3\pi}{4} $
Nomor 4
Himpunan penyelesaian $ \left| \log (x-1) \right| < 1 $ adalah .....
A). $ \{ x | 11 < x < 110 \} \, $
B). $ \{ x | -11 < x < 110 \} \, $
C). $ \{ x | -9 < x < 110 \} \, $
D). $ \{ x | -\frac{11}{10} < x < 11 \} \, $
E). $ \{ x | \frac{11}{10} < x < 11 \} \, $
Nomor 5
Misalkan $ x_1 $ dan $ x_2 $ bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2-(2k+4)x+(3k+4)=0 $. Jika $ x_1, k , x_2 $ merupakan tiga suku pertama dari suatu deret geometri, maka rumus suku ke-$n$ deret tersebut adalah .....
A). $ 1 - (-1)^n \, $ B). $ 1 + (-1)^n \, $ C). $ -(-1)^n \, $
D). $ 2(-1)^n \, $ E). $ -1 $

Nomor 6
Jika diketahui matriks B memenuhi persamaan :
$ \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2&5 \\ 1 &3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right)B $ , maka determinan dari $ B^{-1} $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -\frac{1}{2} $
Nomor 7
Jika $ \cos (A+B) = \frac{2}{5} $ , $ \cos A \cos B = \frac{3}{4} $ , maka nilai $ \tan A \tan B = .... $
A). $ \frac{6}{15} \, $ B). $ \frac{7}{15} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{8}{15} \, $ E). $ \frac{3}{4} \, $
Nomor 8
Nilai maksimum dari fungsi $ y = 4\sin x \sin (x-60^\circ) $ dicapai pada saat nilai $ x = .... $
A). $ x = 30^\circ + k. 180^\circ \, $ , dengan $ k $ bilangan bulat
B). $ x = 60^\circ + k. 180^\circ \, $ , dengan $ k $ bilangan bulat
C). $ x = 90^\circ + k. 180^\circ \, $ , dengan $ k $ bilangan bulat
D). $ x = 120^\circ + k. 180^\circ \, $ , dengan $ k $ bilangan bulat
E). $ x = 150^\circ + k. 180^\circ \, $ , dengan $ k $ bilangan bulat
Nomor 9
Misalkan diketahui $ g(x) = \log x $ , $ h(x) = \sqrt{4-x^2} $. Daerah asal dari fungsi komposisi $ ( g \circ h) $ adalah ....
A). $ \{ R | -2 \leq x \leq 2 \} $
B). $ \{ R | x \leq -2 \text{ atau } x \geq 2 \} $
C). $ \{ R | -2 < x < 2 \} $
D). $ \{ R | x < -2 \text{ atau } x > 2 \} $
E). Himpunan bilangan real
Nomor 10
Jika suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ (x-1) $ , maka sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ (x-1)(x+1) $ adalah .....
A). $ \frac{-f(-1)}{2}(1+x) \, $ B). $ \frac{-f(-1)}{2}(1-x) \, $
C). $ \frac{f(-1)}{2}(1+x) \, $ D). $ \frac{f(-1)}{2}(1-x) \, $
E). $ \frac{f(-1)}{2}(x-1) $

Nomor 11
Kurva $ y = \sin x $ dan garis $ y = mx $ berpotongan di titik $ (0,0) $ dan di titik yang absisnya $ a $. Daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = \sin x $ dan sumbu X pada $ 0 \leq x \leq \pi $ terbagi oleh garis $ y = mx $ tersebut menjadi dua bagian, yaitu daerah P dan daerah Q. Agar daerah P dan daerah Q mempunyai luas yang sama, maka $ m $ dan $ a $ harus memenuhi hubungan .....
A). $ m = \frac{-\cos a}{a^2} \, $ B). $ m = \frac{\cos a}{2a^2} \, $ C). $ m = \frac{-\cos a}{2a^2} \, $
D). $ m = \frac{2\cos a}{a^2} \, $ E). $ m = \frac{-2\cos a}{a^2} $
Nomor 12
Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 5 cm. Titik M adalah perpotongan antara AF dan BE. Jika N adalah titik tengah EH, maka jarak antara BH dan MN sama dengan .....
A). $ \sqrt{6} \, $ B). $ \frac{5}{6}\sqrt{6} \, $ C). $ \frac{2}{3}\sqrt{6} \, $ D). $ \frac{1}{2}\sqrt{6} \, $ E). $ \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Jika akar-akar persamaan $ x^2 -ax + b = 0 $ memenuhi persamaan $ 2x^2 - (a+3)x + (3b-2) = 0 $ , maka ....
(1). $ a = 3 \, $
(2). $ b = 2 \, $
(3). $ 2a - 2ab + 3b = 0 \, $
(4). $ ab = 5 \, $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika suatu fungsi $ y = \sqrt{x^2 - 7} $ , maka .....
(1). $ y = \frac{4}{3}x - \frac{7}{3} $ merupakan persamaan garis singgung di $ x = 4 $
(2). Kurva berbentuk lingkaran berpusat di $ (0,0) $
(3). Garis $ y = -\frac{3}{4}x + 6 $ memotong tegak lurus garis singgung di $ x = 4 $
(4). $ y = \frac{4}{3}x - \frac{25}{3} $ merupakan garis singgung kurva di $ (4, -3) $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
Diketahui turunan dari suatu fungsi $ y $ adalah $ y^\prime = 4x-3 $. Jika kurva melalui titik $ (0,1) $, dan berpotongan dengan garis $ p : y = 2x - 1 $, maka garis singgung di titik potong antara kurva $ y $ dengan garis $ p $ mempunyai persamaan ....
(1). $ y - 5x + 7 = 0 \, $
(2). $ -y + 2x - 2 = 0 \, $
(3). $ 2y + 2x - 1= 0 \, $
(4). $ y - 2x = 0 \, $
Catatan :
Pembahasannya akan dilengkapi secara bertahap. Terima kasih.

Pembahasan Matriks Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \left( \begin{matrix}\tan x & 1 \\ 1 & \tan x \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}\cos ^2 x \\ \sin x \cos x \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \frac{1}{2} $, dimana $ b = 2a $ , maka $ 0 \leq x \leq \pi $ yang memenuhi adalah ...
(1). $ \frac{\pi}{6} \, $ (2). $ \frac{\pi}{12} \, $ (3). $ \frac{5\pi}{6} \, $ (4). $ \frac{5\pi}{12} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Cara perkalian matriks : Baris kali kolom
*). Kesamaan dua matriks : Unsur seletak nilainya sama
*). Sudut rangkap dan rumus dasar lainnya :
$ 2 \sin x . \cos x = \sin 2x \, $
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perlian matriksnya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix}\tan x & 1 \\ 1 & \tan x \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}\cos ^2 x \\ \sin x \cos x \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \frac{1}{2} \\ \left( \begin{matrix}\tan x.\cos ^2 x + \sin x \cos x \\ \cos ^2 x + \tan x \sin x \cos x \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{a}{2} \\ \frac{b}{2} \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \frac{\sin x}{\cos x}.\cos ^2 x + \sin x \cos x \\ \cos ^2 x + \frac{\sin x}{\cos x} \sin x \cos x \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{a}{2} \\ \frac{b}{2} \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \sin x \cos x + \sin x \cos x \\ \cos ^2 x + \sin ^2 x \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{a}{2} \\ \frac{b}{2} \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2\sin x \cos x \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{a}{2} \\ \frac{b}{2} \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \sin 2 x \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{a}{2} \\ \frac{b}{2} \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
*). Kita peroleh kesamaan matriks yaitu :
$ \frac{b}{2} = 1 \rightarrow b = 2 $
-). Dari yang diketahui : $ b = 2a \rightarrow 2 = 2a \rightarrow a = 1 $
-). Persamaan kedua :
$ \sin 2x = \frac{a}{2} \rightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} $
Penyelesaian dari $ \sin 2x = \frac{1}{2} $ :
$ 2x = 30^\circ \rightarrow x = 15^\circ = \frac{\pi}{12} $
$ 2x = 150^\circ \rightarrow x = 75^\circ = \frac{5\pi}{12} $
Sehingga nilai $ x = \frac{\pi}{12} $ dan $ x = \frac{5\pi}{12} $
Pernyataan (2) dan (4) BENAR, jawabannya C.
Jadi, Pernyataan (2) dan (4) BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Diketahui sistem persamaan berikut :
$ \begin{align} 5^{2x+y+z} & = 125 \\ 7^{3x-y+2z} & = \frac{1}{7} \\ 2^{x+2y-z} & = 64 \end{align} $
Jawaban yang sesuai adalah ....
(1). $ y - z = 3 \, $
(2). $ x = 1 \, $
(3). $ 2x + y = 3y + 2z \, $
(4). $ x + y + z = 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
*). Persamaan Ekspnen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah sistem persamaan eksponennya :
$ \begin{align} 5^{2x+y+z} = 125 \rightarrow 5^{2x+y+z} & = 5^3 \\ \text{Pers (i) } ... \,\,\,\,\, 2x + y + z & = 3 \\ 7^{3x-y+2z} = \frac{1}{7} \rightarrow 7^{3x-y+2z} & = 7^{-1} \\ \text{Pers (ii) } ... \,\,\,\,\, 3x-y+2z & = -1 \\ 2^{x+2y-z} = 64 \rightarrow 2^{x+2y-z} & = 2^6 \\ \text{Pers (iii) } ... \,\,\,\,\, x+2y-z & = 6 \end{align} $
*). Jumlahkan pers(i) dan pers(iii) :
$\begin{array}{cc} 2x + y + z = 3 & \\ x+2y-z = 6 & + \\ \hline 3x + 3y = 9 & \end{array} $
kita peroleh pers(iv) : $ 3x + 3y = 9 \, $ .....(iv)
*). 2 kali pers(i) dikurangkan pers (ii) :
$\begin{array}{cc} 4x + 2y + 2z = 6 & \\ 3x-y+2z = -1 & - \\ \hline x + 3y = 7 & \end{array} $
kita peroleh pers(v) : $ x + 3y = 7 \, $ .....(v)
*). pers(iv) dikurangkan pers (v) :
$\begin{array}{cc} 3x + 3y = 9 & \\ x + 3y = 7 & - \\ \hline 2 x = 2 & \\ x = 1 & \end{array} $
Pers (iv) : $ x + y = 3 \rightarrow 1 + y = 3 \rightarrow y = 2 $
Pers (i) : $ 2x + y + z = 3 \rightarrow 2.1 + 2 + z = 3 \rightarrow z = -1 $
Sehingga nilai $ x = 1, y = 2, $ dan $ z = -1 $

Kita cek setiap pernyataan :
(1). $ y - z = 3 \, $ ?
$ y - z = 2 - (-1) = 3 $ (BENAR)

(2). $ x = 1 \, $ ?
(BENAR)

(3). $ 2x + y = 3y + 2z \, $ ?
$ 2.1 + 2 = 3.2 + 2.(-1) \rightarrow 4 = 4 $
(BENAR)

(4). $ x + y + z = 2 \, $ ?
$ x + y + z = 1 + 2 + (-1) = 2 $ (BENAR)

Semua Pernyataan BENAR, jawabannya E.
Jadi, Semua Pernyataan BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Menyusun PK Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Akar-akar dari persamaan $ px^2-(2p+1)x+2 = 0 $ adalah $ m $ dan $ n $. Jika $ mn=1 $ , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari kebalikan $ m $ dan $ n $ adalah .....
(1). $ 2x^2 + \frac{17}{2}x + 2 = 0 \, $
(2). $ 2x^2 - \frac{17}{2}x + 2 = 0 \, $
(3). $ 4x^2 + 17x + 4 = 0 \, $
(4). $ 4x^2 - 17x + 4 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2+bx+c=0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Menyusun persamaan kuadrat $ P $ dan $ q $ yaitu :
$ x^2 - (p+q)x + p.q = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Akar-akar dari persamaan $ px^2-(2p+1)x+2 = 0 $ adalah $ m $ dan $ n $
*). Menentukan nilai $ p $ dengan $ mn = 1 $
$\begin{align} mn & = 1 \rightarrow \frac{c}{a} = 1 \rightarrow \frac{2}{p} = 1 \rightarrow p = 2 \end{align} $
*). Menentukan akar-akar dengan $ p = 2 $
$\begin{align} px^2-(2p+1)x+2 & = 0 \\ 2x^2-5x+2 & = 0 \\ (2x-1)(x-2) & = 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = 2 \end{align} $
artinya $ m = \frac{1}{2} $ dan $ n = 2 $
*). Menyusun persamaan kuadrat baru dengan akar-akarnya kuadrat kebalikan dari $ m $ dan $ n $ (maksudnya dengan akar-akar $ \frac{1}{m^2} $ dan $ \frac{1}{m^2} $ )
$\begin{align} x^2 - ( \frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} )x + \frac{1}{m^2} . \frac{1}{n^2} & = 0 \\ x^2 - ( \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} + \frac{1}{2^2} )x + \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} . \frac{1}{2^2} & = 0 \\ x^2 - ( 4 + \frac{1}{4} )x + 2 . \frac{1}{2^2} & = 0 \\ x^2 - \frac{17}{4}x + 1 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2x^2 - \frac{17}{2}x + 2 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x^2 - 17x + 4 & = 0 \end{align} $
Pernyataan (2) dan (4) yang BENAR, jawabannya C.
Jadi, Pernyataan (2) dan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui balok ABCD.EFGH dimana AB = 6 cm, BC = 8 cm, BF = 4 cm. Misalkan $ \alpha $ adalah sudut antara AH dan BD, maka $ \cos 2\alpha = .... $
A). $ \frac{61}{5\sqrt{5}} \, $ B). $ \frac{8}{5\sqrt{5}} \, $ C). $ \frac{3}{5\sqrt{5}} \, $ D). $ \frac{8}{125} \, $ E). $ \frac{3}{125} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan Kosinus pada segitiga ABC :
$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $
*). RUmus sudut rangkap :
$ \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
*). Untuk menentukan sudut pada dimensi tiga, salah satu garis bisa digeser sejajar dengan aslinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 

-). Garis AH dan BD belum berpotongan (belum bertemu), sehingga kita geser salah satu geser agar mereka berpotongan yaitu geser garis AH ke garis BG (AH sejajar BG), sehingga sudutnya antara garis BG dan BD. $ \alpha = \angle (AH, BD) = \angle (BG, BD) $
-). Menentukan panjang pada segitiga BDG :
$ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 $
$ DG = \sqrt{CD^2 + CG^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{15} $
$ BG = \sqrt{CB^2 + CG^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} $
*). Aturan segitiga pada segitiga BDG :
$\begin{align} \cos DBG & = \frac{BD^2 + BG^2 - DG^2}{2.BD.BG} \\ \cos \alpha & = \frac{10^2 + (\sqrt{80})^2 - (\sqrt{52})^2}{2.10.4\sqrt{5}} \\ & = \frac{100 + 80 - 52}{80\sqrt{5}} \\ & = \frac{128}{80\sqrt{5}} = \frac{8}{5\sqrt{5}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos 2 \alpha $ :
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = 2\cos ^2 \alpha - 1 \\ & = 2 (\frac{8}{5\sqrt{5}} )^2 - 1 \\ & = \frac{128}{125} - \frac{125}{125} = \frac{3}{125} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 2 \alpha = \frac{3}{125} . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Daerah yang dibatasi oleh garis $ x = 3y $ dan kurva $ y = \sqrt{x} $ pada $ 0 \leq x \leq m $ , $ m > 0 $ terdiri dari dua bagian. Agar kedua bagian daerah tersebut mempunyai luas yang sama, maka $ m = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luasan yang dibatasi oleh fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ yaitu :
Luas $ = \int \limits_a^b [f(x) - g(x)] dx $
dengan kurva $ f(x) $ di atas kurva $ g(x) $
*). RUmus integral fungsi aljabar :
$ \int ax^n dx = a. \frac{1}{n+1} x^{n+1} + c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketaui garis $ x = 3y \rightarrow y = \frac{1}{3}x $ dan kurva $ y = \sqrt{x} $
Ilustrasi gambar untuk interval $ 0 \leq x \leq m $
 

Titik potong kedua kurva :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{1}{3}x & = \sqrt{x} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{1}{9}x^2 & = x \\ x^2 & = 9x \\ x^2 - 9x & = 0 \\ x(x-9) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 9 \end{align} $
titik potongnya di $ x = 0 $ dan $ x = 9 $
*). Menentukan nilai $ m $ :
$\begin{align} \text{Luas I} & = \text{Luas II} \\ \int \limits_0^9 (\sqrt{x} - \frac{1}{3}x) dx & = \int \limits_9^m (\frac{1}{3}x - \sqrt{x}) dx \\ \int \limits_0^9 (x^\frac{1}{2} - \frac{1}{3}x) dx & = \int \limits_9^m (\frac{1}{3}x - x^\frac{1}{2}) dx \\ [\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}x^2]_0^9 & = [\frac{1}{6}x^2 - \frac{2}{3}x^\frac{3}{2}]_9^m \\ [\frac{2}{3}.9^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}.9^2]-0 & = [\frac{1}{6}.m^2 - \frac{2}{3}.m^\frac{3}{2}]- [\frac{1}{6}.9^2 - \frac{2}{3}.9^\frac{3}{2}] \\ \frac{2}{3}.9^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}.9^2 & = \frac{1}{6}.m^2 - \frac{2}{3}.m^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}.9^2 + \frac{2}{3}.9^\frac{3}{2} \\ 0 & = \frac{1}{6}.m^2 - \frac{2}{3}.m^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 0 & = m^2 - 4m^\frac{3}{2} \\ m^2 & = 4m^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ m^4 & = 16m^3 \\ m & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Teorema Sisa Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ (x-1) $ , maka sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ (x-1)(x+1) $ adalah .....
A). $ \frac{-f(-1)}{2}(1+x) \, $ B). $ \frac{-f(-1)}{2}(1-x) \, $
C). $ \frac{f(-1)}{2}(1+x) \, $ D). $ \frac{f(-1)}{2}(1-x) \, $
E). $ \frac{f(-1)}{2}(x-1) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema sisa :
$ f(x) \, $ dibagi $ \, (x-a)(x-b) \, $ bersisa $ px + q $
Maka berlaku :
$ f(a) = pa + q $ dan $ f(b) = pb + q $
(substitusi akar-akar pembaginya).
*). $ f(x) $ habis dibagi $ (x-a) $ artinya sisa = 0
atau bisa kita tulis $ f(a) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertama : Diketahui suku banyak $ f(x) $
-). $ f(x) $ habis dibagi oleh $ (x-1) $, artinya $ f(1) = 0 $
*). $ f(x) $ dibagi oleh $ (x-1)(x+1) $ , misalkan sisanya $ ax+b $
Pembaginya : $ (x-1)(x+1) \rightarrow x = 1 \vee x = -1 $
Sisa : $ s(x) = ax+b $
-). Akar-akar pembaginya adalah $ 1 $ dan $ -1 $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow f\left( 1 \right) & = s\left( 1 \right) \\ 0 & = a.1 + b \\ a & = -b \, \, \, \, \, ....\text{(i)} \\ x = -1 \rightarrow f\left( -1 \right) & = s\left( -1 \right) \\ f(-1) & = a.(-1) + b \\ f(-1) & = -a + b \, \, \, \, \, ....\text{(ii)} \\ \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke (ii) :
$\begin{align} -a + b & = f(-1) \\ -(-b) + b & = f(-1) \\ 2b & = f(-1) \\ b & = \frac{f(-1)}{2} \end{align} $
Pers(i): $ a = -b = - \frac{f(-1)}{2} $
*). Sehingga sisanya :
$\begin{align} s(x) & = ax + b \\ & = -\frac{f(-1)}{2}x + \frac{f(-1)}{2} \\ & = \frac{f(-1)}{2}(-x + 1) \\ & = \frac{f(-1)}{2}(1 - x) \end{align} $
Jadi, sisanya adalah $ \frac{f(-1)}{2}(1 - x) . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) = ...$
A). $ \frac{5}{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } (\sqrt{a_1x^2 +b_1x + c_1} - \sqrt{a_2x^2 +b_2x + c_2} - \sqrt{a_3x^2 +b_3x + c_3} ) $
$ = \frac{b_1}{2\sqrt{a_1}} - \frac{b_2}{2\sqrt{a_2}} - \frac{b_3}{2\sqrt{a_3}} $
Syaratnya adalah $ \sqrt{a_1} = \sqrt{a_2} + \sqrt{a_3} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Soalnya : $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) $
$ a_1 = 4, a_2 = 1, a_3 = 1 $
$ \sqrt{a_1} = \sqrt{a_2} + \sqrt{a_3} \rightarrow \sqrt{4} = \sqrt{1} + \sqrt{1} $
(BENAR memenuhi syarat)
*). Menentukan nilai limitnya dengan mengubah bentuk akarnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \frac{b_1}{2\sqrt{a_1}} - \frac{b_2}{2\sqrt{a_2}} - \frac{b_3}{2\sqrt{a_3}} \\ & = \frac{8}{2\sqrt{4}} - \frac{0}{2\sqrt{1}} - \frac{1}{2\sqrt{1}} \\ & = 2 - 0 - \frac{1}{2 } = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) = ...$
A). $ \frac{5}{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } (\sqrt{ax^2 +bx + c} - \sqrt{ax^2 + px + q} ) = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
(syaratnya dengan koefisien $ x^2 $ sama).
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{ab} = \sqrt{a} . \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai limitnya dengan mengubah bentuk akarnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4(x^2+2x)}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4}\sqrt{(x^2+2x)}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( 2\sqrt{(x^2+2x)}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{(x^2+2x)} + \sqrt{(x^2+2x)} -\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left[ ( \sqrt{(x^2+2x)} -\sqrt{x^2+1}) + ( \sqrt{(x^2+2x)} -\sqrt{x^2+x}) \right] \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{2}} + \frac{b-p}{2\sqrt{2}} \\ & = \frac{2-0}{2\sqrt{1}} + \frac{2-1}{2\sqrt{1}} \\ & = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ yang didefinisikan pada interval $ (0, 2\pi) $ mencapai nilai maksimum untuk $ x = .... $
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{4} \, $ C). $ \frac{\pi}{3} \, $ D). $ \frac{\pi}{2} \, $ E). $ \frac{3\pi}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = a\sin x \rightarrow y^\prime = a\cos x $
$ y = a\cos x \rightarrow y^\prime = -a\sin x $
*). Nilai maksimum/minimum fungsi $ y = f(x) $ dicapai pada saat $ f^\prime (x) = 0 $
(Turunan pertama fungsinya = 0)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui Fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = 3\sin x + 3\cos x \\ f^\prime (x) & = 3\cos x - 3\sin x \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum/minimum : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3\cos x - 3\sin x & = 0 \\ 3\cos x & = 3\sin x \\ \cos x & = \sin x \\ \frac{\sin x}{\cos x} & = 1 \\ \tan x & = 1 \\ \end{align} $
*). Nilai $ x $ yang memenuhi $ \tan x = 1 $ yaitu $ x = \frac{\pi}{4} $ dan $ x = \frac{5\pi}{4} $
*). Cek ke fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ :
$ \begin{align} x = \frac{\pi}{4} \rightarrow f(\frac{\pi}{4}) & = 3\sin \frac{\pi}{4} + 3\cos \frac{\pi}{4} \\ & = 3.\frac{1}{2}\sqrt{2} + 3.\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 3\sqrt{2} \, \, \, \, \, \text{(maks)} \\ x = \frac{5\pi}{4} \rightarrow f(\frac{5\pi}{4}) & = 3\sin \frac{5\pi}{4} + 3\cos \frac{5\pi}{4} \\ & = 3.(-\frac{1}{2}\sqrt{2}) + 3.(-\frac{1}{2}\sqrt{2} ) \\ & = -3\sqrt{2} \, \, \, \, \, \text{(min)} \end{align} $
Jika kita cek ke fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ , maka nilai maksimumnya pada saat $ x = \frac{\pi}{4} $.
Jadi, nilai $ x $ adalah $ x = \frac{\pi}{4} . \, \heartsuit $