Pembahasan Logaritma Matriks UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Jika matriks $ \left( \begin{matrix} {}^4 \log 2^x & 1 \\ {}^2 \log 4^y & x \end{matrix} \right) $ tidak mempunyai invers dan $ x^2 + y^2 = 32 $, maka nilai $ {}^x \log y = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Determinan matriks A : $ det(A) = ad - bc $
-). Syarat Matriks A tidak punya invers yaitu $ det(A) = 0 $
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b = {}^{a^n} \log b^n $
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat eksponen : $ (a^n)^m = a^{n.m} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x) } = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Matriks $ \left( \begin{matrix} {}^4 \log 2^x & 1 \\ {}^2 \log 4^y & x \end{matrix} \right) $ , maka $ det = 0 $ :
$\begin{align} \text{determinan } & = 0 \\ x. {}^4 \log 2^x - 1. {}^2 \log 4^y & = 0 \\ x. {}^4 \log 2^x - {}^2 \log 4^y & = 0 \\ x. {}^4 \log 2^x & = {}^2 \log 4^y \\ {}^4 \log (2^x )^x & = {}^{2^2} \log (4^y)^2 \\ {}^4 \log 2^{x^2} & = {}^4 \log 4^{2y} \\ {}^4 \log 2^{x^2} & = {}^4 \log (2^2)^{2y} \\ {}^4 \log 2^{x^2} & = {}^4 \log 2^{4y} \, \, \, \, \, \, \text{(persamaan log)} \\ 2^{x^2} & = 2^{4y} \, \, \, \, \, \, \text{(persamaan eksponen)} \\ x^2 & = 4y \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
pada soal diketahui : $ x^2 + y^2 = 32 \, \, \, $ ....pers(ii)
*). Untuk menentukan nilai $ {}^x \log y $ , maka haruslah $ x > 0 $ dan $ y > 0 $.
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} x^2 + y^2 & = 32 \\ 4y + y^2 & = 32 \\ y^2 + 4y - 32 & = 0 \\ (y+8)(y-4) & = 0 \\ y = -8 \vee y & = 4 \end{align} $
Karena $ y > 0 $ , maka $ y = 4 $.
sehingga $ x^2 = 4y \rightarrow x^2 = 4.4 \rightarrow x^2 = 16 \rightarrow x = \pm 4 $
Karena $ x > 0 $ , maka $ x = 4 $
*). Menentukan Nilai $ {}^x \log y $ :
$\begin{align} {}^x \log y & = {}^4 \log 4 = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^x \log y = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Naik UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{2x-1}{x+3} $ , maka fungsi $ f^\prime $ naik ketika ...
A). $ x < -3 \, $ B). $ -3 < x < -\frac{5}{4} \, $ C). $ x < -\frac{4}{5} \, $
D).$ x $ bilangan real kecuali $ x = -3 $
E). $ x > 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = a[f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.a[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $
*). Aplikasi turunan pada fungsi naik :
Syarat Fungsi $ y = g(x) $ naik yaitu $ g^\prime (x) > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi : $ f(x) = \frac{2x-1}{x+3} $
*). Misalkan $ g(x) = f^\prime (x) $.
Mencari interval fungsi $ f^\prime $ naik sama saja dengan mencari interval naik fungsi $ g(x) $.
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{2x-1}{x+3} = \frac{U}{V} \\ U & = 2x - 1 \rightarrow U^\prime = 2 \\ V & = x + 3 \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2.(x+3) - (2x-1).1}{(x+3)^2} \\ & = \frac{2x + 6 - 2x + 1 }{(x+3)^2} \\ & = \frac{7 }{(x+3)^2} \end{align} $
Sehingga $ g(x) = f^\prime (x) = \frac{7 }{(x+3)^2} $
*). Menentukan $ g^\prime (x) $ :
$\begin{align} g(x) & = \frac{7 }{(x+3)^2} = 7(x+3)^{-2} \\ g^\prime (x) & = (-2).7.(x+3)^{-3} \\ & = \frac{-14}{(x+3)^3} \end{align} $
*). Syarat fungsi $ g(x) $ naik yaitu : $ g^\prime (x) > 0 $
$\begin{align} g^\prime (x) & > 0 \\ \frac{-14}{(x+3)^3} & > 0 \end{align} $
Agar $ \frac{-14}{(x+3)^3} > 0 $ , haruslah :
$ x + 3 < 0 \rightarrow x < - 3 $.
Jadi, fungsi $ f^\prime $ naik pada interval $ x < -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Ketika angka 1 sampai dengan 5 ditata berjejer embentuk suatu bilangan, maka peluang terbentuknya bilangan genap sehingga angka 2 tidak berada di posisi lebih depan daripada angka 1 adalah ...
A). $\frac{1}{8} \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{3}{10} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{2}{7} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus peluang kejadian A : $ P(A) $
$ \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (ruang sampel)
*). Banyak cara menyusun $ n $ bilangan adalah $ n! $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angkanya 1, 2, 3, 4, 5 untuk membentuk bilangan terdiri dari 5 digit.
*). Menentukan semua kemungkinan : $ n(S) $
$\begin{align} n(S) & = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 \end{align} $
*). Menentukan banyak kejadian yang diharapkan : $ n(A) $
Harapannya adalah terbentuknya bilangan genap sehingga angka 2 tidak berada di posisi lebih depan daripada angka 1. Berikut susunan yang mungkin :
 

sehingga $ n(A) = 4! + 3! + 4 + 2 = 36 $
*). Menentukan peluangnya :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} \end{align} $
*). Keterangan gambar :
-). Agar terbentuk bilangan genap, maka satuannya (digit paling kanan) harus genap yaitu antara 2 atau 4.
-). kelima digit kita beri nama : digit 1 untuk puluhan ribu ( digit paling kiri), digit 2 untuk ribuan, digit 3 untuk ratusan, digit 4 untuk puluhan, dan digit 5 untuk satuan (digit paling kanan).
-). gambar 1 : angka 2 di satuan (digit 5) , empat digit sisanya diisi oleh 1,3,4,5 dengan $ 4! = 24 $ cara.
-). gambar 2 : angka 4 di satuan, angka 1 paling kiri (digit 1), tiga digit sisanya diisi oleh 2,3,5 dengan $ 3! = 6 $ cara.
-). gambar 3 : angka 4 di satuan, angka 1 di digit 2, digit 1 bisa diisi 3 atau 5 yaitu ada 2 cara, digit 3 dan digit 4 diisi oleh sisanya ditambah angka 2 yaitu 2 cara, sehingga gambar 3 ada $ 2 \times 2 = 4 $ cara.
-). gambar 4 : angka 4 di satuan, angka 1 di digit 3, digit 4 bisa diisi angka 2 saja, digit 1 dan digit 2 diisi oleh angka 3 dan 5 dengan $ 2! = 2 $ cara.
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{3}{10} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 2 \cos x \sin x + 1 = 2\cos x + \sin x $ dengan $ 0 \leq x \leq 2\pi $, maka jumlah semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan tersebut adalah ...
A). $ \frac{5}{6} \pi \, $ B). $ \frac{13}{6} \pi \, $ C). $ 2 \pi \, $ D). $ \frac{5}{2} \pi \, $ E). $ 3 \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bisa menggunakan metode pemfaktoran.
*). Sifat distributif :
$ a - ab = a(1-b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ untuk $ 0 \leq x \leq 2\pi $ :
$\begin{align} 2 \cos x \sin x + 1 & = 2\cos x + \sin x \\ (1 - \sin x ) + (-2\cos x + 2\cos x \sin x ) & = 0 \\ (1 - \sin x ) -2\cos x (1 - \sin x ) & = 0 \\ (1 - \sin x )(1 - 2\cos x) & = 0 \\ 1 - \sin x = 0 \vee 1 - 2\cos x & = 0 \\ \sin x = 1 \vee \cos x & = \frac{1}{2} \\ x = 90^\circ \vee x = 60^\circ , x & = 300^\circ \\ x = \frac{\pi}{2} \vee x = \frac{\pi}{3} , x & = \frac{5\pi}{3} \end{align} $
*). Menentukan jumlah semua nilai $ x $ :
$\begin{align} \text{Jumlah } x & = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \frac{5\pi}{2} \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai $ x $ adalah $ \frac{5\pi}{2} . \, \heartsuit $