Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2014 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika tiga bilangan $x$ , $y$, dan $z$ membentuk barisan geometri, maka $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} = ...$
$\spadesuit \, $ Barisan geometri , Suku ke-$n$ : $u_n=ar^{n-1}$
Misalkan suku pertamanya $a$ dan rasionya $r$, maka diperoleh: $x=u_1=a$ , $y=u_2=ar \, $ dan $z=u_3=ar^2$.
$\begin{align*} \frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} &= \frac{1}{a-ar} - \frac{1}{ar-ar^2} \\ &= \frac{1}{a(1-)r} - \frac{1}{ar(1-r)} \\ &=\frac{(r-1)}{ar(1-r)} \\ &= \frac{-(1-r)}{ar(1-r)} \\ &= \frac{-1}{ar} \\ &= \frac{-1}{y} \end{align*}$
Jadi, $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-z} =\frac{-1}{y} \, \heartsuit$
Nomor 17
Tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. jika jumlah suku ke-1 dan suku ke-3 adalah 30 dan jumlah dari logaritma suku ke-1, ke-2, dan ke-3 adalah 3 + log 3, maka suku ke-1 barisan tersebut adalah ...
$\clubsuit \,$ Misalkan barisannya adalah $a $, $b $, dan $c$ . Barisan aritmatika memiliki beda (selisih) yang sama, sehingga $b-a=c-b \Leftrightarrow a+c =2b$ ... pers(i)
$\clubsuit \,$ Jumlah $u_1$ dan $u_3$ sama dengan 30 : $a+c=30 \Leftrightarrow c=30-a$ ... pers(ii)
$\clubsuit \,$ Jumlah $logu_1$, $logu_2$ , dan $logu_3$ sama dengan $3+log3$.
$\begin{align*} logu_1+logu_2+logu_3 &=3 +log3 \\ log a+log b + log c &= 3.log10 +log3 \\ log(abc)& =log10^3 + log3\\ &=log1000+log3\\ log(abc)&=log3000\\ abc&=3000 \, \text{...pers (iii)} \end{align*}$
$\clubsuit \,$ Substitusi pers(i) ke (ii) : $a+c=30 \Leftrightarrow 2b=30 \Leftrightarrow b=15$.
$\clubsuit \,$ Substitusi $b=15$ dan pers(ii) ke pers(iii):
$\begin{align*} abc&=3000 \\ a.15.(30-a)&=3000\\ a^2-30a+200&=0\\ (a-20)(a-10)&=0\\ a=10 \, \text{atau} \, a=20 \end{align*}$
Jadi, suku pertamanya adalah 10 atau 20 . $\heartsuit $
Nomor 18
Diketahui 5 buah truk. Truk A dan B masing-masing memuat 4 ton. Truk C dan D masing-masing memuat 6 ton. Jika truk E memuat 1 ton lebih dari rata-rata muatan kelima truk, maka muatan truk A + muatan truk E = .... ton
Diketahui : $A$ = 4 ton, $B$ = 4 ton, $C$ = 6 ton, dan $D$ = 6 ton .
$\spadesuit \, E \, $ memuat 1 ton lebih dari rata-rata muatan kelima truk:
$E=\frac{A+B+C+D+E}{5}+1$ ... pers(i)
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pers(i):
$\begin{align*} E&=\frac{A+B+C+D+E}{5}+1 \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5E&=(A+B+C+D+E) +5 \\ 5E&=4+4+6+6+E +5 \\ 4E&=25 \\ E&=\frac{25}{4} \\ E&=6,25 \end{align*}$
Sehingga : $A+E=4+6,25=10,25 \, \heartsuit $
Nomor 19
Dalam suatu barisan aritmatika, nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah 8 dan nilai rata-rata 9 suku pertama adalah 3. Jumlah $n$ suku pertama barisan tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika, jumlah $n$ suku pertama : $S_n=\frac{n}{2}\left( 2a+(n-1)b \right)$
$\clubsuit \, $ Nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah 8 :
$\frac{u_1+u_2+u_3+u_4}{4}=8 \Leftrightarrow \frac{S_4}{4}=8 \Leftrightarrow S_4=32 \Leftrightarrow \frac{4}{2}(2a+3b)=32 \\ \Leftrightarrow 2a+3b=16 ...\text{pers(i)}$
$\clubsuit \, $ Nilai rata-rata dari 9 suku pertama adalah 3 :
$\frac{u_1+u_2+u_3+u_4+...+u_9}{4}=3 \Leftrightarrow \frac{S_9}{9}=3 \Leftrightarrow S_9=27 \Leftrightarrow \frac{9}{2}(2a+8b)=27 \\ \Leftrightarrow a+4b=3 \Leftrightarrow a=3-4b ...\text{pers(ii)}$
$\clubsuit \, $ Substitusi dan eliminasi pers(i) dan (ii) , diperoleh $a=11$ dan $ b=-2$.
$\clubsuit \, $ Menentukan rumus $S_n$ :
$\begin{align*} S_n&=\frac{n}{2}\left( 2a+(n-1)b \right) \\ &=\frac{n}{2}\left( 2.11+(n-1).(-2) \right) \\ &=n(11=+1-n)\\ &=12n-n^2 \end{align*}$
Jadi, $S_n=12n-n^2 \, \heartsuit$
Nomor 20
Diberikan fungsi - fungsi $f$ dan $g$ dengan persamaan $f(x)=x^2 , x\leq 0$ dan $g(x)=-\sqrt{x} , x \geq 0$ . Jika $f^{-1}$ adalah invers dari $f$ , maka $(f^{-1}og)(x)=...$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers $f(x)$:
$ f(x)=x^2 \Leftrightarrow y=x^2 \Leftrightarrow x=-\sqrt{y} \, \text{(karena} \, x\leq 0 )$ ,
sehingga $f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $(f^{-1}og)(x)$ :
$\begin{align*} (f^{-1}og)(x) &= f^{-1}\left( g(x) \right) \\ &= f^{-1}\left( -\sqrt{x} \right) \\ &=-\sqrt{-\sqrt{x}} \end{align*}$
$(f^{-1}og)(x)=-\sqrt{-\sqrt{x}}$ tidak terdefinisi karena di dalam akar tidak boleh negatif. Akan tetapi berdasarkan syarat $x\leq 0$ untuk $f(x)$ dan $x \geq 0$ untuk $g(x)$ , maka nilai $x$ yang berlaku sama dengan nol, sehingga:
$(f^{-1}og)(x)=-\sqrt{-\sqrt{0}} \Leftrightarrow (f^{-1}og)(x)=0. $
Jadi, $(f^{-1}og)(x)=0 \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Bentuk sederhana dari $\frac{\left( x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \right) }{\left( x^{\frac{4}{3}} - x \right) \left( x + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}\right)}$ dengn $x\neq 0$ adalah ...
$\begin{align*} &\frac{\left( x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \right) }{\left( x^{\frac{4}{3}} - x \right) \left( x + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}\right)} \\ &= \frac{x^{\frac{1}{6}}\left( x^{\frac{1}{6}} - 1 \right) x^{\frac{1}{2}} \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \not{x}^{\frac{1}{3}} \left( x^{\frac{1}{6}} + 1 + x^{\frac{1}{3}} \right) }{x \left( x^{\frac{1}{3}} - 1 \right) \not{x}^{\frac{1}{3}} \left( x^{\frac{2}{3}} + 1 + x^{\frac{1}{3}}\right)} \\ &= \frac{x^{\frac{1}{6}}.x^{\frac{1}{2}}}{x}.\frac{ \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \left[ \left( x^{\frac{1}{6}} - 1 \right) \left( x^{\frac{1}{6}} + 1 + x^{\frac{1}{3}} \right) \right] }{ \left( x^{\frac{1}{3}} - 1 \right) \left( x^{\frac{2}{3}} + 1 + x^{\frac{1}{3}}\right)} \\ &= \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x}.\frac{ \left( x^{\frac{1}{2}} + 1 \right) \left( x^{\frac{1}{2}} - 1 \right) }{ \left( x - 1 \right) } \\ &= x^{\frac{2}{3}-1}.\frac{ \left( x - 1 \right) }{ \left( x - 1 \right) } \\ &= x^{\frac{-1}{3}} . \heartsuit \end{align*}$
Nomor 12
Jika $4^{y+3x}=64$ dan ${}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 = -1$ , maka $x+2y=...$
$\left\{ \begin{array}{cc} 4^{y+3x}=64 & \, ...\text{pers(i)} \\ {}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 = -1 & \, ...\text{pers(ii)} \end{array} \right. $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pers (ii) :
${}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 = -1$
Syarat logaritma : $x>0$ dan $x\neq 1$ $x+12>0 \Leftrightarrow x>-12 \, $ sehingga nilai $x$ harus $x>0$ dan $x\neq 1$
$\begin{align*} {}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 &= -1 \\ {}^{x}log (x+12) - {}^{x}log 4^3 &= -1 .{}^{x}log x \\ {}^{x}log \left( \frac{x+12}{4^3} \right) &= {}^{x}log x^{-1} \\ \left( \frac{x+12}{64} \right) &= \frac{1}{x} \\ x^2+12x+-64&=0 \\ (x-4)(x+16)&=0\\ px=4 \, \text{atau} \, x=-16 \end{align*}$
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=4$ .
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan pers (i) :
$4^{y+3x}=64 \Leftrightarrow \not{4}^{y+3x}=\not{4}^3 \Leftrightarrow y+3x = 3$
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=4$ ke $y+3x = 4$ :
$y+3x = 3 \Leftrightarrow y+3(4) = 3 \Leftrightarrow y= -9$
Jadi, nilai $ x+2y= 4 + 2(-9) = -14 \, \heartsuit $
Nomor 13
Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu $x$ di A(1,0) dan B(2,0) . Jika grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (0,4) dan puncaknya di titik $(p,q)$ , maka $p+q=...$
$\spadesuit \, $ Fungsi kuadrat (FK) melalui titik $(x_1,0)$ dan $(x_2,0)$ : $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$\spadesuit \, $ FK melalui (1,0) dan (2,0) : $y=a(x-1)(x-2)$ ... pers(i)
$\spadesuit \, $ FK melalui (0,4) , substitusi ke pers (i):
$4=a(0-1)(0-2) \Rightarrow a=2 \, $ sehingga pers(i) menjadi : $y=2(x-1)(x-2) \Leftrightarrow y=2x^2-6x+4$
$\spadesuit \, $ Titik Puncak $(x_p,y_p) = (p,q)$
$x_p=\frac{-b}{2a} \Leftrightarrow p=\frac{-(-6)}{2.2} \Leftrightarrow p=\frac{3}{2}$
$y_p=f(x_p) \Leftrightarrow q=f\left( \frac{3}{2} \right) \Leftrightarrow q=2\left( \frac{3}{2} \right)^2-6\left( \frac{3}{2} \right)+4 = \frac{-1}{2}$
$\spadesuit \, $ Sehingga, $p+q= \frac{3}{2} + \frac{-1}{2} = 1$
Jadi, nilai $p+q=1 . \heartsuit $
Nomor 14
Diberikan dua parabola dengan persamaan $f(x)=ax^2+bx+c$ dan $g(x)=px^2+qx+r$. Jika $f$ dan $g$ tidak berpotongan dan $\frac{b}{a}=\frac{q}{p}$, maka jarak terdekat dua parabola tersebut adalah selisih dari ...
Permisalan: $x_p(f)=$ $x$ puncak fungsi $f$ dan $x_p(g)=$ $x$ puncak fungsi $g$
$\spadesuit \, $ Menentukan $x$ puncak setiap fungsi:
$f(x)=ax^2+bx+c \Rightarrow x_p(f)=\frac{-b}{2a} \\ g(x)=px^2+qx+r \Rightarrow x_p(g)=\frac{-q}{2p} $
Karena $\frac{b}{a}=\frac{q}{p}$ , maka nilai $x_p(f)=x_p(g)$ (nilai $x$ puncaknya sama)
Kedua kurva tidak berpotongan, sehingga gambarnya sebagai berikut:
um_ugm3_matdas_2014.png
$\spadesuit \, $ Nilai $x$ puncak kedua fungsi sama, sehingga jarak terdekat kedua grafik merupakan jarak kedua puncak yang diwakili oleh jarak $y$ puncaknya .
$\spadesuit \, $ Menentukan $y$ puncak setiap fungsi:
$y_p(f)=f(x_p)=f\left( \frac{-b}{2a} \right)$ dan $y_p(g)=g(x_p)=g\left( \frac{-q}{2p} \right)$
Jadi, jarak terdekat kedua parabola adalah selisih dari $y_p(f)$ dan $y_p(g)$ atau $f\left( \frac{-b}{2a} \right)$ dan $g\left( \frac{-q}{2p} \right). \, \heartsuit $
Nomor 15
Pada sistem pertidaksamaan $x-y\leq 0$ , $x+y\geq 4$ dan $-5y+x \geq -20$ berlaku $2x+3y\geq k$ . Nilai $k$ terbesar adalah ...
$\clubsuit \, $ Untuk $2x+3y\geq k $ atau $k\leq 2x+3y$ , nilai $k$ terbesar sama dengan nilai maksimum dari $(2x+3y)$ , sehingga fungsi tujuannya : $f(x,y)=2x+3y$ dengan kendala $x-y\leq 0$ , $x+y\geq 4$ dan $-5y+x \geq -20$.
Gambar daerah penyelesaian :
um_ugm4_matdas_2014.png
$\clubsuit \, $ Menghitung titik pojok A, B, dan C:
Titik A: Eliminasi persamaan $x+y=4$ dan $x-y=0$ , diperoleh $x=2$ dan $y=2$ , titik A(2,2) .
Titik B: Eliminasi persamaan $x-5y=-20$ dan $x-y=0$ , diperoleh $x=5$ dan $y=5$ , titik B(5,5).
Titik C: C(0,4)
$\clubsuit \, $ Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan: $f(x,y)=2x+3y$
$A(2,2) \Rightarrow f(2,2)=2.2+3.2=10 \\ B(5,5) \Rightarrow f(5,5)=2.5+3.5=25 \\ C(0,4) \Rightarrow f(0,4)=2.0+3.4=12 $
Nilai maksimum $2x+3y=25$ , sehingga $k\leq 2x+3y \Leftrightarrow k\leq 25$
Jadi, nilai maksimum $k$ adalah 25 . $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Kurva $y=3x-\frac{3}{x^2}$ memotong sumbu $x$ di titik P. Persamaan garis singgung kurva di titk P adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan titik P :
$y=3x-\frac{3}{x^2}$ memotong sumbu $x$ di titik P sehingga $y=0$
$3x-\frac{3}{x^2}=0 \Leftrightarrow 3x^3-3=0 \Leftrightarrow 3(x^3-1)=0 \Leftrightarrow x=1$, titki P(1,0)
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien ($m$) dengan turunan : $m=f^\prime (x_1)$
$f^\prime (x) = 3+\frac{6}{x^3} \Leftrightarrow m=f^\prime (1) = 3+\frac{6}{1^3} = 9$
$\spadesuit \, $ Persamaan garis singgung di titik P(1,0) dan $m=9$ : $y-y_1=m(x-x_1)$
$y-y_1=m(x-x_1) \Leftrightarrow y-0=9(x-1) \Leftrightarrow y=9x-9 \Leftrightarrow 9x-y-9=0. \heartsuit $
Nomor 7
Jika garis $2x-3y+5k-1=0$ memotong parabola $y=x^2-2x+k+1$ di dua titik, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah ...
$\clubsuit \, $ Syarat garis memotong parabola di dua titik : $D > 0$
$\left\{ \begin{array}{cc} 2x-3y+5k-1=0 & ...\text{persmaan (i)} \\ y=x^2-2x+k+1 & ...\text{persmaan (ii)} \end{array} \right.$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align*} 2x-3y+5k-1&=0 \\ 2x-3(x^2-2x+k+1)+5k-1&=0\\ -3x^2+8x+(2k-4)&=0 \\ a=-3, b=8, c&=2k-4\\ D > 0 \Leftrightarrow b^2-4ac &>0 \\ 8^2-4(-3)92k-4) &>0 \\ 24k&>-16\\ k>\frac{-16}{24} \Leftrightarrow k&>\frac{-2}{3} \end{align*}$
Jadi nilai $k$ yang memenuhi adalah $k>\frac{-2}{3} \heartsuit$
Nomor 8
Diberikan sistem persamaan $\left\{ \begin{array}{c} (a-1)x+(b-1)y=0 \\ (b+1)x+(a+1)y=0 \end{array} \right. $ dengan $a\neq b$ . Agar penyelesaian sistem persamaan di atas tidak hanya $(x,y)=(0,0)$ saja, maka nilai $a+b = ...$
$\left\{ \begin{array}{c} ax+by=c \\ px+qy=r \end{array} \right. $ mempunyai banyak solusi jika $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r}$
$\left\{ \begin{array}{c} (a-1)x+(b-1)y=0 \\ (b+1)x+(a+1)y=0 \end{array} \right. $ dengan $a\neq b$
mempunyai penyelesaian selain $(x,y)=(0,0)$ , ini artinya solusinya banyak, sehingga diperoleh : $\frac{a-1}{b+1}=\frac{b-1}{a+1}$
$\begin{align*} \frac{a-1}{b+1}&=\frac{b-1}{a+1} \\ (a-1)(a+1)&=(b-1)(b+1)\\ a^2-1&=b^2-1\\ a^2-b^2&=0\\ (a-b)(a+b)&=0\\ a-b=0 \, & \text{atau} \, a+b=0 \end{align*}$
Karena $a\neq b$ , maka tidak mungkin $a-b=0$ , sehingga haruslah $a+b=0$.
Jadi, $a+b=0 \heartsuit$
Nomor 9
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2-2x-3}{x-2} < x+5$ adalah ...
$\begin{align*} \frac{x^2-2x-3}{x-2} &< x+5 \\ \frac{x^2-2x-3}{x-2} - (x+5) &< 0 \\ \frac{x^2-2x-3}{x-2} - \frac{(x+5)(x-2)}{x-2} &< 0 \\ \frac{x^2-2x-3}{x-2} - \frac{x^2+3x-10}{x-2} &< 0 \\ \frac{-5x+7}{x-2} &< 0 \\ \text{akar-akarnya: } \, x=7/5 \, & \text{atau} \, x=2 \end{align*}$
um_ugm2_matdas_2014.png
Jadi, HP = $\{ x < \frac{7}{5} \, \text{atau} \, x>2 \, \}\heartsuit $
Nomor 10
Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-(a+5)x+5a=0$ , maka nilai minimum dari $\alpha^2+\beta^2$ adalah ...
$x^2-(a+5)x+5a=0 \, $ dengan akar-akar $\alpha$ dan $\beta$
$\begin{align*} \alpha^2+\beta^2 &= (\alpha + \beta)^2-2\alpha \beta \\ &= \left( \frac{-b}{a} \right)^2 - 2.\frac{c}{a} \\ &= \left( \frac{a+5}{1} \right)^2 - 2.\frac{5a}{1} \\ \alpha^2+\beta^2 &=a^2+25 \\ f(a)&= a^2+25 \end{align*}$
Nilai minimum $\alpha^2+\beta^2$ sama dengan nilai minimum $f(a)$ : $f^\prime (a)=0$
$\begin{align*} f(a)&= a^2+25 \\ f^\prime (a)&= 0 \\ 2a&=0 \Leftrightarrow a=0 \end{align*}$
Sehingga nilai minimum $f(a)$ saat $a=0$, $f(0)=0^2+25=25.$
Jadi, nilai minimum $\alpha^2+\beta^2=25. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2014 nomor 1 sampai 5


Nomor 1
Nilai semua $x$ sehingga matriks $\left[ \begin{matrix} \sqrt{x^2 - 1} & 1 \\ x & 2 \end{matrix} \right]$ mempunyai invers adalah ...
$A$ mempunyai invers jika dan hanya jika $|A|\neq 0$
$A = \left[ \begin{matrix} \sqrt{x^2 - 1} & 1 \\ x & 2 \end{matrix} \right] \Rightarrow |A|=2\sqrt{x^2 - 1}-x$
$\clubsuit \, $ Syarat invers:
$\begin{align} |A| &\neq 0 \\ 2\sqrt{x^2 - 1}-x &\neq 0 \\ 2\sqrt{x^2 - 1} &\neq x \, \text{(dikuadratkan)}\\ 4(x^2 - 1) &\neq x^2 \\ 3x^2 &\neq 4 \\ x &\neq \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \end{align}$
$\text{HP}_1=\{ x \neq \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \}$
$\clubsuit \,$ Syarat akar:
$\begin{align} \sqrt{x^2 - 1}\geq 0 \\ x^2 - 1 \geq 0\\ (x-1)(x+1)= 0 \\ x=1 \, \text{atau} \, x=-1 \end{align}$
um_ugm_matdas_2014.png
$\text{HP}_2=\{ x\leq -1 \, \text{atau} \, x\geq 1 \}$
$\clubsuit \, $ Jadi, solusinya : $\text{HP}=\text{HP}_1 \cap \text{HP}_2$
$\text{HP}=\{ x< - \sqrt{\frac{4}{3}} \, \text{atau} \, -\sqrt{\frac{4}{3}} < x \leq -1 \, \text{atau} \, 1\leq x < \sqrt{\frac{4}{3}} \, \text{atau} \, x > \sqrt{\frac{4}{3}} \} \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika sudut $\alpha$ memenuhi $cos^2\alpha + 2sin(\pi - \alpha ) = sin^2 (\pi + \alpha ) + 1\frac{1}{2}$ maka $sin\alpha = ... $
$\spadesuit \, $ Identitas trigonometri dan hubungan kuadran:
$\begin{align} sin^2\alpha + cos^2\alpha &= 1\\ sin(180^o-\alpha) & = sin\alpha \\ sin(180^o+\alpha) &=-sin\alpha \end{align}$
$\spadesuit \, $ Mederhanakan soal:
$\begin{align} cos^2\alpha + 2sin(\pi - \alpha ) &= sin^2 (\pi + \alpha ) + 1\frac{1}{2} \\ (1-sin^2\alpha) + 2sin\alpha &= \left[ sin(\pi + \alpha) \right]^2 + \frac{3}{2} \\ 1-sin^2\alpha + 2sin\alpha &= \left[ -sin\alpha \right]^2 + \frac{3}{2} \\ 1-sin^2\alpha + 2sin\alpha &= sin^2\alpha + \frac{3}{2} \\ 2sin^2\alpha -2sin\alpha + \frac{1}{2} &=0 \, \text{(kali 2)} \\ 4sin^2\alpha -4sin\alpha + 1 &=0 \\ \left( 2sin\alpha - 1 \right)^2 &=0 \\ sin\alpha & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, $sin\alpha = \frac{1}{2} \heartsuit $
Nomor 3
Peluang Ali, Budi dan Dian lulus "UAN" masing-masing adalah $0,7$ ; $0,8$ dan $0,9$ . Peluang lulus hanya satu orang di antara tiga orang tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Peluang komplemen : $P(X^c)=1-P(X)$
Permisalan :
$P(A)$ : Peluang Ali lulus , $P(A^c)$ : Peluang Ali tidak lulus, $P(B)$ : Peluang Budi lulus , $P(B^c)$ : Peluang Budi tidak lulus , $P(D)$ : Peluang Dian lulus , dan $P(D^c)$ : Peluang Dian tidak lulus.
$\clubsuit \, $ Peluang masing-masing:
$P(A)=0,7 \Rightarrow P(A^c)=1-P(A)=1-0,7=0,3 \\ P(B)=0,8 \Rightarrow P(B^c)=1-P(B)=1-0,8=0,2 \\ P(D)=0,9 \Rightarrow P(D^c)=1-P(D)=1-0,9=0,1 $
Agar yang lulus hanya satu orang, maka ada tiga kemungkinan:
$\spadesuit$1$\spadesuit$. Ali lulus, Budi tidak lulus, Dian tidak lulus, peluangnya adalah:
$P(A).P(B^c).P(D^c)=0,7.0,2.0,1=0,014$
$\spadesuit$2$\spadesuit$. Ali tidak lulus, Budi lulus, Dian tidak lulus, peluangnya adalah:
$P(A^c).P(B).P(D^c)=0,3.0,8.0,1=0,024$
$\spadesuit$3$\spadesuit$. Ali tidak lulus, Budi tidak lulus, Dian lulus, peluangnya adalah:
$P(A^c).P(B^c).P(D)=0,3.0,2.0,9=0,054$
$\clubsuit \, $ Jadi, peluang salah satu lulus adalah :
$0,014 + 0,024 + 0,054 = 0,092$
Nomor 4
Jika $f(x^2+3x+1)={}^{2}log(2x^3-x^2+7)$ , $x\geq 0$ maka $f(5)=...$
Untuk menyelesaikan soal ini, tanpa menentukan $f(x)$ terlebih dahulu.
$f(x^2+3x+1)={}^{2}log(2x^3-x^2+7)$ , $x\geq 0$ ....persmaan (i)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x$ dari $f(5)$ :
$f(5)=f(x^2+3x+1)$ , sehingga $x^2+3x+1=5 \Leftrightarrow x^2+3x-4=0$
$\begin{align} x^2+3x-4&=0 \\ (x-1)(x+4)&=0 \\ x=1 \, &\text{atau} \, x=-4 \end{align}$
Karena $x\geq 0$ , maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ .
$\spadesuit \, $ Substitusi $x=1$ ke pers (i) :
$\begin{align} f(x^2+3x+1)&={}^{2}log(2x^3-x^2+7) \\ f(1^2+3.1+1)&={}^{2}log(2.1^3-1^2+7) \\ f(5) &= {}^{2}log(8) \\ f(5) &= 3. \end{align}$
Jadi, $f(5)=3 \heartsuit $
Nomor 5
Untuk $x\geq 1$ , nilai maksimum fungsi $f(x)=-x^3+6x^2-9x+7$ adalah ....
$\clubsuit \, $ Nilai maksimum/minimum suatu fungsi : $f^\prime (x)=0$
$\begin{align*} f(x) &=-x^3+6x^2-9x+7 \, \, ( x \geq 1) \\ f^\prime (x)&=0 \\ -3x^2+12x-9 &=0 \, \, \text{(dibagi -3)} \\ x^2-4x+3&=0 \\ (x-1)(x-3)&=0 \\ x=1 \, &\text{atau} \, x=3 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1 \, \text{atau} \, x=3$ ke fungsi:
$f(1)=-1^3+6.1^2-9.1+7=3 \, \text{atau} \, f(3)=-3^3+6.3^2-9.3+7=7$
Jadi, nilai maksimum fungsinya adalah 7 . $\heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20