Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 166


Nomor 1
Jika $ A , B $ memenuhi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2A}{A-2B} - \frac{6B}{A + 2B} = 3 \\ -\frac{A}{A-2B} + \frac{6B}{A + 2B} = -1 \\ \end{array} \right. $
maka $ \frac{AB}{A^2 - 4B^2} = .... $
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ \frac{4}{3} \, $ E). $ \frac{5}{6} $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Himpunan $ S $ beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif $ x $ yang memenuhi $ \frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)}<0$. Berakah nilai $ a $ sehingga hasil penjumlahan semua anggota $ S $ minimum?
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut tumpul $ \alpha $ dengan $ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} $ . Jika $ |\vec{a}| = \sqrt{5} $ dan $ |\vec{b}| = \sqrt{7} $ dan $ \vec{b}=\vec{a}+\vec{c} $ , maka $ \vec{a}.\vec{c} = .... $
A). $ \sqrt{5} - \sqrt{30} \, $ B). $ \sqrt{30} - 5 \, $
C). $ -\sqrt{5} - \sqrt{30} \, $ D). $ -5 - \sqrt{30} \, $
E). $ -\sqrt{5} + \sqrt{30} \, $
Nomor 5
Jika $ 0 < x <\frac{\pi}{2} $ dan $ 3\tan ^2 x + \tan x = 3 $, maka nilai $ \cos ^2 x - \sin ^2 x $ yang mungkin adalah ....
A). $ \frac{1}{\sqrt{37}} \, $ B). $ \frac{1}{\sqrt{38}} \, $ C). $ \frac{1}{\sqrt{39}} \, $ D). $ \frac{1}{\sqrt{40}} \, $ E). $ \frac{1}{\sqrt{41}} \, $

Nomor 6
Bentuk persamaan hiperbola yang memiliki asimtot $ y = 4x - 4 $ dan $ y = -4x + 4 $ adalan ....
A). $ (x-1)^2 - 16y^2 = c \, $
B). $ 16(x-1)^2 - y^2 = c \, $
C). $ 16(x+1)^2 - y^2 = c \, $
D). $ 4(x-1)^2 - y^2 = c \, $
E). $ 4(x+1)^2 - y^2 = c \, $
Nomor 7
Jika $ ax^3 + 30x + 8b = (x-2)Q(x) + 20(a+b) $ dan $ 4a = b $ , maka $ Q(x) = .... $
A). $ x^2 - 2x - 34 \, $
B). $ x^2 + 2x + 34 \, $
C). $ x^2 - 4x + 60 \, $
D). $ 4x^2 + 2x + 34 \, $
E). $ 4x^2 + 4x - 60 $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-\tan x \sec x + \sin x}{x (\cos x - 1)} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x}}{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).x^2.\sin \frac{1}{x}} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 3 $
Nomor 12
Jika kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $ mempunyai dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ....
A). $ y = 1 \, $ B). $ y = \frac{1}{2} \, $
C). $ y=-\frac{1}{2} \, $ D). $ y = -1 \, $
E). $ y = -2 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = \cos (\cos ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ 2\sin x. \sin (\cos ^2x) \, $
B). $ 2\sin 2x. \sin (\cos ^2x) \, $
C). $ \sin 2x. \sin (\cos ^2x) \, $
D). $ \sin ^2 x. \sin (\cos ^2x) \, $
E). $ 2\sin ^2x. \sin (\cos ^2x) $
Nomor 14
Jika $ m $ adalah gradien garis singgung dari kurva $ y = (x-1)^2 + 1 $ yang melalui $(0,t) $ , maka $ m = .... $
A). $ -2\pm \sqrt{2-2t} \, $
B). $ 2\pm \sqrt{2-2t} \, $
C). $ -2\pm \sqrt{2-t} \, $
D). $ 2\pm 2\sqrt{2-t} \, $
E). $ -2\pm 2\sqrt{2-t} \, $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $

Pembahasan Peluang SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Peluang kejadian A disimbolkan $ P(A) $ :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
*). Peluang pengambilan dua kali :
$ P(A_1A_2) = P(A_1) \times P(A_2) $
Keterangan :
$ P(A_1) = \, $ peluang pengambilan pertma,
$ P(A_2) = \, $ peluang pengambilan kedua,
*). Peluang kejadian bebas antara dua kotak hasilnya dikalikan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Gambar di atas menunjukkan peluang terambilnya bola merah dan putih disetiap kotak dengan setiap pengambilan hanya satu bola dan dikembalikan.
*). Pada soal, setiap kotak diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian. Agar terambil satu bola merah dari 4 bola yang terambil, maka ada dua kemungkinan yaitu :
kasus (1): Kotak I terambil salah satu merah dan kotak II semuanya putih,
kasus (2): Kotak I terambil semua putih dan kotak II salah satu merah.

*). Peluang kasus (1) :
-). Kotak I terambil salah satu merah dari dua kali pengambilan sehingga peluangnya
P(MP atau PM) $ = \frac{1}{5}.\frac{4}{5} + \frac{4}{5} . \frac{1}{5} = \frac{8}{25} $
Keterangan :
MP = pengambilan pertama Merah, kedua Putih.
PM = pengambilan pertama Putih, kedua Merah.
-). Kotak II semua putih
P(PP) $ = \frac{1}{2}. \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $ .
-). Peluang kejadian kasus (1) :
P(kasus 1) $ = \frac{8}{25} . \frac{1}{4} = \frac{8}{100} $

*). Peluang kasus (2) :
-). Kotak I semua putih
P(PP) $ = \frac{4}{5}. \frac{4}{5} = \frac{16}{25} $ .
-). Kotak II terambil salah satu merah dari dua kali pengambilan sehingga peluangnya
P(MP atau PM) $ = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{2}{4} $
-). Peluang kejadian kasus (2) :
P(kasus 1) $ = \frac{16}{25} . \frac{2}{4} = \frac{32}{100} $

*). Peluan keseluruhan :
$\begin{align} \text{P(total) } & = \text{P(kasus 1) } + \text{P(kasus 2) } \\ & = \frac{8}{100} + \frac{32}{100} \\ & = \frac{40}{100} = 0,40 \end{align} $
Jadi, peluang satu merah adalah $ 0,40 . \, \heartsuit $

Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis singgung dari kurva $ y = px^3 - qx^2 + 1 $ di $ x = 2 $ adalah $ y - 2x + 5 = 0 $ , maka $ 2pq = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Gradien garis $ y = ax + b $ adalah $ m = a $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pada soal :
-). Kurvanya $ y = px^3 - qx^2 + 1 \rightarrow y^\prime = 3px^2 - 2qx $.
-). Garis singgungnya $ y - 2x + 5 = 0 \rightarrow y = 2x - 5 $,
gradie garis singgungnya $ m = 2 $.
*). Menentukan titik singgung dengan substitusi $ x_1 = 2 $ ke garis :
$\begin{align} x_1 = 2 \rightarrow y & = 2x - 5 = 2.2 - 5 = -1 \end{align} $
titik singgungnya $ (x_1,y_1)=(2,-1) $.
*). Substitusi titik singgung ke kurva
$\begin{align} (x_1,y_1)=(2,-1) \rightarrow y & = px^3 - qx^2 + 1 \\ -1 & = p.2^3 - q.2^2 + 1 \\ -1 & = 8p - 4q + 1 \\ -2 & = 8p - 4q \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 4p - 2q & = -1 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Gradien garis singgung saat $ x_1 = 2 $ :
$\begin{align} m & = f^\prime (x_1) \\ 2 & = f^\prime (2) \\ 2 & = 3p.2^2 - 2q.2 \\ 2 & = 12p - 4q \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 6p - 2q & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 6p - 2q = 1 & \\ 4p - 2q = -1 & - \\ \hline 2p = 2 & \\ p = 1 & \end{array} $
pers(ii) : $ 6p - 2q = 1 \rightarrow 6.1 - 2q = 1 \rightarrow q = \frac{5}{2} $
Sehingga nilai $ 2pq = 2.1.\frac{5}{2} = 5 $.
Jadi, nilai $ 2pq = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = \sin (\sin x. \cos x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ \cos ( \sin x . \cos x ) \, $
B). $ \sin (\cos ^2 x - \sin ^2 x) \, $
C). $ \cos (\sin x) . \cos x ( \cos x) \, $
D). $ \cos 2x . \cos \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) \, $
E). $ \sin 2x . \cos (\sin x . \cos x) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ \sin x . \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \cos g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ g(x) = \frac{1}{2} \sin 2x $ , Turunannya :
$ g^\prime (x) = 2.\frac{1}{2} \cos 2x = \cos 2x $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} f(x) & = \sin (\sin x. \cos x ) \\ f(x) & = \sin \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) \\ f(x) & = \sin g(x) \\ f^\prime (x) & = g^\prime (x) \cos g(x) \\ f^\prime (x) & = \cos 2x . \cos \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) \end{align} $
Jadi, $ f^\prime (x) = \cos 2x . \cos \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} $ dengan $ a > 0 $ dan $ b<0 $. Jika grafik fngsi $ f $ mempunyai satu asimtot tegak dan salah satu asimtot datarnya adalah $ y = -3 $ , maka $ a + 2b $ adalah .....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Terdapat asimtot tegak $ x = a $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan.
*). Kurva $ y = f(x) $ memiliki tepat satu asimtot tegak jika $ f(x) $ berbentuk pecahan, penyebutnya harus mempunyai satu faktor yang berbeda dengan faktor pembilangnya.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax+c}{\sqrt{x^2+bx+d}} = a $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \frac{ax+c}{\sqrt{x^2+bx+d}} = -a $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) = \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} $ memiliki satu asimtot tegak, artinya penyebut hanya mempunyai satu faktor yaitu pada saat $ b = - 2 $.
$\begin{align} \sqrt{x^2+bx+1} & = \sqrt{x^2-2x+1} \\ & = \sqrt{(x-1)^2} = (x-1) \end{align} $
*). Salah satu asimtot mendatarnya adalah $ y = -3 $, artinya hasil limitnya adalah $ -3 $.
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} & = -3 \\ a & = -3 \\ \text{(atau)} & \\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} & = -3 \\ -a & = -3 \\ a & = 3 \end{align} $
Karena nilai $ a > 0 $ , sehingga $ a = 3 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ a + 2b $ :
$\begin{align} a + 2b & = 3 + 2.(-2) = 3 - 4 = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + 2b = -1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{y \to \infty } y. \sin \frac{3}{y}. \cos \frac{5}{y} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to k} \frac{\sin af(y)}{bf(y)} = \frac{a}{b} \, $ dengan syarat $ f(k) = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{y \to \infty } y . \sin \frac{3}{y}. \cos \frac{5}{y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{\sin (3.\frac{1}{y}). \cos \frac{5}{y}}{\frac{1}{y}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{\sin (3.\frac{1}{y})}{\frac{1}{y}} \times \displaystyle \lim_{y \to \infty } \cos \frac{5}{y} \\ & = \frac{3}{1} \times \cos 0 \\ & = 3 \times 1 = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 165

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{y \to \infty } y. \sin \frac{3}{y}. \cos \frac{5}{y} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
*). Bentuk pecahan : $ ab = \frac{b}{\frac{1}{a}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{y} = x $, sehingga untuk $ y $ mendekati $ \infty $ maka $ x $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{y \to \infty } y . \sin \frac{3}{y}. \cos \frac{5}{y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \frac{\sin (3.\frac{1}{y}). \cos (5. \frac{1}{y})}{\frac{1}{y}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x. \cos 5x}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 3x}{x} \times \displaystyle \lim_{x \to 0 } \cos 5x \\ & = \frac{3}{1} \times \cos 0 \\ & = 3 \times 1 = 3 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $