Pembahasan Peluang SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 265

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah bilangan ganjil 5 angka memuat tepat 4 angka ganjil dan tidak memiliki angka berulang, serta tidak memuat angka 0. Banyak bilangan berbeda dengan ciri tersebut adalah ....

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kaidah aturan perkalian :
Jika ada dua kejadian yaitu $ p $ dan $ q $ terjadi sekaligus, maka total kejadiannya adalah $ p \times q $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angka ganjil yaitu {1,3,5,7,9}
Pilihan angka genap yaitu {2,4,6,8}
(angka nol tidak diikutkan sesuai perintah pada soal).
*). Akan disusun bilangan ganjil dengan tidak memiliki angka berulang yang terdiri 5 angka dengan 4 angka harus ganjil, artinya 1 angka harus genap.
-). Agar dijamin bilangan ganjil, maka satuannya harus ganjil, ada 5 cara.
-). Satu posisi sudah terisi angka ganjil, tinggal 3 angka ganjil lagi yaitu dipilih dari 4 angka ganjil tersisa (satu sudah dipakai untuk satuan), sehingga ada $ 4 . 3. 2 = 24 \, $ cara.
-). Memilih satu angka genap selain nol ada 4 cara,
Sehingga memilih 4 angka ganjil dan 1 angka genap ada
$ = 5 . 24 . 4 = 480 \, $ cara.
*). Ada 4 susunan dari 4 angka ganjil dan 1 angka genap dengan satuan harus ganjil yaitu YXXXX, XYXXX, XXYXX, dan XXXYX
Keterangan : X = ganjil dan Y = genap.
*). Total cara pembentukan bilangan ganjil
$ = 4 \times 480 = 1.920 \, $ cara.
Jadi, ada 1.920 bilangan yang terbentuk $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 265

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \frac{x }{ \sqrt{x^2 + 3}} dx = .... $
A). $ 2\sqrt{x^2 + 3} + C \, $
B). $ \sqrt{x^2 + 3} + C \, $
C). $ \frac{1}{2}\sqrt{x^2 + 3} + C \, $
D). $ \frac{x^2}{3\sqrt{(x^2 + 3)^3}} + C \, $
E). $ \frac{3x^2}{4\sqrt{(x^2 + 3)^3}} + C $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus integral aljabar :
$ \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c $
*). Teknik integral Substitusi :
$ \, \, \, \, \int [f(x)]^n.g(x) dx = \int u^n g(x) \frac{du}{u^\prime} $
dengan $ u = f(x) $ dan $ u^\prime \, $ adalah turunan $ u $.
*). Sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $ dan $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ u = x^2 + 3 $ , maka $ u^\prime = 2x $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} dx & = \int x.(x^2 + 3)^{-\frac{1}{2}} dx \\ & = \int x.(u)^{-\frac{1}{2}} \frac{du}{u^\prime } \\ & = \int x.(u)^{-\frac{1}{2}} \frac{du}{2x } \\ & = \frac{1}{2} \int (u)^{-\frac{1}{2}} du \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{-\frac{1}{2} + 1} (u)^{-\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{\frac{1}{2} } (u)^{\frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{1}{2} . \frac{2}{1} \sqrt{u} + c \\ & = \sqrt{u} + c \\ & = \sqrt{x^2 + 3} + c \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ \sqrt{x^2 + 3} + c . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 265

Soal yang Akan Dibahas
Titik $ T(1,c) $ berada pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ x + y \leq 4 $ , $ y - x \geq 1 $ , $ x \geq 0 $. Jarak T ke titik asal paling jauh untuk nilai $ c $ adalah ....

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menggambar daerah penyelesaian (DHP) :
I). $ x + y \leq 4 \rightarrow (0,4) $ dan $ (4,0)$
II). $ y - x \geq 1 \rightarrow (0,1) $ dan $ (-1,0)$
III). $ x \geq 0 \rightarrow \, $ adalah sumbu Y.
 

*). Perhatikan daerah penyelesaian di atas (yang diarsir), titik $ T(1,c) $ berada disepanjang titik $T_1$ ke $ T_2$. Jarak terjauh dari titik asal $(0,0)$ ke titik $ T $ ketika $ c = 3 $ berdasarkan gambar di atas.
Jadi, nilai $ c = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 265

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P adalah titik tengah BF dan Q adalah titik potong AP dan BE seperti pada gambar. Jika rusuk kubus tersebut adalah 6 cm, maka jarak Q ke H adalah .... cm

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua segitiga sebangun, maka perbandingan sisi yang bersesuaian sama.
*). Syarat dua segitiga sebangun adalah semua sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Segitiga AQE sebangun dengan segitiga BQP karena ketiga sudutnya sama yaitu :
$ \angle $ AQE = $ \angle $ BQP (bertolak belakang)
$ \angle $ AEQ = $ \angle $ QBP (bersebrangan dalam)
$ \angle $ EAQ = $ \angle $ BPQ (bersebrangan dalam)
Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama :
$\begin{align} \frac{EQ}{QB} & = \frac{EA}{PB} \\ \frac{EQ}{QB} & = \frac{6}{3} \\ \frac{EQ}{QB} & = \frac{2}{1} \end{align} $
artinya panjang $ EQ = \frac{2}{3} EB = \frac{2}{3}.6\sqrt{2} = 4\sqrt{2} $.
*). Jarak Q ke H adalah panjang garis QH pada segitiga QEH (sisi miringnya), dengan teorema pythagoras :
$\begin{align} QH & = \sqrt{EQ^2 + EH^2 } \\ & = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 6^2 } \\ & = \sqrt{32 + 36 } = \sqrt{68 } \\ & = \sqrt{4 \times 17} = 2\sqrt{17} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ 2\sqrt{17} . \, \heartsuit $

Pembahasan Daerah Asal SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 265

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \sqrt{x} $ dan $ g(x) = x^2 + 1 $, maka daerah asal $ g \circ f $ adalah ....

$\spadesuit $ Konsep Dasar Daerah asal fungsi komposisi
*). Daerah asal (domain) :
Daerah asal fungsi $ f $ adalah $ D_f $.
Misalkan $ h(x) = (g \circ f)(x) $, daerah asalnya $ D_y$.
Daerah asal fungsi $ g \circ f = \{ D_f \cap D_y \} $
*). Daerah asal adalah nilai variabel awal (biasanya $ x $) yang bisa disubstitusikan ke fungsinya.
*). Komposisi fungsi : $ ( g\circ f)(x) = g(f(x)) $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Daerah asal $ f(x) = \sqrt{x} $.
$ D_f = \{ x \geq 0 \} $.
*). Menentukan nilai $ g \circ f $ :
$\begin{align} y & = (g \circ f)(x) \\ & = g(f(x)) \\ & = g( \sqrt{x} ) \\ & = (\sqrt{x})^2 + 1 \\ & = x + 1 \end{align} $
Daerah asal dari $ y = x + 1 $ adalah semua bilangan real.
$ D_y = \{ x \in R \} $.
*). Menentukan Daerah asal dari $ g \circ f ) $ :
$\begin{align} D_{g \circ f} & = D_f \cap D_y \\ & = \{ x \geq 0 \} \cap \{ x \in R \} \\ & = \{ x \geq 0 \} \end{align} $
Jadi, daerah asal dari $ g \circ f $ adalah $ \{ x | x \geq 0 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 265

Soal yang Akan Dibahas
Hasil kali 5 suku pertama barisan geometri adalah 32. Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 adalah 12, maka suku pertama barisan tersebut adalah ....

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $
$ a^n = b^n \rightarrow a = b $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan pertama :
$\begin{align} U_1.U_2.U_3.U_4.U_5 & = 32 \\ a.ar.ar^2.ar^3.ar^4 & = 2^5 \\ a^5r^{10} & = 2^5 \\ (ar^2)^5 & = 2^5 \\ ar^2 & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Persamaan kedua :
$\begin{align} U_3 + U_4 & = 12 \\ ar^2 + ar^3 & = 12 \\ ar^2 (1 + r) & = 12 \, \, \, \, \, \, \, \text{....dari pers(i)} \\ 2 (1 + r) & = 12 \\ (1 + r) & = 6 \\ r & = 5 \end{align} $
Pers(i): $ ar^2 = 2 \rightarrow a = \frac{2}{r^2} = \frac{2}{5^2} = \frac{2}{25} $.
Jadi, suku pertamanya adalah $ \frac{2}{25} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 265

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah suku pertama, suku ke-3, dan suku ke-4 suatu barisan aritmetika adalah 33. Jika suku ke-10 barisan aritmetika tersebut adalah 33, maka suku pertamanya adalah ...

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Aritmetika
*). Rumus suku k-$n$ : $ U_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan
-). Persamaan pertaman :
$\begin{align} U_1 + U_3 + U_4 & = 33 \\ a + (a + 2b ) + (a + 3b) & = 33 \\ 3a + 5b & = 33 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua :
$\begin{align} U_{10} & = 33 \\ a + 9b & = 33 \\ a & = 33 - 9b \, \, \, \, \, \, \, \text{.....dari (i)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke (i) :
$\begin{align} 3a + 5b & = 33 \\ 3(33 - 9b) + 5b & = 33 \\ 99 - 27b + 5b & = 33 \\ - 22b & = -66 \\ b & = 3 \end{align} $
Pers(ii): $ a = 33 - 9b = 33 - 9.3 = 6 $
Jadi, suku pertamanya adalah $ 6 . \, \heartsuit $