2010 Pembahasan Invers Matriks UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika matriks $ V = \left[ \begin{matrix} -7 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2^p & 2^p - 4 \\ 2 & -2^p \end{matrix} \right] $ tidak mempunyai invers, maka nilai $ 2p^2 - 18 = ... $
A). $ -10 \, $ B). $ 14 \, $ C). $ -16 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks :
*). Suatu matriks tidak mempunyai invers,
Syaratnya : Determinannya = 0
*). Sifat Determinan : $|A.B| = |A|. |B| $
*). Determinan matriks A disimbolkan $ |A| $.
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow |A| = ad -bc $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Matriks $ V $ tidak punya invers, maka $ |V| = 0 $ .
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} V = \left[ \begin{matrix} -7 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2^p & 2^p - 4 \\ 2 & -2^p \end{matrix} \right] & \\ |V| & = 0 \\ \left| \left[ \begin{matrix} -7 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2^p & 2^p - 4 \\ 2 & -2^p \end{matrix} \right] \right| & = 0 \\ \left| \begin{matrix} -7 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} 2^p & 2^p - 4 \\ 2 & -2^p \end{matrix} \right| & = 0 \\ (-7.1 - 2.0) . [2^p.(-2^p) - 2.(2^p - 4)] & = 0 \\ -7[-(2^p)^2 - 2.(2^p) + 8 ] & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 7)} \\ -[-(2^p)^2 - 2.(2^p) + 8 ] & = 0 \\ (2^p)^2 + 2.(2^p) - 8 & = 0 \\ (2^p - 2)(2^p + 4) & = 0 \\ 2^p = 2 \vee 2^p & = -4 \end{align} $
Bentuk $ 2^p = -4 $ tidak memenuhi karena nilai $ 2^p $ selalu positif.
Bentuk $ 2^p = 2 \rightarrow p = 1 $.
Sehingga nilai $ 2p^2 - 18 = 2.1^2 - 18 = -16 $.
Jadi, nilai $ 2p^2 - 18 = -16 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Ruang Lingkup UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah suku-suku pertama dan kedua barisan geometri dengan rasio 3, yang nilainya merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - 16x + (5k+3) = 0 $ . Syarat agar $ x_1 , x_2, k+y $ merupakan barisan aritmetika adalah $ y = .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 13 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan Geometri : Rasio $ = \frac{U_2}{U_1} $
*). Persamaan keadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} , \, x_1.x_2 = \frac{c}{a} , \, $ dan $ x_1 -x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Barisan Aritmetika : Selisih sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah $ U_1 $ dan $ U_2 $ dengan $ r = 3 $.
$ r = \frac{U_2}{U_1} \rightarrow 3 = \frac{x_2}{x_1} \rightarrow x_2 = 3x_1 \, $ ....(i)
*). PK : $ x^2 - 16x + (5k+3) = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-16)}{1} \\ x_1 + x_2 & = 16 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \\ x_1 .x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{5k+3}{1} \\ x_1 .x_2 & = 5k+3 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = 16 \\ x_1 + 3x_1 & = 16 \\ 4x_1 & = 16 \\ x_1 & = 4 \\ x_2 & = 3x_1 = 3.4 = 12 \end{align} $
Dari pers(iii):
$ x_1.x_2 = 5k+3 \rightarrow 4.12 = 5k+3 \rightarrow k = 9 $
*). Barisan aritmetikanya : $ x_1, \, x_2, \, k + y $
yaitu $ 4, \, 12, \, 9 + y $ .
Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih sama
$\begin{align} 9 + y - 12 & = 12 - 4 \\ y - 3 & = 8 \\ y & = 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ y = 11 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Peluang UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Enam kursi melingkari sebuah meja. Kursi tersebut akan diduduki 5 anak terdiri dari 3 perempuan dan 2 laki-laki. Jika kursi yang kosong diapit oleh anak laki-laki dan perempuan, maka banyaknya susunan cara duduk adalah ....
A). $ 648 \, $ B). $ 564 \, $ C). $ 432 \, $ D). $ 288 \, $ E). $ 216 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Permutasi Siklis
*). Banyak susunan duduk melingkar $ n $ orang $ = (n-1)! $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan kursi yang kosong adalah kursi nomor 1, artinya ada 6 kemungkinan kursi yang kosong (ada 6 cara).
*). Agar dijamin kursi nomor 1 diapit oleh laki-laki dan perempuan, maka kita blok tiga kursi menjadi 1 bagian (anggap menjadi satu kursi), sehingga sekarang ada 4 kursi melingkar seperti gambar berikut ini.

Caranya $ = (4-1)! = 3! = 3.2.1 = 6 \, $ cara.
*). Didalam yang kita blok juga bisa diatur susunan duduknya, yaitu laki-laki ada 2 pilihan dan perempuan ada 3 pilihan, kemudian mereka juga bisa kita tukar posisinya, sehingga ada $ = 3.2.2 = 12 \, $ cara.
*). Total Cara :
$ = 6 . 6. 12 = 432 \, $ cara.
Jadi, ada 432 susunan cara duduk $ . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Turunan UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = g\left( x - \sqrt{6x-2} \right) $. Jika $ f^\prime (3) = 6 $ , maka $ g^\prime (-1) = .... $
A). $ 12 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 24 \, $ E). $ 28 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x) }{2\sqrt{f(x)}} $
$ y = g[f(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime (x) . g^\prime [f(x)] $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunannya dan $ f^\prime (3) = 6 $ dan $ g^\prime (-1) = ....? $ :
$\begin{align} f(x) & = g\left( x - \sqrt{6x-2} \right) \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ f^\prime (x) & = \left( 1 - \frac{6}{2\sqrt{6x-2} } \right) g^\prime \left( x - \sqrt{6x-2} \right) \\ f^\prime (x) & = \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{6x-2} } \right) g^\prime \left( x - \sqrt{6x-2} \right) \\ x = 3 \rightarrow f^\prime (x) & = \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{6x-2} } \right) g^\prime \left( x - \sqrt{6x-2} \right) \\ f^\prime (3) & = \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{6.3-2} } \right) g^\prime \left( 3 - \sqrt{6.3-2} \right) \\ f^\prime (3) & = \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{16} } \right) g^\prime \left( 3 - \sqrt{16} \right) \\ f^\prime (3) & = \left( 1 - \frac{3}{4} \right) g^\prime \left( 3 - 4 \right) \\ f^\prime (3) & = \frac{1}{4} . g^\prime \left( -1 \right) \\ 6 & = \frac{1}{4} . g^\prime \left( -1 \right) \\ g^\prime (-1) & = 6 \times \frac{4}{1} = 24 \end{align} $
Jadi, nilai $ g^\prime (-1) = 24 . \, \heartsuit $



2010 Cara 2 Pembahasan Limit Trigonometri UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right)\tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). \sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin f(x)}{\tan f(x)} = 1 $ ,
dengan syarat : $ f(k) = 0 $
*). Rumus Dasar Trigonometri :
$ \tan f(x) = \frac{1}{\cot f(x) } $
Sudut Komplemen : $ \cot A = \tan (\frac{\pi}{2} - A) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk $ \tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $ :
$\begin{align} \tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) & = \frac{1}{\cot \left( x + \frac{\pi}{4} \right) } \\ & = \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{2} - ( x + \frac{\pi}{4} ) \right) } \\ & = \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) } \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right)\tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) . \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) }{\tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) } \\ & = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Limit Trigonometri UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right)\tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan Turunan pada Limit :
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ , maka solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $ .
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin f(x) \rightarrow y^\prime = f^\prime (x) \cos f(x) $
$ y = \cos f(x) \rightarrow y^\prime = -f^\prime (x) \sin f(x) $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan f(x) = \frac{\sin f(x)}{\cos f(x) } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan trigonometrinya :
$ y = \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \rightarrow y^\prime = - \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) $
$ y = \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \rightarrow y^\prime = - \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right)\tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \frac{\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) }{ \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \frac{\sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) }{ \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \times \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) }{ \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) } \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \times \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{- \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right)}{ - \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) } \\ & = \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) \times \frac{ \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right)}{ \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) } \\ & = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \times \frac{ \cos \left( 0 \right)}{ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) } \\ & = 1 \times \frac{ 1}{ 1 } = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Barisan Geometri UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah deret geometri mempunyai suku ke-5 dengan nilai 48 dan jumlah nilai suku ke-3 dan ke-4 adalah $ -12 $. Jumlah empat suku pertama deret ini adalah ....
A). $ -6 \, $ B). $ -9 \, $ C). $ -10 \, $ D). $ -15 \, $ E). $ -18 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar barisan dan deret geometri
$ U_n = ar^{n-1} \, $ dan $ S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun Persamaan :
$\begin{align} U_5 = 48 \rightarrow ar^4 & = 48 \\ ar^2 & = \frac{48}{r^2} \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ U_3 + U_4 = -12 \rightarrow ar^2 + ar^3 & = -12 \\ ar^2(1 + r) & = -12 \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$\begin{align} ar^2(1 + r) & = -12 \\ \frac{48}{r^2}. (1 + r) & = -12 \, \, \, \, \, \text{(bagi 12)} \\ \frac{4}{r^2}. (1 + r) & = -1 \\ 4 + 4r & = -r^2 \\ r^2 + 4r + 4 & = 0 \\ (r+2)^2 & = 0 \\ r & = -2 \end{align} $
Pers(i) : $ ar^4 = 48 \rightarrow a.(-2)^4 = 48 \rightarrow a = 3 $
*). Menentukan nilai $ S_4 $ :
$\begin{align} S_n & = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ S_4 & = \frac{3((-2)^4-1)}{-2-1} \\ & = \frac{3.(15)}{-3} = -15 \end{align} $
Jadi, jumlah empat suku pertamanya adalah $ -15 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Persamaan Logaritma UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \alpha $ dan $ \beta $ penyelesaian persamaan $ {}^2 \log \left({}^2 \log (x+7) + 1\right) = {}^2 \log \left( {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \right) $, maka $ \alpha + \beta = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma
*). Sifat Logartima :
$ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
Jumlah akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Persamaan logaritmanya :
$\begin{align} {}^2 \log \left({}^2 \log (x+7) + 1\right) & = {}^2 \log \left( {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \right) \\ {}^2 \log (x+7) + 1 & = {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \\ {}^2 \log (x+7) + {}^2 \log 2 & = {}^2 \log x(x-3) \\ {}^2 \log 2(x+7) & = {}^2 \log x(x-3) \\ 2(x+7) & = x(x-3) \\ 2x + 14 & = x^2 - 3x \\ x^2 - 5x - 14 & = 0 \\ \end{align} $
*). Persamaan kuadrat $ x^2 - 5x - 14 = 0 $ memiliki akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $ , sehingga :
$ \begin{align} \alpha + \beta & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-5)}{1} = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ \alpha + \beta = 5 . \, \heartsuit $

$\spadesuit $ Catatan :
*). Dari bentuk $ {}^2 \log \left({}^2 \log (x+7) + 1\right) = {}^2 \log \left( {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \right) $ , maka syarat nilai $ x $ haruslah positif, sehingga jika kita cari akar-akar persamaan $ x^2 - 5x - 14 = 0 $ yaitu :
$ \begin{align} x^2 - 5x - 14 & = 0 \\ (x + 2)(x - 7) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 7 \end{align} $
*). Karena nilai $ x $ positif, maka yang memenuhi hanya $ x = 7 $. Sehingga hanya ada satu akar yang memenuhi dan penjumlahannya juga hasilnya adalah 7, artinya tidak ada jawaban pada optionnya.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa jawaban akhirnya adalah 7.



2010 Cara 2 Pembahasan Fungsi Logaritma UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{{}^4 \log x}{1 - 2.{}^4 \log x} $ , maka $ f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) = .... $
A). $ - a \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma
*). Sifat-sifat Logartima :
$ {}^a \log 1 = 0 \, $ dan $ {}^a \log a = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari soal $ f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) $ , artinya nilai $ a $ bebas kita ganti dengan angka berapapun, kita pilih $ a = 2 $.
Diketahui fungsinya : $ f(x) = \frac{{}^4 \log x}{1 - 2.{}^4 \log x} $
$\begin{align} f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) & = f(2.2) + f\left( \frac{2}{2} \right) \\ & = f(4) + f(1) \\ & = \frac{{}^4 \log 4}{1 - 2.{}^4 \log 4} + \frac{{}^4 \log 1}{1 - 2.{}^4 \log 1} \\ & = \frac{1}{1 - 2.1} + \frac{0}{1 - 2.0} \\ & = \frac{1}{-1} + 0 \\ & = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) = -1 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Fungsi Logaritma UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{{}^4 \log x}{1 - 2.{}^4 \log x} $ , maka $ f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) = .... $
A). $ - a \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma
*). Sifat-sifat Logartima :
$ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $
Sehingga $ {}^4 \log 2 = {{}^2}^2 \log 2 = \frac{1}{2} {}^2 \log 2 = \frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ f(2a) $ dengan $ f(x) = \frac{{}^4 \log x}{1 - 2.{}^4 \log x} $
$\begin{align} f(2a) & = \frac{{}^4 \log 2a}{1 - 2.{}^4 \log 2a} \\ & = \frac{{}^4 \log 2 + {}^4 \log a}{1 - 2.({}^4 \log 2 + {}^4 \log a)} \\ & = \frac{\frac{1}{2} + {}^4 \log a}{1 - 2.(\frac{1}{2} + {}^4 \log a)} \\ & = \frac{\frac{1}{2} + {}^4 \log a}{1 - 1 - 2 {}^4 \log a } \\ & = \frac{\frac{1}{2} + {}^4 \log a}{ - 2 {}^4 \log a } \\ & = \frac{-\frac{1}{2} - {}^4 \log a}{ 2 {}^4 \log a } \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f(\frac{2}{a}) $ dengan $ f(x) = \frac{{}^4 \log x}{1 - 2.{}^4 \log x} $
$\begin{align} f(2a) & = \frac{{}^4 \log \frac{2}{a}}{1 - 2.{}^4 \log \frac{2}{a}} \\ & = \frac{{}^4 \log 2 - {}^4 \log a}{1 - 2.({}^4 \log 2 - {}^4 \log a)} \\ & = \frac{\frac{1}{2} - {}^4 \log a}{1 - 2.(\frac{1}{2} - {}^4 \log a)} \\ & = \frac{\frac{1}{2} - {}^4 \log a}{1 - 1 + 2 {}^4 \log a } \\ & = \frac{\frac{1}{2} - {}^4 \log a}{ 2 {}^4 \log a } \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f(2a) + f(\frac{2}{a}) $ :
$\begin{align} f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) & = \frac{-\frac{1}{2} - {}^4 \log a}{ 2 {}^4 \log a } + \frac{\frac{1}{2} - {}^4 \log a}{ 2 {}^4 \log a } \\ & = \frac{ - 2{}^4 \log a}{ 2 {}^4 \log a } \\ & = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) = -1 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Selisih Akar UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persamaan kuadrat $ px^2 + 5x + p = 0 $ memiliki akar-akar positif. Jika selisih kuadrat akar-akar tersebut bernilai $ \frac{15}{4} $ , maka akar-akar tersebut adalah ....
A). $ 1 \, $ dan $ 2 $ B). $ \frac{1}{2} \, $ dan $ 1 $
C). $ \frac{1}{2} \, $ dan $ 2 $ D). $ 1 \, $ dan $ -2 $
E). $ 1 \, $ dan $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK)
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ mempunyai akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
Operasi penjulahan :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ px^2 + 5x + p = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ a = p , \, b = 5 \, $ dan $ c = p $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$\begin{align} \text{Selisih kuadrat } & = \frac{15}{4} \\ x_1^2 - x_2^2 & = \frac{15}{4} \\ (x_1+x_2)(x_1-x_2) & = \frac{15}{4} \\ \frac{-b}{a} \times \frac{\sqrt{D}}{a} & = \frac{15}{4} \\ \frac{-5}{p} \times \frac{\sqrt{5^2 - 4.p.p}}{p} & = \frac{15}{4} \\ \frac{-5\sqrt{25 - 4p^2}}{p^2} & = \frac{15}{4} \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ \frac{-\sqrt{25 - 4p^2}}{p^2} & = \frac{3}{4} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\frac{-\sqrt{25 - 4p^2}}{p^2})^2 & = (\frac{3}{4})^2 \\ \frac{25 - 4p^2 }{p^4} & = \frac{9}{16} \\ 16(25 - 4p^2 ) & = 9p^4 \\ 400 - 64p^2 & = 9p^4 \\ 9p^4 + 64p^2 - 400 & = 0 \\ (9p^2+100)(p^2 - 4) & = 0 \\ p^2 = -\frac{100}{9} \vee p^2 & = 4 \end{align} $
$ p^2 = -\frac{100}{9} \, $ tidak memenuhi karena $ p^2 $ hasilnya selalu positif.
$ p^2 = 4 \rightarrow p = \pm 2 $
*). Akar-akar PK positif, sehingga :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-5}{p} $ harus bernilai positif jika $ p = -2 $. Sehingga nilai $ p $ yang kita pakai adalah $ p = -2 $.
*). Menentukan akar-akarnya :
$\begin{align} p = -2 \rightarrow px^2 + 5x + p & = 0 \\ -2x^2 + 5x -2 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 2x^2 - 5x +2 & = 0 \\ (2x - 1)(x - 2) & = 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = 2 \end{align} $
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{1}{2} \vee x = 2 . \, \heartsuit $