Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2006 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Jika $A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) $ , $B=\left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) $ dan matriks C memenuhi AC = B, maka det C = ....
$\spadesuit \, $ Sifat determinan : $|PQ| = |P|.|Q| $
$A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = 1.3-1.2 = 3-2=1 $
$B=\left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |B| = 4.3-1.1 = 12-1 = 11 $
$\spadesuit \, $ Menentukan determinan C dengan sifat determinan
$\begin{align} AC & = B \\ |AC| & = |B| \\ |A|.|C| & = |B| \\ 1. |C| & = 11 \\ |C| & = \frac{11}{1} = 11 \end{align}$
Jadi, determinan C adalah 11. $ \heartsuit $
Nomor 22
Tabungan seseorang pada bulang ke $n $ selalu dua kali tabungan pada bulan ke ($n-1$) , $n \geq 2 $ . Jika tabungan awalnya Rp. 1 juta dan setelah satu tahun menjadi Rp. $p $ juta, maka $p $ memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Barisan geometri : $U_n=ar^{n-1} $
$\clubsuit \, $ Tabungan awal 1 juta , $a = 1 \, \, $ juta
$\clubsuit \, $ Tabungan bulan ke-$n $ dua kali tabungan bulan ke-($n-1 $) , artinya $ r = 2 $
$\clubsuit \, $ Setelah satu tahun, artinya bulan ke-13
$U_{13} = ar^{12} = 1. 2^{12} = 4096 \rightarrow p = 4096 \, \, $ juta
Jadi, yang memenuhi $ 4000 < p < 5000 . \heartsuit $
Nomor 23
Jika $y = \log x $ dan $x^2+ax+(3-a) = 0 $ , maka $y $ bernilai real untuk $a $ yang memenuhi ....
$\spadesuit \, $ Fungsi $y = \log x \, \, $ bernilai positif jika $x > 0 \, $ (positif)
Karena $x>0 \, \, $ dan merupakan akar-akar dari $x^2+ax+(3-a) = 0 $ maka harus $x_1>0 \, $ dan $x_2 > 0 \, $ (akar-akar positif)
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-a}{1} = -a \, \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3-a}{1} = 3-a $
$\spadesuit \, $ Syarat akar-akar positif : $ x_1+x_2 > 0 , \, x_1.x_2 > 0 \, \, $ dan $ D \geq 0 $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan syaratnya
$\begin{align} * \, x_1+x_2 & > 0 \\ -a & > 0 \\ a & < 0 \, \, \, \text{(HP}_1) \end{align}$
$\begin{align} * \, x_1.x_2 & > 0 \\ 3-a & > 0 \\ a & < 3 \, \, \, \text{(HP}_2) \end{align}$
$\begin{align} \text{Syarat nilai } \, \, D & \geq 0 \\ b^2-4ac & \geq 0 \\ (-a)^2 - 4.1.(3-a) & \geq 0 \\ a^2+4a-12 &\geq 0 \\ (a-2)(a+6) & \geq 0 \\ a = 2 & \vee a = -6 \end{align}$
spmb_matdas_9_2006.png
HP$_3 = \{ a \leq -6 \vee a \geq 2 \} $
Solusinya : $HP = HP_1\cap HP_2 \cap HP_3 = \{ a \leq -6 \} $
Jadi, nilai $a \, \, $ yang memenuhi adalah $ \{ a \leq -6 \}. \heartsuit $
Nomor 24
Bilangan ${}^y \log (x-1), \, {}^y \log (x+1), \, {}^y \log (3x-1) $ merupakan tiga suku deret aritmetika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah 6, maka $x+y = ....$
$\clubsuit \,$ Syarat logaritma
${}^y \log (x-1) \rightarrow x-1 > 0 \rightarrow x > 1 $
${}^y \log (x+1) \rightarrow x+1 > 0 \rightarrow x > -1 $
${}^y \log (3x-1) \rightarrow 3x-1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{3} $
Syarat yang memenuhi ketiganya adalah $\{ x > 1 \} $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : ${}^y \log (x-1), \, {}^y \log (x+1), \, {}^y \log (3x-1) $
$\begin{align} {}^y \log (x+1) - {}^y \log (x-1) & = {}^y \log (3x-1) - {}^y \log (x+1) \\ {}^y \log \frac{x+1}{x-1} & = {}^y \log \frac{3x-1}{x+1} \\ \frac{x+1}{x-1} & = \frac{3x-1}{x+1} \\ (x+1)^2 & = (3x-1)(x-1) \\ 2x^2 - 6x & = 0 \\ 2x(x-3) & = 0 \\ x=3 \vee x = 0 & \, \, \text{(Tidak memenuhi karena harus } \, x > 1 ) \end{align}$
$\clubsuit \, $ Jumlah ketiganya sama dengan 6
$\begin{align} {}^y \log (x-1) + {}^y \log (x+1) + {}^y \log (3x-1) & = 6 \\ {}^y \log (x-1).(x+1).(3x-1) & = 6 \\ {}^y \log (3-1).(3+1).(3.3-1) & = 6 \\ {}^y \log 2.4.8 & = 6 \\ {}^y \log 64 & = 6 \\ y^6 & = 64 \\ y^6 & = 2^6 \rightarrow y=2 \end{align}$
Sehingga : $x+y = 3+2 = 5$
Jadi, nilai $ x+y=5. \heartsuit $
Nomor 25
Berat rata-rata 10 siswa adalah 60 kg. Salah seorang diantaranya diganti oleh Andi sehingga berat rata-ratanya menjadi 60,5 kg. Jika berat Andi 62 kg, maka berat siswa yang diganti adalah ....
$\spadesuit \, $ Misalkan total nilai 9 orang adalah $N \, $ dan nilai orang yang digantikan adalah $x$
$\spadesuit \, $ Rata-rata semula 60 kg
$\frac{N+x}{10} = 60 \rightarrow N+x = 600 \, \, \, $ ...pers(i)
$\spadesuit \, $ Rata-rata kedua 60,5 kg dengan berat Andi = 62 kg
$\frac{N+A}{10} = 60,5 \rightarrow N+62 = 605 \rightarrow N = 605 - 62 = 543 $
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $N=543 \, $ ke pers(i)
$N+x = 600 \rightarrow 543 + x = 600 \rightarrow x = 600-543 = 57 $
Jadi, berat siswa yang diganti adalah 57. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2006 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika jumlah $n $ suku pertama deret aritmetika adalah $ S_n = 2n^2+3n $ , maka beda deretnya adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$U_n = S_n - S_{n-1} , \, \, \, U_1 = S_1 , \, \, $ dan $ b = U_2-U_1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $U_1 \, \, $ dan $U_2 $
$U_1 = S_1 = 2.1^2+3.1 = 2 + 3 = 5 $
$S_2 = 2.2^2+3.2 = 8 + 6 = 14 $
$U_2=S_2 - S_1 = 14 - 5 = 9 $
sehingga : $b = U_2-U_1 = 9 - 5 = 4 $
Jadi, bedanya adalah 4. $ \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Konsep : $S_n = pn^2+qn \rightarrow b = 2p $
$S_n = 2n^2+3n \rightarrow b = 2\times 2 = 4 $
Jadi, bedanya adalah 4. $ \heartsuit $
Nomor 17
Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyakknya pertandingan yang terjadi adalah ....
$\clubsuit \, $ Ada 25 pecatur, setiap pemain bermain satu kali dengan yang lainnya, artinya kita memilih 2 orang dari 25 pecatur dengan tidak memperhatikan urutan (pakai kombinasi).
Total pertandingan = $C_2^{25} = \frac{25!}{(25-2)!.2!} = \frac{25!}{23!.2!} = 300 $
Jadi, total pertandingan ada 300. $ \heartsuit $
Nomor 18
Pada deret geometri $U_1+U_2+... $ , jika $U_1 = x^{-2} , \, U_5 = x^2 $ , dan $U_9 = 64 $ , maka $U_7 = .... $
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $U_n = ar^{n-1} $
$U_1 = x^{-2} \rightarrow a = x^{-2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan $r$
$\begin{align} U_5 & = x^2 \\ ar^4 & = x^2 \\ x^{-2}.r^4 & = x^2 \\ r^4 & = \frac{x^2}{x^{-2}} = x ^ 4 \\ r & = x \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $a \, \, $ dan $ r $
$\begin{align} U_9 = 64 \rightarrow ar^8 & = 64 \\ x^{-2} . x^8 & = 64 \\ x^{-2+8} & = 64 \\ x^6 & = 2^6 \rightarrow x = 2 \end{align}$
Sehingga : $a = x^{-2} = 2^{-2} \, \, $ dan $ r = x = 2 $
$U_7 = ar^6 = 2^{-2}.2^6 = 2^4 = 16 $
Jadi, suku ketujuhnya adalah 16. $ \heartsuit $
Nomor 19
Jika $x_1 $ dan $x_2 $ solusi persamaan $ 3.9^x +9^{1-x} = 28 $ , maka $x_1 + x_2 = .... $
$\clubsuit \,$ Misalkan : $ p = 9^x $
$\begin{align} 3.9^x +9^{1-x} & = 28 \\ 3.9^x +\frac{9^1}{9^x} & = 28 \\ 3p +\frac{9}{p} & = 28 \, \, \, \text{(kali } \, p ) \\ 3p^2 - 28p + 9 & = 0 \\ (3p-1)(p-9) & = 0 \\ p = \frac{1}{3} \rightarrow & \, \, 9^ x = 3^{-1} \rightarrow 3^{2x} = 3^{-1} \rightarrow x_1 = \frac{-1}{2} \\ p = 9 \rightarrow & \, \, 9^x = 9 \rightarrow x_2 = 1 \end{align}$
sehingga : $x_1 + x_2 = \frac{-1}{2} + 1 = \frac{1}{2} $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 20
Jika $A=\left( \begin{matrix} a & b \\ b & x \end{matrix} \right) $ dan $B=\left( \begin{matrix} bx & a \\ b & x \end{matrix} \right) $ , maka jumlah kuadrat semua akar persamaan det A = det B adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$A=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow \text{det} \, A = a.d-b.c $
$ax^2+bx+c = 0 \rightarrow x_1+x_2 = \frac{-b}{a} ,\, \, \text{dan} \, \, x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan determinan
$\begin{align} \text{det} \, A & = \text{det} \, B \\ \left| \begin{matrix} a & b \\ b & x \end{matrix} \right| & = \left| \begin{matrix} bx & a \\ b & x \end{matrix} \right| \\ ax-b^2 & = bx^2-ab \\ bx^2 - ax + b^2 - ab & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{a}{b} \\ x_1.x_2 & = \frac{b^2-ab}{b} = b-a \end{align}$
$\spadesuit \, $ Jumlah kuadratnya
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2(x_1.x_2) \\ & = \left( \frac{a}{b} \right)^2 - 2(b-a) \end{align}$
Jadi, jumlah kuadratnya adalah $ \left( \frac{a}{b} \right)^2 - 2(b-a). \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2006 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
$\displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x}(x-7) }{\sqrt{x}-\sqrt{7}} = .... $
$\spadesuit \, $ Merasionalkan penyebutnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x}(x-7) }{\sqrt{x}-\sqrt{7}} & = \displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x}(x-7) }{\sqrt{x}-\sqrt{7}} . \frac{\sqrt{x}+\sqrt{7} }{\sqrt{x}+\sqrt{7}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x}(x-7) (\sqrt{x}+\sqrt{7}) }{(x-7)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 7} \sqrt{x} (\sqrt{x}+\sqrt{7}) \\ & = \sqrt{7} (\sqrt{7}+\sqrt{7}) = \sqrt{7} . 2\sqrt{7} = 2. 7 = 14 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 14. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika $\tan x = -\frac{2}{3} $ , maka $\frac{5\sin x + 6\cos x}{2\cos x - 3\sin x} = .... $
$\clubsuit \, $ nilai $\tan x = -\frac{2}{3} \, \, $ dengan $x \, \, $ dikuadran II
spmb_matdas_6_2006.png
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $\sin x \, \, $ dan $\cos x \, \, $ pada soalnya
$\begin{align} \frac{5\sin x + 6\cos x}{2\cos x - 3\sin x} & = \frac{5.\frac{2}{\sqrt{13}} + 6.\frac{-3}{\sqrt{13}}}{2.\frac{-3}{\sqrt{13}} - 3.\frac{2}{\sqrt{13}}} \\ & = \frac{\frac{10-18}{\sqrt{13}}}{\frac{-6-6}{\sqrt{13}}} = \frac{\frac{-8}{\sqrt{13}}}{\frac{-12}{\sqrt{13}}} \\ & = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \end{align}$
Jadi, nilainya adalah $ \frac{2}{3} . \heartsuit $
Nomor 13
Jika sudut lancip $\alpha $ memenuhi $\sin \alpha = \frac{1}{3} \sqrt{3} $ , maka $\tan (\frac{1}{2} \pi - \alpha ) + 3\cos \alpha = .... $
$\spadesuit \, $ Nilai $\sin \alpha = \frac{1}{3} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $ , buat segitiganya
spmb_matdas_7_2006.png
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
Konsep dasar : $\tan (\frac{1}{2} \pi - \alpha ) = \cot \alpha $
$\begin{align} \tan (\frac{1}{2} \pi - \alpha ) + 3\cos \alpha & = \cot \alpha + 3\cos \alpha \\ & = \sqrt{2} + 3 \times \frac{\sqrt{6}}{3} \\ & = \sqrt{2} + \sqrt{6} \end{align}$
Jadi, nilainya adalah $ \sqrt{2} + \sqrt{6} . \heartsuit $
Nomor 14
Dari kawat yang panjangnya 500 meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya 25 meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk yang lain adalah ....
$\clubsuit \,$ gambar
spmb_matdas_8_2006.png
$\clubsuit \,$ Total panjang rusuk = 500
$\begin{align} \text{total panjang rusuk} \, & = 4\times 25 + 4x + 4t \\ 500 & = 100 + 4x + 4t \\ 4x+4t & = 400 \\ x+t & = 100 \rightarrow t = 100-x \end{align}$
$\clubsuit \,$ Volume maksimum , syarat : $V^\prime = 0 \, \, $ (turunan = 0 )
$\begin{align} V & = p.l.t \\ & = 25.x.t \\ & = 25x(100-x) \\ V & = 25 (100x-x^2) \rightarrow V^\prime = 25(100-2x) \\ V^\prime & = 0 \\ 25(100-2x) & = 0 \rightarrow x = 50 \\ t & = 100-x= 100-50 = 50 \end{align} $
Jadi, panjang dua rusuk yang lainnya adalah $x=50 \, \, $ dan $t=50 \, \, $ . $ \heartsuit $
Nomor 15
Jika ${}^4 \log 6 = m+1 $ , maka ${}^9 \log 8 = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat logaritma
${}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c , \, \, {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a } $
$ {}^a \log b^ n = n. {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan ${}^4 \log 6 = m+1 $
$\begin{align} {}^4 \log 6 & = m+1 \\ \frac{{}^2 \log 6 }{{}^2 \log 4 } & = m+1 \\ \frac{{}^2 \log 3 + {}^2 \log 2 }{2} & = m+1 \\ {}^2 \log 3 + 1 & = 2m + 2 \\ {}^2 \log 3 & = 2m + 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^9 \log 8 & = \frac{{}^2 \log 8 }{{}^2 \log 9 } = \frac{{}^2 \log 2^3 }{{}^2 \log 3^2 } = \frac{3.{}^2 \log 2 }{2.{}^2 \log 3 } \\ & = \frac{3.1 }{2.(2m + 1) } = \frac{3 }{4m+2} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^9 \log 8 = \frac{3 }{4m+2} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2006 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Garis g melalui titik (8, 28) dan memotong parabola $y=3x^2+x-10 $ di titik A dan B. Jika A(2, 4) dan B($x, y$), maka $x+y = ....$
$\spadesuit \, $ Deskripsi gambar
spmb_matdas_2_2006.png
$\spadesuit \, $ Persamaan garis $g $ melalui titik ($x_1,y_1$) = (2,4) dan ($x_2,y_2$) = (8,28)
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-4}{28-4} & = \frac{x-2}{8-4} \\ \frac{y-4}{24} & = \frac{x-2}{4} \\ y&= 4x-4 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Titik potong garis dan parabola
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x^2+x-10 & = 4x-4 \\ 3x^2 - 3x - 6 & = 0 \\ x^2 - x -2 & = 0 \\ (x+1)(x-2) & = 0 \\ x=-1 & \vee x = 2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $x$
$x = -1 \rightarrow y = 4x-4 = 4.(-1) - 4 = -8 $
Titik B(-1,-8)
$x = 2 \rightarrow y = 4x-4 = 4.(2) - 4 = 4 $
Titik A(2,4)
Sehingga : titik B($x,y$) = B(-1,-8)
Jadi, nilai $x+y = -1 + (-8) = -9 . \heartsuit $
Nomor 7
Solusi pertaksamaan $2x^2+3x-9 \leq 0 $ yang bukan solusi dari pertaksamaan $2x^2-x-10 \geq 0 $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Solusi pertidaksamaan I
$\begin{align} 2x^2+3x-9 & \leq 0 \\ (2x-3)(x+3) & \leq 0 \\ x=\frac{3}{2} & \vee x = -3 \end{align} $
spmb_matdas_3_2006.png
$HP_1 = \{ -3 \leq x \leq \frac{3}{2} \} $
$\clubsuit \, $ Solusi pertidaksamaan II
$\begin{align} 2x^2-x-10 & \geq 0 \\ (2x-5)(x+2) & \geq 0 \\ x=\frac{5}{2} & \vee x=-2 \end{align} $
spmb_matdas_4_2006.png
$HP_2 = \{ x \leq -2 \vee x \geq \frac{5}{2} \} $
$\clubsuit \, $ HP 1 tidak ada di HP 2 seperti gambar berikut
spmb_matdas_4a_2006.png
Sehingga : HP1 yang tidak ada di HP2 adalah $\{ -2 < x \leq \frac{3}{2} \} $
Jadi, jawabannya adalah $ \{ -2 < x \leq \frac{3}{2} \} . \heartsuit$
Nomor 8
Grafik $y=2x^3 -3x^2-12x+7 $ turun untuk $x $ yang memenuhi ....
$\spadesuit \, $ Syarat $f(x) $ turun : $f^\prime (x) < 0 $
$y=2x^3 -3x^2-12x+7 \rightarrow y^\prime = 6x^2-6x-12 $
$\begin{align*} f^\prime (x) & < 0 \\ 6x^2-6x-12 & < 0 \\ x^2 - x - 2 & < 0 \\ (x-2)(x+1) & < 0 \\ x=2 & \vee x = -1 \end{align*}$
spmb_matdas_5_2006.png
Jadi, $f(x) $ turun pada interval $ \{-1< x < 2 \} \heartsuit$
Nomor 9
Jika $f(x)=\sin ^2 3x , $ maka $\displaystyle \lim_{p \to 0} \frac{f(x+2p)-f(x)}{2p} = .... $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan $f(x) $
$\begin{align*} f(x) & =\sin ^2 3x \\ f^\prime (x) & = 2.\sin 3x . 3 . \cos 3x \\ f^\prime (x) & = 6\sin 3x \cos 3x \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan limit dengan turunannya
Konsep dasar : $y=f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $

$\begin{align*} \displaystyle \lim_{p \to 0} \frac{f(x+2p)-f(x)}{2p} & = \displaystyle \lim_{p \to 0} \frac{f^\prime (x+2p) . 2 -0}{2} \, \, \, \text{(turuna thd } \, p ) \\ & = \displaystyle \lim_{p \to 0} f^\prime (x+2p) \\ & = f^\prime (x+2.0) \\ & = f^\prime (x) \\ & = 6\sin 3x \cos 3x \end{align*}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ 6\sin 3x \cos 3x . \heartsuit$
Nomor 10
$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\tan (1-x)}{x^3-1} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $p^3-q^3 = (p-q)(p^2+pq+q^2) $
$x^3-1 = (x-1)(x^2+x.1+1^2) \rightarrow x^3-1 = -(1-x)(x^2+x+1)$
Konsep dasar limit :
$\displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\tan a f(x)}{b f(x)} = \frac{a}{b} \, \, $ dengan syarat $f(k) = 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan limitnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\tan (1-x)}{x^3-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\tan (1-x)}{-(1-x)(x^2+x+1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\tan (1-x) }{1-x} . \frac{-1}{x^2+x+1} \\ & = \frac{1}{1} . \frac{-1}{1^2+1+1} = \frac{-1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ - \frac{1}{3}. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2006


Nomor 1
Jika $a > 0 , \, b > 0$ dan $a\neq b $ , maka $ \frac{(a+b)^{-1}(a^{-2}-b^{-2})}{(a^{-1}+b^{-1})(ab^{-1}-a^{-1}b)} = ....$
$\clubsuit \, $ Konsep dasar : $a^{-n}=\frac{1}{a^n} $
$\begin{align} & \frac{(a+b)^{-1}(a^{-2}-b^{-2})}{(a^{-1}+b^{-1})(ab^{-1}-a^{-1}b)} \\ & = \frac{\left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} \right)}{ \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right) \left( \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \right) } \\ & = \frac{\left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{b^2-a^2}{a^2b^2} \right)}{ \left( \frac{a+b}{ab} \right) \left( \frac{a^2-b^2}{ab} \right) } \\ & = \left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{b^2-a^2}{ab.ab} \right) \left( \frac{ab}{a+b} \right) \left( \frac{ab}{a^2-b^2} \right) \, \, \text{(coret } \, ab ) \\ & = \left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{b^2-a^2}{1} \right) \left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{1}{a^2-b^2} \right) \\ & = \left( \frac{1}{a+b} \right)^2 \left( \frac{-(a^2-b^2)}{1} \right) \left( \frac{1}{a^2-b^2} \right) \\ & = -\left( \frac{1}{a+b} \right)^2 = \frac{-1}{(a+b)^2} \end{align}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ \frac{-1}{(a+b)^2} . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $p=(x^\frac{3}{2}+x^\frac{1}{2})(x^\frac{1}{3}-x^{-\frac{1}{3}}) $ dan $q=(x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}}) $ , maka $\frac{p}{q} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $a^{-n}=\frac{1}{a^n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ dan $ a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m} $
$\spadesuit \, $ Distributif
$(x^\frac{3}{2}+x^\frac{1}{2}) = x (x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2}) $
$(x-x^{\frac{1}{3}}) = x^\frac{2}{3}. (x^\frac{1}{3}-x^{\frac{-1}{3}}) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{p}{q} & = \frac{(x^\frac{3}{2}+x^\frac{1}{2})(x^\frac{1}{3}-x^{-\frac{1}{3}})}{ (x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}})} \\ & = \frac{ \left[ x (x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2}) \right] (x^\frac{1}{3}-x^{-\frac{1}{3}})}{ (x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}}) \left[ x^\frac{2}{3}. (x^\frac{1}{3}-x^{\frac{-1}{3}}) \right] } \\ & = \frac{x}{x^\frac{2}{3}} = x^{1-\frac{2}{3}} = x^\frac{1}{3} \\ & = \sqrt[3]{x} \end{align}$
Jadi, bentuk $ \frac{p}{q} = \sqrt[3]{x} . \heartsuit $
Nomor 3
Grafik $y=\frac{3}{x} - 2x $ terletak di atas garis $y=x $ untuk $x $ yang memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Grafik $y_1=\frac{3}{x} - 2x $ di atas $y_2=x $ artinya $y_1 > y_2 $
$\begin{align*} y_1 & > y_2 \\ \frac{3}{x} - 2x & > x \\ \frac{3}{x} - 3x & > 0 \\ \frac{3-3x^2}{x} & > 0 \\ \frac{3(1-x^2)}{x} & > 0 \\ x=\pm 1 & \vee x = 0 \end{align*}$
spmb_matdas_1_2006.png
HP = $\{ x < -1 \vee 0 < x < 1 \} $
Jadi, grafik $y_1 $ di atas $y_2 $ pada interval $ \{ x < -1 \vee 0 < x < 1 \} . \heartsuit $
Nomor 4
Jika $x_1 $ dan $x_2 $ akar-akar persamaan kuadrat $x^2-3x+1 = 0 $ , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1+\frac{1}{x_1} $ dan $x_2+\frac{1}{x_2} $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Persamaan : $x^2-3x+1 = 0 $
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 \, \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 $
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2(x_1.x_2) = (3)^2 - 2. 1 = 9- 2 = 7 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil jumlah (HJ) dan kali (HK)
$\begin{align} HJ & = (x_1+\frac{1}{x_1} ) + ( x_2+\frac{1}{x_2} ) \\ & = (x_1+x_2) + \left( \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2} \right) \\ & = (x_1+x_2) + \left( \frac{x_1+x_2}{x_1.x_2} \right) \\ & = 3 + \left( \frac{3}{1} \right) = 3+ 3 = 6 \end{align}$ $\begin{align} HK & = (x_1+\frac{1}{x_1} ) . ( x_2+\frac{1}{x_2} ) \\ & = x_1.x_2 + \left( \frac{x_1}{x_2}+ \frac{x_2}{x_1} \right) + \frac{1}{x_1.x_2} \\ & = x_1.x_2 + \left( \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2} \right) + \frac{1}{x_1.x_2} \\ & = 1 + \left( \frac{7}{1} \right) + \frac{1}{1} \\ & = 1 + 7 + 1 = 9 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan kuadrat
Rumus dasar : $x^2 -(HJ)x + HK = 0 $
PK : $x^2 -(HJ)x + HK = 0 \rightarrow x^2 - 6x + 9 = 0 $
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 - 6x + 9 = 0 . \heartsuit $
Nomor 5
Jika garis h : $y=ax+1 $ dan g : $y=2x-1 $ berpotongan tegak lurus di titik A, maka koordinat A adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $a$
$y_1=ax+1 \rightarrow m_1 = a \, \, \, $ (gradien garis 1 )
$y_2=2x-1 \rightarrow m_2 = 2 \, \, \, $ (gradien garis 2 )
$\clubsuit \, $ kedua garis tegak lurus , berlaku : $m_1.m_2 = -1 $
$m_1.m_2 = -1 \rightarrow a . 2 = -1 \rightarrow a = \frac{-1}{2} $
sehingga garis satu : $y_1=\frac{-1}{2} x+1 $
$\clubsuit \, $ Menentukan titik potong kedua garis
$\begin{align*} y_1 & = y_2 \\ \frac{-1}{2} x+1 & = 2x-1 \, \, \, \text{(kali 2)} \\ -x + 2 & = 4x-2 \\ 5x & = 4 \rightarrow x = \frac{4}{5} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $x = \frac{4}{5} \, $ ke garis 2
$y=2x-1 \rightarrow y=2.\frac{4}{5}-1 = \frac{8}{5} - 1 = \frac{3}{5} \rightarrow y = \frac{3}{5} $
Sehingga titik potongnya adalah $\left( \frac{4}{5} , \frac{3}{5} \right) $
Jadi, titik A adalah $ \left( \frac{4}{5} , \frac{3}{5} \right) . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25