Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2019 Matematika Dasar kode 521

Soal yang Akan Dibahas
Hasil penjumlahan dari $ x, y, $ dan $ z $ yang memenuhi $ 3^{2x+y-z} = \left( \frac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)} $ , $ \log (x-y+z) = \frac{1}{1 + {}^2 \log 5 } $ , dan $ \left| \begin{matrix} x & \frac{1}{2} \\ 2y & 2 \end{matrix} \right| = 2 $
adalah ....
A). $ -\frac{5}{3} \, $ B). $ -\frac{10}{3} \, $ C). $ -\frac{16}{3} \, $ D). $ -\frac{21}{3} \, $ E). $ -\frac{26}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar

*). Sifat eksponen :
1). $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
2). $ (a^n)^m = a^{n.m} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ \frac{1}{{}^a \log b} = {}^b \log a $
2). $ {}^a \log a = 1 $
3). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (b.c) $
*). Penulisan basis Log : $ \log b = {}^{10} \log b $
*). Persamaan logaritma :
$ \log f(x) = \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Determinan Matriks :
$ \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| = a.d - b.c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama :
$\begin{align} 3^{2x+y-z} & = \left( \frac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} & = \left( \frac{1}{3^3} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} & = \left( 3^{-3} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} & = 3^{-3x+3y-6z-6} \\ 2x+y-z & = -3x+3y-6z-6 \\ 5x - 2y + 5z & = -6 \\ 5(x + z) - 2y & = -6 \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Persamaan Kedua :
$\begin{align} \log (x-y+z) & = \frac{1}{1 + {}^2 \log 5 } \\ \log (x-y+z) & = \frac{1}{{}^2 \log 2 + {}^2 \log 5 } \\ \log (x-y+z) & = \frac{1}{{}^2 \log ( 2 \times 5 ) } \\ \log (x-y+z) & = \frac{1}{{}^2 \log 10 } \\ \log (x-y+z) & = {}^{10} \log 2 \\ \log (x-y+z) & = \log 2 \\ x-y+z & = 2 \\ x+z & = y + 2 \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Persamaan Ketiga :
$ \left| \begin{matrix} x & \frac{1}{2} \\ 2y & 2 \end{matrix} \right| = 2 $
$ 2x - 2y. \frac{1}{2} = 2 $
$ 2x - y = 2 \, \, \, $ .... (iii)
*). Substitusi pers(ii) ke (i) :
$\begin{align} 5(x + z) - 2y & = -6 \\ 5(y+2) - 2y & = -6 \\ 5y+10 - 2y & = -6 \\ 3y & = -16 \\ y & = \frac{-16}{3} \end{align} $
*). Substitusi $ y = \frac{-16}{3} $ ke pers (ii) :
$\begin{align} x+z & = y + 2 \\ x+z & = \frac{-16}{3} + 2 \\ x+z & = \frac{-10}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x + y + z $ :
$\begin{align} x + y + z & = (x+z) + y \\ & = \frac{-10}{3} + \frac{-16}{3} = -\frac{26}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y + z = -\frac{26}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Menyusun PKB Simak UI 2019 Matematika Dasar kode 521

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = 2x - 1 $. Jika $ \left( f(x) \right)^2 - 3f(x) + 2 = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 < x_2 $, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ x_1 + 2 $ dan $ x_2 - 2 $ adalah ....
A). $ 2x^2 - 3x + 5 = 0 \, $
B). $ 2x^2 - 3x - 5 = 0 \, $
C). $ 2x^2 - 5x - 3 = 0 \, $
D). $ 2x^2 - 5x + 3 = 0 \, $
E). $ 2x^2 + 5x - 3 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar

*). Menyusun Persamaan Kuadrat Baru (PKB) :
$ \, \, \, \, x^2 - (HJ)x + HK = 0 $
Keterangan :
$ HJ = \, $ hasil jumlah
$ HK = \, $ hasil kali

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ f(x) = 2x - 1 $

*). Menentukan $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
$\begin{align} [f(x)]^2 - 3f(x) + 2 & = 0 \\ [f(x) - 1][f(x) - 2] & = 0 \\ [f(x) - 1] = 0 \vee [f(x) - 2] & = 0 \\ f(x) = 1 \vee f(x) & = 2 \\ 2x - 1 = 1 \vee 2x - 1 & = 2 \\ 2x = 2 \vee 2x & = 3 \\ x = 1 \vee x & = \frac{3}{2} \end{align} $
*). Karena $ x_1 < x_2 $ , maka $ x_1 = 1 $ dan $ x_2 = \frac{3}{2} $.
*). Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $ x_1 + 2 $ dan $ x_2 - 2 $ :
$ x_1 + 2 = 1 + 2 = 3 $
$ x_2 - 2 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2} $
$ HJ = (x_1+2)+(x_2-2)=3 + (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{2} $
$ HK = (x_1+2).(x_2-2) = 3 . (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} $
*). Menyusun PKB :
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - \left(\frac{5}{2} \right)x + \left(-\frac{3}{2} \right) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2x^2 - 5x -3 & = 0 \end{align} $
Jadi, PK barunya adalah $ 2x^2 - 5x -3 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma Simak UI 2019 Matematika Dasar kode 521

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi $ {}^4 \log x - {}^x \log 16 = \frac{7}{6} - {}^x \log 8 $ , nilai $ x_1 . x_2 $ adalah ....
A). $ \sqrt[3]{2} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ 2\sqrt[3]{2} \, $ D). $ 2\sqrt{3} \, $ E). $ 4\sqrt[3]{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar

*). Definisi Logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $

*). Sifat Logaritma :
1). $ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
2). $ {}^{a^m} \log b = \frac{1}{m} \log b $
3). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $

*). Sifat Eksponen :
1). $ a^m . a^n = a^{m+n} $
2). $ a^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Mengubah persamaan logaritma yang diketahui :
$\begin{align} {}^4 \log x - {}^x \log 16 & = \frac{7}{6} - {}^x \log 8 \\ {}^{2^2} \log x - {}^x \log 16 + {}^x \log 8 & = \frac{7}{6} \\ \frac{1}{2} {}^{2} \log x - ( {}^x \log 16 - {}^x \log 8 ) & = \frac{7}{6} \\ \frac{1}{2} {}^{2} \log x - {}^x \log \frac{16}{8} & = \frac{7}{6} \\ \frac{1}{2} {}^{2} \log x - {}^x \log 2 & = \frac{7}{6} \\ \frac{1}{2} {}^{2} \log x - \frac{1}{{}^2 \log x } & = \frac{7}{6} \end{align} $
*).Misalkan $ {}^2 \log x = p $ , persamaannya menjadi :
$\begin{align} \frac{1}{2} {}^{2} \log x - \frac{1}{{}^2 \log x } & = \frac{7}{6} \\ \frac{1}{2} p - \frac{1}{p} & = \frac{7}{6} \, \, \, \, \, (\times 6p) \\ 3 p^2 - 6 & = 7p \\ 3 p^2 - 7p - 6 & = 0 \\ (3p+2)(p-3) & = 0 \\ p = -\frac{2}{3} \vee p & = 3 \\ p = -\frac{2}{3} \vee p & = 3 \\ \end{align} $
*).Menentukan nilai $ x $ dengan definisi logaritma :
$\begin{align} p = -\frac{2}{3} & \vee p = 3 \\ {}^{2} \log x = -\frac{2}{3} & \vee {}^{2} \log x = 3 \\ x = 2^{-\frac{2}{3}} & \vee x = 2^3 \\ x_1 = 2^{-\frac{2}{3}} & \vee x_2 = 2^3 \end{align} $
*).Menentukan nilai $ x_1. x_2 $ :
$\begin{align} x_1. x_2 & = 2^{-\frac{2}{3}} . 2^3 \\ & = 2^{-\frac{2}{3} + 3} = 2^{-\frac{2}{3} + \frac{9}{3}} = 2^{\frac{7}{3}} \\ & = 2^{2\frac{1}{3}} = 2^{2 + \frac{1}{3}} = 2^2.2^\frac{1}{3} = 4 \sqrt[3]{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1. x_2 = 4 \sqrt[3]{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan eksponen Simak UI 2019 Matematika Dasar kode 521

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 5^{10x} = 1600 $ dan $ 2^{\sqrt{y}} = 25 $ , nilai $ \frac{\left(5^{x-1}\right)^5}{8^{\left(-\sqrt{y}\right)}} $ adalah ...
A). $ 50 \, $ B). $ 100 \, $ C). $ 150 \, $ D). $ 200 \, $ E). $ 250 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen :
1). $ x^n = y \rightarrow x = \sqrt[n]{y} $
2). $ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
3). $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
4). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Mengubah yang diketahui :
$\begin{align} 5^{10x} = 1600 \rightarrow (5^{5x})^2 & = 1600 \\ 5^{5x} & = \pm \sqrt{1600} \\ 5^{5x} & = \pm 40 \\ \text{karena } 5^{5x} > 0 \, , \text{ maka } 5^{5x} & = 40 \\ 2^{\sqrt{y}} = 25 \rightarrow 2^{\sqrt{y}} & = 5^2 \end{align} $
*).Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \frac{\left(5^{x-1}\right)^5}{8^{\left(-\sqrt{y}\right)}} & = \frac{\left(5^{5x-5}\right)}{ \frac{1} { 8^{\sqrt{y} }}} \\ & = 5^{5x-5} \times 8^{\sqrt{y}} \\ & = \frac{5^{5x}}{ 5^5} \times (2^3) ^{\sqrt{y}} \\ & = \frac{5^{5x}}{ 5^5} \times (2 ^{\sqrt{y}} )^3 \\ & = \frac{40}{ 5^5} \times (5^2)^3 \\ & = \frac{40}{ 5^5} \times 5^6 \\ & = 40 \times \frac{5^6}{5^5} \\ & = 40 \times 5^{6-5} \\ & = 40 \times 5^1 \\ & = 40 \times 5 \\ & = 200 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{\left(5^{x-1}\right)^5}{8^{\left(-\sqrt{y}\right)}} = 200 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2019 Matematika Dasar Kode 521


Nomor 1
Jika $ 5^{10x} = 1600 $ dan $ 2^{\sqrt{y}} = 25 $ , nilai $ \frac{\left(5^{x-1}\right)^5}{8^{\left(-\sqrt{y}\right)}} $ adalah ...
A). $ 50 \, $ B). $ 100 \, $ C). $ 150 \, $ D). $ 200 \, $ E). $ 250 $
Nomor 2
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi $ {}^4 \log x - {}^x \log 16 = \frac{7}{6} - {}^x \log 8 $ , nilai $ x_1 . x_2 $ adalah ....
A). $ \sqrt[3]{2} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ 2\sqrt[3]{2} \, $ D). $ 2\sqrt{3} \, $ E). $ 4\sqrt[3]{2} \, $
Nomor 3
Diketahui $ f(x) = 2x - 1 $. Jika $ \left( f(x) \right)^2 - 3f(x) + 2 = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 < x_2 $, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ x_1 + 2 $ dan $ x_2 - 2 $ adalah ....
A). $ 2x^2 - 3x + 5 = 0 \, $
B). $ 2x^2 - 3x - 5 = 0 \, $
C). $ 2x^2 - 5x - 3 = 0 \, $
D). $ 2x^2 - 5x + 3 = 0 \, $
E). $ 2x^2 + 5x - 3 = 0 \, $
Nomor 4
Hasil penjumlahan dari $ x, y, $ dan $ z $ yang memenuhi $ 3^{2x+y-z} = \left( \frac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)} $ , $ \log (x-y+z) = \frac{1}{1 + {}^2 \log 5 } $ , dan $ \left| \begin{matrix} x & \frac{1}{2} \\ 2y & 2 \end{matrix} \right| = 2 $
adalah ....
A). $ -\frac{5}{3} \, $ B). $ -\frac{10}{3} \, $ C). $ -\frac{16}{3} \, $ D). $ -\frac{21}{3} \, $ E). $ -\frac{26}{3} \, $
Nomor 5
Hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat $ x $ yang memenuhi $ \frac{(3x^2-4x+1)\sqrt{5-x}}{(x^2+x+1)\sqrt{x+1}} \leq 0 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 \, $

Nomor 6
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) $ , jumlah kuadrat semua nilai $ t $ yang memenuhi $ det (A + 2tB )^{-1} = \frac{1}{10} $ adalah ...
A). $ \frac{9}{2} \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ \frac{13}{2} \, $ E). $ \frac{17}{2} $
Nomor 7

Diberikan $ \Delta $ABC sama sisi, $ BC = 2CD $ , garis DEF tegak lurus AB, dan AG sejajar DF, seperti tampak pada gambar. Jika luas $ \Delta $BDF adalah $ \frac{81}{2}\sqrt{3} $, luas trapesium AGDE adalah ....
A). $ \frac{9}{2}\sqrt{3} \, $ B). $ \frac{27}{2}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{35}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{45}{2}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{63}{2}\sqrt{3} $
Nomor 8
Jika $ a^2 - bc , \, $ $ b^2 - ac , \, $ $ c^2 - ab $ adalah barisan aritmetika dengan $ a + b + c = 18 $ , nilai $ \frac{a+c}{b} $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 9 $
Nomor 9
Jika $ (p^2 - 1)x + y = 0 $ dan $ -2x + (p^2 - 4)y = 0 $ dengan $ x \neq 0 $ dan $ y \neq 0 $ , nilai $ p^2 $ terbesar yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 10
Terdapat sepuluh orang pergi ke tempat wisata dengan mengendarai 3 mobil berkapasitas 4 orang dan tiga orang di antaranya adalah pemilik mobil. Jika setiap mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan di setiap mobil minimal ada satu penumpang selain pengemudi, banyaknya kemungkinan komposisi berbeda untuk menempatkan penumpang di ketiga mobil tersebut adalah ...
A). $ 1190 \, $ B). $ 1050 \, $ C). $ 840 \, $ D). $ 700 \, $ E). $ 560 $

Nomor 11
Jika $ (g^{-1} \circ f^{-1} )(x) = 3x - 1 $ dan $ f(x) = \frac{x-2}{x+1} $ untuk $ x \neq -1 $ , maka $ g(a-2) = .... $
A). $ \frac{-a+9}{a-4} \, $ B). $ \frac{-(a+8)}{a-1} \, $ C). $ \frac{-(a+5)}{a-4} \, $ D). $ \frac{-(a+6)}{a-3} \, $ E). $ \frac{-a+5}{a-3} $
Nomor 12
Terdapat 10 orang pelamar pada suatu perusahaan dan 6 di antaranya adalah wanita. Jika perusahaan tersebut hanya membutuhkan 4 orang karyawan baru, peluang paling banyak 2 wanita akan diterima adalah ...
A). $ \frac{19}{42} \, $ B). $ \frac{10}{21} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{11}{21} \, $ E). $ \frac{23}{42} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = 2x^2 - 3x + 1 $ , $ g(x) = ax+ b $, dan $ (g\circ f)(x-1) = 4x^2 - 14x + 11 $ , maka ....
(1). $ a = 2 $
(2). $ b = -1 $
(3). $ (f \circ g)(1) = 10 $
(4). $ \frac{f(x)}{g(x)} = x+1 $

Ralat pernyataan (3) dan (4) :
(3). $ (f \circ g)(1) = 0 $
(4). $ \frac{f(x)}{g(x)} = x-1 $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f $ dan $ g $ adalah fungsi yang dapat diturunkan di $ R $ sehingga $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h)\left( g(x)-g(x+h) \right)} {(k^2-1)h} = \frac{x^2 - 1}{1 + k } $ dan $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{g(x)\left( f(x)-f(x+h) \right)} {(k^2-1)h} = \frac{x^2 - 1}{1 - k } $ untuk $ k > 1 $ , maka ....
(1). $ (fg)^\prime (0) = 2 $
(2). $ (fg)^\prime (c) = 2(c^2 - 1) $
(3). $ (fg)^\prime (k) = 2(1-k^2) $
(4). $ (fg)^\prime (1) = 0 $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
Jika jangkauan antarkuartil dari data berurutan $x-1$,$\, 2x-1$,$\, 2x$, $\, 3x$,$\, 5x-3$,$\, 4x+2$,$\, 6x+3$ adalah 11 , maka ....
(1). mediannya adalah 10
(2). rata-ratanya adalah 13
(3). kuartil ketiganya adalah 17
(4). jangkauannya adalah 24

Catatan : Pembahasan soal-soal ini akan kita lengkapkan secara bertahap.