Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2019 Matematika Dasar kode 521

Soal yang Akan Dibahas
Hasil penjumlahan dari $ x, y, $ dan $ z $ yang memenuhi $ 3^{2x+y-z} = \left( \frac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)} $ , $ \log (x-y+z) = \frac{1}{1 + {}^2 \log 5 } $ , dan $ \left| \begin{matrix} x & \frac{1}{2} \\ 2y & 2 \end{matrix} \right| = 2 $
adalah ....
A). $ -\frac{5}{3} \, $ B). $ -\frac{10}{3} \, $ C). $ -\frac{16}{3} \, $ D). $ -\frac{21}{3} \, $ E). $ -\frac{26}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar

*). Sifat eksponen :
1). $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
2). $ (a^n)^m = a^{n.m} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ \frac{1}{{}^a \log b} = {}^b \log a $
2). $ {}^a \log a = 1 $
3). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (b.c) $
*). Penulisan basis Log : $ \log b = {}^{10} \log b $
*). Persamaan logaritma :
$ \log f(x) = \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Determinan Matriks :
$ \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| = a.d - b.c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama :
$\begin{align} 3^{2x+y-z} & = \left( \frac{1}{27} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} & = \left( \frac{1}{3^3} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} & = \left( 3^{-3} \right)^{(x-y+2z+2)} \\ 3^{2x+y-z} & = 3^{-3x+3y-6z-6} \\ 2x+y-z & = -3x+3y-6z-6 \\ 5x - 2y + 5z & = -6 \\ 5(x + z) - 2y & = -6 \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Persamaan Kedua :
$\begin{align} \log (x-y+z) & = \frac{1}{1 + {}^2 \log 5 } \\ \log (x-y+z) & = \frac{1}{{}^2 \log 2 + {}^2 \log 5 } \\ \log (x-y+z) & = \frac{1}{{}^2 \log ( 2 \times 5 ) } \\ \log (x-y+z) & = \frac{1}{{}^2 \log 10 } \\ \log (x-y+z) & = {}^{10} \log 2 \\ \log (x-y+z) & = \log 2 \\ x-y+z & = 2 \\ x+z & = y + 2 \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Persamaan Ketiga :
$ \left| \begin{matrix} x & \frac{1}{2} \\ 2y & 2 \end{matrix} \right| = 2 $
$ 2x - 2y. \frac{1}{2} = 2 $
$ 2x - y = 2 \, \, \, $ .... (iii)
*). Substitusi pers(ii) ke (i) :
$\begin{align} 5(x + z) - 2y & = -6 \\ 5(y+2) - 2y & = -6 \\ 5y+10 - 2y & = -6 \\ 3y & = -16 \\ y & = \frac{-16}{3} \end{align} $
*). Substitusi $ y = \frac{-16}{3} $ ke pers (ii) :
$\begin{align} x+z & = y + 2 \\ x+z & = \frac{-16}{3} + 2 \\ x+z & = \frac{-10}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x + y + z $ :
$\begin{align} x + y + z & = (x+z) + y \\ & = \frac{-10}{3} + \frac{-16}{3} = -\frac{26}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y + z = -\frac{26}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Menyusun PKB Simak UI 2019 Matematika Dasar kode 521

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = 2x - 1 $. Jika $ \left( f(x) \right)^2 - 3f(x) + 2 = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 < x_2 $, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ x_1 + 2 $ dan $ x_2 - 2 $ adalah ....
A). $ 2x^2 - 3x + 5 = 0 \, $
B). $ 2x^2 - 3x - 5 = 0 \, $
C). $ 2x^2 - 5x - 3 = 0 \, $
D). $ 2x^2 - 5x + 3 = 0 \, $
E). $ 2x^2 + 5x - 3 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar

*). Menyusun Persamaan Kuadrat Baru (PKB) :
$ \, \, \, \, x^2 - (HJ)x + HK = 0 $
Keterangan :
$ HJ = \, $ hasil jumlah
$ HK = \, $ hasil kali

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ f(x) = 2x - 1 $

*). Menentukan $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
$\begin{align} [f(x)]^2 - 3f(x) + 2 & = 0 \\ [f(x) - 1][f(x) - 2] & = 0 \\ [f(x) - 1] = 0 \vee [f(x) - 2] & = 0 \\ f(x) = 1 \vee f(x) & = 2 \\ 2x - 1 = 1 \vee 2x - 1 & = 2 \\ 2x = 2 \vee 2x & = 3 \\ x = 1 \vee x & = \frac{3}{2} \end{align} $
*). Karena $ x_1 < x_2 $ , maka $ x_1 = 1 $ dan $ x_2 = \frac{3}{2} $.
*). Persamaan kuadrat baru dengan akar-akar $ x_1 + 2 $ dan $ x_2 - 2 $ :
$ x_1 + 2 = 1 + 2 = 3 $
$ x_2 - 2 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2} $
$ HJ = (x_1+2)+(x_2-2)=3 + (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{2} $
$ HK = (x_1+2).(x_2-2) = 3 . (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} $
*). Menyusun PKB :
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - \left(\frac{5}{2} \right)x + \left(-\frac{3}{2} \right) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2x^2 - 5x -3 & = 0 \end{align} $
Jadi, PK barunya adalah $ 2x^2 - 5x -3 = 0 . \, \heartsuit $