Cara 2 Pembahasan Kongruen UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ \Delta $ ABC dan $ \Delta $ KLM kongruen. Jika besar $ \angle A = 65^\circ $ dan $ \angle B = 45^\circ $, $ \angle K = 45^\circ $ dan $ \angle L = 70^\circ $ , pasangan sisi yang sama panjang adalah ....
A). AC = KM
B). AB = KL
C). AB = KM
D). AC = KL

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua bangun kongruen memiliki ciri-ciri :
-). Sudut yang bersesuaian sama besar dan
-). Sisi yang bersesuaian sama panjang.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Karena $ \Delta ABC $ konruen dengan $ \Delta KLM $, maka ketiga sudut yang bersesuaian sama besar.
-). $\Delta ABC $ , $ \angle A = 65^\circ , \angle B = 45^\circ $ , dan $ \angle C = 70^\circ $ (bersesuaian dengan $ \Delta KLM$).
-). $\Delta KLM $ , $ \angle K = 45^\circ , \angle L = 70^\circ $ , dan $ \angle M = 65^\circ $ (bersesuaian dengan $ \Delta KLM$).
(Catatan : Kita tidak perlu menghitung sudut yang belum diketahui karena ketiga sudut yang ada pada masing-masing segitiga yang kongruen pasti dimiliki oleh masing-masing segitiga).
*). Dari kesamaan sudut tersebut dapat kita gambar kedua segitiganya :
 

Sisi-sisi yang sama panjang yaitu :
$ AB = KM \, $ , $ AC = LM \, $ , dan $ BC = KL \, $
Jadi, yang benar dan ada dipilihan adalah $ AB = KM . \, \heartsuit $

Pembahasan Kongruen UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ \Delta $ ABC dan $ \Delta $ KLM kongruen. Jika besar $ \angle A = 65^\circ $ dan $ \angle B = 45^\circ $, $ \angle K = 45^\circ $ dan $ \angle L = 70^\circ $ , pasangan sisi yang sama panjang adalah ....
A). AC = KM
B). AB = KL
C). AB = KM
D). AC = KL

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua bangun kongruen memiliki ciri-ciri :
-). Sudut yang bersesuaian sama besar dan
-). Sisi yang bersesuaian sama panjang.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Karena $ \Delta ABC $ konruen dengan $ \Delta KLM $, maka ketiga sudut yang bersesuaian sama besar.
-). $\Delta ABC $ , $ \angle A = 65^\circ , \angle B = 45^\circ $ , dan $ \angle C = 70^\circ $ (bersesuaian dengan $ \Delta KLM$).
-). $\Delta KLM $ , $ \angle K = 45^\circ , \angle L = 70^\circ $ , dan $ \angle M = 65^\circ $ (bersesuaian dengan $ \Delta KLM$).
(Catatan : Kita tidak perlu menghitung sudut yang belum diketahui karena ketiga sudut yang ada pada masing-masing segitiga yang kongruen pasti dimiliki oleh masing-masing segitiga).
*). Dari kesamaan sudut tersebut dapat kita susun sisi yang panjangnya sama yaitu :
$ AB = KM \, $ karena sudutnya $ 65^\circ $ dan $ 45^\circ $
$ AC = LM \, $ karena sudutnya $ 65^\circ $ dan $ 70^\circ $
$ BC = KL \, $ karena sudutnya $ 45^\circ $ dan $ 70^\circ $
Jadi, yang benar dan ada dipilihan adalah $ AB = KM . \, \heartsuit $

Pembahasan Volume Prisma UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah prisma alasnya jajargenjang dengan panjang alas 18 cm dan tingginya 10 cm. Jika tinggi prisma 15 cm, volume prisma tersebut adalah ....
A). 1.350 cm$^3$
B). 2.700 cm$^3$
C). 3.200 cm$^3$
D). 3.600 cm$^3$

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Volume prisma = Luas alas $ \times $ tinggi.
*). Luas jajargenjang = alas $ \times $ tinggi .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Luas alas :
Alasnya berupa jajargenjang dengan $ a = 18 $ dan $ t = 10 $.
$ \begin{align} \text{Luas alas } & = a \times t = 18 \times 10 \end{align} $
*). Menentukan volume prisma dengan tinggi prisma = 15 cm :
$ \begin{align} \text{Volume Prisma } & = \text{Luas alas } \times \text{tinggi prisma} \\ & = 18 \times 10 \times 15 \\ & = 2.700 \, cm^3 \end{align} $
Jadi, volume prismanya adalah $ 2.700 \, cm^3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Rusuk Prisma UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Amir mempunyai sebuah sangkar burung berbentuk prisma segi-6 beratuan. Setiap rusuk kerangka terbuat dari aluminium. Tinggi sangkar burung 60 cm dan panjang rusuk alas 25 cm. Jika harga 1 meter aluminium Rp20.000,00, biaya pembelian aluminium seluruhnya adalah ....
A). Rp102.000,00
B). Rp120.000,00
C). Rp132.000,00
D). Rp140.000,00

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aplikasi bangun ruang dalam kehidupan sehari-hari :
*). Panjang rusuk prisma segi-$n$ :
-). Misalkan panjang rusuk alas $ = a $, rusuk alas = rusuk tutup, sehingga panjang total rusuk alas dan tutup :
$ = 2 \times n \times a $
-). Misalkan panjang rusuk tegak $ = b $, total rusuk tegak :
$ = n \times b $
-). Sehingga panjang total rusuk prisma segi-$n$ :
panjang total rusuk $ = 2 \times n \times a + n \times b = n( 2a + b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan gambar berikut,
 

Prisma segi-6 artinya $ n = 6 $.
Panjang rusuk alas : $ a = 25 \, $ cm = 0,25 m
Tinggi sangkar = rusuk tegak : $ b = 60 \, $ cm = 0,6 m.
*). Menentukan panjang total rusuk :
$ \begin{align} \text{ panjang total } & = n( 2a + b) \\ & = 6( 2 \times 0,25 + 0,6) \\ & = 6( 0,5 + 0,6) \\ & = 6 \times 1,1 = 6,6 \, m \end{align} $
*). Menentukan harga pembelian aluminium keseluruhannya :
$ = 6,6 \times 20.000 = 132.000 $
Jadi, total harga pembelian adalah Rp132.000 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Balok dicat UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Perhatikan gambar!

Sebuah balok yang tersusun dari kubus-kubus satuan akan dicat seluruh permukaannya. Banyak kubus satuan yang terkena cat pada satu sisi saja adalah ....
A). $ 11 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 18 \, $ D). $ 22 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aplikasi bangun ruang dalam kehidupan sehari-hari, pada soal ini pada kejadian pengecatan sebuah dinding yang berbentuk kotak-kotak. Dari gambar, kita diminta mencari kubus satuan yang hanya tercat salah satu bagian sisinya saja yaitu kubus yang tidak terpakai sebagai pembentuk rusuk baloknya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan gambar berikut,
 

Bagian kubus yang hanya tercat satu sisinya adalah bagian kubus yang ditandai dengan warna merah.
*). Menentukan banyak kubus satuan yang tercat hanya satu sisinya saja :
-). Bagian depan belakang sama
ada $ 3 \times 2 = 6 \, $ kubus
-). Bagian samping kanan kiri sama
ada $ 2 \times 2 = 4 \, $ kubus
-). Bagian atas bawah sama
ada $ 6 \times 2 = 12 \, $ kubus
*). Menentukan total kubus dari semua sisi balok :
$ \begin{align} \text{ total } & = 6 + 4 + 12 = 22 \end{align} $
Jadi, panjang kawat minimal adalah 258 m $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Bidang diagonal UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Perhatikan gambar kubus berikut!

Bidang diagonal yang tegak lurus dengan BCHE adalah ....
A). ABGH $ \, $ B). ADGF $ \, $ C). CDEF $ \, $ D). ACGE $ \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bidang diagonal adalah suatu bidang yang dibatasi oleh sepasang rusuk dan sepasang diagonal bidang (diagonal sisi).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan gambar berikut,
 

Bidang diagonal yang tegak lurus dengan BCHE adalah bidang ADGF.
Jadi, jawabannya adalah bidang diagonal ADGF $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Juring Lingkaran UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas

Sebuah taman berbentuk juring lingkaran seperti tampak pada gambar di atas. Di sekeliling taman akan dipasang pagar kawat 3 kali putaran. Panjang kawat minimal yang diperlukan adalah ....
A). 64 m $ \, $ B). 132 m $ \, $ C). 192 m $ \, $ D). 258 m $ \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus panjang busur lingkaran :
Panjang busur $ = \frac{\text{sudut}}{360^\circ} \times 2 \pi r $
dengan $ r = \, $ jari-jari lingkaran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan gambar berikut,
 

$ OA = OB = r = 21 \, $ m (warna orange).
$ \widehat{AB} = \, $ busur lingkaran (warna hitam).
Keliling taman adalah jumlah dari $ OA + OB + \widehat{AB} $ .
*). Menentukan Keliling taman :
$ \begin{align} \text{keliling } & = OA + OB + \widehat{AB} \\ & = r + r + \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2 \pi r \\ & = 21 + 21 + \frac{1}{3} \times 2 . \frac{22}{7} . 21 \\ & = 42 + 2 . 22 \\ & = 42 + 44 = 86 \end{align} $
*). Menentukan panjang kawat :
Panjang kawat adalah tiga kali putaran, sehingga
$ \begin{align} \text{Panjang kawat } & = 3 \times \text{ keliling taman} \\ & = 3 \times 86 = 258 \end{align} $
Jadi, panjang kawat minimal adalah 258 m $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sudut Lingkaran UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Perhatikan lingkaran dengan pusat O!
Besar $ \angle $ BOC = $ 40^\circ $, besar $ \angle $ ADB = ....
A). $ 80^\circ \, $ B). $ 70^\circ \, $ C). $ 40^\circ \, $ D). $ 20^\circ \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Hubungan sudut keliling dan sudut pusat lingkaran yaitu :
Sudut keliling $ = \frac{1}{2} \times \, $ sudut pusat.
*). Jumlah dua sudut berpelurus $ = 180^\circ $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan gambar pada soal :
$ \angle AOB $ dan $ \angle BOC $ berpelurus,
$ \angle AOB $ adalah sudut pusat dengan sudut kelilingnya adalah $ \angle ADB $.
*). Menentukan $ \angle AOB $ :
$ \begin{align} \angle AOB + \angle BCO & = 180^\circ \\ \angle AOB + 40^\circ & = 180^\circ \\ \angle AOB & = 180^\circ - 40^\circ \\ \angle AOB & = 140^\circ \end{align} $
*). Menentukan sudut ADB :
Sudut pusat : $ \angle AOB $ dan sudut keliling : $ \angle ADB $,
$ \begin{align} \angle ADB & = \frac{1}{2} \times \angle AOB \\ & = \frac{1}{2} \times 140^\circ \\ & = 70^\circ \end{align} $
Jadi, besar $ \angle ADB = 70^\circ . \, \heartsuit $

Pembahasan Unsur Lingkaran UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Perhatikan gambar lingkaran yang berpusat di O berikut!

Daerah yang diarsir merupakan ....
A). Juring
B). busur
C). tali busur
D). tembereng

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pada lingkaran terdapat beberapa unsur yaitu : pusat lingkaran, jari-jari, diameter, busur, tali busur, apotema, juring, dan tembereng.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan gambar berikut ini,
 

Unsur-unsur yang ada pada lingakaran di atas yaitu :
Titik pusat lingkaran adalah titik O,
Diameter : garis AD,
Jari-jari : garis OA, OD, OB, OC,
Nomor 1 : Juring,
Nomor 2 : tembereng,
Nomor 3 : apotema,
Nomor 4 : busur,
Nomor 5 : tali busur.
*). Dari penjelasan di atas, maka dari soal pada gambar, daerah yang di arsir adalah Juring.
Jadi, daerah arsiran adalah juring $. \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Keliling lingkaran adalah 44 cm. Luas lingkaran tersebut adalah ....
A). 77 cm$^2$
B). 154 cm$^2$
C). 616 cm$^2$
D). 1.232 cm$^2$

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus keliling dan luas lingkaran dengan jari-jari $ r $ yaitu :
Keliling $ = 2\pi r $
Luas $ = \pi r^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan jari-jari dari kelilingnya :
$ \begin{align} \text{Keliling } & = 44 \\ 2 \pi r & = 44 \\ 2 . \frac{22}{7} r & = 44 \\ \frac{44}{7} r & = 44 \\ r & = 44 \times \frac{7}{44} = 7 \end{align} $
*). Menentukan luas lingkarannya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \pi r^2 \\ & = \frac{22}{7} . 7 . 7 \\ & = 22. 7 \\ & = 154 \end{align} $
Jadi, luas lingkarannya adalah 154 cm$^2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pythagoras UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Perhatikan gambar dan pernyataan-pernyataan di bawah ini!
i. $ x^2 + y^2 = z^2 $
ii. $ x^2 - y^2 = z^2 $
iii. $ z^2 - y^2 = x^2 $
iv. $ z^2 + y^2 = x^2 $
Pernyataan yang benar adalah ....
A). i dan ii
B). i dan iii
C). ii dan iii
D). ii dan iv

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pada segitiga siku-siku berlaku teorema Pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan gambar pada soal di atas, sisi miring segitiga siku-sikunya adalah $ z $ , sehingga berlaku :
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = z^2 \end{align} $
-). Dari bentuk $ x^2 + y^2 = z^2 $ juga bisa kita ubah menjadi :
$ z^2 - x^2 = y^2 \, $ atau $ z^2 - y^2 = x^2 $.
-). Berdasarkan ketiga bentuk ini, maka pernyataan yang benar pada soal adalah (i) dan (iii).
Jadi,yang benar adalah (i) dan (iii) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Pengubinan UN SMP 2017 Matematika Paket 1

Soal yang Akan Dibahas
Lantai suatu gedung pertemuan yang sedang dibangun mempunyai panjang 22 m dan lebar 16 m. Jika pemborongnya menggunakan ubin dengan ukuran 50 cm $ \times $ 50 cm untuk menutupi lantai, banyak ubin yang diperlukan adalah ....
A). 1.280 buah
B). 1.408 buah
C). 1.600 buah
D). 2.200 buah

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan banyaknya ubin yang diperlukan, cukup kita bagi luas lantai dengan luas ubin.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan luas lantai dan luas ubin
Luas lantai $ = 22 \, m \times 16 \, m = 2200 \, cm \times 1600 \, cm = 3.520.000\, cm^2 $
Luas 1 ubin $ = 50 \, cm \times 50 \, cm = 2.500 \, cm^2 $
*). Menentukan banyak jumlah ubin :
$ \begin{align} \text{banyak ubin } & = \frac{\text{Luas lantai}}{\text{Luas ubin}} \\ & = \frac{3.520.000}{2.500} = 1.408 \end{align} $
Jadi, banyak ubin yang dibutuhkan adalah $ 1.408 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Mutlak SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} < 1 \, $ adalah ....
A). $ x < 0 \, $
B). $ -2 < x < 2 $
C). $ 0 < x < 4 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ x > 4 $
E). $ x > 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, salah satu cara yaitu menggunakan metode substitusi angka (metode SUKA).

$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=5 \Rightarrow \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} & < 1 \\ \frac{|5-2|+5}{2 - |5-2|} & < 1 \\ \frac{3+5}{2 - 3} & < 1 \\ \frac{8}{-1} & < 1 \\ -8 & < 1 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= 5 $ BENAR, opsi yang salah adalah A, B dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= -1 \Rightarrow \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} & < 1 \\ \frac{|-1-2|+(-1)}{2 - |-1-2|} & < 1 \\ \frac{3-1}{2 - 3} & < 1 \\ \frac{2}{-1} & < 1 \\ -2 & < 1 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= -1 $ BENAR, opsi yang salah adalah E.
Sehingga yang benar adalah opsion D (yang tersisa).
Jadi, solusinya adalah $ x < 0 \, $ atau $ x > 4 . \, \heartsuit$

Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} < 1 \, $ adalah ....
A). $ x < 0 \, $
B). $ -2 < x < 2 $
C). $ 0 < x < 4 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ x > 4 $
E). $ x > 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Mutlak
*). Definisi Nilai Mutlak
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x), & f(x) \geq 0 \\ & \, \text{ atau } \\ -f(x), & f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah nilai mutlak $ |x-2| $ berdasarkan definisi mutlak :
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2, & x-2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2 \\ & \, \text{ atau } \\ -(x-2), & x - 2 < 0 \rightarrow x < 2 \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |x - 2 | $ dibagi menjadi dua berdasarkan batas nilai $ x $ yaitu $ x \geq 2 $ atau $ x < 2 $.
*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan batas $ x $ :
-). Untuk $ x \geq 2 $ , maka $ |x-2| = x - 2 $
$ \begin{align} \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} & < 1 \\ \frac{x-2+x}{2 - (x-2)} - 1 & < 0 \\ \frac{2x-2 }{2 - x + 2} - 1 & < 0 \\ \frac{2x-2 }{ - x + 4} - 1 & < 0 \\ \frac{2x-2 }{ - x + 4} - \frac{ - x + 4 }{ - x + 4} & < 0 \\ \frac{3x-6 }{ - x + 4} & < 0 \end{align} $
-). Akar-akarnya :
Pembilang : $ 3x-6 = 0 \rightarrow x = 2 $
Penyebut : $ - x + 4 = 0 \rightarrow x = 4 $
garis bilangan pertama :
 

Karena $ x \geq 2 $ , solusi pertama : HP1 = $ \{ x > 4 \} $
-). Untuk $ x < 2 $ , maka $ |x-2| = -(x - 2) = 2 - x $
$ \begin{align} \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} & < 1 \\ \frac{2-x+x}{2 - (2-x)} - 1 & < 0 \\ \frac{2}{2 + x -2} - 1 & < 0 \\ \frac{2 }{ x } - 1 & < 0 \\ \frac{2}{x} - \frac{ x}{ x} & < 0 \\ \frac{2-x}{ x} & < 0 \end{align} $
-). Akar-akarnya :
Pembilang : $ 2 - x = 0 \rightarrow x = 2 $
Penyebut : $ x = 0 $
garis bilangan kedua :
 

Karena $ x < 2 $ , maka solusi kedua : HP2 = $ \{ x < 0 \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari HP1 dan HP2 (atau sesuai definisi mutlak).
HP $ = \{ x < 0 \vee x > 4 \} \, $ .
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < 0 \vee x > 4 \} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Sistem SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Sistem persamaan $ x + 2y = a $ , $ 2x + 3y = b $ , dan $ 5x + 8y = c $ memiliki solusi untuk $ c = .... $
A). $ -a + 2b \, $
B). $ a - 2b \, $
C). $ a + 2b \, $
D). $ 2a - b \, $
E). $ 2a + b \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan kita gunakan metode eliminasi atau substitusi atau metode gabungan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk cara kedua ini, kita tidak perlu mencari nilai $ x $ dan $ y $ terlebih dahulu, namun langsng kita modifikasi sistem persamaannya sehingga kita peroleh bentuk yang diminta.
*). Diketahui tiga persamaan :
$ x + 2y = a \, $ ...pers(i)
$ 2x + 3y = b \, $ ...pers(ii)
$ 5x + 8y = c \, $ ...pers(iii)
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + 2y = a & \times 1 & x + 2y = a & \\ 2x + 3y = b & \times 2 & 4x + 6y = 2b & + \\ \hline & & 5x + 8y = a + 2b & \end{array} $
*). Perhatikan bentuk $ 5x + 8y = a + 2b $ , dimana $ 5x + 8y = c $ , shingga $ c = a + 2b $.
Jadi, nilai $ c = a + 2b. \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Sistem persamaan $ x + 2y = a $ , $ 2x + 3y = b $ , dan $ 5x + 8y = c $ memiliki solusi untuk $ c = .... $
A). $ -a + 2b \, $
B). $ a - 2b \, $
C). $ a + 2b \, $
D). $ 2a - b \, $
E). $ 2a + b \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan kita gunakan metode eliminasi atau substitusi atau metode gabungan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui tiga persamaan :
$ x + 2y = a \, $ ...pers(i)
$ 2x + 3y = b \, $ ...pers(ii)
$ 5x + 8y = c \, $ ...pers(iii)
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + 2y = a & \times 2 & 2x + 4y = 2a & \\ 2x + 3y = b & \times 1 & 2x + 3y = b & - \\ \hline & & y = 2a - b & \end{array} $
Pers(i):
$ x + 2y = a \rightarrow x + 2(2a-b) = a \rightarrow x = -3a + 2b $
*). Menentukan hasil $ c $ :
$ \begin{align} c & = 5x + 8y \\ & = 5(-3a + 2b) + 8(2a - b) \\ & = -15a + 10b + 16a -8b \\ & = a + 2b \end{align} $
Jadi, nilai $ c = a + 2b. \, \heartsuit $

Pembahasan Limit SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{bx^2 + 15x + 15 + b }{x^2 + x - 2} \, $ ada, maka nilai $ b $ dan nilai lmit tersebut berturut-turut adalah ....
A). 1 dan 0
B). 1 dan 1
C). 3 dan $ -1 $
D). 3 dan 1
E). 5 dan 0

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*).Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(k)}{0} $ ada jika $ f(k) = 0 $ yang kita sebut sebagai limit bentuk tak tentu yang hasilnya $ \frac{0}{0} $.
*). Penerapan turunan (Dalil L'Hopital) :
Limit bentuk tak tentu dapat diselesaikan dengan turunan sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $ yaitu : $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.
*). Selain menggunakan turunan, bisa juga menggunakan pemfaktoran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ b $ :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{bx^2 + 15x + 15 + b }{x^2 + x - 2} \\ & = \frac{b.(-2)^2 + 15.(-2) + 15 + b }{(-2)^2 + (-2) - 2} \\ & = \frac{4b -30 + 15 + b }{4 - 2 - 2} \\ & = \frac{5b -15}{0} \end{align} $
Agar limitnya ada, maka hasilnya harus bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ , sehingga :
$ \frac{5b -15}{0} = \frac{0}{0} \rightarrow 5b - 15 = 0 \rightarrow b = 3 $.
*). Menentukan hasil limitnya dengan $ b = 0 $ dan dalil L'Hopital :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{bx^2 + 15x + 15 + b }{x^2 + x - 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 15x + 15 + 3 }{x^2 + x - 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 15x + 18 }{x^2 + x - 2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{6x + 15}{2x + 1} \\ & = \frac{6.(-2) + 15}{2.(-2) + 1} \\ & = \frac{3}{-3} = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ b $ dan limitnya adalah 3 dan $ -1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama adalah 6, 4, 8, 5, dan 7. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada 10 dan rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terkahir yang mungkin ada sebanyak ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata ($\overline{X}$)
$ \overline{X} = \frac{\text{jmlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $
*). Median (Me) = nilai tengah.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilai terakhir ujiannya adalah $ a $, sehingga rata-rata nilai keseluruhan :
$ \overline{X} = \frac{6 + 4 + 8 + 5 + 7 + a}{6} = \frac{30+a}{6} = \frac{30}{6} + \frac{a}{6} = 5 + \frac{a}{6} $
*). semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada 10, artinya $ 0 < a < 10 $.
*). Data kita urutkan menjadi : 4, 5, 6, 7, 8 dan $ a $ mengikuti.
*). Syarat : rata-rata kurang dari median atau $ \overline{X} < Me $.
*). Ada tiga kemungkinan nilai median yang terbentuk
-). Untuk $ a \leq 5 \rightarrow Me = \frac{5 + 6}{2} = 5,5 $
$ \overline{X} < Me \rightarrow 5 + \frac{a}{6} < 5,5 \rightarrow \frac{a}{6} < 0,5 \rightarrow a < 3 $
Nilai $ a $ yang memenuhi $ a = \{ 1, 2 \} $
-). Untuk $ a = 6 \rightarrow Me = \frac{6 + 6}{2} = 6 $
$ \overline{X} < Me \rightarrow 5 + \frac{6}{6} < 6 \rightarrow 6 < 6 \, $ (SALAH)
Nilai $ a = 6 $ tidak memenuhi syarat.
-). Untuk $ a \geq 7 \rightarrow Me = \frac{6 + 7}{2} = 6,5 $
$ \overline{X} < Me \rightarrow 5 + \frac{a}{6} < 6,5 \rightarrow \frac{a}{6} < 1,5 \rightarrow a < 9 $
Nilai $ a $ yang memenuhi $ a = \{ 7, 8 \} $
Sehingga nilai $ a $ keseluruhan adalah $ a = \{1, 2, 7, 8\} $.
Jadi, nilai akhir yang mungkin ada sebanyak $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bangun datar SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, lengkungan BD dan BE berturut-turut adalah busur lingkaran yang berpusat di C dan A seperti pada gambar. Jika $ AB = BC = 2 $ , maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$.
A). $ 4 - \pi \, $ B). $ 2 - \pi \, $ C). $ 2 \, $
D). $ 2 + \pi \, $ E). $ 4 + \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas juring lingkaran :
Luas $ = \frac{\text{sudut}}{360^\circ} \times \pi r^2 $ ,
Sehingga luas seperempat lingkaran yaitu :
Luas seperempat lingkaran $ = \frac{90^\circ}{360^\circ} \pi r^2 = \frac{1}{4}\pi r^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Dengan membuat garis bantuan sehingga terbentuk persegi dan menggeser daerah arsiran bagian kanan bawah ke atas, maka terbentuk daerah arsiran diluar seperempat lingkaran di dalam persegi. Luas daerah yang diarsir adalah luas persegi dikurangi luas seperempat luas lingkaran dengan $ r = 2 $.
*). Menyusun Luas daerah arsiran :
$ \begin{align} \text{Luas arsiran } & = \text{Luas persegi} - \text{Luas seperempat lingkaran} \\ & = 2.2 - \frac{1}{4}. \pi . 2^2 \\ & = 4 - \pi \end{align} $
Jadi, luas arsiran adalah $ 4 - \pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ U_k $ dan $ S_k $ berturut-turut menyatakan suku ke-$k$ dan jumlah $ k $ suku pertama suatu barisan aritmetika. Jika $ U_2 + U_4 + U_6+U_8 + U_{10}+U_{12} = 72 $, maka $ S_{13} = .... $
A). $ 81 \, $ B). $ 144 \, $ C). $ 156 \, $ D). $ 194 \, $ E). $ 312 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). RUmus suku ke-$n $ : $ U_n = a + (n-1)b $
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama : $ S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan dalam $ a $ dan $ b $ :
$ \begin{align} U_2 + U_4 + U_6+U_8 + U_{10}+U_{12} & = 72 \\ (a + b) + (a + 3b) + (a + 5b) + & \\ (a + 7b) + (a + 9b) +(a + 11b) & = 72 \\ 6a + 36b & = 72 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 2a + 12b & = 24 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ S_{13} $ berdasarka $ 2a + 12b = 24 $ :
$ \begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ S_{13} & = \frac{13}{2}(2a+(13-1)b) \\ & = \frac{13}{2}(2a+12b) \\ & = \frac{13}{2}(24) \\ & = 13 . 12 = 156 \end{align} $
Jadi, nilai $ S_{13} = 156 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ A = \left( \begin{matrix} 8 & a \\ a & 1 \end{matrix} \right) $ , $ B = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ b & 1 \end{matrix} \right) $ , dan C adalah matriks berukuran $ 2 \times 2 $ yang mempunyai invers. Jika AC dan BC tidak memiliki invers, maka $ 3a^2 + 4b^3 = .... $
A). $ 16 \, $ B). $ 20 \, $ C). $ 24 \, $ D). $ 28 \, $ E). $ 36 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ adalah $ det(A) = |A| = ad -bc $
*). Sifat determinan : $ |AB| = |A|. |B| $
*). Syarat Matriks A tidak mempunyai invers yaitu $ |A| = 0 $.
*). Syarat Matriks C mempunyai invers yaitu $ |C| \neq 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks C mempunyai invers sehingga $ |C| \neq 0 $
$ A = \left( \begin{matrix} 8 & a \\ a & 1 \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = 8 - a^2 $
$ B = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ b & 1 \end{matrix} \right) \rightarrow |B| = 1 - (-b) = 1 + b $
*). AC tidak memeiliki invers, maka :
$ \begin{align} |AC| & = 0 \rightarrow |A|.|C| = 0 \end{align} $
Karena $ |C| \neq 0 $ , maka haruslah $ |A| = 0 $ ,
$ |A| = 0 \rightarrow 8 - a^2 = 0 \rightarrow a^2 = 8 $
*). BC tidak memeiliki invers, maka :
$ \begin{align} |BC| & = 0 \rightarrow |B|.|C| = 0 \end{align} $
Karena $ |C| \neq 0 $ , maka haruslah $ |B| = 0 $ ,
$ |B| = 0 \rightarrow 1 - (-b) = 0 \rightarrow b = -1 $
*). Menentukan nilai $ 3a^2 + 4b^3 $ :
$ \begin{align} 3a^2 + 4b^3 & = 3.8 + 4.(-1)^3 \\ & = 24 - 4 \\ & = 20 \end{align} $
Jadi, nilai $ 3a^2 + 4b^3 = 20 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pecahan SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{x}{x-3} \leq \frac{x+3}{x+2} \, $ adalah ....
A). $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ x > 3 \, $
B). $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ -2 < x < 3 \, $
C). $ -\frac{9}{2} < x < -2 \, $ atau $ x > 3 \, $
D). $ -\frac{9}{2} \leq x < 3 \, $
E). $ x < -3 \, $ atau $ -2 < x < 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Salah satu cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah dengan metode substitusi angka (Metode SUKA).

$\clubsuit $ Pembahasan
$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \frac{x}{x-3} & \leq \frac{x+3}{x+2} \\ \frac{0}{0-3} & \leq \frac{0+3}{0+2} \\ 0 & \leq \frac{3}{2} \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=0$ BENAR, opsi yang salah adalah A dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= -4 \Rightarrow \frac{x}{x-3} & \leq \frac{x+3}{x+2} \\ \frac{-4}{-4-3} & \leq \frac{-4+3}{-4+2} \\ \frac{-4}{-7} & \leq \frac{-1}{-2} \\ \frac{4}{7} & \leq \frac{1}{2} \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= -4 $ SALAH, opsi yang salah adalah D dan E.
Sehingga opsi yang benar adalah B (yang tersisa).
Jadi, solusinya $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ -2 < x < 3 . \heartsuit$

Pembahasan Pertidaksamaan Pecahan SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{x}{x-3} \leq \frac{x+3}{x+2} \, $ adalah ....
A). $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ x > 3 \, $
B). $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ -2 < x < 3 \, $
C). $ -\frac{9}{2} < x < -2 \, $ atau $ x > 3 \, $
D). $ -\frac{9}{2} \leq x < 3 \, $
E). $ x < -3 \, $ atau $ -2 < x < 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan yaitu :
i). Nolkan ruas kanan,
ii). Samakan penyebut dan operasikan kedua pecahan,
iii). Carilah akar-akar pembilang dan penyebutnya,
iv). Buat garis bilangan, dan tentukan tanda setiap daerah (+ atau -),
v). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat bentuk pecahan adalah akar penyebutnya tidak boleh menjadi solusi (tidak ikut) karena penyebut pecahan tidak boleh bernilai nol.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar
$ \begin{align} \frac{x}{x-3} & \leq \frac{x+3}{x+2} \\ \frac{x}{x-3} - \frac{x+3}{x+2} & \leq 0 \\ \frac{x(x+2)}{(x-3)(x+2)} - \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)} & \leq 0 \\ \frac{x^2 + 2x}{(x-3)(x+2)} - \frac{x^2 - 9}{(x-3)(x+2)} & \leq 0 \\ \frac{(x^2 + 2x)-(x^2 - 9)}{(x-3)(x+2)} & \leq 0 \\ \frac{2x + 9}{(x-3)(x+2)} & \leq 0 \end{align} $
-). akar-akar pembilanganya :
$ 2x + 9 = 0 \rightarrow x = -\frac{9}{2} $
-). akar-akar penyebutnya :
$ (x-3)(x+2) = 0 \rightarrow x = 3 \vee x = -2 $ (akar penyebut tidak ikut).
garis bilangannya :
 

Himpunan penyelesaiannya adalah $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ -2 < x < 3 $.
Jadi, solusinya adalah $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ -2 < x < 3 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan PK SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Jika akar-akar $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ dan $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ saling berkebalikan, maka $ b - a = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
*). Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ \frac{1}{x_1} $ dan $ \frac{1}{x_2} $
adalah $ cx^2 + bx + a = 0 $
($a$ dan $ c $ ditukarkan saja).
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ dan $ cx^2 + bx + a = 0 $ dikatakan saling berkebalikan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK1 $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ saling berkebalikan dengan PK2 $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ , artinya PK2 memiliki akar-akar $ \frac{1}{x_1} $ dan $ \frac{1}{x_2} $. Sehingga jika pada PK1 nilai $ a $ dan $ c $ kita tukarkan maka akan sama dengan PK2.
*). PK1 : $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ kita tukar $ a $ dan $ c $ sehingga kita peroleh $ -2x + ax + 3 = 0 $ dimana bentuk ini sama dengan PK2. Kita kalikan $(-1)$ dulu agar koefisien $ x^2 $ menjadi positif yaitu $ 2x^2 - ax - 3 = 0 $.
*). Karena bentuk $ 2x^2 - ax - 3 = 0 $ sama dengan PK2 $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ , maka kita peroleh nilai :
$ -a = 6 \rightarrow a = -6 $
$ 3b = -3 \rightarrow b = -1 $.
Sehingga nilai $ b - a = -1 - (-6) = 5 $
Jadi, nilai $ b - a = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 350

Soal yang Akan Dibahas
Jika akar-akar $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ dan $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ saling berkebalikan, maka $ b - a = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK1 $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ saling berkebalikan dengan PK2 $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ , artinya PK2 memiliki akar-akar $ \frac{1}{x_1} $ dan $ \frac{1}{x_2} $. Untuk memudahkan, kita misalkan saja akar-akar PK2 adalah $ y_1 = \frac{1}{x_1} $ dan $ y_2=\frac{1}{x_2} $.
*). PK1 : $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-a}{3} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{-2}{3} $.
*). PK2 : $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $
-). Operasi penjumlahannya :
$\begin{align} y_1 + y_2 & = \frac{-6}{2} \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} & = -3 \\ \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} & = -3 \\ \frac{\frac{-a}{3}}{\frac{-2}{3}} & = -3 \\ \frac{a}{2} & = -3 \\ a & = -6 \end{align} $
-). Operasi perkalian :
$\begin{align} y_1 . y_2 & = \frac{3b}{2} \\ \frac{1}{x_1} .\frac{1}{x_2} & = \frac{3b}{2} \\ \frac{1}{x_1.x_2} & = \frac{3b}{2} \\ \frac{1}{\frac{-2}{3} } & = \frac{3b}{2} \\ \frac{-3}{2} & = \frac{3b}{2} \\ b & = -1 \end{align} $
Sehingga nilai $ b - a = -1 - (-6) = 5 $
Jadi, nilai $ b - a = 5 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2016 Matematika Dasar Kode 350


Nomor 1
Jika akar-akar $ 3x^2 + ax - 2 = 0 $ dan $ 2x^2 + 6x + 3b = 0 $ saling berkebalikan, maka $ b - a = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $
Nomor 2
Jika $ A^{2x} = 2 $, maka $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = .... $
A). $\frac{31}{18} \, $ B). $\frac{31}{9} \, $ C). $ \frac{32}{18} \, $ D). $ \frac{33}{9} \, $ E). $ \frac{33}{18} $
Nomor 3
Suatu garis yang melalui titik $(0,0)$ membagi persegipanjang dengan titik-titik sudut (1,2), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ \frac{12}{5} \, $ E). $ 3 $
Nomor 4
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{x}{x-3} \leq \frac{x+3}{x+2} \, $ adalah ....
A). $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ x > 3 \, $
B). $ x \leq -\frac{9}{2} \, $ atau $ -2 < x < 3 \, $
C). $ -\frac{9}{2} < x < -2 \, $ atau $ x > 3 \, $
D). $ -\frac{9}{2} \leq x < 3 \, $
E). $ x < -3 \, $ atau $ -2 < x < 3 \, $
Nomor 5
Jika grafik fungsi $ y = x^2 - (9+a)x + 9a \, $ diperoleh dari grafik fungsi $ y = x^2 - 2x - 3 \, $ melalui pencerminan terhadap garis $ x = 4 $ , maka $ a = .... $
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ -5 \, $ E). $ -7 \, $
Nomor 6
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasal dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil diatur bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ....
A). $ 144 \, $ B). $ 108 \, $ C). $ 72 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 35 $
Nomor 7
Jika $ f(x^2) = x \, $ dan $ g\left( \frac{x+1}{x} \right) = x $ , $ x > 0 $ , maka $ (g \circ f)(4) = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 8
Jika fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers dan memenuhi $ f(x) = g(4 - 2x) $, maka $ f^{-1}(x) = .... $
A). $ g^{-1}(4-2x) \, $ B). $ g^{-1}\left( 2 - \frac{x}{2} \right) \, $
C). $ 4 - 2g^{-1}(x) \, $ D). $ 2 - \frac{ g^{-1}(x) }{2} \, $
E). $ 4 - \frac{ g^{-1}(x) }{2} $
Nomor 9
Diketahui $ A = \left( \begin{matrix} 8 & a \\ a & 1 \end{matrix} \right) $ , $ B = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ b & 1 \end{matrix} \right) $ , dan C adalah matriks berukuran $ 2 \times 2 $ yang mempunyai invers. Jika AC dan BC tidak memiliki invers, maka $ 3a^2 + 4b^3 = .... $
A). $ 16 \, $ B). $ 20 \, $ C). $ 24 \, $ D). $ 28 \, $ E). $ 36 $
Nomor 10
Misalkan $ U_k $ dan $ S_k $ berturut-turut menyatakan suku ke-$k$ dan jumlah $ k $ suku pertama suatu barisan aritmetika. Jika $ U_2 + U_4 + U_6+U_8 + U_{10}+U_{12} = 72 $, maka $ S_{13} = .... $
A). $ 81 \, $ B). $ 144 \, $ C). $ 156 \, $ D). $ 194 \, $ E). $ 312 $
Nomor 11
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, lengkungan BD dan BE berturut-turut adalah busur lingkaran yang berpusat di C dan A seperti pada gambar. Jika $ AB = BC = 2 $ , maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$.
A). $ 4 - \pi \, $ B). $ 2 - \pi \, $ C). $ 2 \, $
D). $ 2 + \pi \, $ E). $ 4 + \pi $
Nomor 12
Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian pertama adalah 6, 4, 8, 5, dan 7. Jika semua nilai dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada 10 dan rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya, maka nilai ujian terkahir yang mungkin ada sebanyak ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 $
Nomor 13
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{bx^2 + 15x + 15 + b }{x^2 + x - 2} \, $ ada, maka nilai $ b $ dan nilai lmit tersebut berturut-turut adalah ....
A). 1 dan 0
B). 1 dan 1
C). 3 dan $ -1 $
D). 3 dan 1
E). 5 dan 0
Nomor 14
Sistem persamaan $ x + 2y = a $ , $ 2x + 3y = b $ , dan $ 5x + 8y = c $ memiliki solusi untuk $ c = .... $
A). $ -a + 2b \, $
B). $ a - 2b \, $
C). $ a + 2b \, $
D). $ 2a - b \, $
E). $ 2a + b \, $
Nomor 15
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{|x-2|+x}{2 - |x-2|} < 1 \, $ adalah ....
A). $ x < 0 \, $
B). $ -2 < x < 2 $
C). $ 0 < x < 4 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ x > 4 $
E). $ x > 4 $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ ax + y = 4, \, x + by = 7 , \, $ dan $ ab = 2 $, maka $ x - y = .... $
A). $ 7a - 4b + 3 \, $
B). $ 7a - 4b - 3 \, $
C). $ 7a + 4b + 3 \, $
D). $ -7a + 4b + 3 \, $
E). $ -7a + 4b - 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan kita gunakan metode eliminasi atau substitusi atau metode gabungan.

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Diketahui empat persamaan :
$ ax + y = 4 \, $ ...pers(i)
$ x + by = 7 \, $ ...pers(ii)
$ ab = 2 \, $ ...pers(iii)
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) dengan $ ab = 2 $ :
-). Menentukan $ x $
$ \begin{array}{c|c|c|cc} ax + y = 4 & \times b & abx + by = 4b & 2x + by = 4b & \\ x + by = 7 & \times 1 & x + by = 7 & x + by = 7 & - \\ \hline & & & x = 4b - 7 & \end{array} $
-). Menentukan $ y $
$ \begin{array}{c|c|c|cc} ax + y = 4 & \times 1 & ax + y = 4 & ax + y = 4 & \\ x + by = 7 & \times a & ax + aby = 7 & ax + 2y = 7a & - \\ \hline & & & -y = 4 - 7a & \\ & & & y = 7a - 4 & \end{array} $
*). Menentukan hasil $ x - y $ :
$ \begin{align} x - y & = (4b - 7) - (7a - 4) \\ & = 4b - 7 - 7a + 4 \\ & = -7a + 4b - 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ x - y = -7a + 4b - 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Dalam suatu kelas terdapat 23 siswa. Rata-rata nilai ujian Matematika mereka adalah 7. Terdapat hanya 2 orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi dan hanya 1 orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang o,1 jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah satu angka, maka jangkauan data nilai yang mungkin adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata :
Rata-rata $ = \frac{\text{Jumlah semua nilai}}{\text{banyaknya nilai}} $
*). Jangkauan = Nilai terbesar $ - $ nilai terkecil

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilai terendahnya adalah $ x $ dan tertingginya adalah $ y $, misalkan jumlah nilai 20 siswa selain satu orang dengan nilai terendah dan dua orang dengan nilai tertinggi (nilai tertingginya sama) adalah $ A_{20} $. Rata-rata 23 siswa adalah 7, maka :
$ \begin{align} \text{rata-rata } & = 7 \\ \frac{x + A_{20} + y + y}{23} & = 7 \\ x + A_{20} + 2y & = 23. 7 \\ x + A_{20} + 2y & = 161 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Jika nilai terendah dan tertinggi tidak diikutkan, berarti tersisa 20 siswa saja dengan jumlah kita misalkan $ A_{20} $ seperti sebelumnya, rata-ratanya berkurang 0,1, sehingga rata-rata 20 siswa tersebut :
$ \begin{align} \text{rata-rata } & = 7 - 0,1 \\ \frac{ A_{20}}{20} & = 6,9 \\ A_{20} & = 20 \times 6,9 \\ A_{20} & = 138 \end{align} $
*). Dari pers(i) dan nilai $ A_{20} = 138 $ :
$ \begin{align} x + A_{20} + 2y & = 161 \\ x + 138 + 2y & = 161 \\ x + 2y & = 161 - 138 \\ x + 2y & = 23 \end{align} $
*). semua nilai adalah bilangan cacah satu angka, artinya nilai terbesarnya adalah 9.
*). Karena rata-rata 23 siswa adalah 7, maka nilai tertinggi yang mungkin (nilai $y$) adalah 8 dan 9, dan nilai terendah yang mungkin harus kurang dari 7. Menentukan nilai terkecil ($x$) yang mungkin :
$ \begin{align} y = 8 \rightarrow x + 2y & = 23 \\ x + 2.8 & = 23 \\ x & = 7 \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \\ y = 9 \rightarrow x + 2y & = 23 \\ x + 2.9 & = 23 \\ x & = 5 \, \, \, \text{(memenuhi)} \end{align} $
yang memenuhi adalah $ x = 5 $ dan $ y = 9 $
Sehingga nilai jangkauannya $ = 9 - 5 = 4 $.
Jadi, nilai jangkauannya adalah $ 4 . \, \heartsuit $