Pembahasan Singgung Parabola UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis $ y = x - \frac{3}{4} $ menyinggung parabola $ y = a - 2x - x^2 $ , maka nilai $ a = .... $
A). $ -\frac{1}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ -1 \, $
D). $ -2 \, $ E). $ -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat garis menyinggung parabola : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Samakan garis dan parabola :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x - \frac{3}{4} & = a - 2x - x^2 \\ x^2 + 3x - a - \frac{3}{4} & = 0 \\ a = 1 , b = 3, c & = - a - \frac{3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ 3^2 - 4.1. \left( - a - \frac{3}{4} \right) & = 0 \\ 9 + 4a + 3 & = 0 \\ 4a + 12 & = 0 \\ 4a & = - 12 \\ a & = -3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Parabola Geometri UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Parabola $ y = kx^2 - \frac{4}{9}x + 1 $ memotong sumbu Y di titik $ (0,p) $ serta memotong sumbu X di titik $ (q,0) $ dan $ (r,0) $. Jika $ p, q, $ dan $ r $ membentuk barisan geometri yang jumlahnya 13, maka nilai $ k = .... $
A). $ 3^{-3} \, $ B). $ 3^{-2} \, $ C). $ 3^{-1} \, $ D). $ 3^0 \, $ E). $ 3^1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Parabola $ y = ax^2 + bx + c $ memotong sumbu X di titik $ (q,0) $ dan $ (r,0) $ , artinya $ q $ dan $ r $ adalah akar-akar dari persamaan parabola tersebut, sehingga berlaku operasi akar yaitu $ q.r = \frac{c}{a} $.
*). $ p, q, r $ membentuk barisan geometri, maka perbandingannya sama yaitu :
$ \frac{q}{p} = \frac{r}{q} \rightarrow pr = q^2 $.
*). Suatu kurva melalui titik tertentu, maka titik tersebut bisa kita substitusi ke persamaan kurvanya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi titik $ (x,y) = (0,p) $ ke parabolanya :
$ \begin{align} y & = kx^2 - \frac{4}{9}x + 1 \\ p & = k.0^2 - \frac{4}{9}.0 + 1 \\ p & = 1 \end{align} $
*). $ q $ dan $ r $ adalah akar-akar dari $ y = kx^2 - \frac{4}{9}x + 1 $ , sehingga :
$ q.r = \frac{c}{a} = \frac{1}{k} \rightarrow k = \frac{1}{qr} \, $ ....(i)
*). $ p, q, r $ membentuk barisan geometri, sehingga :
$ \begin{align} pr & = q^2 \\ 1.r & = q^2 \\ r & = q^2 \end{align} $
Karena $ r = q^2 $ , pers(i): $ k = \frac{1}{qr} = \frac{1}{q.q^2} = q^{-3} $
*). Jumlah $ p,q,r $ adalah 13 :
$ \begin{align} p + q + r & = 13 \\ 1 + q + q^2 & = 13 \\ q^2 + q - 12 & = 0 \\ (q + 4)(q - 3) & = 0 \\ q = -4 \vee q & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ k $ dari pers(i) :
$ \begin{align} q = -4 \rightarrow k & = q^{-3} \\ & = (-4)^{-3} = -(4)^{-3} \\ q = 3 \rightarrow k & = q^{-3} \\ & = 3^{-3} \end{align} $
Sehingga nilai $ k = -(4)^{-3} $ atau $ k = 3^{-3} $
Yang ada di pilihannya adalah $ k = 3^{-3} $.
Jadi, nilai $ k = 3^{-3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sifat Akar UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ a $ agar titik potong parabola $ y = x^2 + ax + a $ dengan sumbu X mengapit titik asal koordinat adalah ....
A). $ -4 < a < 0 $
B). $ a < -4 \, $ atau $ a > 0 $
C). $ a < 0 \, $ atau $ a > 4 $
D). $ 0 < a < 4 $
E). $ a < 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu X dan mengapit titik asal koordinat, artinya fungsi kuadrat memiliki dua akar berbeda dimana ada yang positif dan ada yang negatif. Sehingga syarat agar terpenuhi kondisi ini yaitu :
1). Nilai $ D > 0 \, $ (karena akar berbeda)
2). Nilai $ x_1.x_2 < 0 \, $ (karena positif kali negatif).
Solusi total dari kasus ini adalah irisan dari kedua syarat di atas.
-). RUmus Diskriminan : $ D = b^2 - 4ac $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi kuadratnya : $ y = x^2 + ax + a $
*). Syarat pertama : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ a^2 - 4.1.a & > 0 \\ a^2 - 4a & > 0 \\ a(a - 4) & > 0 \\ a = 0 \vee a & = 4 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Solusi pertamanya : HP1 = $ \{ a < 0 \vee a > 4 \} $.
*). Syarat kedua : $ x_1.x_2 < 0 $
$ \begin{align} x_1.x_2 & < 0 \\ \frac{c}{a} & < 0 \\ \frac{a}{1} & < 0 \\ a & < 0 \end{align} $
Solusi kedua : HP2 = $ \{ a < 0 \} $
*). Solusi totalnya :
$ \begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ a < 0 \vee a > 4 \} \cap \{ a < 0 \} \\ & = \{ a < 0 \} \end{align} $
Jadi, nilai $ a $ adalah $ \{ a < 0 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 4^x + 4^{-x} = 7 $, maka nilai $ 8^x + 8^{-x} = .... $
A). $ 14 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 27 \, $ D). $ 49 \, $ E). $ 81 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat eksponen : $ (a^m)^n = (a^n)^m \, $ dan $ a^m.a^n = a^{m+n} $
*). Rumus bantu :
i). $ a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab $
ii). $ a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita lakukan permisalan untuk memudahkan penghitungan :
Misalkan $ a = 2^x $ dan $ b = 2^{-x} $
Bentuk $ a.b = 2^x.2^{-x} = 2^{x - x} = 2^0 = 1 $
*). Menentukan nilai $ 2^x + 2^{-x} $ :
$ \begin{align} 4^x + 4^{-x} & = 7 \\ (2^2)^x + (2^2)^{-x} & = 7 \\ (2^x)^2 + (2^{-x})^2 & = 7 \\ a^2 + b^2 & = 7 \\ (a + b)^2 - 2ab & = 7 \\ (a + b)^2 - 2.1 & = 7 \\ (a + b)^2 & = 9 \\ a + b & = \sqrt{9} = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 8^x + 8^{-x} $ :
$ \begin{align} 8^x + 8^{-x} & = (2^3)^x + (2^3)^{-x} \\ & = (2^x)^3 + (2^{-x})^3 \\ & = a^3 + b^3 \\ & = (a + b)^3 - 3ab(a + b) \\ & = (3)^3 - 3.1.(3) \\ & = 27 - 9 = 18 \end{align} $
Jadi, nilai $ 8^x + 8^{-x} = 18 . \, \heartsuit $

Pembahasan Kesimpulan Umum UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui premis-premis berikut.
$ \, \, \, $ Premis 1 : Tidak ada mahasiswa pintar yang mengulang ujian
$ \, \, \, $ Premis 2 : sebagian yang mengulang ujian adalah pemalas.
SImpulan dari pernyataan ini adalah ....
A). Sebagian mahasiswa yang pemalas bukanlah mahasiswa pintar
B). Sebagian mahasiswa yang pemalas bukanlah mahasiswa bodoh
C). Sebagian mahasiswa yang bodoh adalah tidak mengulan ujian
D). Sebagian mahasiswa yang pemalas bukanlah mahasiswa pintar
E). Sebagian mahasiswa yang pintar adalah pemalas

$\spadesuit $ Konsep Dasar Penarikan kesimpulan secara umum
*). Penarikan kesimpulan secara umum tidak bisa menggunakan bentuk modus pones atau modus tolens atau silogisme. Kesimpulan umum kita ambil dari fakta pada premis yang ada.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menaksir makna dari setiap premis :
Premis 1 : Tidak ada mahasiswa pintar yang mengulang ujian
Penaksirannya :
-). semua mahasiswa pintar lulus ujian atau tidak ada yang mengulang ujian.
-). mahasiswa yang mengulang ujian pasti selain dari mahasiswa yang pintar.
Premis 2 : sebagian yang mengulang ujian adalah pemalas.
Penaksirannya :
-). beberapa mahasiswa yang mengulang ujian adalah pemalas.
-). mahasiswa yang mengulang ujian bisa dari mahasiswa bodoh (tidak pintar) atau bisa juga dari mahasiswa yang pemalas.

*). Dari kedua premis dan penaksirannya maknanya, dapat kita simpulkan bahwa sebagian mahasiswa yang bodoh adalah tidak mengulan ujian .
Jadi, kesimpulannya : "Sebagian mahasiswa yang bodoh adalah tidak mengulan ujian" $ . \, \heartsuit $

Catatan :
Pilihan A, B, D, dan E memiliki kemiripan makna dimana sulit kita menarik kesimpulan dari kedua premis yang ada.

Pembahasan Modus Ponens UM UNDIP 2017 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui argumen berikut :
1). Amir dan Bima senang Matematika atau Statistika.
2). Amir dan Bima tidak senang Matematika.
Simpulan dari argumen tersebut adalah ....
A). Amir atau Bima senang Stastitika
B). Amir atau Bima senang Statistika dan Matematika
C). Amir dan Bima tidak senang Statistika
D). Amir atau Bima tidak senang Statistika
E). Amir dan Bima senang Statistika.

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logika Matematika : Modus Ponens
*). Berikut bentuk modus Tolens :
$ \begin{array}{c} \sim p \to q \\ \sim p \\ \hline q \end{array} $
*). Bentuk modus ponens di atas bisa diubah menjadi :
$ \begin{array}{c} p \vee q \\ \sim p \\ \hline q \end{array} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita ubah pernyataan dengan memisalkan :
Jika $ \, \underbrace{x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0}_{p} $ , maka $ \, \underbrace{2x^2 + x - 1 > 0}_{q} $
1). $ \, \underbrace{\text{Amir dan Bima senang Matematika}}_{p} \, \, \underbrace{\text{atau}}_{\vee} \, \, \underbrace{\text{ Amir dan Bima senang Statistika}}_{q}$ .
2). $ \, \underbrace{\text{Amir dan Bima tidak senang Matematika}}_{\sim p} $ .
Artinya pernyataan pada soal diubah menjadi :
1). $ p \vee q $
2). $ \sim p $
*). Berdasarkan modus ponens kita peroleh kesimpulan :
$ \begin{array}{c} p \vee q \\ \sim p \\ \hline q \end{array} $
Kesimpulannya adalah $ q $ yaitu Amir dan Bima senang Statistika .
Jadi, kesimpulannya : "Amir dan Bima senang Statistika" $ . \, \heartsuit $