Pembahasan Garis Singgung UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = x^2 + ax + b $ dan $ y = x^3 + (c+1)x + a $ mempunyai garis singgung yang sama di titik $ (1,6) $ , maka $ a + b + c = ...$
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Jika suatu titik dilalui oleh kurva, maka titik tersebut boleh disubstitusikan ke fungsinya.
*). Gradien garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuii kurva $ y = x^2 + ax + b $ dan $ y = x^3 + (c+1)x + a $ mempunyai garis singgung yang sama di titik $ (1,6) $, artinya titik $ (x_1,y_1) = (1,6) $ dilalui oleh kedua kurva sehingga bisa kita substituskan ke persamaan kurvanya.
-). Substitusi $ (1,6) $ ke fungsi $ y = x^2 + ax + b $ :
$\begin{align} y & = x^2 + ax + b \\ 6 & = 1^2 + a.1 + b \\ 6 & = 1 + a + b \\ a + b & = 5 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
-). Substitusi $ (1,6) $ ke fungsi $ y = x^3 + (c+1)x + a $ :
$\begin{align} y & = x^3 + (c+1)x + a \\ 6 & = 1^3 + (c+1).1 + a \\ 6 & = 1 + c + 1 + a \\ a + c & = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Menentukan gradien garis singgung ke masing-masing kurva dengan titik singgung $ (x_1,y_1) = (1,6) $ :
-). Kurva $ y = x^2 + ax + b \rightarrow y^\prime = 2x + a $
$ m_1 = f^\prime (1) = 2.1 + a = 2 + a $
-). Kurva $ y = x^3 + (c+1)x + a \rightarrow y^\prime = 3x^2 + c + 1 $
$ m_2 = f^\prime (1) = 3.1^2 + c + 1 = c + 4 $
-). Karena garis singgungnya cuma satu, maka gradien keduanya sama :
$\begin{align} m_1 & = m_2 \\ 2 + a & = c + 4 \\ a & = c + 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(iii) ke pers(ii) :
$\begin{align} a + c & = 4 \\ (c + 2 ) + c & = 4 \\ 2c & = 2 \\ c & = 1 \end{align} $
Pers(iii) : $ a = c + 2 = 1 + 2 = 3 $
Pers(i) : $ a + b = 5 \rightarrow 3 + b = 5 \rightarrow b = 2 $
*). Menentukan nilai $ a + b + c $ :
$\begin{align} a + b + c & = 3 + 2 + 1 = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b + c = 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^n - 3^n}{x^\frac{n}{3} - 3^\frac{n}{3}} = 3\sqrt[3]{81} $ , maka $ n = ...$
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki penyelesaian $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Bentuk akar : $ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
*). Persamaan eksponen : $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasil limitnya dengan substitusi :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^n - 3^n}{x^\frac{n}{3} - 3^\frac{n}{3}} & = \frac{3^n - 3^n}{3^\frac{n}{3} - 3^\frac{n}{3}} = \frac{0}{0} \end{align} $
Karena hasilnya $ \frac{0}{0}$, maka bisa menggunakan turunan
*). Menentukan nilai $ n $ :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^n - 3^n}{x^\frac{n}{3} - 3^\frac{n}{3}} & = 3\sqrt[3]{81} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{nx^{n-1} - 0}{\frac{n}{3}x^{\frac{n}{3} - 1} - 0} & = 3\sqrt[3]{3^4} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{nx^{n-1} }{\frac{n}{3}x^{\frac{n}{3} - 1} } & = 3. 3^\frac{4}{3} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} 3x^{(n-1) -(\frac{n}{3} - 1)} & = 3. 3^\frac{4}{3} \\ \displaystyle \lim_{x \to 3} 3x^\frac{2n}{3} & = 3. 3^\frac{4}{3} \\ 3 . 3^\frac{2n}{3} & = 3. 3^\frac{4}{3} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 3^\frac{2n}{3} & = 3^\frac{4}{3} \\ \frac{2n}{3} & = \frac{4}{3} \\ n & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ n = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Domain Fungsi UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Domain fungsi $ f(x) = \frac{2x+1+a}{x+a} $ adalah $ \{ x \in R, x \neq -a \} $ . Jika domain $ f^{-1} $ sama dengan domain $ f $ , maka $ a = ...$
A). $ 3 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Domain suatu fungsi $ f(x) $ adalah nilai $ x $ yang bisa kita substitusikan ke fungsi $ f(x) $ dimana nilai fungsinya ada (bisa dihitung).
*). Misalkan ada fungsi $ h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $, maka domain fungsi $ h(x) $ ditulis $ D_h $ adalah $ x $ dimana $ x $ memenuhi $ g(x) \neq 0 $.
*). Invers Fungsi :
$ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \rightarrow f^{-1} (x) = \frac{-dx + b}{cx - a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahu fungsi $ f(x) = \frac{2x+1+a}{x+a} $.
Domain $ f(x) $ yaitu $ D_f =\{ x \neq -a , \, x \in R \} $
Artinya domain $ f(x) $ adalah semua $ x $ kecuali $ x = a $.
*).Mnentukan invers dari fungsi $ f(x) = \frac{2x+1+a}{x+a} $ :
$\begin{align} f(x) & = \frac{2x+(1+a)}{x+a} \\ f^{-1} (x) & = \frac{-ax + 1 + a}{x - 2 } \end{align} $
*). Fungsi $ f^{-1} (x) = \frac{-ax + 1 + a}{x - 2 } $
memiliki domain : $ D_{f^{-1}} =\{ x \neq 2 , \, x \in R \} $
*). Karena domain $ f(x) $ sama dengan domain $ f^{-1} (x) $ , maka :
$\begin{align} -a & = 2 \rightarrow a = -2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = -2 . \, \heartsuit $