Pembahasan Turunan Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \sqrt{1 + \sin ^2 x} $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka $ f^\prime (x) . f(x) $ sama dengan ....
A). $ (1+\sin ^2 x)\sin x \cos x \, $
B). $ (1+\sin ^2 x) \, $
C). $ \sin x \cos x \, $
D). $ \sin x \, $
E). $ \frac{1}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan bentuk akar :
$ y = \sqrt{U} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime }{2\sqrt{U}} $
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin ^n x \rightarrow y^\prime = n . \sin ^{n-1} x . \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} f(x) & = \sqrt{1 + \sin ^2 x} = \sqrt{U} \\ U & = 1 + \sin ^2 x \rightarrow U^\prime = 2 \sin x \cos x \\ f(x) & = \sqrt{U} \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime }{2\sqrt{U}} \\ f^\prime (x) & = \frac{2\sin x \cos x }{2\sqrt{1 + \sin ^2 x} } \\ f^\prime (x) & = \frac{\sin x \cos x }{\sqrt{1 + \sin ^2 x} } \end{align} $
*). Menentukan $ f^\prime (x) . f(x) $ :
$\begin{align} f^\prime (x) . f(x) & = \frac{\sin x \cos x }{\sqrt{1 + \sin ^2 x} } . \sqrt{1 + \sin ^2 x} \\ & = \sin x \cos x \end{align} $
Jadi, bentuk $ f^\prime (x) . f(x) = \sin x \cos x . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Naik UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika diberikan fungsi dengan rumus $ f(x) = x\sqrt{x+1} $, maka daerah dengan fungsi $ f $ naik adalah ....
A). $ -1 \leq x \leq -\frac{2}{3} \, $
B). $ x \leq -1 \, $
C). $ -1 \leq x < -\frac{2}{3} \, $
D). $ x > -\frac{2}{3} \, $
E). $ x > \frac{2}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ naik pada interval $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) > 0 $.
*). Turunan fungsi perkalian dan bentuk akar :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime. V + U . V ^\prime $
$ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{\sqrt{g(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan syarat fungsi naik :
$\begin{align} f(x) & = x\sqrt{x+1} = U.V \\ U & = x \rightarrow U^\prime = 1 \\ V & = \sqrt{x+1} \rightarrow V^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \\ f^\prime (x) & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ & = 1. \sqrt{x+1} + x . \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \\ & = \frac{\sqrt{x+1} . 2\sqrt{x+1} }{2\sqrt{x+1}} + \frac{x}{2\sqrt{x+1}} \\ & = \frac{2(x+1) }{2\sqrt{x+1}} + \frac{x}{2\sqrt{x+1}} \\ f^\prime (x) & = \frac{3x + 2 }{2\sqrt{x+1}} \\ f^\prime (x) & > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(syaratnya)} \\ \frac{3x + 2 }{2\sqrt{x+1}} & > 0 \end{align} $
-). Akar-akar pecahannya :
Pembilang, $ 3x + 2 = 0 \rightarrow x = -\frac{2}{3} $
Penyebut, $ \sqrt{x+1} = 0 \rightarrow x = -1 $
-). Garis bilangannya :
 

HP1 = $ \{ x < -1 \vee x > -\frac{2}{3} \} $ .
*). Dari bentuk $ f^\prime (x) = \frac{3x + 2 }{2\sqrt{x+1}} $, syarat bentuk akar dan penyebutnya adalah :
$ \sqrt{x+1} > 0 \rightarrow \{ x > -1 \} \, $ .....(HP2)
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP 2 \\ & = \{ x < -1 \vee x > -\frac{2}{3} \} \cap \{ x > -1 \} \\ & = \{ x > -\frac{2}{3} \} \end{align} $
Jadi, fungsi naik pada interval $ \{ x > -\frac{2}{3} \} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } x^2 \left( \sec \frac{2}{x} - 1 \right) = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Trigonometri pada limit :
$ 1 - \cos A = \frac{1}{2}(A)^2 $
*). Rumus Trigonometri : $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ y = \frac{1}{x} $ maka $ x = \frac{1}{y} $ ,
Untuk $ x $ menuju $ \infty $ , maka $ y $ menuju $ 0 $.
*). Menyelesaikan Soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x^2 \left( \sec \frac{2}{x} - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y} \right)^2 \left( \sec 2y - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{1}{\cos 2y} - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{1 - \cos 2y}{\cos 2y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{\frac{1}{2}(2y)^2}{\cos 2y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{2y^2}{\cos 2y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{2}{\cos 2y} \right) = \, \frac{2}{\cos 0} = \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } x^2 \left( \sec \frac{2}{x} - 1 \right) = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Limit Trigonometri : $ \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin y }{y} = 1 $
*). Rumus trigonometri :
i). $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $
ii). $ 1 - \cos A = 2\sin \frac{1}{2}A . \sin \frac{1}{2} A $
Sehingga $ 1 - \cos 2y = 2\sin y . \sin y $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ y = \frac{1}{x} $ maka $ x = \frac{1}{y} $ ,
Untuk $ x $ menuju $ \infty $ , maka $ y $ menuju $ 0 $.
*). Menyelesaikan Soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x^2 \left( \sec \frac{2}{x} - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y} \right)^2 \left( \sec 2y - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{1}{\cos 2y} - 1 \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{1 - \cos 2y}{\cos 2y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{1}{y^2} \right) \left( \frac{2\sin y . \sin y}{\cos 2y} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{2}{\cos 2y} \right) \left( \frac{\sin y . \sin y}{y^2} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{2}{\cos 2y} \right) \left( \frac{\sin y}{y}. \frac{\sin y}{y} \right) \\ & = \, \left( \frac{2}{\cos 0} \right) \left( 1 .1 \right) \\ & = \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Kuadrat Geometri UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Akar-akar dari $ x^2+2bx+32=0 $ adalah $ \alpha $ dan $ \beta $ semuanya positif dan $ \beta > \alpha $. Agar $ \alpha , \beta $ dan $ 4 \alpha $ berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga dari deret geometri, maka $ b = .... $
A). $ -6 $ B). $ -4 $ C). $ 2 $ D). $ 4 $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $. Operasi akar-akarnya :
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \alpha . \beta = \frac{c}{a} $.
*). Misalkan $ x , y , z $ membentuk barisan geometri, maka perbandingannya sama (rasio) :
$ \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \rightarrow y^2 = x.z $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK $ x^2 + 2bx + 32 = 0 $, operasi akar-akarnya :
$ \alpha + \beta = -2b \, $ ....(i)
$ \alpha . \beta = 32 \, $ ....(ii)
*). $ \alpha , \beta , 4\alpha \, $ membentuk barisan geometri :
Sehingga perbadingannya sama,
$\begin{align} \beta ^2 & = 4\alpha . \alpha \\ \beta ^2 & = 4\alpha ^2 \\ \beta & = \pm \sqrt{4\alpha ^2 } \\ & = \pm 2\alpha \end{align} $
Karena $ \alpha , \beta $ positif, maka $ \beta = 2\alpha $ yang memenuhi.
*). Substitusi $ \beta = 2\alpha $ ke pers(ii) :
$\begin{align} \alpha . \beta & = 32 \\ \alpha . 2\alpha & = 32 \\ \alpha ^2 & = 16 \\ \alpha & = 4 \end{align} $
Sehingga $ \beta = 2\alpha = 2. 4 = 8 $
*). Menentukan nilai $ b $ dari pers(i) :
$\begin{align} \alpha + \beta & = -2b \\ 4 + 8 & = -2b \\ 12 & = -2b \\ b & = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ b = -6 . \, \heartsuit $