Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 140

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung dari $ f(x) = \sqrt{x + a^2} $ , $ a > 0 $ di $ x = 3a^2 $ sejajar dengan garis $ 2y - 2ax + 5 = 0 $. Jika garis tersebut memotong $ y $ di $ (0,b) $, maka nilai $ b $ adalah ......
A). $ \frac{3}{8} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{5}{8} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x - x_1) $
*). gradien garis $ ax + by = c \rightarrow m = \frac{-a}{b} $
*). Turunan fungsi bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x) }{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi $ x_1 = 3a^2 $ ke fungsinya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{x + a^2} \rightarrow y = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \end{align} $
*). Titik singgungnya adalah $ (x_1,y_1) = (3a^2,2a) $
*). Menentukan turunan dan gradien garis singgungnya di $ x_1 = 3a^2 $ :
$ \begin{align} f(x) & = \sqrt{x + a^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{2\sqrt{x + a^2} } \\ m & = f^\prime (3a^2) \\ m & = \frac{1}{2\sqrt{3a^2 + a^2} } = \frac{1}{4a} \end{align} $
*). Gradien garis $ 2y - 2ax + 5 = 0 \rightarrow m = \frac{-(-2a)}{2} = a $
*). Karena garis singgung sejajar garis $ 2y - 2ax + 5 = 0 $, maka gradiennya sama :
$ \begin{align} m & = \frac{1}{4a} \rightarrow a = \frac{1}{4a} \rightarrow a^2 = \frac{1}{4} \rightarrow a = \pm \frac{1}{2} \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , yang memenuhi $ a = \frac{1}{2} $.
Sehingga nilai $ 2a = 2.\frac{1}{2} = 1 $ dan $ 3a^2 = 3.\frac{1}{4} = \frac{3}{4} $
*). Menyusun PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - 2a & = \frac{1}{2}(x - 3a^2) \\ y - 1 & = \frac{1}{2} \left( x - \frac{3}{4} \right) \end{align} $
*). Substitusi titik $ (0,b) $ yang dilalui oleh garis singgungnya :
$ \begin{align} y - 1 & = \frac{1}{2} \left( x - \frac{3}{4} \right) \\ b - 1 & = \frac{1}{2} \left( 0 - \frac{3}{4} \right) \\ b - 1 & = - \frac{3}{8} \\ b & = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{5}{8} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 140

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = \cos ^3 (4\tan 2x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ -12 \cos ^2 ( 4\tan 2x) . \sin (4\tan 2x) \, $
B). $ -12 \cos ^2 ( 4\tan 2x) . 4\sec ^2 2x \, $
C). $ -24 \cos ^2 ( 4\tan 2x) . \sin (4\tan 2x) . \sec ^2 2x \, $
D). $ -24 \cos ^2 ( 4\tan 2x) . \sin (4\tan 2x) . 4\sec 2x \, $
E). $ 24 \cos ^2 ( 4\tan 2x) . \sin (4\tan 2x) . 4\sec ^2 2x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \sec ^2 g(x) $.
$ y = \cos ^n h(x) \rightarrow y^\prime = -n . h^\prime (x) . \sin h(x) . \cos ^{n-1} h(x) $.
*). Rumus sudut rangkap :
$ 2 \sin A . \cos A = \sin 2A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dari $ f(x) = \cos ^3 (4\tan 2x ) $ :
Misalkan $ h(x) = 4\tan 2x \rightarrow h^\prime (x) = 4.2 \sec ^2 2x = 8\sec ^2 2x $
$\begin{align} f(x) & = \cos ^3 (4\tan 2x) \\ f(x) & = \cos ^3 h(x) \\ f^\prime (x) & = -3. h^\prime (x) . \sin h(x) . \cos ^2 h(x) \\ & = -3. 8\sec ^2 2x . \sin (4\tan 2x ) . \cos ^2 (4\tan 2x ) \\ & = -24\sec ^2 2x . \sin (4\tan 2x ) . \cos ^2 (4\tan 2x ) \\ & = -24 . \cos ^2 (4\tan 2x ). \sin (4\tan 2x ) . \sec ^2 2x \end{align} $
Jadi, $ f^\prime (x) = -24 \cos ^2 (4\tan 2x ) . \sin (4\tan 2x ) . \sec ^2 2x . \, \heartsuit $

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 140

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui asimtot datar fungsi $ f(x)=\frac{\sqrt{ax+1}}{b-\sqrt{a+x}} $ dengan $ a > 0 $ adalah $ y = -2 $ , jika asimtot tegak dari $ f $ adalah $ x = x_1 $ dengan $ ax_1 = 20 $ , maka nilai $ a + b $ adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Terdapat asimtot tegak $ x = a $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan penyebutnya bernilai 0.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{ax+c}}{p- \sqrt{x + d}} = -\sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Salah satu asimtot mendatarnya adalah $ y = -2 $, artinya hasil limitnya adalah $ -2 $.
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{ax+1}}{b-\sqrt{a+x}} & = -2 \\ -\sqrt{a} & = -2 \\ a & = 4 \end{align} $
*). Persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = x_1 $ dengan $ ax_1 = 20 $ :
$\begin{align} ax_1 & = 20 \rightarrow 4x_1 = 20 \rightarrow x_1 = 5 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 5 $ yang kita peroleh pada saat Penyebutnya bernilai 0.
*). Substitusi $ x = 5 $ dan $ a = 4 $ ke penyebutnya yang bernilai 0 :
$\begin{align} b-\sqrt{a+x} & = 0 \\ b-\sqrt{4+5} & = 0 \\ b-3 & = 0 \\ b & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b = 4 + 3 = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 140

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola
$ -16x^2 + 32x + 9y^2-36y - 124 = 0 $ adalah .....
A). $ -4x + 3y = -2 \, $
B). $ -4x + 3y = 10 \, $
C). $ 4x - 3y = -2 \, $
D). $ 4x - 3y = 10 \, $
E). $ 4x + 3y = -2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $
atau persamaan asimtotnya juga dapat dicari dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 0 $
*). Kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{2})^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} -16x^2 + 32x + 9y^2-36y - 124 & = 0 \\ -16(x^2 - 2x) + 9(y^2-4y) & = 124 \\ -16[(x - 1)^2 - 1] + 9[(y-2)^2 - 4] & = 124 \\ -16(x - 1)^2 + 16 + 9(y-2)^2 - 36 & = 124 \\ -16(x - 1)^2 + 9(y-2)^2 & = 124 + 36 - 16 \\ -16(x - 1)^2 + 9(y-2)^2 & = 144 \, \, \, \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{-16(x - 1)^2}{144} + \frac{9(y-2)^2}{144} & = \frac{144}{144} \\ -\frac{ (x - 1)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Artinya : $ p = 1, q = 2, a = 4, b = 3 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{a}{b} (x-p) \\ y-2 & = \pm \frac{4}{3} (x-1) \\ y-2 = \frac{4}{3} (x-1) & \vee y-2 = - \frac{4}{3} (x-1) \\ 3y-6 = 4 (x-1) & \vee 3y-6 = -4(x-1) \\ 3y-6 = 4x - 4 & \vee 3y-6 = -4x + 4 \\ 4x - 3y = -2 & \vee 4x + 3y = 10 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah :
$ 4x - 3y = -2 $ atau $ 4x + 3y = 10 $ .
Jadi, yang ada di option adalah $ 4x - 3y = -2 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Jika teman-teman lupa dengan rumus persamaan asimtotnya, maka dari persamaan hiperbola bakunya, kita ganti 1 dengan 0.
-). Persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} -\frac{ (x - 1)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{16} & = 1 \\ -\frac{ (x - 1)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{16} & = 0 \\ \frac{(y-2)^2}{16} & = \frac{ (x - 1)^2}{9} \\ (y-2)^2 & = \frac{16}{9}(x-1)^2 \\ (y-2) & = \pm \sqrt{\frac{16}{9}(x-1)^2} \\ (y-2) & = \pm \frac{4}{3}(x-1) \end{align} $
(hasilnya sama dengan asimtot di atas).

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 140

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan S beranggotakan semua bilangan bulat positif $ x $ yang memenuhi $ \frac{x^2 + (1 - a)x - a}{(x + 1)(x-4)} < 0 $. Berapakah nilai $ a $ sehingga S memiliki anggota paling banyak?
A). $ 1 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai minimum artinya nilai terkecil.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan bentuk pertidaksamaannya :
$\begin{align} \frac{x^2 + (1 - a)x - a}{(x + 1)(x-4)} & < 0 \\ \frac{(x+1)(x-a)}{(x + 1)(x-4)} & < 0 \\ \frac{(x-a)}{(x-4)} & < 0 \\ \end{align} $
dengan $ x \neq -1 $.
*). Dari bentuk $ \frac{(x-a)}{(x-4)} < 0 \, $ dan $ x \neq -1 $ , maka himpunan penyelesaiannya tergantung dari nilai $ a $ :
-). Jika $ a < 4 $ , maka HP $ = \{ a \leq x < 4 \} $
-). Jika $ a > 4 $ , maka HP $ = \{ 4 < x \leq q \} $
*). Menentukan himpunan S berdasarkan nilai $ a $ :
$ a = 1 \rightarrow HP = \{ 1 \leq x < 4 \} \rightarrow S = \{ 1, 2, 3 \} $
$ a = 3 \rightarrow HP = \{ 3 \leq x < 4 \} \rightarrow S = \{ 3 \} $
$ a = 5 \rightarrow HP = \{ 4 < x \leq 5 \} \rightarrow S = \{ 5 \} $
$ a = 7 \rightarrow HP = \{ 4 < x \leq 7 \} \rightarrow S = \{ 5, 6, 7 \} $
$ a = 9 \rightarrow HP = \{ 4 < x \leq 9 \} \rightarrow S = \{ 5, 6, 7 ,8 , 9 \} $
Artinya S memiliki anggota paling banyak saat $ a = 9 $.
Jadi, S memiliki anggota paling banyak saat $ a = 9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 140

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ m $ dan $ n $ memenuhi
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{m^2} - \frac{2}{n^2} = 2 \\ \frac{3}{m^2} - \frac{4}{n^2} = 8 \\ \end{array} \right. $
maka $ mn = .... $
A). $ \frac{1}{8} \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan dapat dilakukan dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Misalkan : $ p = \frac{1}{m^2} $ dan $ q = \frac{1}{n^2} $
Sistem persamaan pada soal menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} p - 2q = 2 \\ 3p- 4q = 8 \\ \end{array} \right. $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} p - 2q = 2 & \times 2 & 2p - 4q = 4 & \\ 3p- 4q = 8 & \times 1 & 3p- 4q = 8 & - \\ \hline & & -p = - 4 & \\ & & p = 4 & \\ \end{array} $
Pers(i): $ p - 2q = 2 \rightarrow 4 - 2q = 2 \rightarrow q = 1 $
Kita peroleh :
$ p = 4 \rightarrow \frac{1}{m^2} = 4 \rightarrow m = \pm \frac{1}{2} $ ....(iii)
$ q = 1 \rightarrow \frac{1}{n^2} = 1 \rightarrow n = \pm 1 $ ....(iv)
*). Menentukan nilai $ mn $ yang mungkin :
$\begin{align} m = \frac{1}{2} , n = 1 \rightarrow mn & = \frac{1}{2} \\ m = \frac{1}{2} , n = -1 \rightarrow mn & = -\frac{1}{2} \\ m = -\frac{1}{2} , n = 1 \rightarrow mn & = -\frac{1}{2} \\ m = -\frac{1}{2} , n = -1 \rightarrow mn & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Bisa juga cara lain yaitu :
$ \frac{1}{m^2}.\frac{1}{n^2} = 4.1 \rightarrow \frac{1}{(mn)^2} = 4 \rightarrow (mn)^2 = \frac{1}{4} \rightarrow mn = \pm \frac{1}{2} $.
Sehingga nilai $ mn $ adalah $ -\frac{1}{2} $ atau $ \frac{1}{2} $ dan yang ada di opsion adalah $ \frac{1}{2} $.
Jadi, nilai $ mn = \frac{1}{2} . \, \heartsuit $