Pembahasan Sistem Aljabar SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Perhatikan gambar 3 timbangan yang homogen berikut!

Timbangan 1 dan 2 berisi bola, silinder, dan kubus dengan keseimbangan sempurna. Banyak bola, silinder, atau kubus yang dibutuhkan agar timbangan 3 seimbang adalah ...
1). 6 silinder
2). 5 silinder
3). 1 bola dan 2 silinder
4). 1 bola dan 2 kubus

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pada kasus timbangan akan terjadi kesetaraan yang membentuk persamaan-persamaan yang bisa kita ubah menjadi model matematika (model aljabar).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalannya :
$ x \, $ mewakili satu bola
$ y \, $ mewakili satu silinder
$ z \, $ mewakili satu kubus
*). Penyusunan persamaan yang terbentuk berdasarkan timbangan :
-). Timbangan pertama : $ y = 3x \, $ .....(i)
-). Timbangan kedua : $ z = 2y + x $ .....(ii)
-). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ z = 2y + x \rightarrow z = 2.3x + x = 6x + x = 7x $
*). Pada timbangan ketiga : $ 2z + x = .... ? $
-). Kasus pertama : $ 2z + x = 2z + x $
artinya sama juga dengan 1 bola dan 2 kubus.
Pernyataan (4) BENAR.
-). Kasus kedua, gunakan pers(ii) dan pers(i) :
$ \begin{align} 2z + x & = 2(2y + x) + x \\ & = 4y + 2x + x \\ & = 4y + 3x \\ & = 4y + y \\ & = 5y \end{align} $
artinya sama juga dengan 5 silinder.
Pernyataan (2) BENAR.
Sehingga yang BENAR pernyataan (2) dan (4), jawabannya C.
Jadi, yang BENAR pernyataan (2) dan (4) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Suatu kios fotokopi mempunyai dua jenis mesin masing-masing memiliki kemampuan cetak 4 rim/jam dan 2 rim/jam. Jika pada suatu hari jumlah kerja kedua mesin tersebut 10 jam dan menghasilkan 34 rim, mesin dengan kemampuan ...
1). 4 rim/jam bekerja selama 3 jam
2). 2 rim/jam bekerja selama 5 jam
3). 2 rim/jam bekerja selama 7 jam
4). 4 rim/jam bekerja selama 7 jam

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan metode gabungan yaitu eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalannya :
$ x = \, $ lama kerja mesin pertama
$ y = \, $ lama kerja mesin kedua
*). Menyusun sistem persamaannya :
-). Persamaan pertama : kedua mesin berkerja 10 jam
$ x + y = 10 \, $ .....(i)
-). Persamaan kedua : Keduanya menghasilkan 34 rim
$ 4x + 2y = 34 \rightarrow 2x + y = 17 \, $ ......(ii)
*). Eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} 2x + y = 17 & \\ x + y = 10 & - \\ \hline x = 7 & \end{array} $
Pers(i): $ x + y = 10 \rightarrow 7 + y = 10 \rightarrow y = 3 $.
Kita peroleh $ x = 7 $ dan $ y = 3 $.
Artinya mesin 4 rim bekerja 7 jam dan mesin 2 rim bekerja 3 jam.
Sehingga pernyataan (4) yang BENAR, jawabannya D.
Jadi, nilai $ x = 7 $ dan $ y = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 4 - x^2 $ , $ y = 3x $ , sumbu Y, dan $ x = 2 $ adalah .... satuan luas.
1). $ 3 $
2). $ 4 $
3). $ 6 $
4). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas daerah yang dibatasi dua kurva :
Misalkan ada suatu daerah dibatasi oleh kurva $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $, maka luas daerahnya yaitu :
Luas $ = \int \limits_a^b [f(x) - g(x)] dx $
(Kurva atas kurangkan kurva bawah)
*). RUmus integral dasar :
$ \int a dx = ax + c $
$ \int ax^n dx = nax^{n-1} + c $
*). Rumus integral tentu :
$ \int \limits_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 4 - x^2 $ , $ y = 3x $ , sumbu Y, dan $ x = 2 $ nampak seperti daerah A dan B di bawah ini.
 

*). Menentukan titik potong kedua kurva $ y = 4 - x^2 $ dan $ y = 3x $ :
$\begin{align} y & = y \\ 3x & = 4 - x^2 \\ x^2 + 3x - 4 & = 0 \\ (x+4)(x-1) & = 0 \\ x = -4 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Menentukan luas daerah A dan B
$\begin{align} \text{Luas A } & = \int \limits_0^1 [(4-x^2)-(3x)] dx \\ & = \int \limits_0^1 (-x^2 -3x + 4) dx \\ & = [-\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4x]_0^1 \\ & = [-\frac{1}{3}.1^3 - \frac{3}{2}.1^2 + 4.1]- [-\frac{1}{3}.0^3 - \frac{3}{2}.0^2 + 4.0] \\ & = [-\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 ]- [0] \\ & = -\frac{2}{6} - \frac{9}{6} + \frac{24}{6} = \frac{13}{6} \\ \text{Luas B } & = \int \limits_1^2 [(3x) - (4-x^2)] dx \\ & = \int \limits_1^2 [x^2 + 3x - 4] dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 4x]_1^2 \\ & = [\frac{1}{3}.2^3 + \frac{3}{2}.2^2 - 4.2]- [\frac{1}{3}.1^3 + \frac{3}{2}.1^2 - 4.1] \\ & = [\frac{8}{3} + 6 - 8]- [\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 ] \\ & = \frac{8}{3} -2- \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 \\ & = \frac{7}{3} - \frac{3}{2} + 2 \\ & = \frac{14}{6} - \frac{9}{6} + \frac{12}{6} = \frac{17}{6} \end{align} $
*). Luas total daerahnya :
$\begin{align} \text{Luas total } & = \text{Luas A } + \text{Luas B } \\ & = \frac{13}{6} + \frac{17}{6} \\ & = \frac{30}{6} = 5 \end{align} $
Luas totalnya adalah 5 SL, pernyataan (4) yang BENAR, jawabannya D.
Jadi, luas daerah yang terbentuk adalah $ 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Akar-akar persamaan $ x^2 + (2a-3)x + 18 = 0 $ adalah $ p $ dan $ q $. Jika $ p = 2q $ , untuk $ p > 0 , \, q > 0 $ . Nilai $ a - 1 = ... $
1). $ -2 $
2). $ -3 $
3). $ 4 $
4). $ -4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2+bx+c=0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ x^2 + (2a-3)x + 18 = 0 $ dengan akar-akar $ p $ dan $ q $
diketahui juga $ p = 2q $
*). Operasi akar-akar :
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow p.q = 18 \, $ .....(i)
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \rightarrow p+q = -(2a - 3) \, $ .....(ii)
*). Substitusi $ p = 2q $ ke pers(i) :
$\begin{align} p.q & = 18 \\ 2q.q & = 18 \\ q^2 & = 9 \\ q & = \pm 3 \end{align} $
Karena $ q > 0 $ , maka $ q = 3 $ yang memenuhi.
Nilai $ p = 2q = 2.3 = 6 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} p+q & = -(2a - 3) \\ 6 + 3 & = - 2a + 3 \\ 6 & = - 2a \\ a & = -3 \end{align} $
Nilai $ a - 1 = -3 - 1 = -4 $ , Sehingga yang benar pernyataan (4), jawabannya D.
Jadi, nilai $ a - 1 = -4 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi Invers SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Jika invers fungsi $ f(x) $ adalah $ f^{-1} (x) = \frac{2x}{3-x} $ , maka ....
1). $ f(1) = 1 $
2). $ f(2) = \frac{3}{2} $
3). $ f(3) = \frac{9}{5} $
4). $ f(4) = 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Inver bentuk pecahan :
$ g(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{dx - b}{-cx + a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ dengan invers fungsi :
$\begin{align} f^{-1} (x) & = \frac{2x}{3-x} \\ f^{-1} (x) & = \frac{2x + 0}{-x + 3} = \frac{ax+b}{cx+d} \\ [f^{-1} (x)]^{-1} & = \frac{3x - 0}{-(-x) + 2} = \frac{dx - b}{-cx +a} \\ f(x) & = \frac{3x}{x+2} \end{align} $
*). Cek setiap pernyataan :
Pernyataan 1). $ f(1) = 1 $ ?
$ f(1) = \frac{3.1}{1+2} = \frac{3}{3} = 1 $ (BENAR)
Pernyataan 2). $ f(2) = \frac{3}{2} $ ?
$ f(2) = \frac{3.2}{2+2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $ (BENAR)
Pernyataan 3). $ f(3) = \frac{9}{5} $ ?
$ f(3) = \frac{3.3}{3+2} = \frac{9}{5} $ (BENAR)
Pernyataan 4). $ f(4) = 2 $ ?
$ f(4) = \frac{3.4}{4+2} = \frac{12}{6} = 2 $ (BENAR)
Semua pernyataan BENAR, sehingga jawabannya E.
Jadi, semua pernyataannya BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Invers SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Jika invers fungsi $ f(x) $ adalah $ f^{-1} (x) = \frac{2x}{3-x} $ , maka ....
1). $ f(1) = 1 $
2). $ f(2) = \frac{3}{2} $
3). $ f(3) = \frac{9}{5} $
4). $ f(4) = 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi Invers :
$ y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1} (y) $
*). Sifat fungsi invers :
$ [f^{-1} (x) ]^{-1} = f(x) $
(Fungsi bentuk invers diinverskan lagi maka inversnya hilang atau kembali ke fungsi awal).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan fungsi $ f(x) $ dengan invers fungsi :
$\begin{align} f^{-1} (x) & = \frac{2x}{3-x} \\ y & = \frac{2x}{3-x} \\ y(3-x) & = 2x \\ 3y - xy & = 2x \\ xy + 2x & = 3y \\ x(y + 2) & = 3y \\ x & = \frac{3y}{y+2} \\ f(x) & = \frac{3x}{x+2} \end{align} $
*). Cek setiap pernyataan :
Pernyataan 1). $ f(1) = 1 $ ?
$ f(1) = \frac{3.1}{1+2} = \frac{3}{3} = 1 $ (BENAR)
Pernyataan 2). $ f(2) = \frac{3}{2} $ ?
$ f(2) = \frac{3.2}{2+2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $ (BENAR)
Pernyataan 3). $ f(3) = \frac{9}{5} $ ?
$ f(3) = \frac{3.3}{3+2} = \frac{9}{5} $ (BENAR)
Pernyataan 4). $ f(4) = 2 $ ?
$ f(4) = \frac{3.4}{4+2} = \frac{12}{6} = 2 $ (BENAR)
Semua pernyataan BENAR, sehingga jawabannya E.
Jadi, semua pernyataannya BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan SM Unram 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui suatu deret aritmetika yang memenuhi $ U_3 + U_9 + U_{11} = 75 $. Suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43, maka $ U_{43} = ... $
A). $ 118 \, $ B). $ 218 \, $ C). $ 138 \, $ D). $ 132 \, $ E). $ 131 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
Keterangan :
$ U_n = \, $ suku ke-$n$
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda
*). Jika suku terakhir adalah suku ke-$n$, maka suku tengahanya adalah suku ke-$ \frac{n+1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama :
$\begin{align} U_3 + U_9 + U_{11} & = 75 \\ (a + 2b) + (a + 8b) + (a + 10b) & = 75 \\ 3a + 20b & = 75 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua :
Ada 43 suku, sehingga suku tengahnya suku ke $ \frac{43+1}{2} = 22 $.
$\begin{align} U_t & = 68 \\ U_{22} & = 68 \\ a + 21b & = 68 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \\ a & = 68 - 21b \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$\begin{align} 3a + 20b & = 75 \\ 3(68 - 21b) + 20b & = 75 \\ 204 - 63b + 20b & = 75 \\ 204 - 43b & = 75 \\ 43b & = 129 \\ b & = 3 \end{align} $
Pers(ii): $ a = 68 - 21b = 68 - 21 \times 3 = 5 $
*). Menentukan suku ke-43 :
$\begin{align} U_{43} & = a + 42b \\ & = 5 + 42 \times 3 \\ & = 5 + 126 \\ & = 131 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_{43} = 131 . \, \heartsuit $