Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Pada sistem persamaan berikut
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \, x^2 + xy + xz & = 1 \\ y^2 + yz + yx & = 6 \\ z^2 + zx + zy & = 9 \end{align} $
nilai $ z $ adalah ....
A). $ \frac{2}{3} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ \frac{9}{4} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan metode substitusi.
*). Sifat distributif :
$ ab + cb + db = (a + c + d) b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita ubah sistem persamaan dengan sifat distributif yaitu :
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \, x( x+ y+ z) & = 1 \\ y(x+y+z) & = 6 \\ z(x+y+z) & = 9 \end{align} $
*). Kita misalkan $ x + y + z = p $ agar lebih sederhana, sistemnya menjadi :
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \, xp & = 1 \\ yp & = 6 \\ zp & = 9 \end{align} $
*). Jumlahkan ketiga persamaannya :
$\begin{align} xp + yp + zp & = 1 + 6 + 9 \\ (x+y+z)p & = 16 \\ (x+y+z)(x+y+z) & = 16 \\ (x+y+z)^2 & = 16 \\ (x+y+z) & = 4 \end{align} $
*). Persamaan (iii) dengan $ x + y + z = 4 $ :
$\begin{align} z(x+y+z) & = 9 \\ z.4 & = 9 \\ z & = \frac{9}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ z = \frac{9}{4} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan $ \angle BAC = \alpha $. Titik $ C_1 $ merupakan titik sehingga $ \Delta ACC_1 $ siku-siku di C dan $ \angle CAC_1 = \alpha $. Titik $ C_2 $ dipilih sehingga $ \Delta AC_1C_2 $ siku-siku di $ C_1 $ dan $ \angle C_1AC_2 = \alpha $ , dan seterusnya. Panjang $ AC_1 $ , $ AC_2 $ , $ AC_3 $ , ..., merupakan barisan geometri dengan suku pertama $ a $ dan rasio $ r $. Nilai $ \frac{a}{r} $ adalah ....

A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \cos x = \frac{samping}{miring} $
*). Barisan geometri : $ u_1, u_2, u_3, .... $
Rasionya ($r$) : $ r = \frac{u_2}{u_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan segitiga ABC siku-siku di B :
$\begin{align} AC & = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \end{align} $
Nilai $ \cos \alpha = \frac{AB}{AC} \rightarrow \cos \alpha = \frac{4}{5} $
Nilai $ \cos \alpha $ ini kita gunakan juga pada segitiga $ACC_1$ dan $ AC_1C_2 $.
*). Perhatikan segitiga $ ACC_1$ :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{AC}{AC_1} \\ \frac{4}{5} & = \frac{5}{AC_1} \\ AC_1 & = \frac{25}{4} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga $ AC_1C_2$ :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{AC_1}{AC_2} \\ \frac{4}{5} & = \frac{\frac{25}{4}}{AC_2} \\ AC_2 & = \frac{125}{16} \end{align} $
*). Barisan geometrinya : $ AC_1 $ , $ AC_2 $ , $ AC_3 $ , ....
Sehingga $ a = u_1 = AC_1 = \frac{25}{4} $
$ u_2 = AC_2 = \frac{125}{16} $
*). Menentukan nilai $ r $ (rasionya) :
$\begin{align} r & = \frac{u_2}{u_1} = \frac{\frac{125}{16}}{\frac{25}{4}} = \frac{125}{16} . \frac{4}{25} = \frac{5}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \frac{a}{r} $ :
$\begin{align} \frac{a}{r} & = \frac{\frac{25}{4} }{ \frac{5}{4}} = \frac{25}{4} . \frac{4}{5} = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{a}{r} = 5 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Apabila $ x $ dan $ y $ memenuhi
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \, \log x^2 - \log y & = 1 \\ \log x + \log y & = 8 , \end{align} $
maka nilai $ y - x = .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 99 \, $ C). $ 990 \, $ D). $ 9900 \, $ E). $ 99000 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
*). Untuk bentuk logaritma yang tidak ditulis basisnya, maka basisnya dianggap 10. Misalkan : $ \log a $ sama saja dengan $ {}^{10} \log a $
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dengan sifat logaritma, kita ubah persamaan (i) : $ \log x^2 - \log y = 1 $ menjadi $ 2\log x - \log y = 1 $.
*). Untuk memudahkan, kita misalkan $ \log x = p $ dan $ \log y = q $ :
Sistem persamaannya menjadi :
$ \begin{align} \, \, \, \, \, \, \, \, 2p - q & = 1 \\ p + q & = 8 , \end{align} $
*). Eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} 2p - q = 1 & \\ p + q = 8 & + \\ \hline 3p = 9 & \\ p = 3 \end{array} $
Untuk $ p = 3 \rightarrow {}^{10} \log x = 3 \rightarrow x = 10^3 = 1000 $
*). Persamaan (ii) :
$ p + q = 8 \rightarrow 3 + q = 8 \rightarrow q = 5 $
Untuk $ q = 5 \rightarrow {}^{10} \log y = 5 \rightarrow y = 10^5 = 100.000 $
*). Menenetukan nilai $ y - x $ :
$\begin{align} y - x & = 100.000 - 1000 \\ & = 99.000 \end{align} $
Jadi, nilai $ y - x = 99.000 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Sebenarnya sistem persamaan di atas bisa langsung kita eliminasi dengan menjumlahkan kedua persamaan sehingga tidak perlu memisalkan lagi seperti di atas. Silahkan di coba ya sahabat dunia informa.

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Persamaan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ adalah sudut, dengan $ 90^\circ < x < 180^\circ $, dan $ 4 - 2\cos ^2 x = 5\sin x $ , maka $ \cos x = .... $
A). $ -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2}\sqrt{2} \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2\sqrt{2} } \, $ E). $ -\frac{1}{2\sqrt{3} } $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Rentangan nilai $ \sin x $ yaitu :
$ -1 \leq \sin x \leq 1 $
*). Hubungan kuadran :
$ \cos ( 180^\circ - \theta ) = - \cos \theta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan $ 4 - 2\cos ^2 x = 5\sin x $ dengan $ 90^\circ < x < 180^\circ $ (Kuadran II).
*). Menyelesaikan persamaannya dengan pemfaktoran :
$\begin{align} 4 - 2\cos ^2 x & = 5\sin x \\ 4 - 2(1 - \sin ^2 x ) & = 5\sin x \\ 4 - 2 + 2 \sin ^2 x & = 5\sin x \\ 2 \sin ^2 x - 5\sin x + 2 & = 0 \\ (2\sin x - 1)(\sin x - 2) & = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \vee \sin x & = 2 \end{align} $
-). Karena nilai $ \sin x $ paling besar 1, maka $ \sin x = 2 $ tidak memenuhi. Sehingga kita peroleh $ \sin x = \frac{1}{2} $ .
-). Untuk $ \sin x = \frac{1}{2} $ , maka $ x = 150^\circ $ (Kuadran II).
*). Menentukan nilai $ \cos x $ dengan $ x = 150^\circ $ :
$\begin{align} \cos x & = \cos 150^\circ \\ & = \cos (180^\circ - 30^\circ ) \\ & = -\cos 30^\circ \\ & = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos x = -\frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Penggunaan Turunan UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 934

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ m $ dan $ M $ berturut-turut menyatakan nilai minimum relatif dan maksimum relatif fungsi $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + a $ , dengan $ M + m = 3 $ , maka $ f(2) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Uji turunan kedua :
Misalkan $ x_1 $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ , Cek ke $ f^{\prime \prime }(x) $ yaitu :
Jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka $ x_1 $ menyebabkan minimum
Jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka $ x_1 $ sebagai titik belok
Jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka $ x_1 $ menyebabkan maksimum

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = 2x^3 - 3x^2 + a \\ f^\prime (x) & = 6x^2 - 6x \\ f^{\prime \prime } (x) & = 12x - 6 \end{align} $
*). Syarat $ f^\prime (x) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 6x^2 - 6x & = 0 \\ 6x(x-1) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align} $
*). Cek ke turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 12x - 6 $
$\begin{align} x & = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 12.0 - 6 = -6 <0 \\ & \text{(jenisnya maksimum)} \\ x & = 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (1) = 12.1 - 6 = 6 > 0 \\ & \text{(jenisnya minimum)} \end{align} $
Artinya kita peroleh $ f(x) $ minimum saat $ x = 1 $ dan maksimum saat $ x = 0 $.
*). Menentukan bentuk $ m $ dan $ M $ :
$\begin{align} f(x) & = 2x^3 - 3x^2 + a \\ m = f(1) & = 2.1^3 - 3.1^2 + a \\ & = -1 + a \\ M = f(0) & = 2.0^3 - 3.0^2 + a \\ & = a \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ M + m = 3 $ :
$\begin{align} M + m & = 3 \\ a + (-1 + a) & = 3 \\ 2a & = 4 \\ a & = 2 \end{align} $
sehingga $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + a = 2x^3 - 3x^2 + 2 $
*). Menentukan nilai $ f(2) $ :
$\begin{align} f(2) & = 2.2^3 - 3.2^2 + 2 \\ & = 16 - 12 + 2 = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(2) = 6 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)