Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 4} \leq 3 - x $ adalah ...
A). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
B). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \} \, $
C). $ \{ x \in R : -2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
D). $ \{ x \in R : x \leq \frac{13}{6} \} \, $
E). $ \{ x \in R : 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 4} & \leq 3 - x \\ \sqrt{0^2 - 4} & \leq 3 - 0 \\ \sqrt{ - 4} & \leq 3 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=0$ SALAH karena dalam akar harus positif , opsi yang benar A, B, dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 4} & \leq 3 - x \\ \sqrt{3^2 - 4} & \leq 3 - 3 \\ \sqrt{ 5} & \leq 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=3$ SALAH , opsi yang benar A dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-2 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 4} & \leq 3 - x \\ \sqrt{(-2)^2 - 4} & \leq 3 - (-2) \\ \sqrt{ 0 } & \leq 5 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=-2$ BENAR , opsi yang benar A.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi A (yang tersisia).
Jadi, solusinya $ \{ x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 4} \leq 3 - x $ adalah ...
A). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
B). $ \{ x \in R : x \leq -2 \text{ atau } 2 \leq x \} \, $
C). $ \{ x \in R : -2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $
D). $ \{ x \in R : x \leq \frac{13}{6} \} \, $
E). $ \{ x \in R : 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
5). Cari syarat jika ada, lalu iriskan semua himpunan penyelesaiannya.
*). Syarat pertidaksamaan bentuk akar $ \sqrt{f(x)} \leq g(x) $ yaitu :
$ f(x) \geq 0 \, $ dan $ g(x) \geq 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pertidaksamaan $ \sqrt{x^2 - 4} \leq 3 - x $ :
*). Syarat-syarat pertidaksamaannya :
-). Syarat pertama : $ x^2 - 4 \geq 0 $
$\begin{align} x^2 - 4 \geq 0 \\ (x +2)(x-2) \geq 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :
 

$ HP_1 = \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
-). Syarat kedua : $ 3 - x \geq 0 $
$\begin{align} 3 - x & \geq 0 \\ -x & \geq -3 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -3, dibalik)} \\ x & \leq 3 \end{align} $
$ HP_2 = \{ x \leq 3 \} $
*). Menyelesaikan bentuk pertidaksamaannya :
$\begin{align} \sqrt{x^2 - 4} & \leq 3 - x \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ ( \sqrt{x^2 - 4} )^2 & \leq ( 3 - x )^2 \\ x^2 - 4 & \leq x^2 - 6x + 9 \\ 6x & \leq 13 \\ x & \leq \frac{13}{6} \end{align} $
$ HP_3 = \{ x \leq \frac{13}{6} \} $
*). Solusi total yaitu irisan semuanya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \cap HP_3 \\ & = \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} \cap \{ x \leq 3 \} \cap \{ x \leq \frac{13}{6} \} \\ & = \{ x \leq -2 \vee 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} \end{align} $
Jadi, solusinya $ \{ x \leq -2 \vee 2 \leq x \leq \frac{13}{6} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan sistem $ ax+8y=1 $ , $ 3x+(a+10)y=6 $. Agar sistem tersebut memiliki tepat satu solusi, maka $ a = ... $
A). $ \{ a \in R : a \neq 12 \text{ dan } a \neq 2 \} \, $
B). $ \{ a \in R : a \neq 6 \text{ dan } a \neq 4 \} \, $
C). $ \{ a \in R : a \neq 12 \text{ dan } a \neq -2 \} \, $
D). $ \{ a \in R : a \neq -12 \text{ dan } a \neq 2 \} \, $
E). $ \{ a \in R : a \neq 6 \text{ dan } a \neq -4 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian sistem persamaan :
Sistem persamaan $ ax + by = c $ dan $ px + qy = r $ memiliki penyelesaian tepat satu solusi jika $ \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). sistem persamaan $ ax+8y=1 $ dan $ 3x+(a+10)y=6 $ memiliki tepat satu penyelesaian jika memenuhi :
$\begin{align} \frac{a}{3} & \neq \frac{8}{a + 10} \\ a(a+10) & \neq 3 . 8 \\ a^2 + 10a - 24 & \neq 0 \\ (a + 12)(a - 2) & \neq 0 \\ a \neq -12 \vee a & \neq 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a \neq -12 \text{ dan } a \neq 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan kuadrat $ x^2 + (a+6)x + 9a-1 = 0 $ mempunyai 2 akar real berbeda $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ a < 0 $. Jika $ x_1^2 + x_1x_2+x_2^2 = -12a + 1 $ , maka $ a^2 + a = ... $
A). $ 4 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 64 \, $ D). $ 96 \, $ E). $ 156 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu :
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 $
-). Syarat memiliki 2 akar real berbeda yaitu $ D > 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat $ x^2 + (a+6)x + 9a-1 = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(a+6)}{1} = -(a + 6) $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9a-1}{1} = 9a -1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan operasi akar-akar :
$\begin{align} x_1^2 + x_1x_2+x_2^2 & = -12a + 1 \\ (x_1^2 +x_2^2) + x_1x_2 & = -12a + 1 \\ ((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2) + x_1x_2 & = -12a + 1 \\ (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + x_1x_2 & = -12a + 1 \\ (x_1+x_2)^2 - x_1x_2 & = -12a + 1 \\ [-(a+6)]^2 - (9a - 1) & = -12a + 1 \\ a^2 + 12a + 36 - 9a + 1 & = -12a + 1 \\ a^2 + 15a + 36 & = 0 \\ (a+3)(a+12) & = 0 \\ a = -3 \vee a & = -12 \end{align} $
*). Kita cek mana nilai $ a $ yang memenuhi $ D > 0 $ dengan $ D = (a+6)^2 - 4(9a-1) $ :
$\begin{align} a = -3 \rightarrow D & = (-3+6)^2 - 4(9.(-3)-1) \\ D & = 9 + 112 = 121 > 0 \\ a = -12 \rightarrow D & = (-12+6)^2 - 4(9.(-12)-1) \\ D & = 36 + 436 = 472 > 0 \end{align} $
Artinya kedua nilai $ a $ memenuhi.
*).Menentukan nilai $ a^2 + a $ :
$\begin{align} a = -3 \rightarrow a^2 + a & = (-3)^2 + (-3) \\ & = 9 -3 = 6 \\ a = -12 \rightarrow a^2 + a & = (-12)^2 + (-12) \\ & = 144 - 12 = 132 \end{align} $
Yang ada di option adalah $ a^2 + a = 6 $.
Jadi, nilai $ a^2 + a = 6 . \, \heartsuit $