Pembahasan Peluang SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Banyak susunan simbol yang terdiri atas tiga angka (boleh berulang) dan huruf vokal (boleh berulang) dengan syarat tidak boleh ada dua huruf berdekatan adalah ....
A). 75.000
B). 175.000
C). 100.000
D). 150.000
E). 125.000

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kaidah aturan perkalian :
Jika ada dua kejadian yaitu $ p $ dan $ q $ terjadi sekaligus, maka total kejadiannya adalah $ p \times q $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angka ada 10 yaitu {0,1,2,...,9}
Pilihan huruf vokal ada 5 yaitu {a,i,u,e,o}.
*). Akan disusun simbol yang terdiri dari tiga angka (A) dan dua huruf vokal (H), semuanya boleh berulang.
-). Memilih tiga angka ada $ 10^3 $ cara,
-). Memilih dua huruf vokal ada $ 5^2 $ cara,
Sehingga memilih tiga angka dan dua huruf vokal ada
$ = 10^3 \times 5^2 = 25.000 \, $ cara.
*). Ada 6 susunan dari tiga angka dan dua huruf vokal dengan huruf tidak boleh berdekatan yaitu HAHAA, HAAHA, HAAAH, AHAHA, AHAAH, dan AAHAH.
Keterangan : H = huruf dan A = angka.
*). Total cara pembentukan simbol
$ = 6 \times 25.000 = 150.000 \, $ cara.
Jadi, ada 150.000 simbol yang terbentuk $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = ax+b $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{\sqrt{x}-2} = -4 $, maka $ f(1) = .... $
A). $ -5 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Limit bentuk tak tentu
Jika $ g(k) = 0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = c \, $ (hasilnya konstanta), maka $ f(k) = 0 $. Bentuk hasil limit $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ disebut bentuk tak tentu.
*). Penerapan turunan pada limit bentuk tak tentu (dalil L'Hospital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.
*). Turunan fungsi : $ y = \sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{\sqrt{x}-2} = -4 $ dengan penyebut bernilai nol ketika disubstitusikan $ x = 4 $ adalah bentuk tak tentu (agar hasilnya konstanta), sehingga $ f(4) = 0$ dengan $ f(x) = ax + b $.
$ f(4) = 0 \rightarrow 4a + b = 0 \rightarrow b = -4a \, $ ....(i).
*). Menyelesaikan limitnya dengan dalil L'Hospital :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{\sqrt{x}-2} & = -4 \\ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{ax+b}{\sqrt{x}-2} & = -4 \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{a}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} & = -4 \\ \displaystyle \lim_{x \to 4} 2a\sqrt{x} & = -4 \\ 2a.\sqrt{4} & = -4 \\ 4a & = -4 \\ a & = -1 \end{align} $
Pers(i): $ b = -4a = -4.(-1) = 4 $.
Fungsinya amenjadi : $ f(x) = ax + b = -x + 4 $.
Sehingga nilai $ f(1) = -1 + 4 = 3 $.
Jadi, nilai $ f(1) = 3 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Statistika SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui median dan rata-rata berat badan 5 balita adalah sama. Setelah ditambahkan satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita diurutan ke-4 adalah .... kg.
A). $ 4 \, $ B). $ \frac{9}{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ \frac{13}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Statistika
1). Median = Nilai tengah,
2). Rata-rata = $ \frac{\text{jumlah semua}}{\text{banyak data}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Data awal : $ a, b, c, d, e $
(Sudah diurutkan dari ringan ke berat).
Median $ = c $ dan rata-rata $ = \frac{a+b+c+d+e}{5} $.
$\begin{align} \text{rata-rata } & = \text{ median } \\ \frac{a+b+c+d+e}{5} & = c \\ a+b+c+d+e & = 5 c \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $

*). Data baru dengan menambahkan $ x $, sehingga sekarang ada 6 nilai denga rata-rata meningkat 1 kg.
$\begin{align} \text{rata-rata } & = c + 1 \\ \frac{a+b+c+d+e+x}{6} & = c + 1 \\ (a+b+c+d+e)+x & = 6c + 6 \\ 5c+x & = 6c + 6 \\ x & = c + 6 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
Dari bentuk $ x = c + 6 $ seharusnya nilai $ c $ lebih kecil dari $ x $ dan $ x \neq c $, artinya ada dua kemungkinan yaitu $ a,b,c,d,x,e $ atau $ a,b,c,d,e,x$ dengan data keempat adalah $ d $.
*). Median tetap :
Median $ = c \rightarrow \frac{c+d}{2} = c \rightarrow c = d $
*). Substitusi $ c = d $ ke pers(ii) :
$ x = c + 6 \rightarrow x = d + 6 \rightarrow x - d = 6 $.
Sehingga selisihnya adalah 6.
Jadi, selisihnya adalah $ 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \frac{1-x}{\sqrt{x}} dx = .... $
A). $ \frac{3}{2}(3+x)\sqrt{x} + C \, $
B). $ \frac{2}{3}(3-x)\sqrt{x} + C \, $
C). $ \frac{2}{3}(3+\sqrt{x})x + C \, $
D). $ \frac{1}{3\sqrt{x}} \left( \frac{1}{x} - 1 \right) + C \, $
E). $ \frac{1}{2\sqrt{x}} \left( \frac{1}{x} + 1 \right) + C $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus integral aljabar :
$ \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c $
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
$ a^{m+n} = a^m.a^n $
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
$ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \int \frac{1-x}{\sqrt{x}} dx & = \int \frac{1-x}{x^\frac{1}{2}} dx \\ & = \int \left( \frac{1}{x^\frac{1}{2}} - \frac{x}{x^\frac{1}{2}} \right) dx \\ & = \int \left( x^{-\frac{1}{2}} - x^\frac{1}{2} \right) dx \\ & = \frac{1}{-\frac{1}{2} + 1} x^{-\frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{\frac{1}{2} + 1}x^{\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2} } - \frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = 2 \sqrt{x} - \frac{2}{3}\sqrt{x}.x + c \\ & = \frac{2}{3}\sqrt{x} (3 - x) + c \\ & = \frac{2}{3}(3 - x)\sqrt{x} + c \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ \frac{2}{3}(3 - x)\sqrt{x} + c . \, \heartsuit $

Pembahasan Transformasi SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis $ y = x + 2 $ ditranslasi dengan $ \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $ dan kemudian dicerminkan terhadap sumbu-X, maka petanya adalah garis $ y = ax + b $. Nilai $ a + b $ adalah .....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Translasi $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
*). Penecerminan terhadap sumbu X : $ MT = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Bayangan = MT $ \times $ Awal.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertama : Translasi oleh $ \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} x + 1 \\ y + 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kedua : dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu-X
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = (MT).\left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} x + 1 \\ y + 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} x + 1 \\ -y - 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^{\prime \prime} = x + 1 \rightarrow x = x^{\prime \prime} - 1 $
$ y^{\prime \prime} = -y - 2 \rightarrow y = -y^{\prime \prime} - 2 $
*). Substitusikan bentuk akhir yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$\begin{align} \text{Awal : } y & = x + 2 \\ \text{bayangan : } -y^{\prime \prime} - 2 & = x^{\prime \prime} - 1 + 2 \\ -y^{\prime \prime} & = x^{\prime \prime} + 3 \\ y^{\prime \prime} & = -x^{\prime \prime} - 3 \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya adalah $ y = -x - 3 $ yang sama dengan $ y = ax + b $, artinya nilai $ a = -1 $ dan $ b = -3 $.
Nilai $ a + b = -1 + (-3) = -4 $.
Jadi, nilai $ a + b = -4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ x - y \geq 3 $, $ 2x - y \leq 8 $ , $ y \geq 0 $ adalah .... satuan luas.
A). $ 4 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga :
Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menggambar daerah penyelesaian (DHP) :
I). $ x - y \geq 3 \rightarrow (0,-3) $ dan $ (3,0)$
II). $ 2x - y \leq 8 \rightarrow (0,-8) $ dan $ (4,0)$
III). $ y \geq 0 \rightarrow \, $ adalah sumbu X.
 

*). Menentukan titik potong garis I dan garis II :
$ \begin{array}{cc} 2x - y = 8 & \\ x - y = 3 & - \\ \hline x = 5 & \end{array} $
garis I : $ x - y = 3 \rightarrow 5 - y = 3 \rightarrow y = 2 $.
*). Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir yaitu berupa segitiga ABD dengan alas AB dan tingginya CD, Luasnya :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta ABD & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2}\times AB \times CD \\ & = \frac{1}{2}\times 1 \times 2 = 1 \end{align} $
Jadi, luas daerah penyelesaiannya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik X terletak pada rusuk EF sejauh 2 cm dari F dan Y adalah titik potong perpanjangan AX dan perpanjangan BF. Jika panjang rusuk kubus tersebut 6 cm, maka jarak Y ke G adalah .... cm.
A). $ 2\sqrt{6} \, $ B). $ 3\sqrt{3} \, $ C). $ 3\sqrt{5} \, $ D). $ 2\sqrt{17} \, $ E). $ 3\sqrt{13} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua segitiga sebangun, maka perbandingan sisi yang bersesuaian sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Segitiga XFY sebangun dengan segitiga ABY :
$\begin{align} \frac{YF}{YB} & = \frac{XF}{AB} \\ \frac{YF}{YF + 6} & = \frac{2}{6} \\ \frac{YF}{YF + 6} & = \frac{1}{3} \\ 3 YF & = YF + 6 \\ 2YF & = 6 \\ YF & = 3 \end{align} $
*). Jarak Y ke G adalah panjang garis YG pada segitiga YFG (sisi miringnya), dengan teorema pythagoras :
$\begin{align} YG & = \sqrt{YF^2 + FG^2 } \\ & = \sqrt{3^2 + 6^2 } \\ & = \sqrt{45 } \\ & = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ 3\sqrt{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Komposisi Fungsi SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = x^2 - 1 $ dan $ g(x) = \sqrt{x-3} $. Jika $ a $ dan $ b $ bilangan real sehingga $(g\circ f)(a)=(f\circ g)(b) = 0 $ , maka maksimum selisih $ a $ dan $ b $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Komposisi Fungsi
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $ dan $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
(Fungsi kanan masuk ke fungsi kiri).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ (g\circ f)(a)=(f\circ g)(b) = 0 $ artinya $ (g\circ f)(a)= 0 $ dan $ (f\circ g)(b) = 0 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
Pertama : Nilai $ a $
$\begin{align} (g\circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(x^2 -1) \\ & = \sqrt{(x^2 - 1) - 3 } = \sqrt{x^2 - 4} \\ (g\circ f)(a) & = \sqrt{a^2 - 4} = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ a^2 - 4 & = 0 \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm 2 \\ a = 2 \vee a & = -2 \end{align} $
Kedua : Nila $ b $
$\begin{align} (f\circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(\sqrt{x-3}) \\ & = (\sqrt{x-3})^2 - 1 \\ & = (x-3) - 1 = x - 4 \\ (f\circ g)(b) & = b - 4 = 0 \\ b & = 4 \end{align} $
*). Menentukan selisih $ a $ dan $ b $ :
Selisih = besar $ - $ kecil.
$\begin{align} b = 4, a = 2 \rightarrow b - a & = 4 - 2 = 2 \\ b = 4, a = -2 \rightarrow b - a & = 4 - (- 2) = 6 \end{align} $
Jadi, selisih maksimumnya adalah $ 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Suku ke-3 suatu barisan geometri dengan rasio negatif adalah $ \frac{1}{2} $. Perbandingan suku ke-4 terhadap suku ke-2 adalah $ \frac{1}{4}$. Jumlah 4 suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{5}{4} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ \frac{10}{3} \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Jumlah $ n $ suku pertama :
$ S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan pertama :
$\begin{align} \frac{U_4}{U_2} & = \frac{1}{4} \\ \frac{ar^3}{ar} & = \frac{1}{4} \\ r^2 & = \frac{1}{4} \\ r & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2} \end{align} $
Karena $ r $ negatif, maka $ r = -\frac{1}{2} $ yang memenuhi.
*). Persamaan kedua :
$\begin{align} U_3 & = \frac{1}{2} \\ ar^2 & = \frac{1}{2} \\ a.(-\frac{1}{2})^2 & = \frac{1}{2} \\ a.\frac{1}{4} & = \frac{1}{2} \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan jumlah 4 suku pertama :
$\begin{align} S_n & = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ S_4 & = \frac{2.((-\frac{1}{2})^4-1)}{-\frac{1}{2}-1} \\ & = \frac{2.(\frac{1}{16} -1)}{-\frac{3}{2} } \times \frac{16}{16} \\ & = \frac{2.(1 -16)}{-24} \\ & = \frac{2.(-15)}{-24} = \frac{-30}{-24} = \frac{5}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ S_4 = \frac{5}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah $(6-0,02x) \, $ kg, dengan $ x $ menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah .... kg.
A). $ 400 \, $ B). $ 420 \, $ C). $ 435 \, $ D). $ 450 \, $ E). $ 465 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata :
rata-rata $ = \frac{\text{total nilai}}{\text{banyak nilai}} $
*). Fungsi $ y = f(x) $ maksimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan total bobot $ = y $
Diketahui : banyak ikan $ = x $ dan rata-rata $ = 6 - 0,02x $.
*). Menyusun fungsi $ y = f(x) $ :
$\begin{align} \text{rata-rata } & = \frac{\text{total bobot}}{\text{banyak ikan}} \\ 6 - 0,02x & = \frac{y}{x} \\ y & = 6x - 0,02x^2 \\ f(x) & = 6x - \frac{1}{50}x^2 \\ f^\prime (x) & = 6 - \frac{1}{25}x \end{align} $
*). Syarat maksimum $ f^\prime (x) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 6 - \frac{1}{25}x & = 0 \\ x & = 6 \times 25 = 150 \end{align} $
*). Menentukan total bobot maksimum saat $ x = 150 $
$\begin{align} f(x) & = 6x - \frac{1}{50}x^2 \\ y_\text{maks} & = f(150) \\ & = 6 \times 150 - \frac{1}{50} \times (150)^2 \\ & = 900 - 450 = 450 \end{align} $
Jadi, maksimumnya adalah $ 450 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Hasil bagi suku pertama oleh suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah $ -\frac{1}{7}$. Jika suku ke-6 barisan tersebut adalah 9, maka suku ke-8 adalah ....
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 13 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 17 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Aritmetika
*). Rumus suku k-$n$ : $ U_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan
-). Persamaan pertaman :
$\begin{align} \frac{U_1}{U_5} & = -\frac{1}{7} \\ \frac{a}{a + 4b} & = -\frac{1}{7} \\ -a - 4b & = 7a \\ -4b & = 8a \\ b & = -2a \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua :
$\begin{align} U_6 & = 9 \\ a + 5b & = 9 \, \, \, \, \, \, \, \text{.....dari (i)} \\ a + 5(-2a) & = 9 \\ a -10a & = 9 \\ -9a & = 9 \\ a & = -1 \end{align} $
Pers(i): $ b = -2a = -2.(-1) = 2 $
Nilai $ U_8 = a+7b = -1 + 7.2 = -1 + 14 - 13 $
Jadi, suku ke-8 adalah $ 13 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui median dan rata-rata berat badan 5 balita adalah sama. Setelah ditambahkan satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita diurutan ke-4 adalah .... kg.
A). $ 4 \, $ B). $ \frac{9}{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ \frac{13}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Statistika
1). Median = Nilai tengah,
2). Rata-rata = $ \frac{\text{jumlah semua}}{\text{banyak data}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Data awal : $ a, b, c, d, e $
(Sudah diurutkan dari ringan ke berat).
Median $ = c $ dan rata-rata $ = \frac{a+b+c+d+e}{5} $.
$\begin{align} \text{rata-rata } & = \text{ median } \\ \frac{a+b+c+d+e}{5} & = c \\ a+b+c+d+e & = 5 c \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $

*). Data baru dengan menambahkan $ x $, ada beberapa kemungkinan letak $ x $ yaitu :
a). Kemungkinan I : $ a, b, x, c, d,e $ atau $ a,b,c,x,d,e$
Karena median tetap yaitu $ c $ maka
median $ = c \rightarrow \frac{x+c}{2} = c \rightarrow x = c $.
Rata-rata $ = \frac{(a+b+c+d+e)+x}{6} = \frac{5c + c}{6} c $
(rata-rata tidak meningkat) sehingga kemungkinan I tidak berlaku.

b). Kemungkinan II : $ x,a,b,c,d,e $ atau $ a,x,b,c,d,e$
data keempat adalah $ c $.
-). rata-rata meningkat 1 kg.
$\begin{align} \text{rata-rata } & = c + 1 \\ \frac{a+b+c+d+e+x}{6} & = c + 1 \\ (a+b+c+d+e)+x & = 6c + 6 \\ 5c+x & = 6c + 6 \\ x & = c + 6 \end{align} $
Dari bentuk $ x = c + 6 $ seharusnya nilai $ c $ lebih kecil dari $ x $, akan tetapi pada kemungkinan II ini sebaliknya, sehingga kemungkinan II tidak berlaku.
c). Kemungkinan III : $ a,b,c,d,x,e $ atau $ a,b,c,d,e,x$
data keempat adalah $ d $.
-). Median tetap :
Median $ = c \rightarrow \frac{c+d}{2} = c \rightarrow c = d $
-). rata-rata meningkat 1 kg.
$\begin{align} \text{rata-rata } & = c + 1 \\ \frac{a+b+c+d+e+x}{6} & = c + 1 \\ (a+b+c+d+e)+x & = 6c + 6 \\ 5c+x & = 6c + 6 \\ x & = c + 6 \, \, \, \, \, \, ( c \leq x \, \text{Benar)} \\ x - c & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{(dari } c = d ) \\ x - d & = 6 \end{align} $
Sehingga selisihnya adalah 6.
Jadi, selisihnya adalah $ 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Sumbu simetri grafik $ f(x) = ax^2 + bx + c $ adalah $ x = 1 $. Jika $ f(0)=0 $ dan $ f(4) = -16$ , maka nilai $ b - a $ adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Fungsi Kuadrat
*). Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
Sumbu simetrinya : $ x = \frac{-b}{2a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ dengan sumbu simetri $ x = 1 $ :
$ x = 1 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 1 \rightarrow b = -2a \, $ ....(i)
*). Substitusi $ f(0)=0 $ dan $ f(4) = -16 $ ke fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $
$\begin{align} f(0)=0 \rightarrow a.0^2 + b.0 + c & = 0 \\ c & = 0 \\ \text{sehingga fungsinya :} f(x) & = ax^2 + bx \\ f(4) = -16 \rightarrow a.4^2 + b.4 & = -16 \\ 16a + 4b & = -16 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4a + b & = -4 \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ 4a + b = -4 \rightarrow 4a + (-2a) = -4 \rightarrow 2a = -4 \rightarrow a = -2 $.
Pers(i): $ b = -2a = -2.(-2) = 4 $.
Sehingga nilai $ b - a = 4 - (-2) = 6 $.
Jadi, nilai $ b - a = 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bangun Datar SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bagian yang sama, berturut-turut oleh titik K, L, dan M, N. Jika luas $ \Delta ABC $ adalah $ x $ cm$^2$, maka luas $\Delta KMN $ adalah .... cm$^2$
A). $ \frac{x}{3} \, $ B). $ \frac{2x}{9} \, $ C). $ \frac{x}{9} \, $ D). $ \frac{x}{18} \, $ E). $ \frac{x}{36} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga :
Luas $ = \frac{1}{2}\times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Luas segitiga ABC adalah $ x $ :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = x \\ \frac{1}{2}.BC . BA & = x \\ BC . BA & = 2x \end{align} $
*). Karena dibagi menjadi tiga sama panjang, maka $ MN = \frac{1}{3}BC $ dan $ BK = \frac{2}{3}BA $.
*). Segitiga KMN memiliki alas MN dan tinggi BK.
*). Menentukan Luas segitiga KMN :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta KMN & = \frac{1}{2}\times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2}. MN. BK \\ & = \frac{1}{2}. \frac{1}{3}BC . \frac{2}{3}BA \\ & = \frac{1}{9}.BC.BA \\ & = \frac{1}{9}.2x = \frac{2x}{9} \end{align} $
Jadi, luas segitiga KMN adalah $ \frac{2x}{9} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Jika himpunan penyelesaian $ |2x - a| < 5 $ adalah $ \{ x| -1 < x < 4 \} $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika ada suatu pertidaksamaan memiliki solusi $\{ a < x < b \} $, maka $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar dari persamaannya sehingga $ x = a $ dan $ x = b $ boleh langsung kita substitusikan ke pertidaksamaannya dan tanda ketaksamaan berubah menjadi persamaan.
*). Sifat nilai mutlak : $ |f(x)|=k \rightarrow f(x) = \pm k $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Solusinya adalah $ -1 < x < 4 $, artinya akar-akarnya adalah $ x = -1 $ dan $ x = 4 $, kita substitusikan ke pertidaksamaannya :
$\begin{align} x = -1 \rightarrow |2x - a| & < 5 \\ |2. (-1) - a| & = 5 \\ -2 - a & = \pm 5 \\ -2 - a = 5 & \vee -2 - a = -5 \\ a = -7 & \vee a = 3 \\ x = 4 \rightarrow |2x - a| & < 5 \\ |2. 4 - a| & = 5 \\ 8 - a & = \pm 5 \\ 8 - a = 5 & \vee 8 - a = -5 \\ a = 3 & \vee a = 13 \end{align} $
Sehingga nilai $ a $ yang memenuhi keduanya adalah $ a = 3 $.
Jadi, nilai $ a = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Jika himpunan penyelesaian $ |2x - a| < 5 $ adalah $ \{ x| -1 < x < 4 \} $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Pertidaksamaan bentuk Mutlak :
$ |f(x)| < k \rightarrow -k < f(x) < k $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} |2x - a| & < 5 \, \, \, \, \, \, \text{(sifat nilai mutlak)} \\ -5 < & 2x - a < 5 \, \, \, \, \, \, \text{(tambahkan } a) \\ -5 + a < & 2x - a + a < 5 + a \\ -5 + a < & 2x < 5 + a \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \frac{-5 + a}{2} < & x < \frac{5 + a}{2} \end{align} $
Dimana bentuk terakhir di atas sama dengan $ -1 < x < 4 $, sehingga :
$ \frac{-5 + a}{2} = -1 \rightarrow -5 + a = -2 \rightarrow a = 3 $
$ \frac{5 + a}{2} = 4 \rightarrow 5 + a = 8 \rightarrow a = 3 $
Jadi, nilai $ a = 3 . \, \heartsuit $

$\spadesuit $ Catatan :
Cara pertama ini ada sedikit kelemahan yaitu untuk bentuk yang tidak bisa diubah atau bisa diselesaikan langsung seperti soal ini. Misalkan ada pertidaksamaan $ 2x^2 - ax + b \leq 0 $ memiliki penyelesaian $ -1 \leq x \leq 7 $, maka bagaimana cara menentukan nilai $ a $ dan $ b $ nya secara langsung? Padalah bentuk $ 2x^2 - ax + b = 0 $ tidak bisa kita faktorkan untuk mencari akar-akarnya. Nah, untuk solusinya, silahkan baca cara kedua untuk pembahasan soal ini.

Pembahasan Matriks SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 224

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ A^T $ adalah transpos matriks A. Jika $ A = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ 0 & b \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $ sehingga $ A^TB = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & 10 \end{matrix} \right) $ , maka nilai $ a + b $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Transpose matriks
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
*). Perkalian matriks = Baris $ \times $ kolom

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Transpos matriksnya :
$ A = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ 0 & b \end{matrix} \right) \rightarrow A^T = \left( \begin{matrix} a & 0 \\ 1 & b \end{matrix} \right) $
*).Persamaan matriksnya :
$\begin{align} A^TB & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & 10 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & 0 \\ 1 & b \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & 10 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & 2a \\ 1+2b & 2 + 4b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & 10 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari persamaan matriks di atas,
$ a = 2 $ dan $ 1 + 2b = 5 \rightarrow b = 2 $.
Sehingga nilai $ a + b = 1 + 2 = 3 $.
Jadi, nilai $ a + b = 3 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika Dasar Kode 224


Nomor 1
Misalkan $ A^T $ adalah transpos matriks A. Jika $ A = \left( \begin{matrix} a & 1 \\ 0 & b \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $ sehingga $ A^TB = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 5 & 10 \end{matrix} \right) $ , maka nilai $ a + b $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 2
Jika himpunan penyelesaian $ |2x - a| < 5 $ adalah $ \{ x| -1 < x < 4 \} $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 3
Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bagian yang sama, berturut-turut oleh titik K, L, dan M, N. Jika luas $ \Delta ABC $ adalah $ x $ cm$^2$, maka luas $\Delta KMN $ adalah .... cm$^2$
A). $ \frac{x}{3} \, $ B). $ \frac{2x}{9} \, $ C). $ \frac{x}{9} \, $ D). $ \frac{x}{18} \, $ E). $ \frac{x}{36} $
Nomor 4
Sumbu simetri grafik $ f(x) = ax^2 + bx + c $ adalah $ x = 1 $. Jika $ f(0)=0 $ dan $ f(4) = -16$ , maka nilai $ b - a $ adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 \, $
Nomor 5
Diketahui median dan rata-rata berat badan 5 balita adalah sama. Setelah ditambahkan satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita diurutan ke-4 adalah .... kg.
A). $ 4 \, $ B). $ \frac{9}{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ \frac{13}{2} \, $

Nomor 6
Hasil bagi suku pertama oleh suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah $ -\frac{1}{7}$. Jika suku ke-6 barisan tersebut adalah 9, maka suku ke-8 adalah ....
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 13 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 17 $
Nomor 7
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah $(6-0,02x) \, $ kg, dengan $ x $ menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah .... kg.
A). $ 400 \, $ B). $ 420 \, $ C). $ 435 \, $ D). $ 450 \, $ E). $ 465 $
Nomor 8
Suku ke-3 suatu barisan geometri dengan rasio negatif adalah $ \frac{1}{2} $. Perbandingan suku ke-4 terhadap suku ke-2 adalah $ \frac{1}{4}$. Jumlah 4 suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{5}{4} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ \frac{10}{3} \, $ E). $ 4 $
Nomor 9
Diketahui $ f(x) = x^2 - 1 $ dan $ g(x) = \sqrt{x-3} $. Jika $ a $ dan $ b $ bilangan real sehingga $(g\circ f)(a)=(f\circ g)(b) = 0 $ , maka maksimum selisih $ a $ dan $ b $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 $
Nomor 10

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik X terletak pada rusuk EF sejauh 2 cm dari F dan Y adalah titik potong perpanjangan AX dan perpanjangan BF. Jika panjang rusuk kubus tersebut 6 cm, maka jarak Y ke G adalah .... cm.
A). $ 2\sqrt{6} \, $ B). $ 3\sqrt{3} \, $ C). $ 3\sqrt{5} \, $ D). $ 2\sqrt{17} \, $ E). $ 3\sqrt{13} $

Nomor 11
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ x - y \geq 3 $, $ 2x - y \leq 8 $ , $ y \geq 0 $ adalah .... satuan luas.
A). $ 4 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{1}{4} $
Nomor 12
Jika garis $ y = x + 2 $ ditranslasi dengan $ \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $ dan kemudian dicerminkan terhadap sumbu-X, maka petanya adalah garis $ y = ax + b $. Nilai $ a + b $ adalah .....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $
Nomor 13
$ \int \frac{1-x}{\sqrt{x}} dx = .... $
A). $ \frac{3}{2}(3+x)\sqrt{x} + C \, $
B). $ \frac{2}{3}(3-x)\sqrt{x} + C \, $
C). $ \frac{2}{3}(3+\sqrt{x})x + C \, $
D). $ \frac{1}{3\sqrt{x}} \left( \frac{1}{x} - 1 \right) + C \, $
E). $ \frac{1}{2\sqrt{x}} \left( \frac{1}{x} + 1 \right) + C $
Nomor 14
Jika $ f(x) = ax+b $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{\sqrt{x}-2} = -4 $, maka $ f(1) = .... $
A). $ -5 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 15
Banyak susunan simbol yang terdiri atas tiga angka (boleh berulang) dan huruf vokal (boleh berulang) dengan syarat tidak boleh ada dua huruf berdekatan adalah ....
A). 75.000
B). 175.000
C). 100.000
D). 150.000
E). 125.000

Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung dari $ f(x) = \frac{1}{x^2 \cos x} $ di titik $ x = \pi $ memotong garis $ y = x + c $ di titik $(\pi, 0 )$. Nili $ c $ adalah ....
A). $ -\frac{1}{4}\pi \, $ B). $ -\frac{1}{2}\pi \, $ C). $ -\pi \, $ D). $ \frac{1}{2}\pi \, $ E). $ \pi \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suatu garis singgung kurva berpotongan dengan garis lain di titik $(x_1,y_1)$, maka titik tersebut bisa kita substitusikan ke salah satu garis.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Garis singgung berpotongan dengan garis $ y = x + c $ di titik $(\pi , 0)$ , sehingga titik tersebut bisa kita substitusikan ke garisnya :
$\begin{align} (x,y)=(\pi , 0) \rightarrow y & = x + c \\ 0 & = \pi + c \\ -\pi & = c \end{align} $
Jadi, nilai $ c = -\pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = 2\tan \left( \sqrt{\sec x} \right) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \tan x \, $
B). $ \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sqrt{\sec x}. \tan x \, $
C). $ 2\sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sqrt{\sec x} . \tan x \, $
D). $ \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sec x . \tan x \, $
E). $ 2\sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sec x . \tan x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = \sec ^2 ( g(x) ) . g^\prime (x) $.
$ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x . \tan x $
$ y = [h(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[h(x)]^{n-1}. h^\prime (x) $.
*). Sifat eksponen : $ a^m.a^n = a^{m+n} $ dan $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ g(x) = \sqrt{\sec x } = (\sec x )^\frac{1}{2} $ , Turunannya :
$ \begin{align} g^\prime (x) & = \frac{1}{2} (\sec x)^{-\frac{1}{2}} . \sec x . \tan x \\ & = \frac{1}{2} (\sec x)^{-\frac{1}{2} + 1} . \tan x \\ & = \frac{1}{2} (\sec x)^{\frac{1}{2} } . \tan x \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{ \sec x} . \tan x \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} f(x) & = 2\tan \left( \sqrt{\sec x} \right) \\ f(x) & = 2\tan \left( g(x) \right) \\ f^\prime (x) & = 2\sec ^2 ( g(x) ) . g^\prime (x) \\ f^\prime (x) & = 2\sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \frac{1}{2} \sqrt{ \sec x} . \tan x \\ f^\prime (x) & = \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sqrt{ \sec x} . \tan x \end{align} $
Jadi, $ f^\prime (x) = \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sqrt{ \sec x} . \tan x . \, \heartsuit $

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Grafik fungsi $ f(x) = \frac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} $ , $ k $ bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jika $ k = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Asimtot tegak $ x = a $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ adalah akar dari penyebutnya.
*). Kurva $ y = f(x) $ memiliki satu asimtot tegak jika penyebutnya hanya mempunyai satu faktor yang berbeda.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Meyederhanakan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = \frac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} \\ & = \frac{(x+2)^k(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)(x+1)(x+2)} \\ & = \frac{(x+2)^k}{(x+2)^2} \end{align} $
*). Agar $ f(x) $ mempunyai satu asimtot mendatar, maka faktor penyebut harus tetap tersisa ketika disederhanakan dengan pembilangnya (harus satu jenis faktor saja) yaitu pada saat $ k = 1 $ ($k$ adalah bilangan asli).
*). Ilustrasi untuk beberapa nilai $ k $ dengan $ f(x) = \frac{(x+2)^k}{(x+2)^2} $ :
$\begin{align} k = 1 \rightarrow f(x) & = \frac{(x+2)^1}{(x+2)^2} = \frac{1}{x+2} \\ (\text{ada } & \text{ asimtot}) \\ k = 2 \rightarrow f(x) & = \frac{(x+2)^2}{(x+2)^2} = 1 \\ (\text{tidak ada } & \text{ asimtot}) \\ k = 3 \rightarrow f(x) & = \frac{(x+2)^3}{(x+2)^2} = x + 2 \\ (\text{tidak ada } & \text{ asimtot}) \\ k = 4 \rightarrow f(x) & = \frac{(x+2)^4}{(x+2)^2} = (x+2)^2 \\ (\text{tidak ada } & \text{ asimtot}) \end{align} $
Artinya fungsi $ f(x) $ tidak mempunyai asimtot tegak saat $ x =\{ 2, 3, 4, ....\} $.
Jadi, $ f(x) $ mempunyai satu asimtot tegak jika $ k = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, 2x \tan \frac{1}{x}. \sec \frac{2}{x} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\tan y}{y} = 1 $.
*). Rumus Trigonometri : $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
*). Bentuk pecahan : $ a.b = \frac{b}{\frac{1}{a}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, 2x \tan \frac{1}{x}. \sec \frac{2}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ \tan \frac{1}{x}. 2\sec \frac{2}{x} }{\frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ \tan \frac{1}{x}. 2\sec 2\frac{1}{x} }{\frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \tan y. 2\sec 2y }{y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{ \tan y }{y} . 2\sec 2y \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{ \tan y }{y} . \frac{2}{\cos 2y} \right) \\ & = 1 . \frac{2}{\cos 0} \\ & = 1 . \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4x + 3x \cos 2x}{\sin x \cos x} = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4x + 3x \cos 2x}{\sin x \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(4 + 3 \cos 2x)}{\sin x \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} . \frac{4 + 3 \cos 2x}{\cos x} \\ & = 1 . \frac{4 + 3 \cos 0}{\cos 0} \\ & = \frac{7}{1} = 7 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan
$ f(x) = 3x^3 - 9x^2 + 4bx + 18 = (x-2)g(x) + 2b $
maka $ g(-2) = .... $
A). $ 12 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan nilai tertentu pada suku banyak (polinom), bisa langsung substitusikan saja nilai $ x $ (variabelnya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusikan $ x = 2 $ untuk menentukan nilai $ b $ :
$\begin{align} 3x^3 - 9x^2 + 4bx + 18 & = (x-2)g(x) + 2b \\ 3.2^3 - 9.2^2 + 4b.2 + 18 & = (2-2)g(2) + 2b \\ 24 - 36 + 8b + 18 & = 0 + 2b \\ 8b + 6 & = 2b \\ 6b & = -6 \\ b & = -1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ g(-2)$ dengan substitusi $ x=-2 $ :
$\begin{align} 3x^3 - 9x^2 + 4bx + 18 & = (x-2)g(x) + 2b \\ 3.(-2)^3 - 9.(-2)^2 + 4.(-1).(-2) + 18 & = (-2-2)g(-2) + 2.(-1) \\ -24 - 36 + 8 + 18 & = -4.g(-2) -2 \\ -34 & = -4.g(-2) -2 \\ 4.g(-2) & = 34 -2 \\ 4.g(-2) & = 32 \\ g(-2) & = \frac{32}{4} = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ g(-2) = 8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola :
$ 9x^2 - 36x - 4y^2 + 8y - 4 = 0 $ adalah ....
A). $ y = -\frac{3}{2}x - 2 \, $
B). $ y = -\frac{3}{2}x - 4 \, $
C). $ y = \frac{3}{2}x + 2 \, $
D). $ y = \frac{3}{2}x - 2 \, $
E). $ y = \frac{3}{2}x + 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
atau persamaan asimtotnya juga dapat dicari dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 0 $
*). Kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{2})^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} 9x^2 - 36x - 4y^2 + 8y - 4 & = 0 \\ 9(x^2 - 4x) - 4(y^2 - 2y) - 4 & = 0 \\ 9[(x-2)^2 - 4] - 4[(y-1)^2 - 1] - 4 & = 0 \\ 9(x-2)^2 -36 - 4(y-1)^2 +4 - 4 & = 0 \\ 9(x-2)^2 - 4(y-1)^2 & = 36 \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ \frac{9(x-2)^2}{36} - \frac{4(y-1)^2}{36} & = \frac{36}{36} \\ \frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-2)^2}{2^2} - \frac{(y-1)^2}{3^2} & = 1 \end{align} $
Artinya : $ p = 2, q = 1, a = 2, b = 3 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y-1 & = \pm \frac{3}{2} (x-2) \\ y-1 = \frac{3}{2} (x-2) & \vee y-1 = - \frac{3}{2} (x-2) \\ y-1 = \frac{3}{2}x- 3 & \vee y-1 = - \frac{3}{2}x + 3 \\ y = \frac{3}{2}x- 3 + 1 & \vee y = - \frac{3}{2}x + 3 + 1 \\ y = \frac{3}{2}x- 2 & \vee y = - \frac{3}{2}x +4 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah :
$ y = \frac{3}{2}x- 2 $ atau $ y = - \frac{3}{2}x +4 $ .
Jadi, yang ada di option adalah $ y = \frac{3}{2}x- 2 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Jika teman-teman lupa dengan rumus persamaan asimtotnya, maka dari persamaan hiperbola bakunya, kita ganti 1 dengan 0.
-). Persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} \frac{(x-2)^2}{2^2} - \frac{(y-1)^2}{3^2} & = 1 \\ \frac{(x-2)^2}{2^2} - \frac{(y-1)^2}{3^2} & = 0 \\ \frac{(y-1)^2}{3^2} & = \frac{(x-2)^2}{2^2} \\ (y-1)^2 & = \frac{3^2}{2^2} (x-2)^2 \\ (y-1) & = \pm \sqrt{ \frac{3^2}{2^2} (x-2)^2 } \\ (y-1) & = \pm \frac{3}{2} (x-2) \end{align} $
(hasilnya sama dengan asimtot di atas).

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \frac{2\tan x}{1 - \tan ^2 x} - 5 = 0 $, dengan $ 0 < x <\frac{\pi}{2} $, maka $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = .... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{26}} \, $ B). $ \frac{2}{\sqrt{26}} \, $ C). $ \frac{3}{\sqrt{26}} \, $ D). $ \frac{4}{\sqrt{26}} \, $ E). $ \frac{5}{\sqrt{26}} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $
$ \tan 2 x = \frac{2\tan x}{1 - \tan ^2 x } $
$ \tan x = \frac{depan}{samping} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \tan 2x $ :
$\begin{align} \frac{2\tan x}{1 - \tan ^2 x} - 5 & = 0 \\ \tan 2x - 5 & = 0 \\ \tan 2x & = 5 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos 2x $ dari $ \tan 2x = 5 = \frac{5}{1} = \frac{depan}{samping} $ :
Segitiga siku-sikunya :
 

Nilai $ \cos 2x = \frac{samping}{miring} = \frac{1}{\sqrt{26}} $.
Sehingga $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x = \frac{1}{\sqrt{26}} $.
Jadi, nilai $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \frac{1}{\sqrt{26}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui tiga vektor $ \vec{a}, \vec{b}, $ dan $ \vec{c} $ dengan $|\vec{b}| = 3 $ , $ |\vec{c}| = 4 $ , dan $ \vec{a} = \vec{c} - \vec{b} $ . Jika $ \gamma $ adalah sudut antara vektor $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ , dengan $ \vec{a}.\vec{c} = 25 $, maka $ \sin \gamma = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{\sqrt{7}}{6} \, $ E). $ \frac{\sqrt{7}}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha \rightarrow \cos \alpha = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$ \vec{a}.\vec{a} = (\vec{a})^2 = |\vec{a}|^2 $
$ |\vec{q} - \vec{r}|^2 = |\vec{q}|^2 + |\vec{r}|^2 - 2\vec{q}.\vec{r} $
*). Rumus identitas trigonometri :
$\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin x = \sqrt{1 - \cos ^2 x } $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang $\vec{a}$, disimbolkan $ |\vec{a}| $ :
$\begin{align} \vec{a} & = \vec{c} - \vec{b} \\ \vec{b} & = \vec{c} - \vec{a} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\vec{b})^2 & = (\vec{c} - \vec{a})^2 \\ |\vec{b}|^2 & = |\vec{c} - \vec{a}|^2 \\ |\vec{b}|^2 & = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}.\vec{c} \\ 3^2 & = 4^2 + |\vec{a}|^2 - 2 \times 25 \\ |\vec{a}|^2 & = 43 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{b}.\vec{c} $ :
$\begin{align} \vec{a} & = \vec{c} - \vec{b} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\vec{a})^2 & = (\vec{c} - \vec{b})^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{c} - \vec{b}|^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{c}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{b}.\vec{c} \\ 43 & = 4^2 + 3^2 - 2\vec{b}.\vec{c} \\ 2\vec{b}.\vec{c} & = - 18 \\ \vec{b}.\vec{c} & = -9 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos \gamma $ :
$\begin{align} \cos \gamma & = \frac{\vec{b}.\vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|} \\ & = \frac{-9}{3 . 4} = \frac{-3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin \gamma $ :
$\begin{align} \sin \gamma & = \sqrt{1 - \cos ^2 \gamma } \\ & = \sqrt{1 - (\frac{-3}{4})^2 } \\ & = \sqrt{1 - \frac{9}{16} } = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \gamma = \frac{\sqrt{7}}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Banyakknya bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{3x+6}{|x-1|} > 4 $ adalah .....
A). $ 5 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |x-1| = \left\{ \begin{array}{ccc} x-1 & , \text{untuk } x - 1 \geq 0 & \rightarrow x \geq 1 \\ -(x-1) & , \text{untuk } x - 1 < 0 & \rightarrow x < 1 \end{array} \right. $
Artinya bentuk mutlak kita bagi menjadi dua berdasarkan batas $ x $ yaitu untuk $ x \geq 1 $ dan untuk $ x < 1 $.
*). Untuk $ x \geq 1 $ , maka $ |x-1| = x-1 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{3x+6}{|x-1|} & > 4 \\ \frac{3x+6}{x-1} - 4 & > 0 \\ \frac{3x+6}{x-1} - \frac{4(x-1)}{x-1} & > 0 \\ \frac{-x + 10}{x-1} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ -x + 10 = 0 \rightarrow x = 10 $,
$ x - 1 = 0 \rightarrow x = 1 $.
Garis bilangannya :
 

HP1 $ = \{ x \geq 1 \} \cap \{ 1 < x < 10 \} = \{ 1 < x < 10 \} $
*). Untuk $ x < 1 $ , maka $ |x-1| = -(x-1) = -x + 1 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{3x+6}{|x-1|} & > 4 \\ \frac{3x+6}{-x + 1} - 4 & > 0 \\ \frac{3x+6}{-x + 1} - \frac{4(-x+1)}{-x+1} & > 0 \\ \frac{7x + 2}{-x+1} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ 7x + 2 = 0 \rightarrow x = -\frac{2}{7} $,
$ -x + 1 = 0 \rightarrow x = 1 $.
Garis bilangannya :
 

HP2 $ = \{ x < 1 \} \cap \{ -\frac{2}{7} < x < 1 \} = \{ -\frac{2}{7} < x < 1 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 \\ & = \{ 1 < x < 10 \} \cup \{ -\frac{2}{7} < x < 1 \} \\ & = \{ -\frac{2}{7} < x < 1 \} \cup \{ 1 < x < 10 \} \end{align} $
Bilangan bulatnya $ =\{ 0,2,3,4,5,6,7,8,9\} $.
Jadi, ada 9 bilangan bulat yang memenuhi $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{x + y} + \frac{1}{2x - y} = 2 \\ -\frac{4}{x + y} + \frac{3}{2x - y} = 1 \\ \end{array} \right. $
maka nilai $ 2x^2 + xy - y^2 = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan dapat dilakukan dengan metode eliminasi dan substitusi.