Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Garis singgung kurva $ f(x) = -x^2 + 2\sqrt{x} \, $ di titik (4,-12) memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik $(p,0) $ dan $(0,q)$. Nilai $ q - 5p = .... $
$ \clubsuit \, $ Konsep Garis singgung
Persamaan garis singgung (PGS) pada kurva $ y = f(x) \, $ di titik $(x_1,y_1) \, $ adalah $ y - y_1 = m(x-x_1) \, $ dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
$ \clubsuit \, $ Menentukan gradien $(m) \, $ di titik $(x_1,y_1) = (4,-12) $
$\begin{align} f(x) & = -x^2 + 2\sqrt{x} \\ f^\prime (x) & = -2x + 2\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ f^\prime (x) & = -2x + \frac{1}{\sqrt{x}} \\ m & = f^\prime (x_1) = f^\prime (4) \\ m & = -2.4 + \frac{1}{\sqrt{4}} \\ & = -8 + \frac{1}{2} \\ & = - \frac{15}{2} \end{align}$
$ \clubsuit \, $ Menentukan PGS
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - (-12) & = - \frac{15}{2} (x-4) \\ y + 12 & = - \frac{15}{2} (x-4) \end{align}$
$ \clubsuit \, $ Memotong sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$\begin{align} y = 0 \rightarrow y + 12 & = - \frac{15}{2} (x-4) \\ 0 + 12 & = - \frac{15}{2} (x-4) \\ 24 & = -15x + 60 \\ 15x & = 36 \\ x & = \frac{36}{15} = \frac{12}{5} \end{align}$
titiknya : $ (p,0) = (\frac{12}{5} , 0) \, $ artinya $ p = \frac{12}{5} $.
$ \clubsuit \, $ Memotong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y + 12 & = - \frac{15}{2} (x-4) \\ y + 12 & = - \frac{15}{2} (0-4) \\ y + 12 & = 30 \\ y & = 18 \\ \end{align}$
titiknya : $ (0,q) = (0,18) \, $ artinya $ q = 18 $.
Sehingga nilai : $ q - 5p = 18 - 5.(\frac{12}{5}) = 6 $
Jadi, nilai $ q - 5p = 6. \, \heartsuit $
Nomor 12
Jika diberikan $ \left[ \begin{matrix} 2x-5 & 1 \\ 8 & 5^{-4+3y} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 8 & 25 \end{matrix} \right] $
maka nilai dari $ 2x - 3y \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan :
$ \left[ \begin{matrix} 2x-5 & 1 \\ 8 & 5^{-4+3y} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 8 & 25 \end{matrix} \right] $
Persamaan pertama :
$\begin{align} 2x-5 & = 3 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x = 4 \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} 5^{-4+3y} & = 25 \\ 5^{-4+3y} & = 5^2 \\ -4+3y & = 2 \\ 3y & = 6 \\ y & = 2 \end{align}$
Sehingga nilai : $ 2x - 3y = 2.4 - 3.2 = 8 - 6 = 2 $.
Jadi, nilai $ 2x - 3y = 2 \, $ (tidak ada di pilihan) . $\heartsuit $
Nomor 13
Luas daerah A yang dibatasi oleh grafik $ y = x^2, \, y = x^2 - 20x + 100 \, $ dan $ y = 0 \, $ dapat dinyatakan sebagai ...
A). $ \int \limits_0^{10} (2x^2 - 20x + 100) dx $
B). $ \int \limits_0^{10} ( 20x - 100) dx $
C). $ \int \limits_0^{5} x^2 dx - \int \limits_5^{10} ( 20x - 100) dx $
D). $ \int \limits_0^{5} x^2 dx + \int \limits_0^{10} ( x^2 - 20x + 100) dx $
E). $ \int \limits_0^{5} x^2 dx + \int \limits_5^{10} ( x^2 - 20x + 100) dx $
$\clubsuit \,$ Menggambar grafik fungsi kuadratnya
*). fungsi $ y = x^2 \, $ menyinggung sumbu X di 0 dan hadap atas karena $ a = 1 > 0 $.
*). fungsi $ y = x^2 - 20x + 100 \, $ menyinggung sumbu X di 10 dan hadap atas karena $ a = 1 > 0 $.
*). fungsi $ y = 0 \, $ berupa garis yaitu sumbu X itu sendiri.
$\clubsuit \,$ titik potong kedua kurva
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = x^2 - 20x + 100 \\ 20x & = 100 \\ x & = 5 \end{align} $
Ilustrasi gambarnya :
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_13
Dari gambar ini, daerah yang dibatasi oleh ketiga kurva dibagi menjadi dua yaitu daerah A dan daerah B.
$\clubsuit \,$ Menentukan luas daerah arsiran
$\begin{align} \text{Luas total } & = L_A + L_B \\ & = \int \limits_{0}^{5} x^2 dx + \int \limits_{5}^{10} x^2 - 20x + 100 dx \end{align} $
Jadi, luas daerahnya adalah $ \int \limits_{0}^{5} x^2 dx + \int \limits_{5}^{10} x^2 - 20x + 100 dx . \, \heartsuit $
Nomor 14
Pertaksamaan $ \frac{x^2 + 2x - 15}{2x^2 + 11x + 5} \leq 0 \, $ berlaku untuk ....
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \frac{x^2 + 2x - 15}{2x^2 + 11x + 5} & \leq 0 \\ \frac{(x-3)(x+5)}{(2x+1)(x+5)} & \leq 0 \\ x = 3, \, x = -5 , \, x & = -\frac{1}{2} \end{align}$
Keterangan :
Akar-akar penyebut tidak boleh ikut $( x = -5, x = -\frac{1}{2} ) $ .
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_14
Karena yang diminta $ \leq 0 \, $ , maka daerah yang diarsir adalah daerah bertanda negatif. Sehingga solusinya $ HP = \{ -\frac{1}{2} < x \leq 3 \} $
Jadi, solusinya $ \, HP = \{ -\frac{1}{2} < x \leq 3 \} . \, \heartsuit $
Nomor 15
Dalam himpunan penyelesaian yang memenuhi seistem pertaksamaan $ x \geq 1, \, y \geq 3, \, x + y \leq 8 \, $ dan $ 2x + 3y \leq 20, \, $ nilai minimum dari fungsi $ f(x,y) = 3x + 2y \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Menggambar Daerah Himpunan Penyelesaiannya (DHP)
*). Gambar garis kedua persamaan :
$ x + y = 8 \rightarrow (0,8) , \, (8,0) $
$ 2x + 3y = 20 \rightarrow (0,\frac{20}{3}) , \, (10,0) $
garis $ x = 1 \, $ adalah garis tegak.
garis $ y = 3 \, $ adalah garis mendatar.
*). Titik potong kedua garis, eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 20 & \times 1 & 2x + 3y = 20 & \\ x + y = 8 & \times 2 & 2x + 2y = 16 & - \\ \hline & & y = 4 & \end{array} $
pers(i) : $ x + y = 8 \rightarrow x + 4 = 8 \rightarrow x = 4 $.
titik potongnya : (4,4)
Gambar DHP nya :
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_15
*). Susbstitusi $ x = 1 \, $ ke persamaan $ 2x + 3y = 20 \, $ :
$ 2x + 3y = 20 \rightarrow 2.1 + 3y = 20 \rightarrow 2 + 3y = 20 \rightarrow y = 6 $
Sehingga diperoleh titik D(1,6)
*). Susbstitusi $ y=3 \, $ ke persamaan $ x + y = 8 \, $ :
$ x + y = 8 \rightarrow x + 3 = 8 \rightarrow x = 5 $
Sehingga diperoleh titik B(5,3)
$\clubsuit \,$ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $ f(x,y) = 3x + 2y $
$\begin{align} A(1,3) \rightarrow f(1,3) & = 3.1 + 2.3 = 9 \\ B(5,3) \rightarrow f(5,3) & = 3.5 + 2.3 = 21 \\ C(4,4) \rightarrow f(4,4) & = 3.4 + 2.4 = 20 \\ D(1,6) \rightarrow f(1,6) & = 3.1 + 2.6 = 15 \end{align} $
Jadi, nilai minimumnya adalah 9. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \cos (x-2)}{x^2 - 4} \, $ adalah ...
$ \spadesuit \, $ Pada soal ini, setelah dihitung dsesuai soal aslinya menggunakan $ \cos (x-2) \, $ , ternyata tidak ada jawabannya. menurut kami, ada kesalahan pengetikan, seharusnya menggunakan bentuk $ \sin (x-2) $.
Soal menjadi : $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} $.
$ \spadesuit \, $ konsep limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan syarat $ f(k) = 0 $.
$ \spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x+2)(x-3) \sin (x-2)}{(x-2)(x+2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-3) \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x-3) \frac{ \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = (2-3) \frac{ 1}{1} \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ -1. \, \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui $ g(2x-1) = x - 2 \, $ dan $ (f\circ g)(2x-1) = x^2 + x - 6. \, $ Nilai $ f(-1) \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Substitusi $ g(2x-1) = x - 2 \, $ ke bentuk komposisinya
$ \begin{align} (f\circ g)(2x-1) & = x^2 + x - 6 \\ f ( g(2x-1) ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \end{align} $
*). Yang ditanyakan nilai $ f(-1) \, $ , sementara kita peroleh bentuk $ f( x- 2 ) \, $ artinya $ x - 2 = -1 \rightarrow x = 1 $. Sehingga cukup kita substitusi $ x = 1 \, $ ke fungsi $ f(x-2) \, $ nya.
$\clubsuit \, $ Substitusi $ x = 1 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( 1 - 2 ) & = 1^2 + 1 - 6 \\ f ( -1 ) & = 1 + 1 - 6 \\ & = -4 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(-1) = -4. \, \heartsuit $
Nomor 8
Bilangan terdiri dari tiga angka akan disusun dari angka 1, 2, 3, 5, 7, dan 9. Banyaknya bilangan yang dapat disusun dengan susunan angka-angka yang berlainan dan nilainya lebih kecil dari 700 adalan ....
$\clubsuit \, $ Pilihan angka ada 6 yaitu : 1, 2, 3, 5, 7, 9
$\clubsuit \, $ Dibentuk tiga angka dengan susunan angka yang berlainan dan lebih kecil dari 700
Total banyaknya angka yang terbentuk adalah :
Ratusan ada 4 pilihan, puluhan ada 5 pilihan, dan satuan ada 4 pilihan.
total $ = 4.5.4 = 80 \, $ angka.

Keterangan :
*). Ratusan : agar kurang dari 700, maka ratusan yang mungkin dipilih dari angka 1, 2, 3, 5 (ada 4 pilihan).
*). Puluhan : puluhannya bebas, tetapi satu angka sudah dipakai untuk ratusan, sehingga tersisa 5 pilihan angka untuk puluhan.
*). Satuan : satuan tersisa 4 pilihan karena dua anagka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Jadi, ada 80 angka yang terbentuk yang terdiri dari tiga angka. $ \, \heartsuit $
Nomor 9
Jika tersedia bahan aluminium 1200 cm$^2 \, $ untuk membuat suatu kotak dengan alas berbentuk bujursangkar (persegi) dengan bagian atas terbuka, volume kotak terbesar yang mungkin terbentuk adalah ....
Cara I :
$\spadesuit \, $ Misalkan alas balok persegi dengan rusuk $ x \, $ dan tingginya $ t $
$\spadesuit \, $ Diketahui luas bahan 1200, artinya luas bahan sama dengan luas permukaan balok tanpa tutup.
$\begin{align} \text{luas permukaan tanpa tutup } & = 1200 \\ x^2 + 4xt & = 1200 \\ t & = \frac{1200 - x^2}{4x} \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi volume balok dengan substitusi pers(i)
$\begin{align} \text{vlume balok } & = \text{luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = x^2 . t \, \, \, \, \, \text{[subst. pers(i)]} \\ & = x^2 . \frac{1200 - x^2}{4x} \\ V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Volume maksimum saat turunan pertama = 0 :
$\begin{align} V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V^\prime (x) & = \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) \\ V^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) & = 0 \\ 3x^2 & = 1200 \\ x^2 & = 400 \\ x & = \sqrt{400} = 20 \end{align}$
Artinya volume akan maksimum saat $ x = 20 \, $ cm.
$\spadesuit \, $ Menentukan volume maksimumnnya untuk $ x = 20 $
$\begin{align} x = 20 \rightarrow V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V(20) & = \frac{1}{4}(1200 \times 20 - 20^3) \\ & = \frac{1}{4}(24000 - 8000) \\ & = \frac{1}{4}(16000) \\ & = 4000 \end{align}$
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm$^3 . \, \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Volume maksimum jika diketahui luas permukaan $(L_p) $ dan alas kotak berupa persegi :
*). Kotak dengan tutup
$ V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{6}} $
*). Kotak tanpa tutup
$ V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}} $
Rumus pasti di atas diperoleh dari konsep dasar turunan dan pasti benar.
$\spadesuit \, $ Volume maksimum kotak tanpa tutup dengan $ L_p = 1200 $
$\begin{align} V_{maks} & = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}} \\ & = \frac{1200}{6} \sqrt{\frac{1200}{3}} \\ & = 200 \sqrt{400} \\ & = 200 . 20 \\ & = 4000 \end{align}$
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm$^3 . \, \heartsuit $
Nomor 10
Fungsi kuadrat $ f(x) = -2x^2 - 4x + 2p \, $ selalu bernilai negatif jika ....
$ \clubsuit \, $ Konsep Definit Negatif
*). Definit negatif artinya fungsi kuadrat selalu bernilai negatif untuk semua nilai $ x \, $.
*). Syarat definit negatif : $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
$ \clubsuit \, $ Fungsi kuadrat $ f(x) = -2x^2 - 4x + 2p \, $
Nilai $ a = -2, \, b = -4, \, $ dan $ c = 2p $
$ \clubsuit \, $ Syarat definit negatif :
*). Nilai $ a = -2 < 0 \, $ (benar) artinya sudah terpenuhi.
*). Nilai $ D < 0 $
$\begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (-4)^2 - 4.(-2). (2p) & < 0 \\ 16 + 16p & < 0 \\ 16p & < -16 \\ p & < -1 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ p < -1 \, $ agar fungsi kuadratnya bernilai negatif. $ \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015


Nomor 1
Jika A = {semua faktor dari 15} dan B = {bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 20}, maka pernyataan berikut yang benar adalah .....
A). $ A - B = A $
B). $ A - B = \{1,5\} $
C). $ B - A = A $
D). $ A \cap B \neq \{ \, \} $
E). $ A \cup B = \{ 1,3,4,5,8,12,15 \} $
$ \spadesuit \, $ Konsep dasar dari $ A - B $ dan $ B - A $ :
$ A - B = \{ x | x \in A \text{ dan } x \not \in A\cap B \} $
$ B - A = \{ x | x \in B \text{ dan } x \not \in A\cap B \} $
$ \spadesuit \, $ Menentukan anggota himpunan A dan B
A = { semua faktor dari 15 } = { 1, 3, 5, 15 }
B = {bilangan asli kelipatan 4 kurang dari 20}
B = { 4 , 8 , 12, 16 }
Sehingga :
Irisan keduanya : $ A \cap B = \{ \, \} \, $ (kosong).
Gabungan : $ A \cup B = \{ 1, 3, 4, 5, 8, 12, 15, 16 \} $.
$ \spadesuit \, $ Menentukan hasil $ A - B \, $ dan $ B - A $ :
karena hasil $ A \cap B = \{ \, \} \, $ adalah himpunan kosong, maka sesuai definisi dari $ A - B \, $ kita peroleh hasil : $ A - B = A \, $ dan $ B - A = B $ .
Jadi, yang benar adalah $ A - B = A \, $ sesuai pilihan A. $ \, \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui $ f(x) = 6x^2 - 5ax + 2b \, $ dengan $ f(0) = 10 \, $ dan $ f^\prime (2) = - 4. \, $ Nilai $ b - a = .... $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan fungsi dan substitusi $ f^\prime (2) = -4 $
$\begin{align} f(x) &= 6x^2 - 5ax + 2b \\ f^\prime (x) & = 12x - 5a \\ f^\prime (2) & = -4 \\ 12. 2 - 5a & = -4 \\ 24 - 5a & = -4 \\ 5a & = 28 \\ a & =\frac{28}{5} \end{align}$
Sehingga fungsinya menjadi :
$ f(x) = 6x^2 - 5ax + 2b $
$ f(x) = 6x^2 - 5. \frac{28}{5} x + 2b = 6x^2 - 28x + 2b $
$\clubsuit \, $ Susbstitusi $ f(0) = 10 \, $ ke $ f(x) = 6x^2 - 28x + 2b $
$\begin{align} f(x) & = 6x^2 - 28x + 2b \\ f(0) & = 10 \\ 6.0^2 - 28.0 + 2b & = 10 \\ 2b & = 10 \\ b & = 5 \end{align}$
Sehingga nilai $ b - a = 5 - \frac{28}{5} = -\frac{3}{5} $
Jadi nilai $ b - a = -\frac{3}{5}. \, \heartsuit $
Nomor 3
Lima bilangan bulat positif $ a_1,a_2,a_3,a_4, \, $ dan $ a_5 \, $ yang berurutan jika dijumlahkan hasilnya 500. Pernyataan berikut ini yang benar adalah ....
A). $ a_4 - a_2 = 3 $
B). Bilangan terkecil adalah 97
C). Bilangan terbesar adalah 102
D). $ a_1 + a_5 = 198 $
E). $ a_5 - a_1 = 5 $
$ \spadesuit \, $ Barisan artimetika : $ u_n = a + (n-1)b \, \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$ \spadesuit \, $ Analisa soal :
Bilangan $ a_1,a_2,a_3,a_4, \, $ dan $ a_5 \, $ berurutan sehingga barisan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan suku pertama $ a \, $ dan beda $ b = 1 $.
$ \spadesuit \, $ Jumlah lima bilangan $(s_5)$ = 500 :
$\begin{align} s_5 & = 500 \\ \frac{5}{2}(2a + (5-1).1) & = 500 \\ \frac{5}{2}(2a + 4) & = 500 \\ 2a + 4 & = 500 \times \frac{2}{5} \\ 2a + 4 & = 200 \\ 2a & = 196 \\ a & = 98 \end{align}$
$ \spadesuit \, $ Menentukan besar suku masing-masing
$\begin{align} a_1 & = u_1 = a = 98 \\ a_2 & = u_2 = a + b = 98 + 1 = 99 \\ a_3 & = u_3 = a + 2b = 98 + 2.1 = 100 \\ a_4 & = u_4 = a + 3b = 98 + 3.1 = 101 \\ a_5 & = u_5 = a + 4b = 98 + 4.1 = 102 \end{align}$
Sehingga yang benar adalah nilai bilangan terbesarnya 102.
Jadi, yang benar opsi C. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ 3 \, {}^y \log x^3 - 2 \, {}^y \log x^2 + {}^y \log x = 1 \, $ maka $ {}^x \log y \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} \, $ dan $ {}^a \log b^n = n \, {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ {}^y \log x $
$ \begin{align} 3 \, {}^y \log x^3 - 2 \, {}^y \log x^2 + {}^y \log x & = 1 \\ 3 . 3 \, {}^y \log x - 2 . 2 \, {}^y \log x + {}^y \log x & = 1 \\ 9 \, {}^y \log x - 4 \, {}^y \log x + {}^y \log x & = 1 \\ (9 - 4 + 1) \, {}^y \log x & = 1 \\ 6 \, {}^y \log x & = 1 \\ {}^y \log x & = \frac{1}{6} \end{align} $
Sehingga nilai $ {}^x \log y = \frac{1}{{}^y \log x} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 $
Jadi, nilai $ {}^x \log y = 6. \, \heartsuit $
Nomor 5
Jika $ \Delta ABC \, $ siku-siku di C dan $ \cos (A+C) = \frac{x}{2}, \, $ maka nilai $ \sin A + \cos B = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Trigonometri : $ \cos (90^\circ + A ) = -\sin A $
$\spadesuit \, $ Diketahui $ \cos (A + C ) = \frac{x}{2} \, $ dan $ \angle C = 90^\circ $
$\begin{align} \cos (A + C ) & = \frac{x}{2} \\ \cos (A + 90^\circ ) & = \frac{x}{2} \\ -\sin A & = \frac{x}{2} \\ \sin A & = - \frac{x}{2} \end{align}$
Karena jumlah semua sudut segitga $ 180^\circ \, $ dan $ \angle C = 90^\circ , \, $ maka sudut A pasti ada di kuadran I sehingga nilainya positif. Agar nilai $ \sin A = - \frac{x}{2} \, $ positif, maka haruslah nilai $ x \, $ negatif.
$\spadesuit \, $ Membuat segitiga ABC nya
Nilai $ \sin A = - \frac{x}{2} \, $ dengan $ x < 0 $.
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_5
Sehingga nilai $ \cos B = \frac{samping}{miring} = \frac{x}{2} \, $
*). Karena nilai $ x < 0 \, $ dan nilai $ \cos B \, $ dikuadran positif, maka kita beri tanda negatif agar nilainya positif. Artinya nilai $ \cos B = - \frac{x}{2} \, $ dengan $ x < 0 $.
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya :
$\begin{align} \sin A + \cos B & = - \frac{x}{2} + (- \frac{x}{2}) = -x \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin A + \cos B = -x . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui fungsi $ f \, $ dengan $ f(1) = 2 \, $ dan $ f^\prime (1) = 1 . \, $ Jika $ g(x) = \frac{\sqrt{1 + x + f(x)}}{f^2(x)} \, $ , dengan $ f^2 (x) = f(x).f(x) , \, $ maka nilai $ g^\prime (1) \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Turunan
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime.V - U.V^\prime}{V^2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan
$\begin{align} g(x) & = \frac{\sqrt{1 + x + f(x)}}{f^2(x)} = \frac{U}{V} \\ U & = \sqrt{1 + x + f(x)} \rightarrow U^\prime = \frac{ 1 + f^\prime (x) }{2\sqrt{1 + x + f(x)}} \\ V & = f^2(x) = [f(x)]^2 \rightarrow V^\prime = 2[f(x)].f^\prime (x) \\ g(x) & = \frac{U}{V} \\ g^\prime (x) & = \frac{U^\prime.V - U.V^\prime}{V^2} \\ g^\prime (x) & = \frac{ \frac{ 1 + f^\prime (x) }{2\sqrt{1 + x + f(x)}} . [f(x)]^2 - \sqrt{1 + x + f(x)}. 2[f(x)].f^\prime (x)}{[f(x)]^4} \\ g^\prime (1) & = \frac{ \frac{ 1 + f^\prime (1) }{2\sqrt{1 + 1 + f(1)}} . [f(1)]^2 - \sqrt{1 + 1 + f(1)}. 2[f(1)].f^\prime (1)}{[f(1)]^4} \\ & = \frac{ \frac{ 1 + 1 }{2\sqrt{1 + 1 + 2}} . [2]^2 - \sqrt{1 + 1 + 2}. 2[2].1}{[2]^4} \\ & = \frac{ \frac{ 2 }{4} . 4 - 2. 4}{16} \\ & = \frac{ 2 - 8}{16} \\ & = \frac{ -6}{16} \\ & = \frac{ -3}{8} \end{align}$
Jadi, Nilai $ g^\prime (1) = \frac{ -3}{8} . \, \heartsuit $
Nomor 12
Fungsi $ f(x) = x - 2\sqrt{x+a} \, $ mempunyai nilai minimum $ b $ did titik $ x = -4 $ . Nilai $ a + b \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Turunan : $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
*). Syarat minimum : $ f^\prime (x) = 0 $.
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan dan syarat minimum :
$\begin{align} f(x) & = x - 2\sqrt{x+a} \\ f^\prime (x) & = 1 - 2. \frac{1}{2\sqrt{x+a}} \\ f^\prime (x) & = 1 - \frac{1}{\sqrt{x+a}} \\ f^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(syarat minimum)} \\ 1 - \frac{1}{\sqrt{x+a}} & = 0 \\ \sqrt{x+a} & = 1 \\ x+a & = 1 \\ x & = 1 - a \end{align}$
Artinya $ f(x) \, $ minimum saat $ x = 1 - a \, $ dengan $ x = -4 $
Sehingga : $ 1 - a = -4 \rightarrow a = 5 $.
Fungsinya : $ f(x) = x - 2\sqrt{x+a} \rightarrow f(x) = x - 2\sqrt{x+5} $ .
$\clubsuit \, $ Nilai minimum $ f(x) = b \, $ pada saat $ x = -4 \, $ artinya $ f(-4) = b $
$\begin{align} f(x) & = \\ b & = f(-4) \\ b & = -4 - 2\sqrt{-4+5} \\ b & = -4 - 2\sqrt{1} \\ b & = -4 - 2 \\ b & = -6 \end{align}$
Jadi, nilai $ a + b = 5 + (-6) = -1. \, \heartsuit $
Nomor 13
Di dalam kotak terdapat tiga buah bola yang masing-masing berwarna merah, biru, dan hijau. Jika lima siswa bergiliran mengambil satu bola dan setelah bola terambil dikembalikan lagi ke kotak, maka banyak kombinasi warna yang mungkin adalah ....
Cara I : mendaftar langsung
$\clubsuit \, $ Misalkan : M = bola merah, B = bola biru, dan H = bola hijau.
$\clubsuit \, $ Susunan kombinasi warna yang mungkin :
*). kelimanya sama artinya bisa semuanya merah atau kelimanya biru atau kelimanya hijau. Ada 3 cara.
*). empat sama dan satu beda :
Susunannya : 4M1B, 4M1H, 4B1M,4B1H, 4H1M, 4H1B. Ada 6 cara.
*). tiga sama dan dua beda :
Susunannya : 3M1B1H, 3B1M1H, 3H1B1M. Ada 3 cara.
*). 3 sama dan dua sama :
Susunannya : 3M2B, 3M2H, 3B2M,3B2H, 3H2M, 3H2B. Ada 6 cara.
*). dua sama, dua sama dan satu beda :
Susunannya : 2M2B1H, 2M1B2H, 1M2B2H. Ada 3 cara.
Sehingga total cara $ = 3 + 6 + 3 + 6 + 3 = 21 \, $ cara.
Jadi, ada 21 kombinasi warna yang mungkin. $\heartsuit $

Cara II : menggunakan rumus kombinasi berulang
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Kombinasi dengan unsur yang sama :
Misalkan ada unsur $ x_1, \, x_2, \, x_3, \, ... x_k \, $ yang masing-masing jumlahnya tak terbatas. Banyak solusi dari persamaan $ x_1 + x_2 + ... + x_k = n \, $ dengan $ x_1 \geq 0, \, x_2 \geq 0 , \, ... , \, x_k \geq 0 \, $ adalah kombinasi dari $(k-1) \, $ dari $(n+k - 1) \, $ atau $ C_{k-1}^{n+k-1} $.
*). Pada kasus ini, kita misalkan
M = banyak bola merah terambil,
B = banyak bola biru terambil,
H = banyak bola hijau terambil,
yang masing-masing bisa bernilai $ M \geq 0, \, B \geq 0, \, H \geq 0 \, $ .
*). Jumlah bola yang terambil harus berjumlah 5, artinya kita akan menentukan banyaknya solusi dari persamaan $ M + B + H = 5 \, $ yang artinya nilai $ k = 3 \, $ , dan $ n = 5$.
Misalkan terambil 3M, 1B, dan 1H yang jumlahnya ada 5 bola, dan lainnya.
$\clubsuit \, $ Menghitung total kemungkinan cara.
total cara $ \, = C_{k-1}^{n+k-1} = C_{3-1}^{5+3-1} = C_{2}^{7} = \frac{7!}{5!.2!} = 21 $
Jadi, ada 21 kombinasi warna yang mungkin. $\heartsuit $
Nomor 14
Tiga buah bilangan berbeda yang hasil kalinya 125 membentuk tiga suku berurutan barisan geometri. Ketiga bilangan tersebut masing-masing merupakan suku pertama, suku ketiga, dan suku keenam barisan aritmatika. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar barisan
*). Barisan geometri : $ u_n = ar{n-1} $
*). Barisan aritmatika : $ u_n = a + (n-1)b $
$\spadesuit \, $ Misakan barisan geometrinya : $ a, ar, ar^2 $
agar ketiga bilangannya berbeda, maka nilai $ r \neq 1 $ .
$\begin{align} \text{hasil perkalian } & = 125 \\ a.ar.ar^2 & = 125 \\ (ar)^3 & = 125 \\ ar & = (125)^\frac{1}{3} \\ ar & = 5 \\ a & = \frac{5}{r} \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Dari soal , barisan artimetikanya : $ u_1 = a, u_3 = ar, u_6 = ar^2 $
$ u_3 = ar \rightarrow a + 2b = ar $
$ u_6 = ar^2 \rightarrow a + 5b = ar^2 $
$\spadesuit \, $ Substitusi $ a = \frac{5}{r} \, $ ke barisan aritmetikanya :
Suku ketiga : $ u_3 = ar $
$\begin{align} a + 2b & = ar \\ \frac{5}{r} + 2b & = \frac{5}{r}. r \\ \frac{5}{r} + 2b & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kali } r) \\ 5 + 2br & = 5r \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
Suku keenam : $ u_6 = ar^2 $
$\begin{align} a + 5b & = ar^2 \\ \frac{5}{r} + 5b & = \frac{5}{r}. r^2 \\ \frac{5}{r} + 5b & = 5r \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ \frac{1}{r} + b & = r \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ b & = r - \frac{1}{r} \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(iii) ke (ii)
$\begin{align} 5 + 2br & = 5r \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ 5 + 2(r - \frac{1}{r}) r & = 5r \\ 5 + 2r^2 - 2 & = 5r \\ 2r^2 - 5r + 3 & = 0 \\ (2r - 3)(r - 1) & = 0 \\ r = \frac{3}{2} \vee r & = 1 \end{align}$
yang memenuhi $ r = \frac{3}{2} $
nilai $ a = \frac{5}{r} = \frac{5}{\frac{3}{2}} = \frac{10}{3} $
Barisan geometrinya menjadi :
$ a, ar, ar^2 \rightarrow \frac{10}{3} , \, 5, \, \frac{15}{2} $
$\spadesuit \, $ Jumlah ketiga bilangannya :
$\begin{align} \text{Jumlah } & = \frac{10}{3} + 5 + \frac{15}{2} \\ & = \frac{95}{6} \end{align}$
Jadi, jumlah ketiga bilangannya adalah $ \frac{95}{6} . \, \heartsuit $
Nomor 15
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada sumbu X dan melalui titik-titik potong parabola $ y = -x^2+6x \, $ dan garis $ 2x - y = 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
dengan $(a,b) \, $ adalah pusat dan jari-jari $ r $.
*). Jarak dua titik $(x_1,y_1) \, $ dan $(x_2,y_2) $
Jarak $ \, = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } $
$\clubsuit \, $ Pusat lingkaran terletak pada sumbu X, misalkan titik pusatnya $(m,0)$ . Sehingga pusat lingkaran menjadi $(a,b) = (m,0) $ .
$\clubsuit \, $ Menentukan titik potong garis dan parabola
Substitusi parabola ke garis :
$\begin{align} 2x - y & = 0 \\ 2x - (-x^2+6x) & = 0 \\ x^2 - 4x & = 0 \\ x(x-4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align}$
untuk $ x = 0 \rightarrow 2x - y = 0 \rightarrow 2.0 - y = 0 \rightarrow y = 0 $
untuk $ x = 4 \rightarrow 2x - y = 0 \rightarrow 2.4 - y = 0 \rightarrow y = 8 $
sehingga titik potongnya : (0,0) dan (4,8)
$\clubsuit \, $ ilustrasi gambarnya :
um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_15.png
Jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke titik yang dilalui oleh lingkaran.
*). Jarak titik $(m,0) \, $ ke (0,0) :
$ r = \sqrt{(m - 0)^2 + (0-0)^2 } = m $
*). Jarak titik $(m,0) \, $ ke (4,8) dan $ r = m $
$\begin{align} r & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \\ m & = \sqrt{(m - 4)^2 + (0-8)^2 } \\ m & = \sqrt{m^2 - 8m + 16 + 64 } \\ m & = \sqrt{m^2 - 8m + 80 } \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ m^2 & = m^2 - 8m + 80 \\ 8m & = 80 \\ m & = 10 \end{align}$
Sehingga pusat $(a,b) = (m,0) = (10,0) \, $ dan $ r = m = 10 $.
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-10)^2 + (y-0)^2 & = 10^2 \\ x^2 - 20x + 100 + y^2 & = 100 \\ x^2 + y^2 - 20x & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkarannya $ x^2 + y^2 - 20x = 0. \, \heartsuit $ 
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ memenuhi $ |3x-4| = x+5 , \, $ maka nilai $ x_1+x_2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar :
*). Konsep harga mutlak : $|f(x)|^2 = [f(x)]^2 $
*). Penjumlahan akar-akar dari PK : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $
$\spadesuit \, $ Kuadratkan persamaan :
$\begin{align} |3x-4| & = x+5 \\ |3x-4|^2 & = (x+5)^2 \\ (3x-4)^2 & = (x+5)^2 \\ 9x^2 - 24x + 16 & = x^2 + 10x + 25 \\ 8x^2 - 34x -9 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = -\frac{b}{a} \\ & = - \frac{-34}{8} = \frac{17}{4} \end{align}$
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{17}{4} . \, \heartsuit $
Nomor 7
Jika 9, $ x_1 , \, $ dan $ x_2 \, $ merupakan tiga akar berbeda dari $ x^3 - 6x^2 - ax + b = 0 \, $ dengan $ b - a = 5, \, $ maka $ x_1 + x_2 + x_1.x_2 = .... $
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar pada $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $
$ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \, $ dan $ x_1 . x_2 . x_3 = -\frac{d}{a} $.
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=9 $ ke persamaan
$\begin{align} x = 9 \rightarrow x^3 - 6x^2 - ax + b & = 0 \\ 9^3 - 6.9^2 - a.9 + b & = 0 \\ - 9a + b & = -243 \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
Sebelumnya diketahui : $ b - a = 5 \, $ ....pers(ii).
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} - 9a + b = -243 & \\ b - a = 5 & - \\ \hline -8a = - 248 & \\ a = 31 & \end{array}$
Pers(ii) : $ b - a = 5 \rightarrow b - 31 = 5 \rightarrow b = 36 $.
Persamaannya menjadi :
$ x^3 - 6x^2 - ax + b = 0 \rightarrow x^3 - 6x^2 - 31x + 36 = 0 $
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar persamaan :
Dari persamaan :
$ x^3 - 6x^2 - 31x + 36 = 0 \rightarrow a = 1, b = -6, c = -31, d = 36 $.
dengan akar-akar : $ 9, x_1, \, $ dan $ x_2 $.
Operasi penjumlahan :
$\begin{align} 9 + x_1 + x_2 & = -\frac{b}{a} \\ 9 + x_1 + x_2 & = -\frac{(-6)}{1} \\ 9 + x_1 + x_2 & = 6 \\ x_1 + x_2 & = -3 \end{align}$
Operasi perkalian :
$\begin{align} 9 . x_1 . x_2 & = -\frac{d}{a} \\ 9 . x_1 . x_2 & = -\frac{36}{1} \\ 9 . x_1 . x_2 & = -36 \\ x_1 . x_2 & = -4 \end{align}$
Sehingga nilai :
$ x_1 + x_2 + x_1.x_2 = (-3) + (-4) = -7 $.
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 + x_1.x_2 = -7 . \, \heartsuit $
Nomor 8
Pertidaksamaan $ (3x)^{1 + {}^3 \log 3x } > 81x^2 \, $ mempunyai penyelesaian ....
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma
*). Sifat : $ {}^a \log b^n = n {}^a \log b $
*). Definisi : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
*). Syarat logaritma : $ {}^a \log f(x) \rightarrow f(x) > 0 $.
$\spadesuit \, $ Menentukan syarat dari soalnya
bentuk : $ (3x)^{1 + {}^3 \log 3x } > 81x^2 \, $
Syaratnya pada $ {}^3 \log 3x \, $ adalah $ 3x > 0 \rightarrow x > 0 $.
Dari syarat $ x > 0 \, $ ini sebenarnya sudah bisa kita peroleh jawabannya yaitu opsi A karena opsi yang lainnya memuat negatif semua. Tetapi kita akan melanjutkan penyelesaiannya secara penuh.
Syarat ini kita anggap sebagai $ HP_1 = \{ x > 0 \} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal :
Kedua ruas diberi $ {}^3 \log \, $ dan dimisalkan $ a = {}^3 \log x $,
$\begin{align} (3x)^{1 + {}^3 \log 3x } & > 81x^2 \\ {}^3 \log [(3x)^{1 + {}^3 \log 3x }] & > {}^3 \log [81x^2] \, \, \, \, \text{(dari sifat)} \\ (1 + {}^3 \log 3 + {}^3 \log x) ({}^3 \log 3 + {}^3 \log x) & > {}^3 \log 3^4 + 2 . {}^3 \log x \\ (1 + 1 + {}^3 \log x) (1 + {}^3 \log x) & > 4 + 2 . {}^3 \log x \\ (2 + a) (1 + a) & > 4 + 2 a \\ a^2 + 3a + 2 & > 4 + 2 a \\ a^2 + a - 2 & = 0 \\ (a - 1)(a+2) & = 0 \\ a = 1 \rightarrow {}^3 \log x & = 1 \rightarrow x = 3^1 = 3 \\ a = -2 \rightarrow {}^3 \log x & = -2 \rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9} \end{align}$
um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_8.png
Karena yang diminta $ > 0 \, $ maka yang diarsir adalah yang positif,
sehingga $ HP_2 = \{ x < \frac{1}{9} \vee x > 3 \} $.
Solusi totalnya adalah :
$ HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ x < \frac{1}{9} \vee x > 3 \} $.
Jadi, solusinya $ \{ x < \frac{1}{9} \vee x > 3 \} $, dan opsi yang sesuai adalah A. $\heartsuit $
Nomor 9
Tiga buah bilangan dengan jumlah 42 membentuk barisan geometri. Jika suku ditengah dikalikan dengan $ -\frac{5}{3} \, $ maka akan terbentuk barisan aritmetika. Maksimum dari bilangan-bilangan tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $u_n=ar^{n-1} \, $
$\spadesuit \, $ Misalkan barisan geometrinya : $ a, ar, ar^2 $
$\begin{align} \text{jumlah } & = 42 \\ a + ar + ar^2 & = 42 \\ a(1 + r + r^2) & = 42 \\ a & = \frac{42}{1 + r + r^2} \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Suku tengah dikali $ - \frac{5}{3} \, $ , membentuk barisan aritmetika
barisannya : $ a, - \frac{5}{3}ar, ar^2 $
Barisan artimetika memiliki selisih sama , sehingga :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ - \frac{5}{3}ar - a & = ar^2 - ( - \frac{5}{3}ar) \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ - 5ar - 3a & = 3ar^2 +5ar \, \, \, \, \, \text{(bagi } a) \\ - 5r - 3 & = 3r^2 +5r \\ 3r^2 + 10r + 3 & = 0 \\ (3r + 1)(r+3) & = 0 \\ r = -\frac{1}{3} \vee r & = -3 \\ \end{align}$
dari kedua rasio $(r) $ ini, sebenarnya barisannya sama saja, hanya dibalik saja barisannya. Sehingga cukup kita gunakan salah satu saja nilai rasionya yaitu $ r = -3 $.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dari pers(i) dan barisannya :
$ a = \frac{42}{1 + r + r^2} = \frac{42}{1 + (-3) + (-3)^2} = \frac{42}{7} = 6 $
kita peroleh nilai $ a = 6 \, $ dan $ r = -3 $.
barisannya : $ a, ar, ar^2 \rightarrow 6, \, -18, \, 54 $.
Jadi, nilai maksimum dari ketiga bilangannya adalah 54. $\heartsuit $
Nomor 10
Jika $ b,c \neq 0 \, $ dan $ \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c (x-a) \, - \, 1 } = d , \, $ maka $ b = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Limit trogonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to k } \frac{af(x)}{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \, \displaystyle \lim_{ x \to k } \frac{\tan af(x)}{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $
dengan syarat : $ f(k) = 0 $.
*). Bentuk : $ \cos pf(x) = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} p f(x) $.
$\clubsuit \, $ Modifikasi penyebutnya :
$\begin{align} \cos c(x-a) & = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} c ( x- a) \\ \cos c(x-a) - 1 & = [1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} c ( x- a) ] - 1 \\ & = - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} c ( x- a) \\ & = - 2 \sin \frac{1}{2} c ( x- a) \sin \frac{1}{2} c ( x- a) \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c (x-a) \, - \, 1 } & = d \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{(x-a)\tan -b(x-a)}{ - 2 \sin \frac{1}{2} c ( x- a) \sin \frac{1}{2} c ( x- a) } & = d \\ \frac{1}{-2} . \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{(x-a) }{ \sin \frac{1}{2} c ( x- a) } . \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{ \tan -b(x-a)}{ \sin \frac{1}{2} c ( x- a) }& = d \\ \frac{1}{-2} . \frac{ 1 }{ \frac{1}{2} c } . \frac{ -b }{ \frac{1}{2} c }& = d \\ \frac{b}{ \frac{1}{2} c^2 } & = d \\ b & = \frac{1}{2} c^2 d \end{align}$
Jadi, kita peroleh $ b = \frac{1}{2} c^2 d . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 1 sampai 5


Nomor 1
Jika garis $ 2x + y + 4 = 0 \, $ dan $ 2x + y -6 = 0 \, $ menyinggung lingkaran dengan pusat $(1,p) \, $ , maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
         $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $(a,b) $ ke garis $ mx + ny + c = 0 $
Jarak $ \, = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2+n^2} } \right| $
*). Sifat mutlak : $ |x|^2 = x^2 $
$\spadesuit \, $ Ilustrasi gambar kedua garis menyinggung lingkaran

um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_1.png
garis 1 dan garis 2 sejajar karena memiliki besar gradien yang sama yaitu $ - 2 $.
Jari-jari lingkaran adalah jarak pusat lingkaran $ A(1,p) \, $ ke garis :
$ r_1 = \, $ jarak pusat lingkaran ke garis 1 $ \, = \left| \frac{2.1 + p -6}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| $ ,
$ r_2 = \, $ jarak pusat lingkaran ke garis 2 $ \, = \left| \frac{2.1 + p + 4}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| $ .
Dimana besarnya $ r_1 \, $ sama dengan $ r_2 $.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p \, $ dari $ r_1 = r_2 $
$\begin{align} r_1 & = r_2 \\ \left| \frac{2.1 + p -6}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| & = \left| \frac{2.1 + p + 4}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| \\ \left| \frac{ p -4}{\sqrt{5} } \right| & = \left| \frac{ p + 6}{\sqrt{5} } \right| \\ \left| p -4 \right| & = \left| p + 6 \right| \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikuadratkan)} \\ \left| p -4 \right|^2 & = \left| p + 6 \right| ^2 \\ ( p -4 )^2 & = ( p + 6 ) ^2 \\ p^2 - 8p + 16 & = p^2 + 12p + 36 \\ -20p & = 20 \\ p & = -1 \end{align}$
Sehingga pusat lingkarannya yaitu : $ A (1,p) = A(1,-1) $.
$\spadesuit \, $ Menentukan jari-jari lingkaran dengan nilai $ p = -1 $ ,
$\begin{align} r & = r_1 = \left| \frac{2.1 + p -6}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| \\ & = \left| \frac{2.1 + (-1) -6}{\sqrt{5} } \right| \\ & = \left| \frac{-5}{\sqrt{5} } \right| \\ & = \frac{5}{\sqrt{5} } = \sqrt{5} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan lingkaran : Pusat $(a,b) = (1,-1) , \, $ dan $ r = \sqrt{5} $
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2 + (y-(-1))^2 & = (\sqrt{5})^2 \\ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) & = 5 \\ x^2 + y^2 - 2x + 2y - 3 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 - 2x + 2y - 3 = 0 . \, \heartsuit $
Nomor 2
Nilai minimum fungsi $ f(x) = 2 \sin x + \cos 2x \, $ pada $ \, 0 \leq x \leq 2\pi \, $ adalah .....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar :
*). Syarat nilai maksimum/minimum : $ f^\prime (x) = 0 $ .
*). Bentuk trigonometri : $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
$\clubsuit \,$ Menentukan turunan fungsi trigonometrinya :
$\begin{align} f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f^\prime (x) & = 2\cos x - 2 \sin 2x \\ f^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ 2\cos x - 2 \sin 2x & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \cos x - \sin 2x & = 0 \\ \cos x - 2 \sin x \cos x & = 0 \\ \cos x (1 - 2 \sin x ) & = 0 \\ \cos x = 0 \vee 1-2 \sin x & = 0 \rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos x = 0 \rightarrow x & = 90^\circ, \, 270^\circ \\ \sin x = \frac{1}{2} \rightarrow x & = 30^\circ, \, 150^\circ \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai fungsi dengan substitusi semua nilai $ x \, $
Fungsinya : $ f(x) = 2 \sin x + \cos 2x $
$\begin{align} x = 30^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(30^\circ ) & = 2 \sin 30^\circ + \cos 2. 30^\circ = \frac{3}{2} \\ x = 90^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(90^\circ ) & = 2 \sin 90^\circ + \cos 2. 90^\circ = 1 \\ x = 150^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(150^\circ ) & = 2 \sin 150^\circ + \cos 2. 150^\circ = \frac{3}{2} \\ x = 270^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(270^\circ ) & = 2 \sin 270^\circ + \cos 2. 270^\circ = -3 \end{align}$
Jadi, nilai minimum fungsi $ f(x) = 2 \sin x + \cos 2x \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ adalah $ -3 . \, \heartsuit $
Nomor 3
Hasil pencerminan titik $ C(-4,-2) \, $ terhadap garis $ ax + by + 6 = 0 \, $ adalah $ \, C'(4,10) \, $ . Nilai $ a + 2b \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar :
*). Titik tengah antara titik $ A(x_1,y_1) \, $ dan $ B(x_2,y_2) \, $
titik tengahnya : $ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $
*). gradien dua titik $ A(x_1,y_1) \, $ dan $ B(x_2,y_2) \, $
$ m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1} $
*). Gradien bentuk garis $ ax + by + c = 0 \, $ adalah $ m = -\frac{a}{b} $ .
*). Dua garis tegak lurus berlaku : $ m_1 . m_2 = -1 $.
$\spadesuit \, $ Ilustrasi gambarnya
um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_3.png
*). Pencerminan titik C terhadap garis $ ax + by + 6 = 0 \, $ menghasilkan bayangan titik C' dimana garis yang menghubungkan titik C ke C' tegak lurus dengan garis $ ax + by + 6 = 0 \, $ sebagai cerminnya.
*). Titik tengah antara C dan C' adalah titik P terletak pada garis $ ax + by + 6 = 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik tengah (titik P) antara titik $ C(-4,-2) \, $ dan titik $ \, C'(4,10) \, $
$ \begin{align} P & = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{-4 + 4}{2}, \frac{-2 + 10}{2} \right) \\ & = \left( 0 , 4 \right) \end{align} $
$\spadesuit \, $ Substitusi titik P(0,4) ke garis $ ax + by + 6 =0 \, $
$ \begin{align} (x,y)=(0,4) \rightarrow ax + by + 6 & = 0 \\ a.0 + b.4 + 6 & = 0 \\ 0 + 4b + 6 & = 0 \\ 4b & = -6 \\ b & = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien :
*). garsi $ ax + by + 6 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{a}{b} $
*). Gradien garis C(-4,-2) ke C'(4,10) :
$ \begin{align} m_2 & = m_{CC'} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \frac{10-(-2)}{4 - (-4)} \\ & = \frac{12}{8} \\ & = \frac{3}{2} \end{align} $
$\spadesuit \, $ Kedua garis tegak lurus, berlaku $ m_1.m_2 = -1 $
$ \begin{align} m_1 . m_2 & = -1 \\ -\frac{a}{b} . \frac{3}{2} & = -1 \\ \frac{a}{-\frac{3}{2}} . \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{a}{1} .(-1) & = 1 \\ a & = -1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya :
$ a + 2b = (-1) + 2 . (-\frac{3}{2}) = -1 + (-3) = - 4 $
Jadi, kita peroleh nilai $ a + 2b = = -4 . \, \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui vektor $ \vec{p} = a\vec{i}+b\vec{j}+2\vec{k} , \, \vec{q} = \vec{i}+2\vec{j}+c\vec{k} , \, $ dan $ \vec{r} = 3\vec{i}+6\vec{j}+c\vec{k} , \, $ dengan $ a, b \neq 0 . \, $ Jika $ \vec{p} \bot \vec{q} \, $ dan $ \, \vec{p} \bot \vec{r} \, $ maka $ \frac{a^2 + 4b^2}{ab} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor :
$ \vec{a} = a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k} \, $ dan $ \vec{b} = b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k} $.
*). Perkalian dot kedua vektor : $ \vec{a}.\vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $ .
*). $ \vec{a} \, $ tegak lurus $ \vec{b} \, $ berlaku $ \vec{a}.\vec{b} = 0 $ .
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
*). $ \vec{p} \, $ tegak lurus $ \vec{q} \, ( \vec{p} \bot \vec{q}) $ :
$ \vec{p} . \vec{q} = 0 \rightarrow a + 2b + 2c = 0 \, $ ....pers(i)
*). $ \vec{p} \, $ tegak lurus $ \vec{r} \, ( \vec{p} \bot \vec{r}) $ :
$ \vec{p} . \vec{r} = 0 \rightarrow 3a + 6b + 2c = 0 \, $ ....pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 3a + 6b + 2c = 0 & \\ a + 2b + 2c = 0 & - \\ \hline 2a + 4b = 0 & \\ a = -2b & \end{array} $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil dengan $ a = - 2b $
$\begin{align} \frac{a^2 + 4b^2}{ab} = \frac{(-2b)^2 + 4b^2}{(-2b)b} = \frac{4b^2 + 4b^2}{-2b^2} = \frac{8b^2}{-2b^2} = - 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{a^2 + 4b^2}{ab} = -4 . \, \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ 4p \, $ . Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada rusuk FG, BF, dan GH dengan $ GP = BQ = GR = p . \, $ Sudut antara bidang yang melalui P, Q, R dan bidang ABCD adalah $ \alpha \, $ . Nilai $ \tan \alpha \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ ilustrasi gambarnya
um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_5.png
*). Untuk menentukan sudut antara bidang yang melalu P,Q, R dan bidang alas, kita perluas bidang yang melalu P,Q,R sehingga terbentuk segitiga SIN dengan bidang PRLWUQ adalah bidang irisan yang melalui P,Q,R dengan kubus.
*). Sudut yang terbentuk adalah $ \alpha \, $ yang terbentuk pada segitiga siku-siku IXC.
*). Panjang sisi kubus langsung kita ganti dengan 4 saja tanpa harus menggunakan $ 4p \, $ karena hasilnya akan sama.
*). Cara menentukan bidang irisannya atau perluasan bidangnya :
i). perpanjang garis PQ sehingga memotong CB di N dan CG di I,
ii). perpanjang garis IR sehingga memotong CD di S dan HD di L,
iii). hubungkan gari NS sehingga memotong AB di U dan AD di W,
iv). Hubungkan titik-titik sehingga membentuk bidang irisan PRLWUQ.
$\clubsuit \, $ Menentukan panjang sisi-sisi :
*). Perhatikan segitiga NCI, misalkan IG = BN = $ x $. Segitiga IPG sebangun dengan segitiga besar INC,
$\begin{align} \frac{PG}{NC} & = \frac{IG}{IC} \\ \frac{1}{x + 4} & = \frac{x}{x + 4} \\ x & = 1 \end{align}$
sehingga kita peroleh $ IG = BN = x = 1 $
Panjang $ \, IC = IG + GC = 1 + 4 = 5 $
Panjang WU juga sama dengan BU sama dengan BN.
Sehingga panjang AU = AW = 3 .
*). Perhatikan segitiga AWU siku-siku di A, sehingga $ WU = 3\sqrt{2} $
dan $ WX = \frac{1}{2}WU = \frac{3}{2}\sqrt{2} $ .
Sehingga $ AX = \sqrt{AW^2 - WX^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{3}{2}\sqrt{2})^2} = \frac{3}{2}\sqrt{2} $
Panjang CX = AC - AX = $ 4\sqrt{2} - \frac{3}{2}\sqrt{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \tan \alpha \, $ pada segitiga ICX :
$\begin{align} \tan \alpha & = \frac{depan}{samping} \\ & = \frac{IC}{CX} \\ & = \frac{5}{\frac{5}{2}\sqrt{2}} \\ & = \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ \tan \alpha = \sqrt{2}. \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh 3 komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)