dunia informa

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Garis singgung kurva

$f(x) = -x^2 + 2\sqrt{x} \,$ di titik (4,-12) memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik

$(p,0)$ dan

$(0,q)$ . Nilai

$q - 5p = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep Garis singgung
Persamaan garis singgung (PGS) pada kurva

$y = f(x) \,$ di titik

$(x_1,y_1) \,$ adalah

$y - y_1 = m(x-x_1) \,$ dengan

$m = f^\prime (x_1)$ .

$\clubsuit \,$ Menentukan gradien

$(m) \,$ di titik

$(x_1,y_1) = (4,-12)$

$\begin{align} f(x) & = -x^2 + 2\sqrt{x} \\ f^\prime (x) & = -2x + 2\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ f^\prime (x) & = -2x + \frac{1}{\sqrt{x}} \\ m & = f^\prime (x_1) = f^\prime (4) \\ m & = -2.4 + \frac{1}{\sqrt{4}} \\ & = -8 + \frac{1}{2} \\ & = - \frac{15}{2} \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan PGS

$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - (-12) & = - \frac{15}{2} (x-4) \\ y + 12 & = - \frac{15}{2} (x-4) \end{align}$

$\clubsuit \,$ Memotong sumbu X, substitusi

$y = 0$

$\begin{align} y = 0 \rightarrow y + 12 & = - \frac{15}{2} (x-4) \\ 0 + 12 & = - \frac{15}{2} (x-4) \\ 24 & = -15x + 60 \\ 15x & = 36 \\ x & = \frac{36}{15} = \frac{12}{5} \end{align}$
titiknya :

$(p,0) = (\frac{12}{5} , 0) \,$ artinya

$p = \frac{12}{5}$ .

$\clubsuit \,$ Memotong sumbu Y, substitusi

$x = 0$

$\begin{align} x = 0 \rightarrow y + 12 & = - \frac{15}{2} (x-4) \\ y + 12 & = - \frac{15}{2} (0-4) \\ y + 12 & = 30 \\ y & = 18 \\ \end{align}$
titiknya :

$(0,q) = (0,18) \,$ artinya

$q = 18$ .
Sehingga nilai :

$q - 5p = 18 - 5.(\frac{12}{5}) = 6$
Jadi, nilai

$q - 5p = 6. \, \heartsuit$

Nomor 12

Jika diberikan

$\left[ \begin{matrix} 2x-5 & 1 \\ 8 & 5^{-4+3y} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 8 & 25 \end{matrix} \right]$
maka nilai dari

$2x - 3y \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Menyusun persamaan :

$\left[ \begin{matrix} 2x-5 & 1 \\ 8 & 5^{-4+3y} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 8 & 25 \end{matrix} \right]$
Persamaan pertama :

$\begin{align} 2x-5 & = 3 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x = 4 \end{align}$
Persamaan kedua :

$\begin{align} 5^{-4+3y} & = 25 \\ 5^{-4+3y} & = 5^2 \\ -4+3y & = 2 \\ 3y & = 6 \\ y & = 2 \end{align}$
Sehingga nilai :

$2x - 3y = 2.4 - 3.2 = 8 - 6 = 2$ .
Jadi, nilai

$2x - 3y = 2 \,$ (tidak ada di pilihan) .

$\heartsuit$

Nomor 13

Luas daerah A yang dibatasi oleh grafik

$y = x^2, \, y = x^2 - 20x + 100 \,$ dan

$y = 0 \,$ dapat dinyatakan sebagai ...
A).

$\int \limits_0^{10} (2x^2 - 20x + 100) dx$
B).

$\int \limits_0^{10} ( 20x - 100) dx$
C).

$\int \limits_0^{5} x^2 dx - \int \limits_5^{10} ( 20x - 100) dx$
D).

$\int \limits_0^{5} x^2 dx + \int \limits_0^{10} ( x^2 - 20x + 100) dx$
E).

$\int \limits_0^{5} x^2 dx + \int \limits_5^{10} ( x^2 - 20x + 100) dx$

$\clubsuit \,$ Menggambar grafik fungsi kuadratnya
*). fungsi

$y = x^2 \,$ menyinggung sumbu X di 0 dan hadap atas karena

$a = 1 > 0$ .
*). fungsi

$y = x^2 - 20x + 100 \,$ menyinggung sumbu X di 10 dan hadap atas karena

$a = 1 > 0$ .
*). fungsi

$y = 0 \,$ berupa garis yaitu sumbu X itu sendiri.

$\clubsuit \,$ titik potong kedua kurva

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 & = x^2 - 20x + 100 \\ 20x & = 100 \\ x & = 5 \end{align}$
Ilustrasi gambarnya :
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_13

Dari gambar ini, daerah yang dibatasi oleh ketiga kurva dibagi menjadi dua yaitu daerah A dan daerah B.

$\clubsuit \,$ Menentukan luas daerah arsiran

$\begin{align} \text{Luas total } & = L_A + L_B \\ & = \int \limits_{0}^{5} x^2 dx + \int \limits_{5}^{10} x^2 - 20x + 100 dx \end{align}$
Jadi, luas daerahnya adalah

$\int \limits_{0}^{5} x^2 dx + \int \limits_{5}^{10} x^2 - 20x + 100 dx . \, \heartsuit$

Nomor 14

Pertaksamaan

$\frac{x^2 + 2x - 15}{2x^2 + 11x + 5} \leq 0 \,$ berlaku untuk ....

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan pertidaksamaan

$\begin{align} \frac{x^2 + 2x - 15}{2x^2 + 11x + 5} & \leq 0 \\ \frac{(x-3)(x+5)}{(2x+1)(x+5)} & \leq 0 \\ x = 3, \, x = -5 , \, x & = -\frac{1}{2} \end{align}$
Keterangan :
Akar-akar penyebut tidak boleh ikut

$( x = -5, x = -\frac{1}{2} )$ .
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_14

Karena yang diminta

$\leq 0 \,$ , maka daerah yang diarsir adalah daerah bertanda negatif. Sehingga solusinya

$HP = \{ -\frac{1}{2} < x \leq 3 \}$
Jadi, solusinya

$\, HP = \{ -\frac{1}{2} < x \leq 3 \} . \, \heartsuit$

Nomor 15

Dalam himpunan penyelesaian yang memenuhi seistem pertaksamaan

$x \geq 1, \, y \geq 3, \, x + y \leq 8 \,$ dan

$2x + 3y \leq 20, \,$ nilai minimum dari fungsi

$f(x,y) = 3x + 2y \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Menggambar Daerah Himpunan Penyelesaiannya (DHP)
*). Gambar garis kedua persamaan :

$x + y = 8 \rightarrow (0,8) , \, (8,0)$

$2x + 3y = 20 \rightarrow (0,\frac{20}{3}) , \, (10,0)$
garis

$x = 1 \,$ adalah garis tegak.
garis

$y = 3 \,$ adalah garis mendatar.
*). Titik potong kedua garis, eliminasi kedua persamaan :

$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 20 & \times 1 & 2x + 3y = 20 & \\ x + y = 8 & \times 2 & 2x + 2y = 16 & - \\ \hline & & y = 4 & \end{array}$
pers(i) :

$x + y = 8 \rightarrow x + 4 = 8 \rightarrow x = 4$ .
titik potongnya : (4,4)
Gambar DHP nya :
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_15

*). Susbstitusi

$x = 1 \,$ ke persamaan

$2x + 3y = 20 \,$ :

$2x + 3y = 20 \rightarrow 2.1 + 3y = 20 \rightarrow 2 + 3y = 20 \rightarrow y = 6$
Sehingga diperoleh titik D(1,6)
*). Susbstitusi

$y=3 \,$ ke persamaan

$x + y = 8 \,$ :

$x + y = 8 \rightarrow x + 3 = 8 \rightarrow x = 5$
Sehingga diperoleh titik B(5,3)

$\clubsuit \,$ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan :

$f(x,y) = 3x + 2y$

$\begin{align} A(1,3) \rightarrow f(1,3) & = 3.1 + 2.3 = 9 \\ B(5,3) \rightarrow f(5,3) & = 3.5 + 2.3 = 21 \\ C(4,4) \rightarrow f(4,4) & = 3.4 + 2.4 = 20 \\ D(1,6) \rightarrow f(1,6) & = 3.1 + 2.6 = 15 \end{align}$
Jadi, nilai minimumnya adalah 9.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Nilai

$\displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \cos (x-2)}{x^2 - 4} \,$ adalah ...

$\spadesuit \,$ Pada soal ini, setelah dihitung dsesuai soal aslinya menggunakan

$\cos (x-2) \,$ , ternyata tidak ada jawabannya. menurut kami, ada kesalahan pengetikan, seharusnya menggunakan bentuk

$\sin (x-2)$ .
Soal menjadi :

$\displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4}$ .

$\spadesuit \,$ konsep limit trigonometri :

$\displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \,$ dengan syarat

$f(k) = 0$ .

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan soalnya

$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x+2)(x-3) \sin (x-2)}{(x-2)(x+2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-3) \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x-3) \frac{ \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = (2-3) \frac{ 1}{1} \\ & = -1 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah

$-1. \, \heartsuit$

Nomor 7

Diketahui

$g(2x-1) = x - 2 \,$ dan

$(f\circ g)(2x-1) = x^2 + x - 6. \,$ Nilai

$f(-1) \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Substitusi

$g(2x-1) = x - 2 \,$ ke bentuk komposisinya

$\begin{align} (f\circ g)(2x-1) & = x^2 + x - 6 \\ f ( g(2x-1) ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \end{align}$
*). Yang ditanyakan nilai

$f(-1) \,$ , sementara kita peroleh bentuk

$f( x- 2 ) \,$ artinya

$x - 2 = -1 \rightarrow x = 1$ . Sehingga cukup kita substitusi

$x = 1 \,$ ke fungsi

$f(x-2) \,$ nya.

$\clubsuit \,$ Substitusi

$x = 1$

$\begin{align} x = 1 \rightarrow f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( 1 - 2 ) & = 1^2 + 1 - 6 \\ f ( -1 ) & = 1 + 1 - 6 \\ & = -4 \end{align}$
Jadi, nilai

$f(-1) = -4. \, \heartsuit$

Nomor 8

Bilangan terdiri dari tiga angka akan disusun dari angka 1, 2, 3, 5, 7, dan 9. Banyaknya bilangan yang dapat disusun dengan susunan angka-angka yang berlainan dan nilainya lebih kecil dari 700 adalan ....

$\clubsuit \,$ Pilihan angka ada 6 yaitu : 1, 2, 3, 5, 7, 9

$\clubsuit \,$ Dibentuk tiga angka dengan susunan angka yang berlainan dan lebih kecil dari 700
Total banyaknya angka yang terbentuk adalah :
Ratusan ada 4 pilihan, puluhan ada 5 pilihan, dan satuan ada 4 pilihan.
total

$= 4.5.4 = 80 \,$ angka.

Keterangan :
*). Ratusan : agar kurang dari 700, maka ratusan yang mungkin dipilih dari angka 1, 2, 3, 5 (ada 4 pilihan).
*). Puluhan : puluhannya bebas, tetapi satu angka sudah dipakai untuk ratusan, sehingga tersisa 5 pilihan angka untuk puluhan.
*). Satuan : satuan tersisa 4 pilihan karena dua anagka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Jadi, ada 80 angka yang terbentuk yang terdiri dari tiga angka.

$\, \heartsuit$

Nomor 9

Jika tersedia bahan aluminium 1200 cm

$^2 \,$ untuk membuat suatu kotak dengan alas berbentuk bujursangkar (persegi) dengan bagian atas terbuka, volume kotak terbesar yang mungkin terbentuk adalah ....

Cara I :

$\spadesuit \,$ Misalkan alas balok persegi dengan rusuk

$x \,$ dan tingginya

$t$

$\spadesuit \,$ Diketahui luas bahan 1200, artinya luas bahan sama dengan luas permukaan balok tanpa tutup.

$\begin{align} \text{luas permukaan tanpa tutup } & = 1200 \\ x^2 + 4xt & = 1200 \\ t & = \frac{1200 - x^2}{4x} \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan fungsi volume balok dengan substitusi pers(i)

$\begin{align} \text{vlume balok } & = \text{luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = x^2 . t \, \, \, \, \, \text{[subst. pers(i)]} \\ & = x^2 . \frac{1200 - x^2}{4x} \\ V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \end{align}$

$\spadesuit \,$ Volume maksimum saat turunan pertama = 0 :

$\begin{align} V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V^\prime (x) & = \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) \\ V^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) & = 0 \\ 3x^2 & = 1200 \\ x^2 & = 400 \\ x & = \sqrt{400} = 20 \end{align}$
Artinya volume akan maksimum saat

$x = 20 \,$ cm.

$\spadesuit \,$ Menentukan volume maksimumnnya untuk

$x = 20$

$\begin{align} x = 20 \rightarrow V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V(20) & = \frac{1}{4}(1200 \times 20 - 20^3) \\ & = \frac{1}{4}(24000 - 8000) \\ & = \frac{1}{4}(16000) \\ & = 4000 \end{align}$
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm

$^3 . \, \heartsuit$

Cara II :

$\spadesuit \,$ Volume maksimum jika diketahui luas permukaan

$(L_p)$ dan alas kotak berupa persegi :
*). Kotak dengan tutup

$V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{6}}$
*). Kotak tanpa tutup

$V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}}$
Rumus pasti di atas diperoleh dari konsep dasar turunan dan pasti benar.

$\spadesuit \,$ Volume maksimum kotak tanpa tutup dengan

$L_p = 1200$

$\begin{align} V_{maks} & = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}} \\ & = \frac{1200}{6} \sqrt{\frac{1200}{3}} \\ & = 200 \sqrt{400} \\ & = 200 . 20 \\ & = 4000 \end{align}$
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm

$^3 . \, \heartsuit$

Nomor 10

Fungsi kuadrat

$f(x) = -2x^2 - 4x + 2p \,$ selalu bernilai negatif jika ....

$\clubsuit \,$ Konsep Definit Negatif
*). Definit negatif artinya fungsi kuadrat selalu bernilai negatif untuk semua nilai

$x \,$ .
*). Syarat definit negatif :

$a < 0 \,$ dan

$D < 0 \,$ dengan

$D = b^2 - 4ac$ .

$\clubsuit \,$ Fungsi kuadrat

$f(x) = -2x^2 - 4x + 2p \,$
Nilai

$a = -2, \, b = -4, \,$ dan

$c = 2p$

$\clubsuit \,$ Syarat definit negatif :
*). Nilai

$a = -2 < 0 \,$ (benar) artinya sudah terpenuhi.
*). Nilai

$D < 0$

$\begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (-4)^2 - 4.(-2). (2p) & < 0 \\ 16 + 16p & < 0 \\ 16p & < -16 \\ p & < -1 \end{align}$
Jadi, diperoleh

$p < -1 \,$ agar fungsi kuadratnya bernilai negatif.

$\, \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015

Nomor 1

Jika A = {semua faktor dari 15} dan B = {bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 20}, maka pernyataan berikut yang benar adalah .....
A).

$A - B = A$
B).

$A - B = \{1,5\}$
C).

$B - A = A$
D).

$A \cap B \neq \{ \, \}$
E).

$A \cup B = \{ 1,3,4,5,8,12,15 \}$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar dari

$A - B$ dan

$B - A$ :

$A - B = \{ x | x \in A \text{ dan } x \not \in A\cap B \}$

$B - A = \{ x | x \in B \text{ dan } x \not \in A\cap B \}$

$\spadesuit \,$ Menentukan anggota himpunan A dan B
A = { semua faktor dari 15 } = { 1, 3, 5, 15 }
B = {bilangan asli kelipatan 4 kurang dari 20}
B = { 4 , 8 , 12, 16 }
Sehingga :
Irisan keduanya :

$A \cap B = \{ \, \} \,$ (kosong).
Gabungan :

$A \cup B = \{ 1, 3, 4, 5, 8, 12, 15, 16 \}$ .

$\spadesuit \,$ Menentukan hasil

$A - B \,$ dan

$B - A$ :
karena hasil

$A \cap B = \{ \, \} \,$ adalah himpunan kosong, maka sesuai definisi dari

$A - B \,$ kita peroleh hasil :

$A - B = A \,$ dan

$B - A = B$ .
Jadi, yang benar adalah

$A - B = A \,$ sesuai pilihan A.

$\, \heartsuit$

Nomor 2

Diketahui

$f(x) = 6x^2 - 5ax + 2b \,$ dengan

$f(0) = 10 \,$ dan

$f^\prime (2) = - 4. \,$ Nilai

$b - a = ....$

$\clubsuit \,$ Menentukan turunan fungsi dan substitusi

$f^\prime (2) = -4$

$\begin{align} f(x) &= 6x^2 - 5ax + 2b \\ f^\prime (x) & = 12x - 5a \\ f^\prime (2) & = -4 \\ 12. 2 - 5a & = -4 \\ 24 - 5a & = -4 \\ 5a & = 28 \\ a & =\frac{28}{5} \end{align}$
Sehingga fungsinya menjadi :

$f(x) = 6x^2 - 5ax + 2b$

$f(x) = 6x^2 - 5. \frac{28}{5} x + 2b = 6x^2 - 28x + 2b$

$\clubsuit \,$ Susbstitusi

$f(0) = 10 \,$ ke

$f(x) = 6x^2 - 28x + 2b$

$\begin{align} f(x) & = 6x^2 - 28x + 2b \\ f(0) & = 10 \\ 6.0^2 - 28.0 + 2b & = 10 \\ 2b & = 10 \\ b & = 5 \end{align}$
Sehingga nilai

$b - a = 5 - \frac{28}{5} = -\frac{3}{5}$
Jadi nilai

$b - a = -\frac{3}{5}. \, \heartsuit$

Nomor 3

Lima bilangan bulat positif

$a_1,a_2,a_3,a_4, \,$ dan

$a_5 \,$ yang berurutan jika dijumlahkan hasilnya 500. Pernyataan berikut ini yang benar adalah ....
A).

$a_4 - a_2 = 3$
B). Bilangan terkecil adalah 97
C). Bilangan terbesar adalah 102
D).

$a_1 + a_5 = 198$
E).

$a_5 - a_1 = 5$

$\spadesuit \,$ Barisan artimetika :

$u_n = a + (n-1)b \, \,$ dan

$s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$

$\spadesuit \,$ Analisa soal :
Bilangan

$a_1,a_2,a_3,a_4, \,$ dan

$a_5 \,$ berurutan sehingga barisan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan suku pertama

$a \,$ dan beda

$b = 1$ .

$\spadesuit \,$ Jumlah lima bilangan

$(s_5)$ = 500 :

$\begin{align} s_5 & = 500 \\ \frac{5}{2}(2a + (5-1).1) & = 500 \\ \frac{5}{2}(2a + 4) & = 500 \\ 2a + 4 & = 500 \times \frac{2}{5} \\ 2a + 4 & = 200 \\ 2a & = 196 \\ a & = 98 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan besar suku masing-masing

$\begin{align} a_1 & = u_1 = a = 98 \\ a_2 & = u_2 = a + b = 98 + 1 = 99 \\ a_3 & = u_3 = a + 2b = 98 + 2.1 = 100 \\ a_4 & = u_4 = a + 3b = 98 + 3.1 = 101 \\ a_5 & = u_5 = a + 4b = 98 + 4.1 = 102 \end{align}$
Sehingga yang benar adalah nilai bilangan terbesarnya 102.
Jadi, yang benar opsi C.

$\heartsuit$

Nomor 4

Jika

$3 \, {}^y \log x^3 - 2 \, {}^y \log x^2 + {}^y \log x = 1 \,$ maka

${}^x \log y \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Sifat-sifat logaritma :

${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} \,$ dan

${}^a \log b^n = n \, {}^a \log b$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

${}^y \log x$

$\begin{align} 3 \, {}^y \log x^3 - 2 \, {}^y \log x^2 + {}^y \log x & = 1 \\ 3 . 3 \, {}^y \log x - 2 . 2 \, {}^y \log x + {}^y \log x & = 1 \\ 9 \, {}^y \log x - 4 \, {}^y \log x + {}^y \log x & = 1 \\ (9 - 4 + 1) \, {}^y \log x & = 1 \\ 6 \, {}^y \log x & = 1 \\ {}^y \log x & = \frac{1}{6} \end{align}$
Sehingga nilai

${}^x \log y = \frac{1}{{}^y \log x} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$
Jadi, nilai

${}^x \log y = 6. \, \heartsuit$

Nomor 5

Jika

$\Delta ABC \,$ siku-siku di C dan

$\cos (A+C) = \frac{x}{2}, \,$ maka nilai

$\sin A + \cos B = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep Trigonometri :

$\cos (90^\circ + A ) = -\sin A$

$\spadesuit \,$ Diketahui

$\cos (A + C ) = \frac{x}{2} \,$ dan

$\angle C = 90^\circ$

$\begin{align} \cos (A + C ) & = \frac{x}{2} \\ \cos (A + 90^\circ ) & = \frac{x}{2} \\ -\sin A & = \frac{x}{2} \\ \sin A & = - \frac{x}{2} \end{align}$
Karena jumlah semua sudut segitga

$180^\circ \,$ dan

$\angle C = 90^\circ , \,$ maka sudut A pasti ada di kuadran I sehingga nilainya positif. Agar nilai

$\sin A = - \frac{x}{2} \,$ positif, maka haruslah nilai

$x \,$ negatif.

$\spadesuit \,$ Membuat segitiga ABC nya
Nilai

$\sin A = - \frac{x}{2} \,$ dengan

$x < 0$ .

Sehingga nilai

$\cos B = \frac{samping}{miring} = \frac{x}{2} \,$
*). Karena nilai

$x < 0 \,$ dan nilai

$\cos B \,$ dikuadran positif, maka kita beri tanda negatif agar nilainya positif. Artinya nilai

$\cos B = - \frac{x}{2} \,$ dengan

$x < 0$ .

$\spadesuit \,$ Menentukan hasilnya :

$\begin{align} \sin A + \cos B & = - \frac{x}{2} + (- \frac{x}{2}) = -x \end{align}$
Jadi, nilai

$\sin A + \cos B = -x . \, \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Diketahui fungsi

$f \,$ dengan

$f(1) = 2 \,$ dan

$f^\prime (1) = 1 . \,$ Jika

$g(x) = \frac{\sqrt{1 + x + f(x)}}{f^2(x)} \,$ , dengan

$f^2 (x) = f(x).f(x) , \,$ maka nilai

$g^\prime (1) \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep Turunan

$y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x)$

$y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}}$

$y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime.V - U.V^\prime}{V^2}$

$\spadesuit \,$ Menentukan turunan

$\begin{align} g(x) & = \frac{\sqrt{1 + x + f(x)}}{f^2(x)} = \frac{U}{V} \\ U & = \sqrt{1 + x + f(x)} \rightarrow U^\prime = \frac{ 1 + f^\prime (x) }{2\sqrt{1 + x + f(x)}} \\ V & = f^2(x) = [f(x)]^2 \rightarrow V^\prime = 2[f(x)].f^\prime (x) \\ g(x) & = \frac{U}{V} \\ g^\prime (x) & = \frac{U^\prime.V - U.V^\prime}{V^2} \\ g^\prime (x) & = \frac{ \frac{ 1 + f^\prime (x) }{2\sqrt{1 + x + f(x)}} . [f(x)]^2 - \sqrt{1 + x + f(x)}. 2[f(x)].f^\prime (x)}{[f(x)]^4} \\ g^\prime (1) & = \frac{ \frac{ 1 + f^\prime (1) }{2\sqrt{1 + 1 + f(1)}} . [f(1)]^2 - \sqrt{1 + 1 + f(1)}. 2[f(1)].f^\prime (1)}{[f(1)]^4} \\ & = \frac{ \frac{ 1 + 1 }{2\sqrt{1 + 1 + 2}} . [2]^2 - \sqrt{1 + 1 + 2}. 2[2].1}{[2]^4} \\ & = \frac{ \frac{ 2 }{4} . 4 - 2. 4}{16} \\ & = \frac{ 2 - 8}{16} \\ & = \frac{ -6}{16} \\ & = \frac{ -3}{8} \end{align}$
Jadi, Nilai

$g^\prime (1) = \frac{ -3}{8} . \, \heartsuit$

Nomor 12

Fungsi

$f(x) = x - 2\sqrt{x+a} \,$ mempunyai nilai minimum

$b$ did titik

$x = -4$ . Nilai

$a + b \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar
*). Turunan :

$y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}}$
*). Syarat minimum :

$f^\prime (x) = 0$ .

$\clubsuit \,$ Menentukan turunan dan syarat minimum :

$\begin{align} f(x) & = x - 2\sqrt{x+a} \\ f^\prime (x) & = 1 - 2. \frac{1}{2\sqrt{x+a}} \\ f^\prime (x) & = 1 - \frac{1}{\sqrt{x+a}} \\ f^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(syarat minimum)} \\ 1 - \frac{1}{\sqrt{x+a}} & = 0 \\ \sqrt{x+a} & = 1 \\ x+a & = 1 \\ x & = 1 - a \end{align}$
Artinya

$f(x) \,$ minimum saat

$x = 1 - a \,$ dengan

$x = -4$
Sehingga :

$1 - a = -4 \rightarrow a = 5$ .
Fungsinya :

$f(x) = x - 2\sqrt{x+a} \rightarrow f(x) = x - 2\sqrt{x+5}$ .

$\clubsuit \,$ Nilai minimum

$f(x) = b \,$ pada saat

$x = -4 \,$ artinya

$f(-4) = b$

$\begin{align} f(x) & = \\ b & = f(-4) \\ b & = -4 - 2\sqrt{-4+5} \\ b & = -4 - 2\sqrt{1} \\ b & = -4 - 2 \\ b & = -6 \end{align}$
Jadi, nilai

$a + b = 5 + (-6) = -1. \, \heartsuit$

Nomor 13

Di dalam kotak terdapat tiga buah bola yang masing-masing berwarna merah, biru, dan hijau. Jika lima siswa bergiliran mengambil satu bola dan setelah bola terambil dikembalikan lagi ke kotak, maka banyak kombinasi warna yang mungkin adalah ....

Cara I : mendaftar langsung

$\clubsuit \,$ Misalkan : M = bola merah, B = bola biru, dan H = bola hijau.

$\clubsuit \,$ Susunan kombinasi warna yang mungkin :
*). kelimanya sama artinya bisa semuanya merah atau kelimanya biru atau kelimanya hijau. Ada 3 cara.
*). empat sama dan satu beda :
Susunannya : 4M1B, 4M1H, 4B1M,4B1H, 4H1M, 4H1B. Ada 6 cara.
*). tiga sama dan dua beda :
Susunannya : 3M1B1H, 3B1M1H, 3H1B1M. Ada 3 cara.
*). 3 sama dan dua sama :
Susunannya : 3M2B, 3M2H, 3B2M,3B2H, 3H2M, 3H2B. Ada 6 cara.
*). dua sama, dua sama dan satu beda :
Susunannya : 2M2B1H, 2M1B2H, 1M2B2H. Ada 3 cara.
Sehingga total cara

$= 3 + 6 + 3 + 6 + 3 = 21 \,$ cara.
Jadi, ada 21 kombinasi warna yang mungkin.

$\heartsuit$

Cara II : menggunakan rumus kombinasi berulang

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar
*). Kombinasi dengan unsur yang sama :
Misalkan ada unsur

$x_1, \, x_2, \, x_3, \, ... x_k \,$ yang masing-masing jumlahnya tak terbatas. Banyak solusi dari persamaan

$x_1 + x_2 + ... + x_k = n \,$ dengan

$x_1 \geq 0, \, x_2 \geq 0 , \, ... , \, x_k \geq 0 \,$ adalah kombinasi dari

$(k-1) \,$ dari

$(n+k - 1) \,$ atau

$C_{k-1}^{n+k-1}$ .
*). Pada kasus ini, kita misalkan
M = banyak bola merah terambil,
B = banyak bola biru terambil,
H = banyak bola hijau terambil,
yang masing-masing bisa bernilai

$M \geq 0, \, B \geq 0, \, H \geq 0 \,$ .
*). Jumlah bola yang terambil harus berjumlah 5, artinya kita akan menentukan banyaknya solusi dari persamaan

$M + B + H = 5 \,$ yang artinya nilai

$k = 3 \,$ , dan

$n = 5$ .
Misalkan terambil 3M, 1B, dan 1H yang jumlahnya ada 5 bola, dan lainnya.

$\clubsuit \,$ Menghitung total kemungkinan cara.
total cara

$\, = C_{k-1}^{n+k-1} = C_{3-1}^{5+3-1} = C_{2}^{7} = \frac{7!}{5!.2!} = 21$
Jadi, ada 21 kombinasi warna yang mungkin.

$\heartsuit$

Nomor 14

Tiga buah bilangan berbeda yang hasil kalinya 125 membentuk tiga suku berurutan barisan geometri. Ketiga bilangan tersebut masing-masing merupakan suku pertama, suku ketiga, dan suku keenam barisan aritmatika. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar barisan
*). Barisan geometri :

$u_n = ar{n-1}$
*). Barisan aritmatika :

$u_n = a + (n-1)b$

$\spadesuit \,$ Misakan barisan geometrinya :

$a, ar, ar^2$
agar ketiga bilangannya berbeda, maka nilai

$r \neq 1$ .

$\begin{align} \text{hasil perkalian } & = 125 \\ a.ar.ar^2 & = 125 \\ (ar)^3 & = 125 \\ ar & = (125)^\frac{1}{3} \\ ar & = 5 \\ a & = \frac{5}{r} \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Dari soal , barisan artimetikanya :

$u_1 = a, u_3 = ar, u_6 = ar^2$

$u_3 = ar \rightarrow a + 2b = ar$

$u_6 = ar^2 \rightarrow a + 5b = ar^2$

$\spadesuit \,$ Substitusi

$a = \frac{5}{r} \,$ ke barisan aritmetikanya :
Suku ketiga :

$u_3 = ar$

$\begin{align} a + 2b & = ar \\ \frac{5}{r} + 2b & = \frac{5}{r}. r \\ \frac{5}{r} + 2b & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kali } r) \\ 5 + 2br & = 5r \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
Suku keenam :

$u_6 = ar^2$

$\begin{align} a + 5b & = ar^2 \\ \frac{5}{r} + 5b & = \frac{5}{r}. r^2 \\ \frac{5}{r} + 5b & = 5r \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ \frac{1}{r} + b & = r \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ b & = r - \frac{1}{r} \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi pers(iii) ke (ii)

$\begin{align} 5 + 2br & = 5r \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ 5 + 2(r - \frac{1}{r}) r & = 5r \\ 5 + 2r^2 - 2 & = 5r \\ 2r^2 - 5r + 3 & = 0 \\ (2r - 3)(r - 1) & = 0 \\ r = \frac{3}{2} \vee r & = 1 \end{align}$
yang memenuhi

$r = \frac{3}{2}$
nilai

$a = \frac{5}{r} = \frac{5}{\frac{3}{2}} = \frac{10}{3}$
Barisan geometrinya menjadi :

$a, ar, ar^2 \rightarrow \frac{10}{3} , \, 5, \, \frac{15}{2}$

$\spadesuit \,$ Jumlah ketiga bilangannya :

$\begin{align} \text{Jumlah } & = \frac{10}{3} + 5 + \frac{15}{2} \\ & = \frac{95}{6} \end{align}$
Jadi, jumlah ketiga bilangannya adalah

$\frac{95}{6} . \, \heartsuit$

Nomor 15

Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada sumbu X dan melalui titik-titik potong parabola

$y = -x^2+6x \,$ dan garis

$2x - y = 0 \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran :

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
dengan

$(a,b) \,$ adalah pusat dan jari-jari

$r$ .
*). Jarak dua titik

$(x_1,y_1) \,$ dan

$(x_2,y_2)$
Jarak

$\, = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }$

$\clubsuit \,$ Pusat lingkaran terletak pada sumbu X, misalkan titik pusatnya

$(m,0)$ . Sehingga pusat lingkaran menjadi

$(a,b) = (m,0)$ .

$\clubsuit \,$ Menentukan titik potong garis dan parabola
Substitusi parabola ke garis :

$\begin{align} 2x - y & = 0 \\ 2x - (-x^2+6x) & = 0 \\ x^2 - 4x & = 0 \\ x(x-4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align}$
untuk

$x = 0 \rightarrow 2x - y = 0 \rightarrow 2.0 - y = 0 \rightarrow y = 0$
untuk

$x = 4 \rightarrow 2x - y = 0 \rightarrow 2.4 - y = 0 \rightarrow y = 8$
sehingga titik potongnya : (0,0) dan (4,8)

$\clubsuit \,$ ilustrasi gambarnya :

Jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke titik yang dilalui oleh lingkaran.
*). Jarak titik

$(m,0) \,$ ke (0,0) :

$r = \sqrt{(m - 0)^2 + (0-0)^2 } = m$
*). Jarak titik

$(m,0) \,$ ke (4,8) dan

$r = m$

$\begin{align} r & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \\ m & = \sqrt{(m - 4)^2 + (0-8)^2 } \\ m & = \sqrt{m^2 - 8m + 16 + 64 } \\ m & = \sqrt{m^2 - 8m + 80 } \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ m^2 & = m^2 - 8m + 80 \\ 8m & = 80 \\ m & = 10 \end{align}$
Sehingga pusat

$(a,b) = (m,0) = (10,0) \,$ dan

$r = m = 10$ .

$\clubsuit \,$ Menyusun persamaan lingkarannya :

$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-10)^2 + (y-0)^2 & = 10^2 \\ x^2 - 20x + 100 + y^2 & = 100 \\ x^2 + y^2 - 20x & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkarannya

$x^2 + y^2 - 20x = 0. \, \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Jika

$x_1 \,$ dan

$x_2 \,$ memenuhi

$|3x-4| = x+5 , \,$ maka nilai

$x_1+x_2 \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar :
*). Konsep harga mutlak :

$|f(x)|^2 = [f(x)]^2$
*). Penjumlahan akar-akar dari PK :

$ax^2 + bx + c = 0$

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$\spadesuit \,$ Kuadratkan persamaan :

$\begin{align} |3x-4| & = x+5 \\ |3x-4|^2 & = (x+5)^2 \\ (3x-4)^2 & = (x+5)^2 \\ 9x^2 - 24x + 16 & = x^2 + 10x + 25 \\ 8x^2 - 34x -9 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = -\frac{b}{a} \\ & = - \frac{-34}{8} = \frac{17}{4} \end{align}$
Jadi, nilai

$x_1 + x_2 = \frac{17}{4} . \, \heartsuit$

Nomor 7

Jika 9,

$x_1 , \,$ dan

$x_2 \,$ merupakan tiga akar berbeda dari

$x^3 - 6x^2 - ax + b = 0 \,$ dengan

$b - a = 5, \,$ maka

$x_1 + x_2 + x_1.x_2 = ....$

$\clubsuit \,$ Operasi akar-akar pada

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \,$ dan

$x_1 . x_2 . x_3 = -\frac{d}{a}$ .

$\clubsuit \,$ Substitusi

$x=9$ ke persamaan

$\begin{align} x = 9 \rightarrow x^3 - 6x^2 - ax + b & = 0 \\ 9^3 - 6.9^2 - a.9 + b & = 0 \\ - 9a + b & = -243 \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
Sebelumnya diketahui :

$b - a = 5 \,$ ....pers(ii).

$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)

$\begin{array}{cc} - 9a + b = -243 & \\ b - a = 5 & - \\ \hline -8a = - 248 & \\ a = 31 & \end{array}$
Pers(ii) :

$b - a = 5 \rightarrow b - 31 = 5 \rightarrow b = 36$ .
Persamaannya menjadi :

$x^3 - 6x^2 - ax + b = 0 \rightarrow x^3 - 6x^2 - 31x + 36 = 0$

$\clubsuit \,$ Operasi akar-akar persamaan :
Dari persamaan :

$x^3 - 6x^2 - 31x + 36 = 0 \rightarrow a = 1, b = -6, c = -31, d = 36$ .
dengan akar-akar :

$9, x_1, \,$ dan

$x_2$ .
Operasi penjumlahan :

$\begin{align} 9 + x_1 + x_2 & = -\frac{b}{a} \\ 9 + x_1 + x_2 & = -\frac{(-6)}{1} \\ 9 + x_1 + x_2 & = 6 \\ x_1 + x_2 & = -3 \end{align}$
Operasi perkalian :

$\begin{align} 9 . x_1 . x_2 & = -\frac{d}{a} \\ 9 . x_1 . x_2 & = -\frac{36}{1} \\ 9 . x_1 . x_2 & = -36 \\ x_1 . x_2 & = -4 \end{align}$
Sehingga nilai :

$x_1 + x_2 + x_1.x_2 = (-3) + (-4) = -7$ .
Jadi, nilai

$x_1 + x_2 + x_1.x_2 = -7 . \, \heartsuit$

Nomor 8

Pertidaksamaan

$(3x)^{1 + {}^3 \log 3x } > 81x^2 \,$ mempunyai penyelesaian ....

$\spadesuit \,$ Konsep logaritma
*). Sifat :

${}^a \log b^n = n {}^a \log b$
*). Definisi :

${}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c$
*). Syarat logaritma :

${}^a \log f(x) \rightarrow f(x) > 0$ .

$\spadesuit \,$ Menentukan syarat dari soalnya
bentuk :

$(3x)^{1 + {}^3 \log 3x } > 81x^2 \,$
Syaratnya pada

${}^3 \log 3x \,$ adalah

$3x > 0 \rightarrow x > 0$ .
Dari syarat

$x > 0 \,$ ini sebenarnya sudah bisa kita peroleh jawabannya yaitu opsi A karena opsi yang lainnya memuat negatif semua. Tetapi kita akan melanjutkan penyelesaiannya secara penuh.
Syarat ini kita anggap sebagai

$HP_1 = \{ x > 0 \}$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan soal :
Kedua ruas diberi

${}^3 \log \,$ dan dimisalkan

$a = {}^3 \log x$ ,

$\begin{align} (3x)^{1 + {}^3 \log 3x } & > 81x^2 \\ {}^3 \log [(3x)^{1 + {}^3 \log 3x }] & > {}^3 \log [81x^2] \, \, \, \, \text{(dari sifat)} \\ (1 + {}^3 \log 3 + {}^3 \log x) ({}^3 \log 3 + {}^3 \log x) & > {}^3 \log 3^4 + 2 . {}^3 \log x \\ (1 + 1 + {}^3 \log x) (1 + {}^3 \log x) & > 4 + 2 . {}^3 \log x \\ (2 + a) (1 + a) & > 4 + 2 a \\ a^2 + 3a + 2 & > 4 + 2 a \\ a^2 + a - 2 & = 0 \\ (a - 1)(a+2) & = 0 \\ a = 1 \rightarrow {}^3 \log x & = 1 \rightarrow x = 3^1 = 3 \\ a = -2 \rightarrow {}^3 \log x & = -2 \rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9} \end{align}$

Karena yang diminta

$> 0 \,$ maka yang diarsir adalah yang positif,
sehingga

$HP_2 = \{ x < \frac{1}{9} \vee x > 3 \}$ .
Solusi totalnya adalah :

$HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ x < \frac{1}{9} \vee x > 3 \}$ .
Jadi, solusinya

$\{ x < \frac{1}{9} \vee x > 3 \}$ , dan opsi yang sesuai adalah A.

$\heartsuit$

Nomor 9

Tiga buah bilangan dengan jumlah 42 membentuk barisan geometri. Jika suku ditengah dikalikan dengan

$-\frac{5}{3} \,$ maka akan terbentuk barisan aritmetika. Maksimum dari bilangan-bilangan tersebut adalah ....

$\spadesuit \,$ Barisan geometri :

$u_n=ar^{n-1} \,$

$\spadesuit \,$ Misalkan barisan geometrinya :

$a, ar, ar^2$

$\begin{align} \text{jumlah } & = 42 \\ a + ar + ar^2 & = 42 \\ a(1 + r + r^2) & = 42 \\ a & = \frac{42}{1 + r + r^2} \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Suku tengah dikali

$- \frac{5}{3} \,$ , membentuk barisan aritmetika
barisannya :

$a, - \frac{5}{3}ar, ar^2$
Barisan artimetika memiliki selisih sama , sehingga :

$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ - \frac{5}{3}ar - a & = ar^2 - ( - \frac{5}{3}ar) \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ - 5ar - 3a & = 3ar^2 +5ar \, \, \, \, \, \text{(bagi } a) \\ - 5r - 3 & = 3r^2 +5r \\ 3r^2 + 10r + 3 & = 0 \\ (3r + 1)(r+3) & = 0 \\ r = -\frac{1}{3} \vee r & = -3 \\ \end{align}$
dari kedua rasio

$(r)$ ini, sebenarnya barisannya sama saja, hanya dibalik saja barisannya. Sehingga cukup kita gunakan salah satu saja nilai rasionya yaitu

$r = -3$ .

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$a \,$ dari pers(i) dan barisannya :

$a = \frac{42}{1 + r + r^2} = \frac{42}{1 + (-3) + (-3)^2} = \frac{42}{7} = 6$
kita peroleh nilai

$a = 6 \,$ dan

$r = -3$ .
barisannya :

$a, ar, ar^2 \rightarrow 6, \, -18, \, 54$ .
Jadi, nilai maksimum dari ketiga bilangannya adalah 54.

$\heartsuit$

Nomor 10

Jika

$b,c \neq 0 \,$ dan

$\displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c (x-a) \, - \, 1 } = d , \,$ maka

$b = ....$

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar
*). Limit trogonometri :

$\displaystyle \lim_{ x \to k } \frac{af(x)}{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} \,$ dan

$\, \displaystyle \lim_{ x \to k } \frac{\tan af(x)}{\sin bf(x)} = \frac{a}{b}$
dengan syarat :

$f(k) = 0$ .
*). Bentuk :

$\cos pf(x) = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} p f(x)$ .

$\clubsuit \,$ Modifikasi penyebutnya :

$\begin{align} \cos c(x-a) & = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} c ( x- a) \\ \cos c(x-a) - 1 & = [1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} c ( x- a) ] - 1 \\ & = - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} c ( x- a) \\ & = - 2 \sin \frac{1}{2} c ( x- a) \sin \frac{1}{2} c ( x- a) \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya

$\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c (x-a) \, - \, 1 } & = d \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{(x-a)\tan -b(x-a)}{ - 2 \sin \frac{1}{2} c ( x- a) \sin \frac{1}{2} c ( x- a) } & = d \\ \frac{1}{-2} . \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{(x-a) }{ \sin \frac{1}{2} c ( x- a) } . \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{ \tan -b(x-a)}{ \sin \frac{1}{2} c ( x- a) }& = d \\ \frac{1}{-2} . \frac{ 1 }{ \frac{1}{2} c } . \frac{ -b }{ \frac{1}{2} c }& = d \\ \frac{b}{ \frac{1}{2} c^2 } & = d \\ b & = \frac{1}{2} c^2 d \end{align}$
Jadi, kita peroleh

$b = \frac{1}{2} c^2 d . \, \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 1 sampai 5

Nomor 1

Jika garis

$2x + y + 4 = 0 \,$ dan

$2x + y -6 = 0 \,$ menyinggung lingkaran dengan pusat

$(1,p) \,$ , maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran dengan pusat

$(a,b)$ dan jari-jari

$r$ :

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
*). Jarak titik

$(a,b)$ ke garis

$mx + ny + c = 0$
Jarak

$\, = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2+n^2} } \right|$
*). Sifat mutlak :

$|x|^2 = x^2$

$\spadesuit \,$ Ilustrasi gambar kedua garis menyinggung lingkaran

garis 1 dan garis 2 sejajar karena memiliki besar gradien yang sama yaitu

$- 2$ .
Jari-jari lingkaran adalah jarak pusat lingkaran

$A(1,p) \,$ ke garis :

$r_1 = \,$ jarak pusat lingkaran ke garis 1

$\, = \left| \frac{2.1 + p -6}{\sqrt{2^2+1^2} } \right|$ ,

$r_2 = \,$ jarak pusat lingkaran ke garis 2

$\, = \left| \frac{2.1 + p + 4}{\sqrt{2^2+1^2} } \right|$ .
Dimana besarnya

$r_1 \,$ sama dengan

$r_2$ .

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$p \,$ dari

$r_1 = r_2$

$\begin{align} r_1 & = r_2 \\ \left| \frac{2.1 + p -6}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| & = \left| \frac{2.1 + p + 4}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| \\ \left| \frac{ p -4}{\sqrt{5} } \right| & = \left| \frac{ p + 6}{\sqrt{5} } \right| \\ \left| p -4 \right| & = \left| p + 6 \right| \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikuadratkan)} \\ \left| p -4 \right|^2 & = \left| p + 6 \right| ^2 \\ ( p -4 )^2 & = ( p + 6 ) ^2 \\ p^2 - 8p + 16 & = p^2 + 12p + 36 \\ -20p & = 20 \\ p & = -1 \end{align}$
Sehingga pusat lingkarannya yaitu :

$A (1,p) = A(1,-1)$ .

$\spadesuit \,$ Menentukan jari-jari lingkaran dengan nilai

$p = -1$ ,

$\begin{align} r & = r_1 = \left| \frac{2.1 + p -6}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| \\ & = \left| \frac{2.1 + (-1) -6}{\sqrt{5} } \right| \\ & = \left| \frac{-5}{\sqrt{5} } \right| \\ & = \frac{5}{\sqrt{5} } = \sqrt{5} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menyusun persamaan lingkaran : Pusat

$(a,b) = (1,-1) , \,$ dan

$r = \sqrt{5}$

$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2 + (y-(-1))^2 & = (\sqrt{5})^2 \\ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) & = 5 \\ x^2 + y^2 - 2x + 2y - 3 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah

$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 3 = 0 . \, \heartsuit$

Nomor 2

Nilai minimum fungsi

$f(x) = 2 \sin x + \cos 2x \,$ pada

$\, 0 \leq x \leq 2\pi \,$ adalah .....

$\clubsuit \,$ Konsep Dasar :
*). Syarat nilai maksimum/minimum :

$f^\prime (x) = 0$ .
*). Bentuk trigonometri :

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$

$\clubsuit \,$ Menentukan turunan fungsi trigonometrinya :

$\begin{align} f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f^\prime (x) & = 2\cos x - 2 \sin 2x \\ f^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ 2\cos x - 2 \sin 2x & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \cos x - \sin 2x & = 0 \\ \cos x - 2 \sin x \cos x & = 0 \\ \cos x (1 - 2 \sin x ) & = 0 \\ \cos x = 0 \vee 1-2 \sin x & = 0 \rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos x = 0 \rightarrow x & = 90^\circ, \, 270^\circ \\ \sin x = \frac{1}{2} \rightarrow x & = 30^\circ, \, 150^\circ \end{align}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai fungsi dengan substitusi semua nilai

$x \,$
Fungsinya :

$f(x) = 2 \sin x + \cos 2x$

$\begin{align} x = 30^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(30^\circ ) & = 2 \sin 30^\circ + \cos 2. 30^\circ = \frac{3}{2} \\ x = 90^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(90^\circ ) & = 2 \sin 90^\circ + \cos 2. 90^\circ = 1 \\ x = 150^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(150^\circ ) & = 2 \sin 150^\circ + \cos 2. 150^\circ = \frac{3}{2} \\ x = 270^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(270^\circ ) & = 2 \sin 270^\circ + \cos 2. 270^\circ = -3 \end{align}$
Jadi, nilai minimum fungsi

$f(x) = 2 \sin x + \cos 2x \,$ pada interval

$0 \leq x \leq 2\pi \,$ adalah

$-3 . \, \heartsuit$

Nomor 3

Hasil pencerminan titik

$C(-4,-2) \,$ terhadap garis

$ax + by + 6 = 0 \,$ adalah

$\, C'(4,10) \,$ . Nilai

$a + 2b \,$ adalah ....

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar :
*). Titik tengah antara titik

$A(x_1,y_1) \,$ dan

$B(x_2,y_2) \,$
titik tengahnya :

$\left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)$
*). gradien dua titik

$A(x_1,y_1) \,$ dan

$B(x_2,y_2) \,$

$m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}$
*). Gradien bentuk garis

$ax + by + c = 0 \,$ adalah

$m = -\frac{a}{b}$ .
*). Dua garis tegak lurus berlaku :

$m_1 . m_2 = -1$ .

$\spadesuit \,$ Ilustrasi gambarnya

*). Pencerminan titik C terhadap garis

$ax + by + 6 = 0 \,$ menghasilkan bayangan titik C' dimana garis yang menghubungkan titik C ke C' tegak lurus dengan garis

$ax + by + 6 = 0 \,$ sebagai cerminnya.
*). Titik tengah antara C dan C' adalah titik P terletak pada garis

$ax + by + 6 = 0$

$\spadesuit \,$ Menentukan titik tengah (titik P) antara titik

$C(-4,-2) \,$ dan titik

$\, C'(4,10) \,$

$\begin{align} P & = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{-4 + 4}{2}, \frac{-2 + 10}{2} \right) \\ & = \left( 0 , 4 \right) \end{align}$

$\spadesuit \,$ Substitusi titik P(0,4) ke garis

$ax + by + 6 =0 \,$

$\begin{align} (x,y)=(0,4) \rightarrow ax + by + 6 & = 0 \\ a.0 + b.4 + 6 & = 0 \\ 0 + 4b + 6 & = 0 \\ 4b & = -6 \\ b & = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan gradien :
*). garsi

$ax + by + 6 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{a}{b}$
*). Gradien garis C(-4,-2) ke C'(4,10) :

$\begin{align} m_2 & = m_{CC'} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \frac{10-(-2)}{4 - (-4)} \\ & = \frac{12}{8} \\ & = \frac{3}{2} \end{align}$

$\spadesuit \,$ Kedua garis tegak lurus, berlaku

$m_1.m_2 = -1$

$\begin{align} m_1 . m_2 & = -1 \\ -\frac{a}{b} . \frac{3}{2} & = -1 \\ \frac{a}{-\frac{3}{2}} . \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{a}{1} .(-1) & = 1 \\ a & = -1 \end{align}$

$\spadesuit \,$ Menentukan hasilnya :

$a + 2b = (-1) + 2 . (-\frac{3}{2}) = -1 + (-3) = - 4$
Jadi, kita peroleh nilai

$a + 2b = = -4 . \, \heartsuit$

Nomor 4

Diketahui vektor

$\vec{p} = a\vec{i}+b\vec{j}+2\vec{k} , \, \vec{q} = \vec{i}+2\vec{j}+c\vec{k} , \,$ dan

$\vec{r} = 3\vec{i}+6\vec{j}+c\vec{k} , \,$ dengan

$a, b \neq 0 . \,$ Jika

$\vec{p} \bot \vec{q} \,$ dan

$\, \vec{p} \bot \vec{r} \,$ maka

$\frac{a^2 + 4b^2}{ab} = ....$

$\spadesuit \,$ Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor :

$\vec{a} = a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k} \,$ dan

$\vec{b} = b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k}$ .
*). Perkalian dot kedua vektor :

$\vec{a}.\vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3$ .
*).

$\vec{a} \,$ tegak lurus

$\vec{b} \,$ berlaku

$\vec{a}.\vec{b} = 0$ .

$\spadesuit \,$ Menyusun persamaan
*).

$\vec{p} \,$ tegak lurus

$\vec{q} \, ( \vec{p} \bot \vec{q})$ :

$\vec{p} . \vec{q} = 0 \rightarrow a + 2b + 2c = 0 \,$ ....pers(i)
*).

$\vec{p} \,$ tegak lurus

$\vec{r} \, ( \vec{p} \bot \vec{r})$ :

$\vec{p} . \vec{r} = 0 \rightarrow 3a + 6b + 2c = 0 \,$ ....pers(ii)

$\spadesuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :

$\begin{array}{cc} 3a + 6b + 2c = 0 & \\ a + 2b + 2c = 0 & - \\ \hline 2a + 4b = 0 & \\ a = -2b & \end{array}$

$\spadesuit \,$ Menentukan hasil dengan

$a = - 2b$

$\begin{align} \frac{a^2 + 4b^2}{ab} = \frac{(-2b)^2 + 4b^2}{(-2b)b} = \frac{4b^2 + 4b^2}{-2b^2} = \frac{8b^2}{-2b^2} = - 4 \end{align}$
Jadi, nilai

$\frac{a^2 + 4b^2}{ab} = -4 . \, \heartsuit$

Nomor 5

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk

$4p \,$ . Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada rusuk FG, BF, dan GH dengan

$GP = BQ = GR = p . \,$ Sudut antara bidang yang melalui P, Q, R dan bidang ABCD adalah

$\alpha \,$ . Nilai

$\tan \alpha \,$ adalah ....

$\clubsuit \,$ ilustrasi gambarnya

*). Untuk menentukan sudut antara bidang yang melalu P,Q, R dan bidang alas, kita perluas bidang yang melalu P,Q,R sehingga terbentuk segitiga SIN dengan bidang PRLWUQ adalah bidang irisan yang melalui P,Q,R dengan kubus.
*). Sudut yang terbentuk adalah

$\alpha \,$ yang terbentuk pada segitiga siku-siku IXC.
*). Panjang sisi kubus langsung kita ganti dengan 4 saja tanpa harus menggunakan

$4p \,$ karena hasilnya akan sama.
*). Cara menentukan bidang irisannya atau perluasan bidangnya :
i). perpanjang garis PQ sehingga memotong CB di N dan CG di I,
ii). perpanjang garis IR sehingga memotong CD di S dan HD di L,
iii). hubungkan gari NS sehingga memotong AB di U dan AD di W,
iv). Hubungkan titik-titik sehingga membentuk bidang irisan PRLWUQ.

$\clubsuit \,$ Menentukan panjang sisi-sisi :
*). Perhatikan segitiga NCI, misalkan IG = BN =

$x$ . Segitiga IPG sebangun dengan segitiga besar INC,

$\begin{align} \frac{PG}{NC} & = \frac{IG}{IC} \\ \frac{1}{x + 4} & = \frac{x}{x + 4} \\ x & = 1 \end{align}$
sehingga kita peroleh

$IG = BN = x = 1$
Panjang

$\, IC = IG + GC = 1 + 4 = 5$
Panjang WU juga sama dengan BU sama dengan BN.
Sehingga panjang AU = AW = 3 .
*). Perhatikan segitiga AWU siku-siku di A, sehingga

$WU = 3\sqrt{2}$
dan

$WX = \frac{1}{2}WU = \frac{3}{2}\sqrt{2}$ .
Sehingga

$AX = \sqrt{AW^2 - WX^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{3}{2}\sqrt{2})^2} = \frac{3}{2}\sqrt{2}$
Panjang CX = AC - AX =

$4\sqrt{2} - \frac{3}{2}\sqrt{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2}$

$\clubsuit \,$ Menentukan nilai

$\tan \alpha \,$ pada segitiga ICX :

$\begin{align} \tan \alpha & = \frac{depan}{samping} \\ & = \frac{IC}{CX} \\ & = \frac{5}{\frac{5}{2}\sqrt{2}} \\ & = \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai

$\tan \alpha = \sqrt{2}. \, \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pages - Menu

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015 nomor 11 sampai 15

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015 nomor 6 sampai 10

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 11 sampai 15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 6 sampai 10

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 1 sampai 5