Processing math: 14%

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Garis singgung kurva f(x)=x2+2x di titik (4,-12) memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik (p,0) dan (0,q). Nilai q5p=....
Konsep Garis singgung
Persamaan garis singgung (PGS) pada kurva y=f(x) di titik (x1,y1) adalah yy1=m(xx1) dengan m=f(x1).
Menentukan gradien (m) di titik (x1,y1)=(4,12)
f(x)=x2+2xf(x)=2x+212xf(x)=2x+1xm=f(x1)=f(4)m=2.4+14=8+12=152
Menentukan PGS
yy1=m(xx1)y(12)=152(x4)y+12=152(x4)
Memotong sumbu X, substitusi y=0
y=0y+12=152(x4)0+12=152(x4)24=15x+6015x=36x=3615=125
titiknya : (p,0)=(125,0) artinya p=125.
Memotong sumbu Y, substitusi x=0
x=0y+12=152(x4)y+12=152(04)y+12=30y=18
titiknya : (0,q)=(0,18) artinya q=18.
Sehingga nilai : q5p=185.(125)=6
Jadi, nilai q5p=6.
Nomor 12
Jika diberikan [2x51854+3y]=[31825]
maka nilai dari 2x3y adalah ....
Menyusun persamaan :
[2x51854+3y]=[31825]
Persamaan pertama :
2x5=32x=8x=4
Persamaan kedua :
54+3y=2554+3y=524+3y=23y=6y=2
Sehingga nilai : 2x3y=2.43.2=86=2.
Jadi, nilai 2x3y=2 (tidak ada di pilihan) .
Nomor 13
Luas daerah A yang dibatasi oleh grafik y=x2,y=x220x+100 dan y=0 dapat dinyatakan sebagai ...
A). 100(2x220x+100)dx
B). 100(20x100)dx
C). 50x2dx105(20x100)dx
D). 50x2dx+100(x220x+100)dx
E). 50x2dx+105(x220x+100)dx
Menggambar grafik fungsi kuadratnya
*). fungsi y=x2 menyinggung sumbu X di 0 dan hadap atas karena a=1>0.
*). fungsi y=x220x+100 menyinggung sumbu X di 10 dan hadap atas karena a=1>0.
*). fungsi y=0 berupa garis yaitu sumbu X itu sendiri.
titik potong kedua kurva
y1=y2x2=x220x+10020x=100x=5
Ilustrasi gambarnya :
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_13
Dari gambar ini, daerah yang dibatasi oleh ketiga kurva dibagi menjadi dua yaitu daerah A dan daerah B.
Menentukan luas daerah arsiran
Luas total =LA+LB=50x2dx+105x220x+100dx
Jadi, luas daerahnya adalah 50x2dx+105x220x+100dx.
Nomor 14
Pertaksamaan x2+2x152x2+11x+50 berlaku untuk ....
Menyelesaikan pertidaksamaan
x2+2x152x2+11x+50(x3)(x+5)(2x+1)(x+5)0x=3,x=5,x=12
Keterangan :
Akar-akar penyebut tidak boleh ikut (x=5,x=12) .
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_14
Karena yang diminta 0 , maka daerah yang diarsir adalah daerah bertanda negatif. Sehingga solusinya HP={12<x3}
Jadi, solusinya HP={12<x3}.
Nomor 15
Dalam himpunan penyelesaian yang memenuhi seistem pertaksamaan x1,y3,x+y8 dan 2x+3y20, nilai minimum dari fungsi f(x,y)=3x+2y adalah ....
Menggambar Daerah Himpunan Penyelesaiannya (DHP)
*). Gambar garis kedua persamaan :
x+y=8(0,8),(8,0)
2x+3y=20(0,203),(10,0)
garis x=1 adalah garis tegak.
garis y=3 adalah garis mendatar.
*). Titik potong kedua garis, eliminasi kedua persamaan :
2x+3y=20×12x+3y=20x+y=8×22x+2y=16y=4
pers(i) : x+y=8x+4=8x=4.
titik potongnya : (4,4)
Gambar DHP nya :
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_15
*). Susbstitusi x=1 ke persamaan 2x+3y=20 :
2x+3y=202.1+3y=202+3y=20y=6
Sehingga diperoleh titik D(1,6)
*). Susbstitusi y=3 ke persamaan x+y=8 :
x+y=8x+3=8x=5
Sehingga diperoleh titik B(5,3)
Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : f(x,y)=3x+2y
A(1,3)f(1,3)=3.1+2.3=9B(5,3)f(5,3)=3.5+2.3=21C(4,4)f(4,4)=3.4+2.4=20D(1,6)f(1,6)=3.1+2.6=15
Jadi, nilai minimumnya adalah 9.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Nilai lim adalah ...
\spadesuit \, Pada soal ini, setelah dihitung dsesuai soal aslinya menggunakan \cos (x-2) \, , ternyata tidak ada jawabannya. menurut kami, ada kesalahan pengetikan, seharusnya menggunakan bentuk \sin (x-2) .
Soal menjadi : \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} .
\spadesuit \, konsep limit trigonometri :
\displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, dengan syarat f(k) = 0 .
\spadesuit \, Menyelesaikan soalnya
\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2-x-6) \sin (x-2)}{x^2 - 4} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x+2)(x-3) \sin (x-2)}{(x-2)(x+2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x-3) \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } (x-3) \frac{ \sin (x-2)}{(x-2) } \\ & = (2-3) \frac{ 1}{1} \\ & = -1 \end{align}
Jadi, nilai limitnya adalah -1. \, \heartsuit
Nomor 7
Diketahui g(2x-1) = x - 2 \, dan (f\circ g)(2x-1) = x^2 + x - 6. \, Nilai f(-1) \, adalah ....
\clubsuit \, Substitusi g(2x-1) = x - 2 \, ke bentuk komposisinya
\begin{align} (f\circ g)(2x-1) & = x^2 + x - 6 \\ f ( g(2x-1) ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \end{align}
*). Yang ditanyakan nilai f(-1) \, , sementara kita peroleh bentuk f( x- 2 ) \, artinya x - 2 = -1 \rightarrow x = 1 . Sehingga cukup kita substitusi x = 1 \, ke fungsi f(x-2) \, nya.
\clubsuit \, Substitusi x = 1
\begin{align} x = 1 \rightarrow f ( x - 2 ) & = x^2 + x - 6 \\ f ( 1 - 2 ) & = 1^2 + 1 - 6 \\ f ( -1 ) & = 1 + 1 - 6 \\ & = -4 \end{align}
Jadi, nilai f(-1) = -4. \, \heartsuit
Nomor 8
Bilangan terdiri dari tiga angka akan disusun dari angka 1, 2, 3, 5, 7, dan 9. Banyaknya bilangan yang dapat disusun dengan susunan angka-angka yang berlainan dan nilainya lebih kecil dari 700 adalan ....
\clubsuit \, Pilihan angka ada 6 yaitu : 1, 2, 3, 5, 7, 9
\clubsuit \, Dibentuk tiga angka dengan susunan angka yang berlainan dan lebih kecil dari 700
Total banyaknya angka yang terbentuk adalah :
Ratusan ada 4 pilihan, puluhan ada 5 pilihan, dan satuan ada 4 pilihan.
total = 4.5.4 = 80 \, angka.

Keterangan :
*). Ratusan : agar kurang dari 700, maka ratusan yang mungkin dipilih dari angka 1, 2, 3, 5 (ada 4 pilihan).
*). Puluhan : puluhannya bebas, tetapi satu angka sudah dipakai untuk ratusan, sehingga tersisa 5 pilihan angka untuk puluhan.
*). Satuan : satuan tersisa 4 pilihan karena dua anagka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Jadi, ada 80 angka yang terbentuk yang terdiri dari tiga angka. \, \heartsuit
Nomor 9
Jika tersedia bahan aluminium 1200 cm^2 \, untuk membuat suatu kotak dengan alas berbentuk bujursangkar (persegi) dengan bagian atas terbuka, volume kotak terbesar yang mungkin terbentuk adalah ....
Cara I :
\spadesuit \, Misalkan alas balok persegi dengan rusuk x \, dan tingginya t
\spadesuit \, Diketahui luas bahan 1200, artinya luas bahan sama dengan luas permukaan balok tanpa tutup.
\begin{align} \text{luas permukaan tanpa tutup } & = 1200 \\ x^2 + 4xt & = 1200 \\ t & = \frac{1200 - x^2}{4x} \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}
\spadesuit \, Menentukan fungsi volume balok dengan substitusi pers(i)
\begin{align} \text{vlume balok } & = \text{luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = x^2 . t \, \, \, \, \, \text{[subst. pers(i)]} \\ & = x^2 . \frac{1200 - x^2}{4x} \\ V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \end{align}
\spadesuit \, Volume maksimum saat turunan pertama = 0 :
\begin{align} V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V^\prime (x) & = \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) \\ V^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ \frac{1}{4}(1200 - 3x^2) & = 0 \\ 3x^2 & = 1200 \\ x^2 & = 400 \\ x & = \sqrt{400} = 20 \end{align}
Artinya volume akan maksimum saat x = 20 \, cm.
\spadesuit \, Menentukan volume maksimumnnya untuk x = 20
\begin{align} x = 20 \rightarrow V(x) & = \frac{1}{4}(1200x - x^3) \\ V(20) & = \frac{1}{4}(1200 \times 20 - 20^3) \\ & = \frac{1}{4}(24000 - 8000) \\ & = \frac{1}{4}(16000) \\ & = 4000 \end{align}
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm^3 . \, \heartsuit

Cara II :
\spadesuit \, Volume maksimum jika diketahui luas permukaan (L_p) dan alas kotak berupa persegi :
*). Kotak dengan tutup
V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{6}}
*). Kotak tanpa tutup
V_{maks} = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}}
Rumus pasti di atas diperoleh dari konsep dasar turunan dan pasti benar.
\spadesuit \, Volume maksimum kotak tanpa tutup dengan L_p = 1200
\begin{align} V_{maks} & = \frac{L_p}{6} \sqrt{\frac{L_p}{3}} \\ & = \frac{1200}{6} \sqrt{\frac{1200}{3}} \\ & = 200 \sqrt{400} \\ & = 200 . 20 \\ & = 4000 \end{align}
Jadi, volume maksimumnya adalah 4000 cm^3 . \, \heartsuit
Nomor 10
Fungsi kuadrat f(x) = -2x^2 - 4x + 2p \, selalu bernilai negatif jika ....
\clubsuit \, Konsep Definit Negatif
*). Definit negatif artinya fungsi kuadrat selalu bernilai negatif untuk semua nilai x \, .
*). Syarat definit negatif : a < 0 \, dan D < 0 \, dengan D = b^2 - 4ac .
\clubsuit \, Fungsi kuadrat f(x) = -2x^2 - 4x + 2p \,
Nilai a = -2, \, b = -4, \, dan c = 2p
\clubsuit \, Syarat definit negatif :
*). Nilai a = -2 < 0 \, (benar) artinya sudah terpenuhi.
*). Nilai D < 0
\begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (-4)^2 - 4.(-2). (2p) & < 0 \\ 16 + 16p & < 0 \\ 16p & < -16 \\ p & < -1 \end{align}
Jadi, diperoleh p < -1 \, agar fungsi kuadratnya bernilai negatif. \, \heartsuit
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015


Nomor 1
Jika A = {semua faktor dari 15} dan B = {bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 20}, maka pernyataan berikut yang benar adalah .....
A). A - B = A
B). A - B = \{1,5\}
C). B - A = A
D). A \cap B \neq \{ \, \}
E). A \cup B = \{ 1,3,4,5,8,12,15 \}
\spadesuit \, Konsep dasar dari A - B dan B - A :
A - B = \{ x | x \in A \text{ dan } x \not \in A\cap B \}
B - A = \{ x | x \in B \text{ dan } x \not \in A\cap B \}
\spadesuit \, Menentukan anggota himpunan A dan B
A = { semua faktor dari 15 } = { 1, 3, 5, 15 }
B = {bilangan asli kelipatan 4 kurang dari 20}
B = { 4 , 8 , 12, 16 }
Sehingga :
Irisan keduanya : A \cap B = \{ \, \} \, (kosong).
Gabungan : A \cup B = \{ 1, 3, 4, 5, 8, 12, 15, 16 \} .
\spadesuit \, Menentukan hasil A - B \, dan B - A :
karena hasil A \cap B = \{ \, \} \, adalah himpunan kosong, maka sesuai definisi dari A - B \, kita peroleh hasil : A - B = A \, dan B - A = B .
Jadi, yang benar adalah A - B = A \, sesuai pilihan A. \, \heartsuit
Nomor 2
Diketahui f(x) = 6x^2 - 5ax + 2b \, dengan f(0) = 10 \, dan f^\prime (2) = - 4. \, Nilai b - a = ....
\clubsuit \, Menentukan turunan fungsi dan substitusi f^\prime (2) = -4
\begin{align} f(x) &= 6x^2 - 5ax + 2b \\ f^\prime (x) & = 12x - 5a \\ f^\prime (2) & = -4 \\ 12. 2 - 5a & = -4 \\ 24 - 5a & = -4 \\ 5a & = 28 \\ a & =\frac{28}{5} \end{align}
Sehingga fungsinya menjadi :
f(x) = 6x^2 - 5ax + 2b
f(x) = 6x^2 - 5. \frac{28}{5} x + 2b = 6x^2 - 28x + 2b
\clubsuit \, Susbstitusi f(0) = 10 \, ke f(x) = 6x^2 - 28x + 2b
\begin{align} f(x) & = 6x^2 - 28x + 2b \\ f(0) & = 10 \\ 6.0^2 - 28.0 + 2b & = 10 \\ 2b & = 10 \\ b & = 5 \end{align}
Sehingga nilai b - a = 5 - \frac{28}{5} = -\frac{3}{5}
Jadi nilai b - a = -\frac{3}{5}. \, \heartsuit
Nomor 3
Lima bilangan bulat positif a_1,a_2,a_3,a_4, \, dan a_5 \, yang berurutan jika dijumlahkan hasilnya 500. Pernyataan berikut ini yang benar adalah ....
A). a_4 - a_2 = 3
B). Bilangan terkecil adalah 97
C). Bilangan terbesar adalah 102
D). a_1 + a_5 = 198
E). a_5 - a_1 = 5
\spadesuit \, Barisan artimetika : u_n = a + (n-1)b \, \, dan s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)
\spadesuit \, Analisa soal :
Bilangan a_1,a_2,a_3,a_4, \, dan a_5 \, berurutan sehingga barisan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan suku pertama a \, dan beda b = 1 .
\spadesuit \, Jumlah lima bilangan (s_5) = 500 :
\begin{align} s_5 & = 500 \\ \frac{5}{2}(2a + (5-1).1) & = 500 \\ \frac{5}{2}(2a + 4) & = 500 \\ 2a + 4 & = 500 \times \frac{2}{5} \\ 2a + 4 & = 200 \\ 2a & = 196 \\ a & = 98 \end{align}
\spadesuit \, Menentukan besar suku masing-masing
\begin{align} a_1 & = u_1 = a = 98 \\ a_2 & = u_2 = a + b = 98 + 1 = 99 \\ a_3 & = u_3 = a + 2b = 98 + 2.1 = 100 \\ a_4 & = u_4 = a + 3b = 98 + 3.1 = 101 \\ a_5 & = u_5 = a + 4b = 98 + 4.1 = 102 \end{align}
Sehingga yang benar adalah nilai bilangan terbesarnya 102.
Jadi, yang benar opsi C. \heartsuit
Nomor 4
Jika 3 \, {}^y \log x^3 - 2 \, {}^y \log x^2 + {}^y \log x = 1 \, maka {}^x \log y \, adalah ....
\clubsuit \, Sifat-sifat logaritma :
{}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} \, dan {}^a \log b^n = n \, {}^a \log b
\clubsuit \, Menentukan nilai {}^y \log x
\begin{align} 3 \, {}^y \log x^3 - 2 \, {}^y \log x^2 + {}^y \log x & = 1 \\ 3 . 3 \, {}^y \log x - 2 . 2 \, {}^y \log x + {}^y \log x & = 1 \\ 9 \, {}^y \log x - 4 \, {}^y \log x + {}^y \log x & = 1 \\ (9 - 4 + 1) \, {}^y \log x & = 1 \\ 6 \, {}^y \log x & = 1 \\ {}^y \log x & = \frac{1}{6} \end{align}
Sehingga nilai {}^x \log y = \frac{1}{{}^y \log x} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6
Jadi, nilai {}^x \log y = 6. \, \heartsuit
Nomor 5
Jika \Delta ABC \, siku-siku di C dan \cos (A+C) = \frac{x}{2}, \, maka nilai \sin A + \cos B = ....
\spadesuit \, Konsep Trigonometri : \cos (90^\circ + A ) = -\sin A
\spadesuit \, Diketahui \cos (A + C ) = \frac{x}{2} \, dan \angle C = 90^\circ
\begin{align} \cos (A + C ) & = \frac{x}{2} \\ \cos (A + 90^\circ ) & = \frac{x}{2} \\ -\sin A & = \frac{x}{2} \\ \sin A & = - \frac{x}{2} \end{align}
Karena jumlah semua sudut segitga 180^\circ \, dan \angle C = 90^\circ , \, maka sudut A pasti ada di kuadran I sehingga nilainya positif. Agar nilai \sin A = - \frac{x}{2} \, positif, maka haruslah nilai x \, negatif.
\spadesuit \, Membuat segitiga ABC nya
Nilai \sin A = - \frac{x}{2} \, dengan x < 0 .
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_5
Sehingga nilai \cos B = \frac{samping}{miring} = \frac{x}{2} \,
*). Karena nilai x < 0 \, dan nilai \cos B \, dikuadran positif, maka kita beri tanda negatif agar nilainya positif. Artinya nilai \cos B = - \frac{x}{2} \, dengan x < 0 .
\spadesuit \, Menentukan hasilnya :
\begin{align} \sin A + \cos B & = - \frac{x}{2} + (- \frac{x}{2}) = -x \end{align}
Jadi, nilai \sin A + \cos B = -x . \, \heartsuit
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui fungsi f \, dengan f(1) = 2 \, dan f^\prime (1) = 1 . \, Jika g(x) = \frac{\sqrt{1 + x + f(x)}}{f^2(x)} \, , dengan f^2 (x) = f(x).f(x) , \, maka nilai g^\prime (1) \, adalah ....
\spadesuit \, Konsep Turunan
y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x)
y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}}
y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime.V - U.V^\prime}{V^2}
\spadesuit \, Menentukan turunan
\begin{align} g(x) & = \frac{\sqrt{1 + x + f(x)}}{f^2(x)} = \frac{U}{V} \\ U & = \sqrt{1 + x + f(x)} \rightarrow U^\prime = \frac{ 1 + f^\prime (x) }{2\sqrt{1 + x + f(x)}} \\ V & = f^2(x) = [f(x)]^2 \rightarrow V^\prime = 2[f(x)].f^\prime (x) \\ g(x) & = \frac{U}{V} \\ g^\prime (x) & = \frac{U^\prime.V - U.V^\prime}{V^2} \\ g^\prime (x) & = \frac{ \frac{ 1 + f^\prime (x) }{2\sqrt{1 + x + f(x)}} . [f(x)]^2 - \sqrt{1 + x + f(x)}. 2[f(x)].f^\prime (x)}{[f(x)]^4} \\ g^\prime (1) & = \frac{ \frac{ 1 + f^\prime (1) }{2\sqrt{1 + 1 + f(1)}} . [f(1)]^2 - \sqrt{1 + 1 + f(1)}. 2[f(1)].f^\prime (1)}{[f(1)]^4} \\ & = \frac{ \frac{ 1 + 1 }{2\sqrt{1 + 1 + 2}} . [2]^2 - \sqrt{1 + 1 + 2}. 2[2].1}{[2]^4} \\ & = \frac{ \frac{ 2 }{4} . 4 - 2. 4}{16} \\ & = \frac{ 2 - 8}{16} \\ & = \frac{ -6}{16} \\ & = \frac{ -3}{8} \end{align}
Jadi, Nilai g^\prime (1) = \frac{ -3}{8} . \, \heartsuit
Nomor 12
Fungsi f(x) = x - 2\sqrt{x+a} \, mempunyai nilai minimum b did titik x = -4 . Nilai a + b \, adalah ....
\clubsuit \, Konsep Dasar
*). Turunan : y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}}
*). Syarat minimum : f^\prime (x) = 0 .
\clubsuit \, Menentukan turunan dan syarat minimum :
\begin{align} f(x) & = x - 2\sqrt{x+a} \\ f^\prime (x) & = 1 - 2. \frac{1}{2\sqrt{x+a}} \\ f^\prime (x) & = 1 - \frac{1}{\sqrt{x+a}} \\ f^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(syarat minimum)} \\ 1 - \frac{1}{\sqrt{x+a}} & = 0 \\ \sqrt{x+a} & = 1 \\ x+a & = 1 \\ x & = 1 - a \end{align}
Artinya f(x) \, minimum saat x = 1 - a \, dengan x = -4
Sehingga : 1 - a = -4 \rightarrow a = 5 .
Fungsinya : f(x) = x - 2\sqrt{x+a} \rightarrow f(x) = x - 2\sqrt{x+5} .
\clubsuit \, Nilai minimum f(x) = b \, pada saat x = -4 \, artinya f(-4) = b
\begin{align} f(x) & = \\ b & = f(-4) \\ b & = -4 - 2\sqrt{-4+5} \\ b & = -4 - 2\sqrt{1} \\ b & = -4 - 2 \\ b & = -6 \end{align}
Jadi, nilai a + b = 5 + (-6) = -1. \, \heartsuit
Nomor 13
Di dalam kotak terdapat tiga buah bola yang masing-masing berwarna merah, biru, dan hijau. Jika lima siswa bergiliran mengambil satu bola dan setelah bola terambil dikembalikan lagi ke kotak, maka banyak kombinasi warna yang mungkin adalah ....
Cara I : mendaftar langsung
\clubsuit \, Misalkan : M = bola merah, B = bola biru, dan H = bola hijau.
\clubsuit \, Susunan kombinasi warna yang mungkin :
*). kelimanya sama artinya bisa semuanya merah atau kelimanya biru atau kelimanya hijau. Ada 3 cara.
*). empat sama dan satu beda :
Susunannya : 4M1B, 4M1H, 4B1M,4B1H, 4H1M, 4H1B. Ada 6 cara.
*). tiga sama dan dua beda :
Susunannya : 3M1B1H, 3B1M1H, 3H1B1M. Ada 3 cara.
*). 3 sama dan dua sama :
Susunannya : 3M2B, 3M2H, 3B2M,3B2H, 3H2M, 3H2B. Ada 6 cara.
*). dua sama, dua sama dan satu beda :
Susunannya : 2M2B1H, 2M1B2H, 1M2B2H. Ada 3 cara.
Sehingga total cara = 3 + 6 + 3 + 6 + 3 = 21 \, cara.
Jadi, ada 21 kombinasi warna yang mungkin. \heartsuit

Cara II : menggunakan rumus kombinasi berulang
\clubsuit \, Konsep Dasar
*). Kombinasi dengan unsur yang sama :
Misalkan ada unsur x_1, \, x_2, \, x_3, \, ... x_k \, yang masing-masing jumlahnya tak terbatas. Banyak solusi dari persamaan x_1 + x_2 + ... + x_k = n \, dengan x_1 \geq 0, \, x_2 \geq 0 , \, ... , \, x_k \geq 0 \, adalah kombinasi dari (k-1) \, dari (n+k - 1) \, atau C_{k-1}^{n+k-1} .
*). Pada kasus ini, kita misalkan
M = banyak bola merah terambil,
B = banyak bola biru terambil,
H = banyak bola hijau terambil,
yang masing-masing bisa bernilai M \geq 0, \, B \geq 0, \, H \geq 0 \, .
*). Jumlah bola yang terambil harus berjumlah 5, artinya kita akan menentukan banyaknya solusi dari persamaan M + B + H = 5 \, yang artinya nilai k = 3 \, , dan n = 5.
Misalkan terambil 3M, 1B, dan 1H yang jumlahnya ada 5 bola, dan lainnya.
\clubsuit \, Menghitung total kemungkinan cara.
total cara \, = C_{k-1}^{n+k-1} = C_{3-1}^{5+3-1} = C_{2}^{7} = \frac{7!}{5!.2!} = 21
Jadi, ada 21 kombinasi warna yang mungkin. \heartsuit
Nomor 14
Tiga buah bilangan berbeda yang hasil kalinya 125 membentuk tiga suku berurutan barisan geometri. Ketiga bilangan tersebut masing-masing merupakan suku pertama, suku ketiga, dan suku keenam barisan aritmatika. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah ....
\spadesuit \, Konsep Dasar barisan
*). Barisan geometri : u_n = ar{n-1}
*). Barisan aritmatika : u_n = a + (n-1)b
\spadesuit \, Misakan barisan geometrinya : a, ar, ar^2
agar ketiga bilangannya berbeda, maka nilai r \neq 1 .
\begin{align} \text{hasil perkalian } & = 125 \\ a.ar.ar^2 & = 125 \\ (ar)^3 & = 125 \\ ar & = (125)^\frac{1}{3} \\ ar & = 5 \\ a & = \frac{5}{r} \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}
Dari soal , barisan artimetikanya : u_1 = a, u_3 = ar, u_6 = ar^2
u_3 = ar \rightarrow a + 2b = ar
u_6 = ar^2 \rightarrow a + 5b = ar^2
\spadesuit \, Substitusi a = \frac{5}{r} \, ke barisan aritmetikanya :
Suku ketiga : u_3 = ar
\begin{align} a + 2b & = ar \\ \frac{5}{r} + 2b & = \frac{5}{r}. r \\ \frac{5}{r} + 2b & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kali } r) \\ 5 + 2br & = 5r \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}
Suku keenam : u_6 = ar^2
\begin{align} a + 5b & = ar^2 \\ \frac{5}{r} + 5b & = \frac{5}{r}. r^2 \\ \frac{5}{r} + 5b & = 5r \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ \frac{1}{r} + b & = r \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ b & = r - \frac{1}{r} \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}
\spadesuit \, Substitusi pers(iii) ke (ii)
\begin{align} 5 + 2br & = 5r \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ 5 + 2(r - \frac{1}{r}) r & = 5r \\ 5 + 2r^2 - 2 & = 5r \\ 2r^2 - 5r + 3 & = 0 \\ (2r - 3)(r - 1) & = 0 \\ r = \frac{3}{2} \vee r & = 1 \end{align}
yang memenuhi r = \frac{3}{2}
nilai a = \frac{5}{r} = \frac{5}{\frac{3}{2}} = \frac{10}{3}
Barisan geometrinya menjadi :
a, ar, ar^2 \rightarrow \frac{10}{3} , \, 5, \, \frac{15}{2}
\spadesuit \, Jumlah ketiga bilangannya :
\begin{align} \text{Jumlah } & = \frac{10}{3} + 5 + \frac{15}{2} \\ & = \frac{95}{6} \end{align}
Jadi, jumlah ketiga bilangannya adalah \frac{95}{6} . \, \heartsuit
Nomor 15
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada sumbu X dan melalui titik-titik potong parabola y = -x^2+6x \, dan garis 2x - y = 0 \, adalah ....
\clubsuit \, Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran : (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
dengan (a,b) \, adalah pusat dan jari-jari r .
*). Jarak dua titik (x_1,y_1) \, dan (x_2,y_2)
Jarak \, = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
\clubsuit \, Pusat lingkaran terletak pada sumbu X, misalkan titik pusatnya (m,0) . Sehingga pusat lingkaran menjadi (a,b) = (m,0) .
\clubsuit \, Menentukan titik potong garis dan parabola
Substitusi parabola ke garis :
\begin{align} 2x - y & = 0 \\ 2x - (-x^2+6x) & = 0 \\ x^2 - 4x & = 0 \\ x(x-4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align}
untuk x = 0 \rightarrow 2x - y = 0 \rightarrow 2.0 - y = 0 \rightarrow y = 0
untuk x = 4 \rightarrow 2x - y = 0 \rightarrow 2.4 - y = 0 \rightarrow y = 8
sehingga titik potongnya : (0,0) dan (4,8)
\clubsuit \, ilustrasi gambarnya :
um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_15.png
Jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke titik yang dilalui oleh lingkaran.
*). Jarak titik (m,0) \, ke (0,0) :
r = \sqrt{(m - 0)^2 + (0-0)^2 } = m
*). Jarak titik (m,0) \, ke (4,8) dan r = m
\begin{align} r & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \\ m & = \sqrt{(m - 4)^2 + (0-8)^2 } \\ m & = \sqrt{m^2 - 8m + 16 + 64 } \\ m & = \sqrt{m^2 - 8m + 80 } \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ m^2 & = m^2 - 8m + 80 \\ 8m & = 80 \\ m & = 10 \end{align}
Sehingga pusat (a,b) = (m,0) = (10,0) \, dan r = m = 10 .
\clubsuit \, Menyusun persamaan lingkarannya :
\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-10)^2 + (y-0)^2 & = 10^2 \\ x^2 - 20x + 100 + y^2 & = 100 \\ x^2 + y^2 - 20x & = 0 \end{align}
Jadi, persamaan lingkarannya x^2 + y^2 - 20x = 0. \, \heartsuit  
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika x_1 \, dan x_2 \, memenuhi |3x-4| = x+5 , \, maka nilai x_1+x_2 \, adalah ....
\spadesuit \, Konsep Dasar :
*). Konsep harga mutlak : |f(x)|^2 = [f(x)]^2
*). Penjumlahan akar-akar dari PK : ax^2 + bx + c = 0
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
\spadesuit \, Kuadratkan persamaan :
\begin{align} |3x-4| & = x+5 \\ |3x-4|^2 & = (x+5)^2 \\ (3x-4)^2 & = (x+5)^2 \\ 9x^2 - 24x + 16 & = x^2 + 10x + 25 \\ 8x^2 - 34x -9 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = -\frac{b}{a} \\ & = - \frac{-34}{8} = \frac{17}{4} \end{align}
Jadi, nilai x_1 + x_2 = \frac{17}{4} . \, \heartsuit
Nomor 7
Jika 9, x_1 , \, dan x_2 \, merupakan tiga akar berbeda dari x^3 - 6x^2 - ax + b = 0 \, dengan b - a = 5, \, maka x_1 + x_2 + x_1.x_2 = ....
\clubsuit \, Operasi akar-akar pada ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} \, dan x_1 . x_2 . x_3 = -\frac{d}{a} .
\clubsuit \, Substitusi x=9 ke persamaan
\begin{align} x = 9 \rightarrow x^3 - 6x^2 - ax + b & = 0 \\ 9^3 - 6.9^2 - a.9 + b & = 0 \\ - 9a + b & = -243 \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}
Sebelumnya diketahui : b - a = 5 \, ....pers(ii).
\clubsuit \, Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
\begin{array}{cc} - 9a + b = -243 & \\ b - a = 5 & - \\ \hline -8a = - 248 & \\ a = 31 & \end{array}
Pers(ii) : b - a = 5 \rightarrow b - 31 = 5 \rightarrow b = 36 .
Persamaannya menjadi :
x^3 - 6x^2 - ax + b = 0 \rightarrow x^3 - 6x^2 - 31x + 36 = 0
\clubsuit \, Operasi akar-akar persamaan :
Dari persamaan :
x^3 - 6x^2 - 31x + 36 = 0 \rightarrow a = 1, b = -6, c = -31, d = 36 .
dengan akar-akar : 9, x_1, \, dan x_2 .
Operasi penjumlahan :
\begin{align} 9 + x_1 + x_2 & = -\frac{b}{a} \\ 9 + x_1 + x_2 & = -\frac{(-6)}{1} \\ 9 + x_1 + x_2 & = 6 \\ x_1 + x_2 & = -3 \end{align}
Operasi perkalian :
\begin{align} 9 . x_1 . x_2 & = -\frac{d}{a} \\ 9 . x_1 . x_2 & = -\frac{36}{1} \\ 9 . x_1 . x_2 & = -36 \\ x_1 . x_2 & = -4 \end{align}
Sehingga nilai :
x_1 + x_2 + x_1.x_2 = (-3) + (-4) = -7 .
Jadi, nilai x_1 + x_2 + x_1.x_2 = -7 . \, \heartsuit
Nomor 8
Pertidaksamaan (3x)^{1 + {}^3 \log 3x } > 81x^2 \, mempunyai penyelesaian ....
\spadesuit \, Konsep logaritma
*). Sifat : {}^a \log b^n = n {}^a \log b
*). Definisi : {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c
*). Syarat logaritma : {}^a \log f(x) \rightarrow f(x) > 0 .
\spadesuit \, Menentukan syarat dari soalnya
bentuk : (3x)^{1 + {}^3 \log 3x } > 81x^2 \,
Syaratnya pada {}^3 \log 3x \, adalah 3x > 0 \rightarrow x > 0 .
Dari syarat x > 0 \, ini sebenarnya sudah bisa kita peroleh jawabannya yaitu opsi A karena opsi yang lainnya memuat negatif semua. Tetapi kita akan melanjutkan penyelesaiannya secara penuh.
Syarat ini kita anggap sebagai HP_1 = \{ x > 0 \}
\spadesuit \, Menyelesaikan soal :
Kedua ruas diberi {}^3 \log \, dan dimisalkan a = {}^3 \log x ,
\begin{align} (3x)^{1 + {}^3 \log 3x } & > 81x^2 \\ {}^3 \log [(3x)^{1 + {}^3 \log 3x }] & > {}^3 \log [81x^2] \, \, \, \, \text{(dari sifat)} \\ (1 + {}^3 \log 3 + {}^3 \log x) ({}^3 \log 3 + {}^3 \log x) & > {}^3 \log 3^4 + 2 . {}^3 \log x \\ (1 + 1 + {}^3 \log x) (1 + {}^3 \log x) & > 4 + 2 . {}^3 \log x \\ (2 + a) (1 + a) & > 4 + 2 a \\ a^2 + 3a + 2 & > 4 + 2 a \\ a^2 + a - 2 & = 0 \\ (a - 1)(a+2) & = 0 \\ a = 1 \rightarrow {}^3 \log x & = 1 \rightarrow x = 3^1 = 3 \\ a = -2 \rightarrow {}^3 \log x & = -2 \rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9} \end{align}
um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_8.png
Karena yang diminta > 0 \, maka yang diarsir adalah yang positif,
sehingga HP_2 = \{ x < \frac{1}{9} \vee x > 3 \} .
Solusi totalnya adalah :
HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ x < \frac{1}{9} \vee x > 3 \} .
Jadi, solusinya \{ x < \frac{1}{9} \vee x > 3 \} , dan opsi yang sesuai adalah A. \heartsuit
Nomor 9
Tiga buah bilangan dengan jumlah 42 membentuk barisan geometri. Jika suku ditengah dikalikan dengan -\frac{5}{3} \, maka akan terbentuk barisan aritmetika. Maksimum dari bilangan-bilangan tersebut adalah ....
\spadesuit \, Barisan geometri : u_n=ar^{n-1} \,
\spadesuit \, Misalkan barisan geometrinya : a, ar, ar^2
\begin{align} \text{jumlah } & = 42 \\ a + ar + ar^2 & = 42 \\ a(1 + r + r^2) & = 42 \\ a & = \frac{42}{1 + r + r^2} \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}
\spadesuit \, Suku tengah dikali - \frac{5}{3} \, , membentuk barisan aritmetika
barisannya : a, - \frac{5}{3}ar, ar^2
Barisan artimetika memiliki selisih sama , sehingga :
\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ - \frac{5}{3}ar - a & = ar^2 - ( - \frac{5}{3}ar) \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ - 5ar - 3a & = 3ar^2 +5ar \, \, \, \, \, \text{(bagi } a) \\ - 5r - 3 & = 3r^2 +5r \\ 3r^2 + 10r + 3 & = 0 \\ (3r + 1)(r+3) & = 0 \\ r = -\frac{1}{3} \vee r & = -3 \\ \end{align}
dari kedua rasio (r) ini, sebenarnya barisannya sama saja, hanya dibalik saja barisannya. Sehingga cukup kita gunakan salah satu saja nilai rasionya yaitu r = -3 .
\spadesuit \, Menentukan nilai a \, dari pers(i) dan barisannya :
a = \frac{42}{1 + r + r^2} = \frac{42}{1 + (-3) + (-3)^2} = \frac{42}{7} = 6
kita peroleh nilai a = 6 \, dan r = -3 .
barisannya : a, ar, ar^2 \rightarrow 6, \, -18, \, 54 .
Jadi, nilai maksimum dari ketiga bilangannya adalah 54. \heartsuit
Nomor 10
Jika b,c \neq 0 \, dan \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c (x-a) \, - \, 1 } = d , \, maka b = ....
\clubsuit \, Konsep Dasar
*). Limit trogonometri :
\displaystyle \lim_{ x \to k } \frac{af(x)}{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} \, dan \, \displaystyle \lim_{ x \to k } \frac{\tan af(x)}{\sin bf(x)} = \frac{a}{b}
dengan syarat : f(k) = 0 .
*). Bentuk : \cos pf(x) = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} p f(x) .
\clubsuit \, Modifikasi penyebutnya :
\begin{align} \cos c(x-a) & = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} c ( x- a) \\ \cos c(x-a) - 1 & = [1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} c ( x- a) ] - 1 \\ & = - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} c ( x- a) \\ & = - 2 \sin \frac{1}{2} c ( x- a) \sin \frac{1}{2} c ( x- a) \end{align}
\clubsuit \, Menyelesaikan soalnya
\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c (x-a) \, - \, 1 } & = d \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{(x-a)\tan -b(x-a)}{ - 2 \sin \frac{1}{2} c ( x- a) \sin \frac{1}{2} c ( x- a) } & = d \\ \frac{1}{-2} . \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{(x-a) }{ \sin \frac{1}{2} c ( x- a) } . \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{ \tan -b(x-a)}{ \sin \frac{1}{2} c ( x- a) }& = d \\ \frac{1}{-2} . \frac{ 1 }{ \frac{1}{2} c } . \frac{ -b }{ \frac{1}{2} c }& = d \\ \frac{b}{ \frac{1}{2} c^2 } & = d \\ b & = \frac{1}{2} c^2 d \end{align}
Jadi, kita peroleh b = \frac{1}{2} c^2 d . \, \heartsuit
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2015 Kode 631 Nomor 1 sampai 5


Nomor 1
Jika garis 2x + y + 4 = 0 \, dan 2x + y -6 = 0 \, menyinggung lingkaran dengan pusat (1,p) \, , maka persamaan lingkaran tersebut adalah ....
\spadesuit \, Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r :
         (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
*). Jarak titik (a,b) ke garis mx + ny + c = 0
Jarak \, = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2+n^2} } \right|
*). Sifat mutlak : |x|^2 = x^2
\spadesuit \, Ilustrasi gambar kedua garis menyinggung lingkaran

um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_1.png
garis 1 dan garis 2 sejajar karena memiliki besar gradien yang sama yaitu - 2 .
Jari-jari lingkaran adalah jarak pusat lingkaran A(1,p) \, ke garis :
r_1 = \, jarak pusat lingkaran ke garis 1 \, = \left| \frac{2.1 + p -6}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| ,
r_2 = \, jarak pusat lingkaran ke garis 2 \, = \left| \frac{2.1 + p + 4}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| .
Dimana besarnya r_1 \, sama dengan r_2 .
\spadesuit \, Menentukan nilai p \, dari r_1 = r_2
\begin{align} r_1 & = r_2 \\ \left| \frac{2.1 + p -6}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| & = \left| \frac{2.1 + p + 4}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| \\ \left| \frac{ p -4}{\sqrt{5} } \right| & = \left| \frac{ p + 6}{\sqrt{5} } \right| \\ \left| p -4 \right| & = \left| p + 6 \right| \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikuadratkan)} \\ \left| p -4 \right|^2 & = \left| p + 6 \right| ^2 \\ ( p -4 )^2 & = ( p + 6 ) ^2 \\ p^2 - 8p + 16 & = p^2 + 12p + 36 \\ -20p & = 20 \\ p & = -1 \end{align}
Sehingga pusat lingkarannya yaitu : A (1,p) = A(1,-1) .
\spadesuit \, Menentukan jari-jari lingkaran dengan nilai p = -1 ,
\begin{align} r & = r_1 = \left| \frac{2.1 + p -6}{\sqrt{2^2+1^2} } \right| \\ & = \left| \frac{2.1 + (-1) -6}{\sqrt{5} } \right| \\ & = \left| \frac{-5}{\sqrt{5} } \right| \\ & = \frac{5}{\sqrt{5} } = \sqrt{5} \end{align}
\spadesuit \, Menyusun persamaan lingkaran : Pusat (a,b) = (1,-1) , \, dan r = \sqrt{5}
\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2 + (y-(-1))^2 & = (\sqrt{5})^2 \\ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) & = 5 \\ x^2 + y^2 - 2x + 2y - 3 & = 0 \end{align}
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x^2 + y^2 - 2x + 2y - 3 = 0 . \, \heartsuit
Nomor 2
Nilai minimum fungsi f(x) = 2 \sin x + \cos 2x \, pada \, 0 \leq x \leq 2\pi \, adalah .....
\clubsuit \, Konsep Dasar :
*). Syarat nilai maksimum/minimum : f^\prime (x) = 0 .
*). Bentuk trigonometri : \sin 2x = 2\sin x \cos x
\clubsuit \, Menentukan turunan fungsi trigonometrinya :
\begin{align} f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f^\prime (x) & = 2\cos x - 2 \sin 2x \\ f^\prime (x) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(syarat nilai maks/min)} \\ 2\cos x - 2 \sin 2x & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \cos x - \sin 2x & = 0 \\ \cos x - 2 \sin x \cos x & = 0 \\ \cos x (1 - 2 \sin x ) & = 0 \\ \cos x = 0 \vee 1-2 \sin x & = 0 \rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos x = 0 \rightarrow x & = 90^\circ, \, 270^\circ \\ \sin x = \frac{1}{2} \rightarrow x & = 30^\circ, \, 150^\circ \end{align}
\clubsuit \, Menentukan nilai fungsi dengan substitusi semua nilai x \,
Fungsinya : f(x) = 2 \sin x + \cos 2x
\begin{align} x = 30^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(30^\circ ) & = 2 \sin 30^\circ + \cos 2. 30^\circ = \frac{3}{2} \\ x = 90^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(90^\circ ) & = 2 \sin 90^\circ + \cos 2. 90^\circ = 1 \\ x = 150^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(150^\circ ) & = 2 \sin 150^\circ + \cos 2. 150^\circ = \frac{3}{2} \\ x = 270^\circ \rightarrow f(x) & = 2 \sin x + \cos 2x \\ f(270^\circ ) & = 2 \sin 270^\circ + \cos 2. 270^\circ = -3 \end{align}
Jadi, nilai minimum fungsi f(x) = 2 \sin x + \cos 2x \, pada interval 0 \leq x \leq 2\pi \, adalah -3 . \, \heartsuit
Nomor 3
Hasil pencerminan titik C(-4,-2) \, terhadap garis ax + by + 6 = 0 \, adalah \, C'(4,10) \, . Nilai a + 2b \, adalah ....
\spadesuit \, Konsep Dasar :
*). Titik tengah antara titik A(x_1,y_1) \, dan B(x_2,y_2) \,
titik tengahnya : \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)
*). gradien dua titik A(x_1,y_1) \, dan B(x_2,y_2) \,
m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}
*). Gradien bentuk garis ax + by + c = 0 \, adalah m = -\frac{a}{b} .
*). Dua garis tegak lurus berlaku : m_1 . m_2 = -1 .
\spadesuit \, Ilustrasi gambarnya
um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_3.png
*). Pencerminan titik C terhadap garis ax + by + 6 = 0 \, menghasilkan bayangan titik C' dimana garis yang menghubungkan titik C ke C' tegak lurus dengan garis ax + by + 6 = 0 \, sebagai cerminnya.
*). Titik tengah antara C dan C' adalah titik P terletak pada garis ax + by + 6 = 0
\spadesuit \, Menentukan titik tengah (titik P) antara titik C(-4,-2) \, dan titik \, C'(4,10) \,
\begin{align} P & = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{-4 + 4}{2}, \frac{-2 + 10}{2} \right) \\ & = \left( 0 , 4 \right) \end{align}
\spadesuit \, Substitusi titik P(0,4) ke garis ax + by + 6 =0 \,
\begin{align} (x,y)=(0,4) \rightarrow ax + by + 6 & = 0 \\ a.0 + b.4 + 6 & = 0 \\ 0 + 4b + 6 & = 0 \\ 4b & = -6 \\ b & = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \end{align}
\spadesuit \, Menentukan gradien :
*). garsi ax + by + 6 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{a}{b}
*). Gradien garis C(-4,-2) ke C'(4,10) :
\begin{align} m_2 & = m_{CC'} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \frac{10-(-2)}{4 - (-4)} \\ & = \frac{12}{8} \\ & = \frac{3}{2} \end{align}
\spadesuit \, Kedua garis tegak lurus, berlaku m_1.m_2 = -1
\begin{align} m_1 . m_2 & = -1 \\ -\frac{a}{b} . \frac{3}{2} & = -1 \\ \frac{a}{-\frac{3}{2}} . \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{a}{1} .(-1) & = 1 \\ a & = -1 \end{align}
\spadesuit \, Menentukan hasilnya :
a + 2b = (-1) + 2 . (-\frac{3}{2}) = -1 + (-3) = - 4
Jadi, kita peroleh nilai a + 2b = = -4 . \, \heartsuit
Nomor 4
Diketahui vektor \vec{p} = a\vec{i}+b\vec{j}+2\vec{k} , \, \vec{q} = \vec{i}+2\vec{j}+c\vec{k} , \, dan \vec{r} = 3\vec{i}+6\vec{j}+c\vec{k} , \, dengan a, b \neq 0 . \, Jika \vec{p} \bot \vec{q} \, dan \, \vec{p} \bot \vec{r} \, maka \frac{a^2 + 4b^2}{ab} = ....
\spadesuit \, Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor :
\vec{a} = a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k} \, dan \vec{b} = b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k} .
*). Perkalian dot kedua vektor : \vec{a}.\vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 .
*). \vec{a} \, tegak lurus \vec{b} \, berlaku \vec{a}.\vec{b} = 0 .
\spadesuit \, Menyusun persamaan
*). \vec{p} \, tegak lurus \vec{q} \, ( \vec{p} \bot \vec{q}) :
\vec{p} . \vec{q} = 0 \rightarrow a + 2b + 2c = 0 \, ....pers(i)
*). \vec{p} \, tegak lurus \vec{r} \, ( \vec{p} \bot \vec{r}) :
\vec{p} . \vec{r} = 0 \rightarrow 3a + 6b + 2c = 0 \, ....pers(ii)
\spadesuit \, Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
\begin{array}{cc} 3a + 6b + 2c = 0 & \\ a + 2b + 2c = 0 & - \\ \hline 2a + 4b = 0 & \\ a = -2b & \end{array}
\spadesuit \, Menentukan hasil dengan a = - 2b
\begin{align} \frac{a^2 + 4b^2}{ab} = \frac{(-2b)^2 + 4b^2}{(-2b)b} = \frac{4b^2 + 4b^2}{-2b^2} = \frac{8b^2}{-2b^2} = - 4 \end{align}
Jadi, nilai \frac{a^2 + 4b^2}{ab} = -4 . \, \heartsuit
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4p \, . Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada rusuk FG, BF, dan GH dengan GP = BQ = GR = p . \, Sudut antara bidang yang melalui P, Q, R dan bidang ABCD adalah \alpha \, . Nilai \tan \alpha \, adalah ....
\clubsuit \, ilustrasi gambarnya
um_ugm_mat_ipa-2015_soal_nomor_5.png
*). Untuk menentukan sudut antara bidang yang melalu P,Q, R dan bidang alas, kita perluas bidang yang melalu P,Q,R sehingga terbentuk segitiga SIN dengan bidang PRLWUQ adalah bidang irisan yang melalui P,Q,R dengan kubus.
*). Sudut yang terbentuk adalah \alpha \, yang terbentuk pada segitiga siku-siku IXC.
*). Panjang sisi kubus langsung kita ganti dengan 4 saja tanpa harus menggunakan 4p \, karena hasilnya akan sama.
*). Cara menentukan bidang irisannya atau perluasan bidangnya :
i). perpanjang garis PQ sehingga memotong CB di N dan CG di I,
ii). perpanjang garis IR sehingga memotong CD di S dan HD di L,
iii). hubungkan gari NS sehingga memotong AB di U dan AD di W,
iv). Hubungkan titik-titik sehingga membentuk bidang irisan PRLWUQ.
\clubsuit \, Menentukan panjang sisi-sisi :
*). Perhatikan segitiga NCI, misalkan IG = BN = x . Segitiga IPG sebangun dengan segitiga besar INC,
\begin{align} \frac{PG}{NC} & = \frac{IG}{IC} \\ \frac{1}{x + 4} & = \frac{x}{x + 4} \\ x & = 1 \end{align}
sehingga kita peroleh IG = BN = x = 1
Panjang \, IC = IG + GC = 1 + 4 = 5
Panjang WU juga sama dengan BU sama dengan BN.
Sehingga panjang AU = AW = 3 .
*). Perhatikan segitiga AWU siku-siku di A, sehingga WU = 3\sqrt{2}
dan WX = \frac{1}{2}WU = \frac{3}{2}\sqrt{2} .
Sehingga AX = \sqrt{AW^2 - WX^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{3}{2}\sqrt{2})^2} = \frac{3}{2}\sqrt{2}
Panjang CX = AC - AX = 4\sqrt{2} - \frac{3}{2}\sqrt{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2}
\clubsuit \, Menentukan nilai \tan \alpha \, pada segitiga ICX :
\begin{align} \tan \alpha & = \frac{depan}{samping} \\ & = \frac{IC}{CX} \\ & = \frac{5}{\frac{5}{2}\sqrt{2}} \\ & = \sqrt{2} \end{align}
Jadi, nilai \tan \alpha = \sqrt{2}. \, \heartsuit
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15