Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 442 tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $ 2 < a < 3 $ , maka semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{(1-x)(x+2)}{-ax^2 + 2x - 4 } > 0 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Nilai diskriminan (D) dari penyebutnya: $ -ax^2 + 2x - 4 $
$D=b^2-4ac=(2)^2-4.(-a).(-4)=4-16a \, , $
diperoleh $ D = 4-16a $
karena nilai $a$ terletak pada interval $ 2 < a < 3 $ , maka nilai D negatif ($D<0$).
$ -ax^2 + 2x - 4 \left\{ \begin{array}{c} D < 0 \\ -a < 0 \end{array} \right. $
ini artinya $ -ax^2 + 2x - 4 \, $ definit negatif (nilainya akan selalu negatif untuk semua $x$), sehingga $ -ax^2 + 2x - 4 \, $ bisa dicoret (tanda ketaksamaan dibalik).
$\begin{align} \frac{(1-x)(x+2)}{-ax^2 + 2x - 4 } & > 0 \\ \frac{(1-x)(x+2)}{1}& < 0 \\ x=1 \vee x & =-2 \end{align}$
sbmptn_matdas_k422_3_2013.png
Karena yang diminta $ < 0 \, $ , maka solusinya adalah $ \{ x < -2 \vee x > 1 \} \, $
Jadi, solusinya adalah $HP = \{ x < -2 \vee x > 1 \}. \heartsuit $
Catatan : jika definit positif (syarat $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $ ), maka tanda ketaksamaan tidak dibalik.
Nomor 7
Pada tahun 2012 perusahaan A memproduksi 3000 mobil dengan peningkatan produksi 100 mobil per tahun, sedangkan perusahaan B memproduksi 5000 mobil dengan peningkatan produksi 20 mobil per tahun. Banyak produksi mobil perusahaan A sama dengan banyak produksi mobil perusahaan B pada tahun .....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
Perusahaan A : $ a = 3000 , \, b = 100 $
$u_n(A) = 3000 + (n-1)100 $
Perusahaan B : $ a = 5000 , \, b = 20 $
$u_n(B) = 5000 + (n-1)20 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ n $
$\begin{align} \text{perusahaan A } & = \text{perusahaan B} \\ u_n(A) & = u_n(B) \\ 3000 + (n-1)100 & = 5000 + (n-1)20 \\ 3000 + 100n - 100 & = 5000 + 20n - 20 \\ 80n & = 2080 \\ n & = \frac{2080}{80} = 26 \end{align} $
$\clubsuit \, $ Analisa setiap suku
*). untuk $ n = 1 \, $ , artinya suku pertama yaitu pada tahun 2012
*). untuk $ n = 2 \, $ , artinya suku kedua yaitu pada
tahun 2012 + 2 - 1 = 2013
Sehingga untuk $ n = 26 \, $ , artinya suku ke-26 yaitu pada
tahun 2012 + 26 - 1 = 2037.
Jadi, produksinya sama pada tahun 2037 . $\heartsuit$
Nomor 8
Distribusi berat bayi lahir di rumah sakit A dan B dapat dilihat pada diagram berikut,
sbmptn_matdas_k422_1_2013.png
Berat badan bayi dikatakan normal apabila berat lahirnya lebih dari 2500 gram. Banyak bayi normal yang lahir di dua rumah sakit tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Menghitung banyak bayi normal setiap rumah sakit :
RS A = 60 + 32 = 92
RS B = 68 + 12 = 80
$\spadesuit \, $ Sehingga total bayi normal :
Total = RS A + RS B = 92 + 80 = 172 bayi.
Jadi, banyak bayi normal ada 172 bayi. $\heartsuit$
Nomor 9
Siswa-siswa kelas XI A mengikuti tes matematika dengan hasil sebagai berikut. Lima siswa memperoleh skor 100, siswa yang lain memperoleh skor minimal 60, dan rata-rata skor semua siswa adalah 75. Banyak siswa pada kelas tersebut paling sedikit adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep rata-rata gabungan : $ \overline{X}_\text{gb} = \frac{n_1.\overline{X}_1 + n_2.\overline{X}_2}{n_1+n_2} $
Keterangan :
$ n_1 \, $ = banyak kelomok pertama, $ \overline{X}_1 \, $ = rata - rata kelompok pertama,
dan $ \overline{X}_\text{gb} \, $ = rata-rata gabungan semua kelompok.
Misalkan $ m = \, $ banyaknya siswa kelas XI A.
dari soal diketahui :
$ n_1 = 5, \, \overline{X}_1 = 100, \, n_2 = (m-5) , \, \overline{X}_2 \text{(min)} = 60, $
$ \overline{X}_\text{gb} = 75 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ m $
Karena yang dipilih rata-rata kelompok dua ($\overline{X}_2$) adalah rata-rata minimal, maka rata-rata gabungan aslinya lebih besar dari rata-rata gabungan minimalnya.
$\begin{align} \overline{X}_\text{gb} & \geq \overline{X}_\text{gb} \text{(minimal)} \\ \overline{X}_\text{gb} & \geq \frac{n_1.\overline{X}_1 + n_2.\overline{X}_2 \text{(minimal)}}{n_1+n_2} \\ 75 & \geq \frac{5.100 + (m-5).60 }{5 + (m-5)} \\ 75 & \geq \frac{500 + 60m-300 }{m} \\ 75m & \geq 60m + 200 \\ 15 m & \geq 200 \\ m & \geq 13,333 \end{align}$
karena nilai $ m \geq 13,333 \, $ , maka nilai $ m \, $ terkecilnya adalah $ m = 14 $ .
Jadi, banyaknya siswa paling sedikit ada 14 siswa. $ \heartsuit $
Nomor 10
Jika $f \left( \frac{1}{x-1} \right) = \frac{x-6}{x+3} \, $ dan $ f^{-1} (a) = -1 , \, $ maka nilai $ a \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep invers : $ A=f(B) \Leftrightarrow f^{-1}(A) = B$
sehingga : $ f^{-1} (a) = -1 \Leftrightarrow a = f(-1) \, $ atau ditulis $ f(-1)= a $
$\spadesuit \, $ Menyamakan bentuk persamaan dengan yang ditanyakan
$\begin{align} f \left( \frac{1}{x-1} \right) & = \frac{x-6}{x+3} \, \, \, \text{....(soal)} \\ f(-1) & = a \, \, \, \text{......(yang ditanyakan)} \\ \text{ diperoleh kesamaan : } & \frac{1}{x-1} = -1 \, \, \text{ dan } \, \, a = \frac{x-6}{x+3} \\ \frac{1}{x-1} = -1 \rightarrow 1 & = 1-x \\ x & = 0 \\ a = \frac{x-6}{x+3} \rightarrow a & = \frac{0-6}{0+3} \, \, \, \text{(substitusi } x = 0 ) \\ a & = \frac{-6}{3} = -2 \end{align} $
sehingga nilai $ a = -2 \, $
Jadi, nilai $ a = -2 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 442 tahun 2013


Nomor 1
Jika $ 8^m = 27 \, $ , maka $ 2^{m+2} + 4^m = ...$
$\clubsuit \, $ Sifat - sifat eksponen :
$a^{m+n}=a^m.a^n; \, \, \, \, (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m ; $
$ a^n = b^n \rightarrow a = b $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan
$\begin{align} 8^m & = 27 \\ (2^3)^m & = 3^3 \\ (2^m)^3 & = 3^3 \\ 2^m & = 3 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} 2^{m+2} + 4^m & = 2^m . 2^2 + (2^2)^m \\ & = 4.2^m + (2^m)^2 \\ & = 4.3 + (3)^2 \\ & = 12 + 9 \\ 2^{m+2} + 4^m & = 21 \end{align}$
Jadi, $ 2^{m+2} + 4^m = 21 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ {}^a \log b + {}^b \log a = 3 , \, $ maka nilai $ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$ p^2 + q^2 = (p+q)^2 - 2pq $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Misalkan $ p = {}^a \log b \, $ dan $ q = {}^b \log a $
$\begin{align} & {}^a \log b + {}^b \log a = 3 \\ & p + q = 3 \\ & p.q = {}^a \log b . {}^b \log a = {}^a \log a 1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = p^2 + q^2 \\ & = (p+q)^2 - 2pq \\ & = (3)^2 - 2.1 \\ & = 9 - 2 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 = 7. \heartsuit $

Cara II : Langsung kuadratkan
$\spadesuit \, $ Kuadratkan kedua ruas
$\begin{align} {}^a \log b + {}^b \log a & = 3 \\ \left( {}^a \log b + {}^b \log a \right)^2 & = 3^2 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 + 2.{}^a \log b . {}^b \log a & = 9 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 + 2.1 & = 9 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 + 2 & = 9 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = 9 - 2 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 = 7. \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $ x^2 + ax - 2a^2 = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Jika $ x_1+2x_2 = 1 , \, $ maka nilai $ a \, $ adalah .....
$\clubsuit \, $ PK : $ x^2 + ax - 2a^2 = 0 \, \rightarrow a = 1 , \, b = a , \, c = -2a^2 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-a}{1} = -a \, $ ....pers(i)
Diketahui : $ x_1+2x_2 = 1 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi kedua persamaan
$ \begin{array}{cc} x_1+2x_2 = 1 & \\ x_1 + x_2 = - a & - \\ \hline x_2 = 1 + a & \end{array} $
$\clubsuit \, $ Substitusi $ x_2 = 1 + a \, $ ke PK
$\begin{align} x^2 + ax - 2a^2 & = 0 \\ (1+a)^2 + a.(1+a) - 2a^2 & = 0 \\ a^2 + 2a + 1 + a^2 + a - 2a^2 & = 0 \\ 3a + 1 & = 0 \\ 3a = -1 \rightarrow a & = - \frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ a = - \frac{1}{3} . \heartsuit $
Nomor 4
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...
$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :
sbmptn_matdas_k422_2_2013.png
$\spadesuit \, $ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai $a < 0$ .
$\spadesuit \, $ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai $ c > 0 $ .
$\spadesuit \, $ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda $a$ dan $b$ tidak sama (harus berbeda). Karena $a < 0$ , maka nilai $b$ harus $b >0 $ .
Jadi, diperoleh $a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit $
Nomor 5
Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika $x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...
$\clubsuit \, $ Misalkan $x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.
$\clubsuit \, $ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%$x$
$\clubsuit \, $ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak = $10\% . 75\% x$
$\clubsuit \, $ Total yang harus dibayar :
$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar $(1,1\times 0,75) x. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label: ,
Langganan: Postingan (Atom)