Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 514 tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik $P,Q,R$, dan $S$ masing-masing pada $AB, BC, CD$, dan $AD$ sehingga $BP=CR=\frac{AB}{3}$ dan $QC=DS=\frac{AD}{3}$. Volume limas E.PQRS adalah ... volume kubus.
$\clubsuit \, $ Perhatikan gambar kubus berikut dengan panjang rusuk $s=3x$
sbmptn_mat_ipa_k514_3_2014.png
$\begin{align*} L_\text{alas}=L_{PQRS}&=L_{ABCD}-(L_{APS}+L_{PBQ}+L_{QRC}+L_{SDR}) \\ &= 3x.3x-(\frac{1}{2}.2x.2x+\frac{1}{2}.2x.x+\frac{1}{2}.x.x+\frac{1}{2}.2x.x) \\ &= 9x^2-(2x^2+x^2+\frac{1}{2}x^2+x^2) \\ L_a&=\frac{9}{2}x^2 \\ \frac{V_{E.PQRS}}{V_{\text{kubus}}}&= \frac{\frac{1}{3}.L_a.t}{s^3}=\frac{\frac{1}{3}.\frac{9}{2}x^2.3x}{3x.3x.3x}=\frac{1}{6} \end{align*}$
Jadi , $V_{E.PQRS}=\frac{1}{6} V_{\text{kubus}} . \heartsuit $
Nomor 12
Misalkan $A(t)$ menyatakan luas daerah di bawah kurva $y=bx^2 , 0\leq x \leq t$. Jika titik $P(x_0,0)$ sehingga $A(x_0):A(1)=1:8$, maka perbandingan luas trapesium $ABPQ:DCPQ=...$
sbmptn_mat_ipa_k514_1_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan $A(t)$:
$\begin{align*} A(t)&=\int_0^t bx^2 dx = \left[ \frac{b}{3}x^3 \right]_0^t = \frac{b}{3} (t^3-0^3) =\frac{b}{3} t^3 \\ t=x_0 \rightarrow A(x_0)&=\frac{b}{3} (x_0)^3 \\ t=1 \rightarrow A(1)&=\frac{b}{3} (1)^3 = \frac{b}{3} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $x_0 \, $ dari $A(x_0):A(1)=1:8$
$\begin{align*} \frac{A(x_0)}{A(1)}&=\frac{1}{8} \Rightarrow \frac{\frac{b}{3} (x_0)^3}{\frac{b}{3}}=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0^3=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0= \frac{1}{2} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik A, Q, dan D dengan menggunakan $y=bx^2$
titik A : $x=-1 \Rightarrow y=b(-1)^2 = b. \,$ Jadi titik A(-1, b)
titik Q : $x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=b\left( \frac{1}{2} \right)^2 = b.\,$ Jadi titik Q(1/2, b/4)
titik D : $x=1 \Rightarrow y=b(1)^2 = b.\,$ Jadi titik D(1, b)
sbmptn_mat_ipa_k514_2_2014.png
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan luas $ABPQ:DCPQ$
$\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{\frac{1}{2}(AB+PQ).BP}{\frac{1}{2}(CD+PQ).CP}=\frac{(b+\frac{b}{4}).\frac{3}{2}}{(b+\frac{b}{4}).\frac{1}{2}} = \frac{3}{1} $
Jadi, perbandingan luas $\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{3}{1}. \, \heartsuit $
Nomor 13
Jika lingkaran $x^2+y^2-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari 2 dan menyinggung $x-y=0$ , maka nilai $a^2+b$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$x^2+y^2-2ax+b=0 : A=-2a, B=0, C=b$
pusat : $(a,b)=\left(-\frac{A}{2},-\frac{b}{2}\right)=\left(-\frac{-2a}{2},-\frac{0}{2}\right)=(a,0)$
jari-jari : $r=\sqrt{a^2+b^2-C}=\sqrt{a^2+0^2-b}=\sqrt{a^2-b}$ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Lingkaran menyinggung garis, sehingga jari-jari sama dengan jarak pusat lingkaran $(a,0)$ ke garis.
sbmptn_mat_ipa_k514_4_2014.png
$r=\left| \frac{a-0}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} \right| \Rightarrow r=\frac{a}{\sqrt{2}}$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Diketahui $r=2$, substitusi ke pers(ii) dan (i):
pers(ii) $\Rightarrow 2=\frac{a}{\sqrt{2}} \Rightarrow a=2\sqrt{2}$
pers(i) $\Rightarrow 2=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-b} \Rightarrow b=4$
sehingga : $a^2+b=(2\sqrt{2})^2+4=8+4=12$
Jadi, nilai $a^2+b=12 . \heartsuit $
Nomor 14
Sebuah toko makanan menyediakan es krim dengan 6 rasa berbeda. Banyak cara seorang pembeli dapat memilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada 6 es krim rasa berbeda
$\spadesuit \, $ dipilih 3 rasa bebeda, ada $C_3^6$ cara = 20 cara
$\spadesuit \, $ dipilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda, ada 3! cara = 6 cara
misalnya : 2A2B1C, 2A1B2C, .... sampai ada 6 cara berbeda.
Jadi, total cara ada 20.6 = 120 cara. $\heartsuit $
Nomor 15
Diketahui $P(x)$ suatu polinomial. Jika $P(x+1)$ dan $P(x-1)$ masing-masing memberikan sisa 2 apabila masing-masing dibagi $x-1$, maka $P(x)$ dibagi $x^2-2x$ memberikan sisa ...
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
$\spadesuit \, \frac{P(x+1)}{x-1} \Rightarrow \text{sisa} = 2$
artinya : substitusi $x=1\, $ ke $P(x+1)$ hasilnya 2
$\begin{align*} P(1+1)&=2 \\ P(2)&=2 \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\spadesuit \, \frac{P(x-1)}{x-1} \Rightarrow \text{sisa} = 2$
artinya : substitusi $x=1\, $ ke $P(x-1)$ hasilnya 2
$\begin{align*} P(1-1)&=2 \\ P(0)&=2 \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, P(x) \, $ dibagi dengan $x^2-2x$ dengan hasil $h(x)$ dan misalkan sisanya $ax+b$ , serta gunakan pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{align*} P(x)&=(x^2-2x).h(x)+ (ax+b) \\ P(x)&=x(x-2).h(x)+ (ax+b) \\ x=0 \Rightarrow P(0)&=0.(0-2).h(0)+ (a.0+b) \\ &\Leftrightarrow b=2 \, \text{...pers(iii)} \\ x=2 \Rightarrow P(2)&=2.(2-2).h(2)+ (a.2+b) \\ &\Leftrightarrow 2a+b=2 \, \text{...pers(iv)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(iii) ke pers(iv), diperoleh $a=0 \, $ dan $b=2 \, $.
Sehingga sisanya adalah $ax+b=0.x+2=2$.
Jadi, sisanya adalah $2 .\, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 514 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{\left(1-|x|\right)} log (3x-1) < 1 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Definisi harga mutlak : $|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x \, , & \text{untuk} \, x\geq 0 \\ -x \, , & \text{untuk} \, x<0 \end{array} \right.$
$\spadesuit \, {}^{f(x)}log [g(x)]=h(x) \, $ syarat logaritma : $f(x)>0, f(x)\neq 1, g(x)>0$

$\spadesuit \, $ Untuk $x \geq 0 \,$ maka $|x|=x:$
${}^{\left(1-|x|\right)} log (3x-1) < 1 \Leftrightarrow {}^{\left(1-x\right)} log (3x-1) < 1$
Syarat logaritma:
$(3x-1)>0 \Rightarrow x > \frac{1}{3} \, \text{...HP}_1 $
$1-x > 0 \Rightarrow x<1 \, \text{...HP}_2$
$1-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 0 \, \text{...HP}_3$
untuk $0 < x < 1 $ , maka $0<1-x<1 \, $ sehingga tanda pertidaksamaan dibalik :
$\begin{align*} {}^{\left(1-x\right)} log (3x-1) &< 1 \\ {}^{\left(1-x\right)} log (3x-1) &< {}^{\left(1-x\right)} log\left(1-x\right) \\ (3x-1) &> (1-x) \\ x&>\frac{1}{2} \, \text{...HP}_4 \end{align*}$
sehingga : $\text{HP}_A = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \cap \text{HP}_3 \cap \text{HP}_4 = \{ \frac{1}{2} < x < 1 \}$
$\spadesuit \, $ Untuk $x < 0 \,$ maka $|x|=-x:$
${}^{\left(1-|x|\right)} log (3x-1) < 1 \Leftrightarrow {}^{\left(1+x\right)} log (3x-1) < 1$
Syarat logaritma:
$(3x-1)>0 \Rightarrow x > \frac{1}{3} \, \text{...HP}_1 $
Dari $\text{HP}_1 = \{x > \frac{1}{3} \} \, $ dan untuk $ x < 0 \, ,$ maka kasus ini tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Sehingga solusi yang terpenuhi hanya dari kasus pertama untuk $ x \geq 0 $ yaitu $\text{HP}_A$.
Jadi, Solusinya : $\text{HP}=\text{HP}_A = \{ \frac{1}{2} < x < 1 \} . \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis $x=-2$, dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis $4x+y=4$. Titik puncak parabola tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan persamaan fungsinya , $y=f(x)=ax^2+bx+c$. Dengan titik puncak $(x_p,y_p) \, \,$ : $x_p=-\frac{b}{2a}$ dan $y_p=f(x_p)$ , serta $f^\prime(x)=2ax+b$.
$\clubsuit \, $ Sumbu simetrinya $x=-2 \,$ dengan $ x=x_p$ :
$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:
$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=ax^2+bx+1$
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $4x+y=4$, artinya gradiennya sama dengan gradien garis $4x+y=4\, $ yaitu $m=-4$.
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):
$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) : $b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=-x^2-4x+1$
$\clubsuit \, $ Menentukan titik puncak:
$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$.
Jadi, titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$
Nomor 8
Agar 1, $k^2$, dan $-2k^2\sqrt{2}$ masing-masing merupakan suku ke 3, suku ke 5, dan suku ke 8 suatu barisan geometri, maka rasio barisan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $u_n=ar^{n-1}$
$u_5=k^2 \Rightarrow ar^4=k^2 \, \, \text{...pers(i)} $
$u_8=-2k^2 \sqrt{2} \Rightarrow ar^7=-2k^2 \sqrt{2} \, \, \text{...pers(ii)} $
$\spadesuit \, $ Bagi pers(ii) dengan pers(i):
$\begin{align*} \frac{ar^7}{ar^4}&=\frac{-2k^2 \sqrt{2}}{k^2} \\ r^3&=-2\sqrt{2} \\ r^3&=-(2)^{\frac{3}{2}} \\ r&=-(2)^{\frac{1}{2}} \\ r&=-\sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, rasionya adalah $r=-\sqrt{2}.\heartsuit $
Nomor 9
Vektor-vektor $u , v, \, $ dan $w$ tak nol dan $|u|=|v|$. Jika $|v-w|=|u-w|$, maka ...
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $|p-q|^2=|p|^2+|q|^2-2pq \, $ dan jika $p.q=0$ maka $p$ tegak lurus $q$.
$\clubsuit \, $ Kuadratkan bentuk $|v-w|=|u-w|$
$\begin{align*} |u-w|&=|v-w| \\ |u-w|^2&=|v-w|^2 \\ |u|^2+|w|^2-2uw &= |v|^2+|w|^2-2vw \, \, \, ( \text{substitusi} \, |u|=|v|)\\ |v|^2+|w|^2-2uw &= |v|^2+|w|^2-2vw \\ -2uw &= -2vw \\ uw &= vw \\ uw-vw&=0 \\ (u-v)w&=0 \end{align*}$
Artinya vektor $(u-v)$ tegak lurus dengan vektor $w$.
Jadi, vektor $(u-v)$ tegak lurus dengan vektor $w. \heartsuit $
Nomor 10
Jika $f(x)=1+sinx+sin^2x+sin^3x+..., \, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$, maka $\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx = ...$
$\spadesuit \, $ Deret geometri tak hingga : $s_\infty = \frac{a}{1-r}$
Deret $1+sinx+sin^2x+sin^3x+...$ mempunyai $a=1, $
dan $r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{sinx}{1}=sinx$
$s_\infty = \frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-sinx}$ sehingga $f(x)=\frac{1}{1-sinx}$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $sin^2x+cos^2x=1, tanx = \frac{sinx}{cosx}, secx=\frac{1}{cosx}$
$\spadesuit \, $ Mengalikan $f(x)$ dengan $1+sinx$ agar mudah diintegralkan:
$\begin{align*} f(x)&= \frac{1}{1-sinx} . \frac{1+sinx}{1+sinx} \\ &= \frac{1+sinx}{1-sin^2x} \\ &= \frac{1+sinx}{cos^2x} \\ &= \frac{1}{cos^2x} + \frac{sinx}{cos^2x} \\ &= \frac{1}{cos^2x} + \frac{sinx}{cosx}.\frac{1}{cosx} \\ f(x)&= sec^2x+tanxsecx \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menghitung nilai integralnya:
$\begin{align*} \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx &= \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} (sec^2x+tanxsecx) dx \\ &= \left[ tanx + secx \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= (tan45^o+sex45^o)-(tan0^o+sec0^o) \\ &= (1+\sqrt{2})-(0+1) \\ &= \sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $\int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx =\sqrt{2}. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 514 tahun 2014


Nomor 1
Banyaknya akar real $f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.
$\clubsuit \, $ Bentuk pemfaktoran :
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\clubsuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
$\clubsuit \, $ Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
Nomor 2
Bila $sinx+cosx=a$, maka $sin^4x+cos^4x=...$
$\spadesuit \, $ Identitas trigonometri dan rumus dasar lainnya:
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1 \, $ dan $\, p^2+q^2=(p+q)^2-2pq$
$\spadesuit \, $ Kuadratkan $sinx+cosx=a:$
$\begin{align} sinx+cosx&=a \\ (sinx+cosx)^2&=a^2 \\ sin^2x+cos^2x+2sinxcosx&=a^2 \\ 1+2sinxcosx&=a^2 \\ sinxcosx&=\frac{a^2-1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal: $sin^4x+cos^4x$
$\begin{align} sin^4x+cos^4x &= (sin^2)^2+(cos^2x)^2 \\ &= (sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x \\ &=(1)^2-2(sinxcosx)^2 \\ &= 1-2\left( \frac{a^2-1}{2} \right)^2 \\ &= 1-\frac{(a^2-1)^2}{2} \end{align}$
Jadi, $sin^4x+cos^4x=1-\frac{(a^2-1)^2}{2}. \heartsuit $
Nomor 3
Nilai $a$ yang menyebabkan persamaan $9^x-a.3^x+a=0$ mempunyai tepat satu akar nyata adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan $p=3^x$:
$9^x-a.3^x+a=0 \Leftrightarrow (3^x)^2-a.(3^x)+a=0 \Leftrightarrow p^2-ap+a=0\,$...pers(i)
$\clubsuit \, $Pers (i) berbentuk persamaan kuadrat, sehingga agar diperoleh akar kembar, harus memenuhi syarat :$D=0$
$\begin{align*} D&=0 \\ b^2-4ac&=0 \\ (-a)^2-4.1.a&=0 \\ a^2-4a&=0 \\ a(a-4)&=0 \\ a=0 \, &\text{atau} \, x=4 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Cek nilai $a \, $ ke persmaan $9^x-a.3^x+a=0\,$:
$a=0 \Rightarrow 9^x-0.3^x+0=0 \Rightarrow 9^x=0 \, $ (tidak memenuhi karena $9^x>0$)
$a=4 \Rightarrow 9^x-4.3^x+4=0 \Rightarrow (3^x-2)^2=0 \Rightarrow 3^x=2 \Rightarrow x={}^{3}log2 \, $ (memenuhi)
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=4 \, \heartsuit $
Nomor 4
Jika $A$ adalah matriks berukuran 2 x 2 dan $\left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] = x^2-5x+8$, maka matriks $A$ yang mungkin adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan matriks $A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \, $:
$\begin{align*} \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} ax+c & bx+d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ ax^2+(b+c)x+d&= x^2-5x+8 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Diperoleh $a=1,d=8, \, $ dan $b+c=-5$
Jadi, kemungkinan matriks $A$: $\, \, A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ -8 & 8 \end{matrix} \right]\, \heartsuit $
Nomor 5
Jika $\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)+\frac{1}{g(x)} \right)=4$ dan $\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)- \frac{1}{g(x)} \right)=-3$, maka $\displaystyle \lim_{x \to a} \left( \left(f(x)\right)^2+\frac{1}{\left(g(x)\right)^2} \right)=...$
$\clubsuit \, $ Substitusi semua $x$ dengan $a$ pada masing-masing limit:
$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)+\frac{1}{g(x)} \right)=4 \Rightarrow \left( f(a)+\frac{1}{g(a)} \right)=4$ ...pers(i)
$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x)- \frac{1}{g(x)} \right)=-3 \Rightarrow \left( f(a)- \frac{1}{g(a)} \right)=-3$ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii), diperoleh : $f(a)=\frac{1}{2}, \frac{1}{g(a)}=\frac{7}{2}.$
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $f(a)$ dan $g(a)$
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to a} \left( \left(f(x)\right)^2+\frac{1}{\left(g(x)\right)^2} \right)&= \left( \left(f(a)\right)^2+\frac{1}{\left(g(a)\right)^2} \right) \\ &=\left( \left(f(a)\right)^2+\left(\frac{1}{g(a)}\right)^2 \right) \\ &=\left( \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left( \frac{7}{2}\right)^2 \right) \\ &=\frac{50}{4}=\frac{25}{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to a} \left( \left(f(x)\right)^2+\frac{1}{\left(g(x)\right)^2} \right)=\frac{25}{2}. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15