Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 232

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik P terletak pada perpanjangan BF sehingga FP = 3 cm dan garis AP berpotongan dengan garis EF di titik Q. Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 6 cm, maka jarak Q ke D adalah ..... cm.
A). $ 2\sqrt{13} \, $ B). $ 2\sqrt{18} \, $ C). $ 2\sqrt{22} \, $ D). $ 4\sqrt{7} \, $ E). $ 4\sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua segitiga sebangun memiliki perbandingan sisi yang bersesuaian adalah sama.
*). untuk menentukan salah satu panjang garis pada dimensi tiga, kita bisa menggunakan pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
 

*).Perhatikan segitiga PQF dan PAD, keduanya sebangun :
$\begin{align} \frac{QF}{AB} & = \frac{PF}{PB} \\ \frac{x}{6} & = \frac{3}{9} \\ \frac{x}{6} & = \frac{1}{3} \\ x & = 2 \end{align} $
sehingga panjang $ EQ = EF - QF = 6 - 2 = 4 $
*). Menentukan panjang AQ pada segitiga AEQ :
$\begin{align} AQ^2 & = AE^2 + EQ^2 \\ & = 6^2 + 4^2 \\ & = 36 + 16 = 52 \end{align} $
*).Menentukan panjang DQ pada segitiga ADQ yang siku-siku di A :
$\begin{align} DQ & = \sqrt{AD^2 + AQ^2} \\ & = \sqrt{6^2 + 52} \\ & = \sqrt{88} = \sqrt{ 4 \times 22} \\ & = 2\sqrt{22} \end{align} $
Jadi, jarak Q ke D adalah $ 2\sqrt{22} . \, \heartsuit $

Pembahasan Daerah Asal SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 232

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \sqrt{x-1} $ dan $ g(x) = \frac{x-5}{x-1} $, maka daerah asal fungsi $ f.g $ adalah ....
A). $ -\infty < x < \infty \, $ B). $ x \neq 0 $
C). $ x\neq 1 \, $ D). $ x \geq 1 \, $ E). $ x > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Fungsi
*). Domain (daerah asal) fungsi $ f(x) $ adalah nilai $ x $ yang bisa kita substitusi ke fungsi $ f(x) $ sehingga bisa kita hitung nilai fungsinya (biasanya hasilnya bilangan real untuk matematika tingkat SMA).
*). Bentuk $ y = \frac{f(x)}{g(x)} \, $ memiliki daerah asal $ x $ yang memenuhi $ g(x) \neq 0 $
*). Bentuk $ y = \sqrt{f(x)} \, $ memiliki daerah asal $ x $ yang memenuhi $ f(x) \geq 0 $
*). Misalkan daerah asal $ f(x) $ adalah $ D_f $, daerah asal fungsi $ g(x) $ adalah $ D_g $, maka daerah asal fungsi $ f.g $ adalah $ D_{f.g} = \{ x | D_f \cap D_g \} $
(irisan dari kedua daerah asal)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan daerah asal fungsi masing-masing :
$ f(x) = \sqrt{x-1} \rightarrow D_f = \{ x - 1 \geq 0 \} = \{ x \geq 1 \} $
$ g(x) = \frac{x-5}{x-1} \rightarrow D_g = \{ x - 1 \neq 0 \} = \{ x \neq 1 \} $
*). Menentukan daerah asal $ f.g $ :
$\begin{align} D_{f.g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x \geq 1 \} \cap \{ x \neq 1 \} \\ & = \{ x | x > 1 \} \end{align} $
Jadi, $ D_{f.g} = \{ x | x > 1 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 232

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ A^T $ adalah transpos matriks A dan $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $. Jika $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $ sehingga $ 2A + 3A^T = 15I $ , maka nilai $ a^2 + b^2 $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Transpose matriks
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
*). Penjumlahan matriks = jumlahkan unsur-unsur yang seletak.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Persamaan matriksnya :
$\begin{align} 2A + 3A^T & = 15I \\ 2\left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) + 3\left( \begin{matrix} a & 0 \\ b & 3 \end{matrix} \right) & = 15\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2a & 2b \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3a & 0 \\ 3b & 9 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 15 & 0 \\ 0 & 15 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 5a & 2b \\ 3b & 15 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 15 & 0 \\ 0 & 15 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari persamaan matriks di atas,
$ 5a = 15 \rightarrow a = 3 \, $ dan $ 2b = 0 \rightarrow b = 0 $.
Sehingga nilai $ a^2 + b^2 = 3^2 + 0^2 = 9 $.
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 = 9 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika Dasar Kode 232


Nomor 1
Misalkan $ A^T $ adalah transpos matriks A dan $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $. Jika $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $ sehingga $ 2A + 3A^T = 15I $ , maka nilai $ a^2 + b^2 $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 9 $
Nomor 2
Jika himpunan penyelesaian $ |2x - a| < 5 $ adalah $ \{ x| -1 < x < 4 \} $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 3
Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bagian yang sama, berturut-turut oleh titik K, L, dan M, N. Jika luas $ \Delta ABC $ adalah $ x $ cm$^2$, maka luas $\Delta KMN $ adalah .... cm$^2$
A). $ \frac{x}{3} \, $ B). $ \frac{2x}{9} \, $ C). $ \frac{x}{9} \, $ D). $ \frac{x}{18} \, $ E). $ \frac{x}{36} $
Nomor 4
Jika $ f(x) = \sqrt{x-1} $ dan $ g(x) = \frac{x-5}{x-1} $, maka daerah asal fungsi $ f.g $ adalah ....
A). $ -\infty < x < \infty \, $ B). $ x \neq 0 $
C). $ x\neq 1 \, $ D). $ x \geq 1 \, $ B). $ x > 1 $
Nomor 5
Diketahui median dan rata-rata berat badan 5 balita adalah sama. Setelah ditambahkan satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita diurutan ke-4 adalah .... kg.
A). $ 4 \, $ B). $ \frac{9}{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ \frac{13}{2} \, $

Nomor 6
Jumlah suku ke-3 dan ke-7 suatu barisan aritmetika dengan suku-sukunya bilangan asli adalah 28. Jika beda barisan tersebut 3, maka suku ke-7 adalah ....
A). $ 19 \, $ B). $ 20 \, $ C). $ 21 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 23 $
Nomor 7
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah $(6-0,02x) \, $ kg, dengan $ x $ menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah .... kg.
A). $ 400 \, $ B). $ 420 \, $ C). $ 435 \, $ D). $ 450 \, $ E). $ 465 $
Nomor 8
Lima bilangan asli membentuk suatu barisan geometri dengan rasio positif. Jika jumlah 3 suku terbesar dan jumlah 3 suku terkecil barisan geometri tersebut berturut-turut adalah 171 dan 76 maka jumlah 5 bilangan tersebut adalah ....
A). $ 125 \, $ B). $ 130 \, $ C). $ 180 \, $ D). $ 211 \, $ E). $ 347 $
Nomor 9
Jika $ f(x) = x^2 + 2 $ dan $ g(x) = -3x + 8 $ , maka nilai maksimum fungsi $ ( g \circ f) (x) $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $
Nomor 10
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik P terletak pada perpanjangan BF sehingga FP = 3 cm dan garis AP berpotongan dengan garis EF di titik Q. Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 6 cm, maka jarak Q ke D adalah ..... cm.
A). $ 2\sqrt{13} \, $ B). $ 2\sqrt{18} \, $ C). $ 2\sqrt{22} \, $ D). $ 4\sqrt{7} \, $ E). $ 4\sqrt{11} $

Nomor 11
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ y + 4x \leq 12 $, $ y + 2x \geq 8 $ , $ x \geq 0 $ adalah .... satuan luas.
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 $
Nomor 12
Transformasi yang bersesuaian dengan matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & a \\ b & 0 \end{matrix} \right) $ memetakan titik $(1,2) $ ke titik $ (4,2) $. Jika transformasi yang sama memetakan titik $ (x,y) $ ke titik $ (12,6) $, maka nilai $ x - y $ adalah ....
A). $ -9 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 9 $
Nomor 13
$ \int \, \sqrt{x} \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx = .... $
A). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + C \, $
B). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + C \, $
C). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} + C \, $
D). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} + C \, $
E). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + C $
Nomor 14
Jika kurva $ f(x) = ax^2+bx + c $ memotong sumbu Y di titik $ (0,1) $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = -4 $, maka $ \frac{b + c}{a} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $
Nomor 15
Sebuah bilangan ganjil 5 angka diketahui memuat tepat 2 angka genap dan tidak memiliki angka berulang, serta tidak memuat angka 0. Banyak bilangan berbeda dengan ciri tersebut adalah ....
A). 4.260 B). 4.290 C). 4.320
D). 5.400 E). 7.200

Pembahasan Turunan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Diketahui fungsi yang menyatakan posisi suatu benda bergerak pada waktu $ t $ (dalam detik) adalah $ s(t) = t^\frac{3}{2}(5-t) $ , $ t \geq 0 $, maka ......
(1). kecepatan benda tersebut pada waktu $ t $ adalah $ v(t) = \frac{5}{2}t^\frac{1}{2}(3-t) $
(2). benda tersebut berhenti bergerak setelah 3 detik
(3). arah benda bergerak berubah setelah 3 detik
(4). benda tersebut kembali pada posisi awal setelah 5 detik

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Misalkan ada fungsi jarak $ s(t) $ , kecepatan dapat kita peroleh dengan $ v(t) = s^\prime (t) $ . (turunan pertama dari fungsi jaraknya).
*). Suatu benda akan berhenti bergerak jika $ v(t) = 0 $.
*). Sifat eksponen : $ a^m.a^n = a^{m+n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi jaraknya : $ s(t) = t^\frac{3}{2}(5-t) = 5t^\frac{3}{2} - t^\frac{5}{2} $
*). Menentukan kecepatannya :
$ \begin{align} v(t) & = s^\prime (t) \\ & = \frac{3}{2}. 5 t^\frac{1}{2} - \frac{5}{2}t^\frac{3}{2} \\ & = \frac{5}{2} t^\frac{1}{2} ( 3 - t) \end{align} $
-). Pernyataan (1) BENAR.
*). Benda berhenti saat $ v(t) = 0 $ :
$ \begin{align} \frac{5}{2} t^\frac{1}{2} ( 3 - t) & = 0 \\ t^\frac{1}{2} = 0 \vee (3-t) & = 0 \\ t = 0 \vee t & = 3 \\ \end{align} $
-). Artinya benda tepat berhenti saat detik ke-0 dan detik ke-3, bukan setelahnya. Sehingga pernyataan (2) SALAH.
*). Menentukan arah gerak benda :
Arah gerak benda ditentukaan saat $ s^\prime (t) = 0 $ yang kita peroleh saat $ t = 0 \vee t = 3 $.
$ s^\prime (t) = \frac{5}{2} t^\frac{1}{2} ( 3 - t) $
-). Kita cek saat $ 0 \leq t < 3 $ dan $ t > 3 $ :
$ t = 1 \rightarrow s^\prime (1) = \frac{5}{2} .1^\frac{1}{2} ( 3 - 1) = 5 > 0 $
artinya pada interval $ 0 \leq t < 3 $ beda bergerak naik
$ t = 4 \rightarrow s^\prime (4) = \frac{5}{2} .4^\frac{1}{2} ( 3 - 4) = -5 < 0 $
artinya pada interval $ t > 3 $ beda bergerak turun
-). Artinya benda bergerak berubah arah setelah 3 detik. Pernyataan (3) BENAR.
*). Benda akan kembali keposisi awal saat $ s(t) = 0 $ :
$ \begin{align} s(t) & = 0 \\ t^\frac{3}{2}(5-t) & = 0 \\ t^\frac{3}{2} = 0 \vee 5 - t & = 0 \\ t = 0 \vee t & = 5 \end{align} $
-). Artinya benda kembali keposisi awal pada saat detik ke-0 atau detik ke-5, bukan setelah 5 detik. Sehingga pernyataan (4) SALAH.
*). Pernyataan yang benar adalah pernyataan (1) dan (3). Jawabannya B.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Dalam perhitungan suatu data, semua nilai pengamatan dikurangi 1500. Nilai baru menghasilkan jangkauan 40, rata-rata 15, simpangan kuartil 15, dan modus 16. Data asli mempunyai .......
(1). rata-rata = 1515
(2). jangkauan = 40
(3). modus = 1516
(4). simpangan kuartil = 20

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perubahan data pada statistika :
-). Untuk rata-rata dan modus : berubah untuk semua operasi hitung.
-). Untuk jangkauan dan simpangan : berubah hanya untuk operasi kali atau bagi.
-). Misalkan Data dikurang $ a $, maka :
$ \overline{X}_{baru} =\overline{X}_{awal} - a $
$ \text{modus}_{baru} = \text{modus}_{awal} - a $
$ J_{baru} = J_{awal} $
$ \text{simpangan}_{baru} = \text{simpangan}_{awal} $
Silahkan baca artikelnya lebih mendalam pada "Statistika : Perubahan Data".

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Setelah setiap data dikurangkan 1500, kita peroleh nilai baru :
$ J_{baru} = 40 $ , $ \overline{X}_{baru} = 15 $ , $ \text{simpangan}_{baru} = 15 $, dan $ \text{modus}_{baru} = 16 $.
*). Menentukan nilai data awalnya :
-). $ \overline{X}_{baru} =\overline{X}_{awal} - a $
$ 15 =\overline{X}_{awal} - 1500 \rightarrow \overline{X}_{awal} = 1515 $
-). $ \text{modus}_{baru} = \text{modus}_{awal} - a $
$ 16 = \text{modus}_{awal} - 1500 \rightarrow \text{modus}_{baru} = 1516 $
-). $ J_{baru} = J_{awal} \rightarrow J_{awal} = 40 $
-). $ \text{simpangan}_{baru} = \text{simpangan}_{awal} \rightarrow \text{simpangan}_{awal} = 15 $
Sehingga pernyataan yang benar adalah pernyataan (1), (2), dan (3).
(Jawabannya A berdasarkan petunjuk C).
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1), (2) dan (3) $ . \, \heartsuit $