Pembahasan Statistika UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Ujian matematika diberikan kepada tiga kelas berjumlah 100 murid. Nilai rata-rata kelas pertama, kedua, dan ketiga masing-masing adalah 7, $7\frac{1}{2}$, dan 8. Jika banyaknya siswa kelas kedua 10 lebih banyak dari kelas pertama, dan banyaknya siswa kelas ketiga adalah 30 orang, maka nilai rata-rata nilai matematika seluruh siswa adalah ....
A). $ 7\frac{1}{2} \, $ B). $ 7\frac{1}{3} \, $ C). $ 7\frac{1}{4} \, $ D). $ 7\frac{2}{3} \, $ E). $ 7\frac{1}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Statistika :
*). Rumus rata-rata gabungan :
$ \, \, \, \, \, \, \overline{X}_{gb} = \frac{n_1.\overline{X}_1+n_2.\overline{X}_2+n_3.\overline{X}_3}{n_1 + n_2 + n_3} $
Keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan,
$ \overline{X}_1 = \, $ rata-rata kelas pertama,
$ \overline{X}_2 = \, $ rata-rata kelas kedua,
$ n_1 = \, $ jumlah siswa kelas pertama,
$ n_2 = \, $ jumlah siswa kelas kedua.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada Soal diketahui :
$ \overline{X}_1 = 7, \overline{X}_2=7\frac{1}{2}=\frac{15}{2}, \overline{X}_3 = 8 $
$ n_1 + n_2 + n_3 = 100 \, $ ...(i)
$ n_2 = n_1 + 10 \, $ ...(ii) dan $ n_3 = 30 $.
-). Pers(i) dan $ n_3 = 30 $
$ n_1 + n_2 + n_3 = 100 \rightarrow n_1 + n_2 + 30 = 100 \rightarrow n_1 + n_2 = 70 $
-). Pers(ii) dan $ n_1+n_2 = 70 $
$ n_1+n_2 = 70 \rightarrow n_1 + (n_1+10) = 70 \rightarrow n_1 = 30 $
sehingga $ n_2 = n_1 + 10 = 30 + 10 40 $.
*). Menentukan rata-rata seluruh kelas (gabungan) :
$ \begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_1.\overline{X}_1+n_2.\overline{X}_2+n_3.\overline{X}_3}{n_1 + n_2 + n_3} \\ & = \frac{30.7+40.\frac{15}{2}+ 30.8}{100} \\ & = \frac{210+300+ 240}{100} \\ & = \frac{750}{100} = 7,5 = 7\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, rata-rata keseluruhannya adalah $ 7\frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Luasan Integral UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh parabola $ y = \sqrt{x} + 1 $ dan garis-garis singgungnya melalui titik $\left( 0, \frac{3}{2} \right) $ adalah ... satuan luas.
A). $ \frac{2}{3}\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{12} \, $ E). $ \frac{1}{3}\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)
*). syarat garis menyinggung parabola : $ D = 0$
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan garis singgungnya $ y = mx + c $ melaui $(0,\frac{3}{2})$ :
Substitusi titik ke garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow \frac{3}{2} = m.0 + c \rightarrow c = \frac{3}{2} $
Sehingga persamaan garis singgungnya $ y = mx + \frac{3}{2} \rightarrow x = \frac{y - \frac{3}{2}}{m} $.
*). Mengubah fungsi parabolanya :
$ y = \sqrt{x} + 1 \rightarrow \sqrt{x} = y-1 \rightarrow x = (y-1)^2 $
*). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat bersinggungan :
Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x & = (y-1)^2 \\ \frac{y - \frac{3}{2}}{m} & = (y-1)^2 \\ \frac{y - \frac{3}{2}}{m} & = y^2 - 2y + 1 \\ y - \frac{3}{2} & = my^2 - 2my + m \\ 2y - 3 & = 2my^2 - 4my + 2m \\ 2my^2 - (4m+2)y + 2m + 3 & = 0 \\ a = 2m , b & = -(4m+2) , c = 2m + 3 \\ \text{syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [-(4m+2)]^2 - 4.2m.(2m+3) & = 0 \\ 16m^2 + 16m + 4 - 16m^2 - 24m & = 0 \\ -8m + 4 & = 0 \\ m & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan persamaan garis singgungnya (PGS) :
$ \begin{align} y & = mx + \frac{3}{2} \rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \end{align} $
*). Ilustrasi gambar daerahnya :
 

*). Menentukan titik potong garis dari parabola :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} & = \sqrt{x} + 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ x + 3 & = 2\sqrt{x} + 2 \\ x + 1 & = 2\sqrt{x} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (x + 1)^2 & = (2\sqrt{x})^2 \\ x^2 + 2x + 1 & = 4x \\ x^2 - 2x + 1 & = 0 \\ (x-1)^2 & = 0 \\ x & = 1 \end{align} $
*). Menentukan luas daerah arsirannya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_0^1 (\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} ) - (\sqrt{x} + 1 ) \, dx \\ & = \int \limits_0^1 \, \frac{1}{2}x - \sqrt{x} + \frac{1}{2} \, dx \\ & = \left[ \frac{1}{4}x^2 - \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + \frac{1}{2}x \right]_0^1 \\ & = \left[ \frac{1}{4}.1^2 - \frac{2}{3}.1^\frac{3}{2} + \frac{1}{2}.1 \right] - [0] \\ & = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \\ & = \frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} \\ & = \frac{1}{12} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{1}{12} . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui 6 siswa dan 3 siswi duduk berdiskusi mengelilingi meja bundar, maka peluang jika tidak ada siswi berdampingan adalah ....
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{1}{5} \, $ C). $ \frac{5}{14} \, $ D). $ \frac{2}{5} \, $ E). $ \frac{3}{8} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Rumus peluang kejadian A :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ banyaknya kejadian yang diharapkan,
$ n(S) = \, $ semua kemungkinan (Ruang sampel).
*). Permutasi Siklis :
Jika ada $ n $ orang duduk melingkar, maka total cara duduk adalah $ (n-1)!$.
*). Permutasi unsur berbeda :
Misalkan ada $ r $ orang mau duduk pada $ n $ kursi
total cara duduk $ = P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ n(S) $ :
Ada 6 siswa dan 3 siswi ( total ada 9 orang) duduk melingkar, sehingga total cara duduk yaitu
$ n(S) = (9-1)! = 8! $.
*). Misalkan A menyatakan kejadian tidak ada siswi berdampingan.
*). Menentukan $ n(A) $ :
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
 

-). Agar dijamin siswi tidak berdampingan, maka posisi duduk siswi harus ada pada tempat yang kosong (kotak warna orange) dimana setiap kotak kosong hanya diisi oleh satu siswi.
-). Pertama, kita hitung banyak cara duduk siswa yaitu $ (6-1)! = 5! $.
-). Kedua, permutasi siklis sudah kita terapkan pada siswa, maka posisi duduk siswi tidak perlu siklis lagi karena secara otomatis posisi duduk siswi tinggal mengikuti saja. Banyak cara duduk siswi yaitu :
$ P_3^6 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6.5.4 $
-). Total cara duduk siswi tidak berdampingan : $ 5! \times 6.5.4 $
*). Menentukan peluang kejadian A :
$ \begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5! \times 6.5.4}{8!} = \frac{6.5.4}{8.7.6} = \frac{5}{14} \end{align} $
Jadi, peluangnnya adalah $ \frac{5}{14} . \, \heartsuit $