Soal dan Pembahasan UM UGM 2008 Matematika Dasar


Nomor 1
Semua nilai $ x $ agar fungsi $ f(x) = x\sqrt{x^2+4} $ naik adalah ....
A). $ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \, $
B). $ -2 < x < 2 \, $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x > 2 $
D). $ x < -\sqrt{2} \, $ atau $ x > \sqrt{2} $
E). $ -\infty < x < \infty $
Nomor 2
Nilai dari $ \frac{\sin 48^\circ + \sin 12^\circ}{\cos 78^\circ + \cos 42^\circ} \, $ adalah ....
A). $\frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ \cos 18^\circ \, $ E). $ \tan 18^\circ $
Nomor 3
Jika kedua akar persamaan kuadrat $ x^2 - px + p = 0 $ bernilai positif, maka jumlah kuadrat akar-akar itu mempunyai ekstrem ....
A). minimum $ - 1 $
B). maksimum $ - 1 $
C). minimum $ 8 $
D). maksimum $ 8 $
E). minimum $ 0 $
Nomor 4
Jika garis $ g $ melalui titik $ P(-2,1) $ dan memotong parabola $ y = x^2 - 4x + 3 $ di titik $ Q(x,y) $ dan $ R(4,3) $ , maka $ y - 5x = .... $
A). $-\frac{1}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{9} \, $ C). $\frac{1}{9} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ \frac{2}{3} \, $
Nomor 5
$ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x\sqrt{x} - p\sqrt{p}}{\sqrt{x}-\sqrt{p}} = .... $
A). $ p\sqrt{p} \, $ B). $ 3p \, $ C). $ p \, $ D). $ 3\sqrt{p} \, $ E). $ \sqrt{p} \, $

Nomor 6
Agar fungsi $ f(x,y) = ax + 4y $ dengan kendala $ x + y \geq 12 $ , $ x + 2y \geq 16 $ , $ x \geq 0 $ , $ y \geq 0 $ mencapai minimum hanya di titik $(8,4) $, maka nilai konstanta $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 2 < a < 4 \, $
B). $ 4 < a < 6 \, $
C). $ 4 < a < 8 \, $
D). $ -4 < a < -2 \, $
E). $ -8 < a < -4 \, $
Nomor 7
Agar ketiga garis $ 3x + 2y + 4 = 0 $ , $ x - 3y + 5 = 0 $ dan $ 2x + (m+1)y - 1 = 0 $ berpotongan di satu titik maka nilai $ m $ haruslah .....
A). $ -3 \, $ B). $ 2\, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 8
Persamaan garis yang melalui titik potong garis $ 6x-10y - 7 = 0 $ dan $ 3x + 4y - 8 = 0 $ dan tegak lurus dengan garis ke-2 adalah ....
A). $ 3y - 4x + 13 = 0 \, $
B). $ 3y - 4x + \frac{13}{2} = 0 \, $
C). $ 3y + 4x - 13 = 0 \, $
D). $ 3y + 4x - \frac{13}{2} = 0 \, $
E). $ 3y - 4x + 10 = 0 \, $
Nomor 9
Jika dua garis yang memenuhi persamaan matriks $ \left( \begin{matrix} a & 2 \\ 1 & b \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 16 \\ -18 \end{matrix} \right) \, $ sejajar, maka nilai dari $ ab = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \left( \begin{matrix} {}^3 \log y & {}^4 \log z \\ {}^x \log y & -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ {}^{16} \log z & -2 \end{matrix} \right) \, $ adalah ....
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 81 $

Nomor 11
$ \frac{(\sqrt[6]{x^2})(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x+1}}}{x\sqrt[6]{x+1}} = .... $
A). $ x\sqrt{x+1} \, $ B). $ x \, $ C). $1 \, $
D). $ \frac{1}{\sqrt[6]{x^2}} \, $ E). $ \frac{x}{\sqrt{x+1}} $
Nomor 12
Tiga kelas A, B, dan C berturut-turut terdiri dari 15 siswa, 10 siswa, dan 25 siswa. Rata-rata nilai gabungan dari ketiga kelas adalah 58,6. Jika rata-rata nilai kelas A dan C berturut-turut 62 dan 60, maka rata-rata nilai kelas B adalah ....
A). $ 50 \, $ B). $ 56 \, $ C). $ 61 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 65 $
Nomor 13
Tetangga baru yang belum anda kenal katanya mempunyai 2 anak. Anda tahu salah satunya adalah laki-laki. Peluang kedua anak tetangga baru anda semuanya laki-laki adalah ....
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{2}{3} $
Nomor 14
Diketahui sistem persamaan linear
$ \begin{align} & 3x - 5y = m \\ & 2x + 4y = n \end{align} $
Jika $ y = \frac{b}{22} $ , maka $ b = .... $
A). $ 2m - 3n \, $
B). $ 2m + 3n \, $
C). $ -3m + 2n \, $
D). $ 3m + 2n $
E). $ -2m + 3n \, $
Nomor 15
Nilai semua $ x $ yang memenuhi $ {}^a \log ^2 x \geq 8 + 2 {}^a \log x $ , dengan bilangan $ a > 1 $ , adalah ....
A). $ a^2 \leq x \leq a^4 \, $
B). $ x \leq a^2 \, $ atau $ x \geq a^4 $
C). $ x \leq \frac{1}{a^4} \, $ atau $ x \geq a^2 $
D). $ x \leq \frac{1}{a^2} \, $ atau $ x \geq a^4 $
E). $ x \leq -2 \, $ atau $ x \geq 4 $

Nomor 16
Bila $ \frac{4}{5} (2^{3x-1}) + \frac{8^x}{10} = 2 $ , maka $ x = .... $
A). $ -\frac{3}{2} \, $ B). $ -\frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{3}{2} $
Nomor 17
Suatu deret aritmetika mempunyai beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya 240. Jumlah tujuh suku pertamanya adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -7 \, $ D). $ -8 \, $ E). $ -9 $
Nomor 18
Jika $ y = 3 \sin 2x - 2 \cos 3x $ , maka $ \frac{dy}{dx} = .... $
A). $ 6 \cos 2x + 6 \sin 3x \, $
B). $ -6 \cos 2x - 6 \sin 3x \, $
C). $ 6 \cos 2x - 6 \sin 3x \, $
D). $ 3 \cos 2x + 2 \sin 3x \, $
E). $ 3 \cos 2x - 2 \sin 3x \, $
Nomor 19
Jika $ S_n $ adalah jumlah $ n $ suku suatu deret geometri yang rasionya $ r $ , maka $ \frac{S_{4n}}{2S_{2n}} = .... $
A). $ r^{2n} $
B). $ \frac{1}{2}(r^{2n} - 1) $
C). $ \frac{1}{2} + r^{2n} $
D). $ \frac{1}{2}(r^{2n} + 1) $
E). $ r^{2n} + 1 $
Nomor 20
Nilai minimum dari $ z = 6x + 9y $ yang memenuhi syarat $ 4x + y \geq 20 $ , $ x + y \leq 20 $ , $ x + y \geq 10 $ , $ x \geq 0 $ , $ y \geq 0 $ adalah ....
A). $ 40 \, $ B). $ 50 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 80 \, $ E). $ 120 $

Pembahasan Matriks UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Jika determinan $ \left| \begin{matrix} (2x-4y) & -1 \\ (-x+7y) & 2 \end{matrix} \right| = -2 $ merupakan persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) = x^2 + x + k $ , maka nilai $ k = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan Matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $
*). Syarat garis dan parabola bersinggungan :
$ D = 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan garisnya :
$ \begin{align} \left| \begin{matrix} (2x-4y) & -1 \\ (-x+7y) & 2 \end{matrix} \right| & = -2 \\ 2(2x-4y) - (-1).(-x+7y) & = -2 \\ 4x-8y -x+7y & = -2 \\ 3x-y + 2 & = 0 \end{align} $
*). Substitusi $ y = x^2 + x + k $ ke garis :
$ \begin{align} 3x-y + 2 & = 0 \\ 3x-(x^2 + x + k)+ 2 & = 0 \\ -x^2 + 2x -k + 2 & = 0 \\ a = -1 , b = 2 , c & = -k + 2 \\ \text{Syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ 2^2 - 4. (-1). (-k+2) & = 0 \\ 4 - 4k + 8 & = 0 \\ - 4k & = -12 \\ k & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Dari angka-angka 2, 3, 5, 7 dan 9 akan disusun bilangan yang terdiri dari 4 angka tanpa pengulangan. Banyak bilangan yang dapat terbentuk dengan nilai kurang dari 4000 adalah ....
A). $ 30 \, $ B). $ 48 \, $ C). $ 112 \, $ D). $ 120 \, $ E). $ 132 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kaidah pencacahan untuk aturan perkalian :
Misalkan ada $ p $ cara bagian pertama dan $ q $ cara bagian kedua, maka total caranya adalah $ p \times q $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan angka : $ 2, 3, 5, 7, 9 $ (ada 5 pilihan)
*). Menyusun empat angka tanpa pengulangan (angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi) yaitu ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan.
i). Agar kurang dari 4000, maka digit ribuannya ada dua pilihan yaitu angka 2 atau 3 (ada 2 cara)
ii). Angka ratusan bebas, tetapi satu angka sudah dipakai untuk ribuan sehingga tersia empat pilihan (ada 4 cara)
iii). digit puluhan ada 3 pilihan karena dua angka sudah dipakai untuk ribuan dan ratusan (ada 3 cara)
iv). digit satuan ada 2 pilihan karena tiga angka sudah dipakai untuk puluhan, ribuan dan ratusan (ada 2 cara)
Sehingga total cara untuk menyusun empat angka yaitu :
$ = 2 \times 4 \times 3 \times 2 = 48 \, $ cara.
Jadi, ada 48 bilangan yang terbentuk $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 , \, x_2 \, $ akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - (3k+5)x + 2k + 3 = 0 $ dan $ x_1, k , x_2 $ merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan geometri dengan rasio $ r \neq 1 $ , dan $ r \neq -1 $ , maka $ x_1 + k + x_2 = .... $
A). $ 16 \, $ B). $ 17 \, $ C). $ 18 \, $ D). $ 19 \, $ E). $ 20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Ciri-cir barisan geomeri : Perbandingan sama
Mislakan ada tiga suku $ x, y, z $ adalah barisan geometri, maka
$ \frac{y}{x} = \frac{z}{y} \rightarrow y^2 = x.z $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan Kuadrat : $ x^2 - (3k+5)x + 2k + 3 = 0 $
$ a = 1, b = -(3k+5) , c = 2k + 3 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = 2k + 3 \, $ ....(i)
*). $ x_1, k , x_2 \, $ membentuk barisan geometri
Sehingga $ k^2 = x_1.x_2 \, $ ....(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} k^2 & = x_1.x_2 \\ k^2 & = 2k + 3 \\ k^2 -2k - 3 & = 0 \\ (k + 1)(k - 3) & = 0 \\ k = -1 \vee k & = 3 \end{align} $
*). Menentukan $ x_1 $ dan $ x_2 $ berdasarkan nilai $ k $ :
-). Pertama, untuk $ k = -1 $ :
$ \begin{align} x^2 - (3k+5)x + 2k + 3 & = 0 \\ x^2 - (3.(-1)+5)x + 2.(-1) + 3 & = 0 \\ x^2 - 2x + 1 & = 0 \\ (x-1)(x-1) & = 0 \\ x_1 = 1 \vee x_2 & = 1 \end{align} $
Barisannya : $ x_1, k , x_2 \rightarrow 1 , -1 , 1 $
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-1}{1} = -1 $
Tidak memenuhi karena syaratnya $ r \neq -1 $.
-). Kedua, untuk $ k = 3 $ :
$ \begin{align} x^2 - (3k+5)x + 2k + 3 & = 0 \\ x^2 - (3.3+5)x + 2.3 + 3 & = 0 \\ x^2 - 14x + 9 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ x_1 + x_2 & = \frac{-(-14)}{1} = 14 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x_1 + k + x_2 = (x_1 + x_2) + k = 14 + 3 = 17 $.
Jadi, nilai $ x_1 + k + x_2 = 17 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \int \limits_1^2 \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \, dx = a $, maka $ \int \limits_1^2 \frac{4\sqrt{x} + k}{\sqrt{x} + 1} \, dx = 4 - 3a \, $ untuk $ k = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Integral :
$ \int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ \int \limits_1^2 \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \, dx = a $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \int \limits_1^2 \frac{4\sqrt{x} + k}{\sqrt{x} + 1} \, dx & = 4 - 3a \\ \int \limits_1^2 \frac{(4\sqrt{x} + 4)+(k-4)}{\sqrt{x} + 1} \, dx & = 4 - 3a \\ \int \limits_1^2 \frac{4(\sqrt{x} + 1)+(k-4)}{\sqrt{x} + 1} \, dx & = 4 - 3a \\ \int \limits_1^2 \frac{4(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} + \frac{(k-4)}{\sqrt{x} + 1} \, dx & = 4 - 3a \\ \int \limits_1^2 \left( 4 + \frac{(k-4)}{\sqrt{x} + 1} \right) \, dx & = 4 - 3a \\ \int \limits_1^2 4 \, dx + \int \limits_1^2 \frac{(k-4)}{\sqrt{x} + 1} \, dx & = 4 - 3a \\ [4x]_1^2 + (k-4)\int \limits_1^2 \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \, dx & = 4 - 3a \\ (4.2 - 4.1) + (k-4).a & = 4 - 3a \\ 4 + (k-4).a & = 4 - 3a \\ (k-4).a & = - 3a \\ (k-4) & = - 3 \\ k & = - 3 + 4 \\ k & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) }{4x - \pi} = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -\frac{1}{4} \, $ E). $ -\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan Turunan pada Limit (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $, solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x) }{g^\prime (x)} $
*). Turunan Fungsi trigonometri :
$ y = \sin f(x) \rightarrow y^\prime = f^\prime (x) \cos f(x) $
$ y = \cos f(x) \rightarrow y^\prime = -f^\prime (x) \sin f(x) $
*). Sifat sudut negatif : $ \sin (-x) = -\sin x \, $ dan $ \cos (-x) = \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi trigonometrinya :
$ \begin{align} y & = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \rightarrow y^\prime = \frac{-2}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \\ y & = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \rightarrow y^\prime = \frac{2}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) }{4x - \pi} = \frac{0}{0} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\frac{-2}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{2}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)}{4} \\ & = \frac{\frac{-2}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2. \frac{\pi}{4} \right) + \frac{2}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2. \frac{\pi}{4} \right)}{4} \\ & = \frac{\frac{-2}{\sqrt{2}} \cos \left(-\frac{\pi}{4} \right) + \frac{2}{\sqrt{2}} \sin \left(-\frac{\pi}{4} \right)}{4} \\ & = \frac{\frac{-2}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} \right) - \frac{2}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} \right)}{4} \\ & = \frac{\frac{-2}{\sqrt{2}} .\frac{1}{2}\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{2}} . \frac{1}{2}\sqrt{2} }{4} \\ & = \frac{-1 -1 }{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -\frac{1}{2} . \, \heartsuit $


Pembahasan Limit UM UGM 2009 Matematika IPA

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) }{4x - \pi} = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -\frac{1}{4} \, $ E). $ -\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{\sin a f(x)}{b f(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan syarat $ f(a) = 0 $
*). Rumus jumlah trigonometri :
$ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
*). Nilai $ \cos 45^\circ = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $
*). Nilai $ \sin 45^\circ = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal :
$ \begin{align} & \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \\ & = \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right).\frac{1}{\sqrt{2}} + \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) .\frac{1}{\sqrt{2}} \\ & = \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right).\cos \frac{\pi}{4} + \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) .\sin \frac{\pi}{4} \\ & = \sin \left( \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{\pi}{4} \right) \\ & = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) = \sin -\frac{1}{2} \left( 4x - \pi \right) \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) }{4x - \pi} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin -\frac{1}{2} \left( 4x - \pi \right)}{(4x - \pi)} \\ & = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -\frac{1}{2} . \, \heartsuit $