Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 611 tahun 2014 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin diambil secara acak, maka peluang terambil satu koin asli dan satu koin palsu adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada 4 koin palsu dan 8 koin asli (4p8a) , diambil 2 koin :
$n(S)=C_2^12=66$
$\spadesuit \, $ Kejadian yang diharapkan (K) terambil 1p1a
$n(K)=C_1^4.C_1^8=4.8=32$
$\spadesuit \, $ Peluangnya:
$P(K)=\frac{n(K)}{n(S)}=\frac{32}{66}=\frac{16}{33}$
Jadi, peluang terambil 1 koin palsu dan 1 koin asli adalah $\frac{16}{33}. \heartsuit $
Nomor 12
Jika $f(x)=\frac{x+1}{x-1}, \, x\neq 1 $ , maka $f^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) =...$
$\clubsuit \, $ invers dari $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a} $:
$\begin{align*} f(x)=\frac{x+1}{x-1} \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x+1}{x-1} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan $ f^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) $
$\begin{align*} f^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) & = \frac{ \left( \frac{1}{x} \right) +1}{ \left( \frac{1}{x} \right) -1} \\ &= \frac{ \left( \frac{1}{x} \right) +1}{ \left( \frac{1}{x} \right) -1} . \frac{x}{x} \\ &= \frac{1+x}{1-x} = -\frac{x+1}{x-1} \\ f^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) &= -f(x) \end{align*}$
Jadi, $ f^{-1} \left( \frac{1}{x} \right) = - f(x) . \heartsuit $
Nomor 13
Garis $l$ mempunyai gradien 2. Jika $l$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-x^2+px+1$ di $x=1$ , maka persamaan $l$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Garis $l$ gradiennya $m_l=2$
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung di $x=1$
$f(x)=-x^2+px+1 \Rightarrow f^\prime (x) = -2x+p$
gradien : $m_l=f^\prime (1) \Rightarrow 2=-2.1+p \Rightarrow p=4$
fungsinya : $f(x)=-x^2+4x+1$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik singgung dengan $x=1$
$x=1 \Rightarrow y=-1^2+4.1+1=4 $
titik singgungnya : (1,4)
$\spadesuit \, $ persamaan garis singgung $l$ di titik (1,4) dengan $m=2$
$\begin{align*} y-y_1&=m(x-x_1) \\ y-4&=2(x-1) \\ y&=2x+2 \end{align*}$
Jadi, PGS nya adalah $y=2x+2 . \heartsuit $
Nomor 14
Semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $2^{2x+2}-17(2^x)+4 < 0 $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Permisalan: $p=2^x$
$\begin{align*} 2^{2x+2}-17(2^x)+4 & <0 \\ 2^2.2^{2x}-17(2^x)+4 & <0 \\ 4(2^x)^2-17(2^x)+4 & <0 \\ 4p^2-17p+4 & < 0 \\ (4p-1)(p-4) & = 0 \\ p=\frac{1}{4} \, & \text{atau} \, p=4 \\ p=\frac{1}{4} & \Rightarrow 2^x=\frac{1}{4} \Rightarrow 2^x = 2^{-2} \Rightarrow x=-2 \\ p=4 & \Rightarrow 2^x=4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x=2 \end{align*} $
sbmptn_matdas_4_2014.png
Jadi, $HP = \{ -2 < x < 2 \} . \heartsuit $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow 2^{2.0+2}-17(2^0)+4 & < 0 \\ 4-17+4 & < 0 \\ -9 & < 0 \, \, \text{(benar)} \end{align*}$
yang ada $x=0$ benar, opsi yang salah adalah A, B dan D.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=-1 \Rightarrow 2^{2.(-1)+2}-17(2^{-1})+4 & < 0 \\ 1- \frac{17}{2} +4 & < 0 \\ -\frac{7}{2} & < 0 \, \, \text{(benar)} \end{align*}$
yang ada $x=-1$ benar, opsi yang salah adalah C.
Jadi, opsi yang benar adalah E yaitu
$HP=\{ -2 < x < 2 \} . \heartsuit$
Nomor 15
Diketahui $x_1$ dan $x_2$ akar-akar real persamaan $x^2+3x+p=0$, dengan $x_1$ dan $x_2$ kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika $x_1+x_2$, $x_1x_2$, dan $x_1^2x_2^2$ merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika , maka $p=...$
$\clubsuit \, $ Menentukan jumlah dan kali akar-akarnya:
$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-3}{1}=-3 \, \, $ dan $\, \, x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{p}{1}=p$
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika $x_1+x_2$, $x_1x_2$, dan $x_1^2x_2^2$ memiliki beda sama :
$x_1x_2 - (x_1+x_2) = x_1^2x_2^2 - x_1x_2 \Rightarrow 2(x_1x_2)= (x_1+x_2) + (x_1.x_2)^2 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $p$
$\begin{align*} 2(x_1x_2) & = (x_1+x_2) + (x_1.x_2)^2 \\ 2. p & = -3 + (p)^2 \\ p^2-2p-3 &= 0 \\ (p+1)(p-3) & = 0 \\ p=-1 \, & \text{atau} \, p=3 \end{align*} $
$\clubsuit \, $ Cek nilai $p$ yang memenuhi :
$\begin{align*} p=3 \Rightarrow x^2+3x+p&=0 \\ x^2+3x+3&=0 \\ D&=b^2-4ac \\ &=3^2-4.1.3=-3 < 0 \\ D & < 0 \end{align*} $
Karena $D<0$ , maka akar-akar nya tidak real.
sehingga $p=-1$ yang memenuhi .
Jadi, nilai $p=-1. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 611 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Agar sistem persamaan $\left\{ \begin{array}{c} 2x-y-1=0 \\ 4x-y-5=0 \\ ax-y-7=0 \end{array} \right. $
mempunyai penyelesaian , maka nilai $a$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) , diperoleh nilai $x=2$ dan $y=3$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (2,3) ke pers(iii)
$ax-y-7=0 \Rightarrow a.2-3-7=0 \Rightarrow a= 5$
Jadi, nilai $a=5. \heartsuit $
Nomor 7
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{x^2-2x} < \sqrt{3x+6} \, $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Kuadratkan pertidaksamaan :
$\begin{align*} ( \sqrt{x^2-2x} )^2 & < ( \sqrt{3x+6} )^2 \\ x^2-2x & < 3x+6 \\ x^2-5x-6 & <0 \\ (x+1)(x-6)& =0 \\ x=-1 \, & \text{atau} \, x=6 \end{align*} $
sbmptn_matdas_k611_2_2014.png
$HP_1=\{ -1 < x < 6 \} $
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akar :
$\sqrt{x^2-2x} \geq 0 \Leftrightarrow x^2-2x \geq 0 \Leftrightarrow x(x-2) \geq 0 \Leftrightarrow x=0 \, \text{atau} \, x=2 $
sbmptn_matdas_k611_3_2014.png
$HP_2=\{ x \leq 0 \, \text{atau} \, x\geq 2 \} $

$\sqrt{3x+6} \geq 0 \Leftrightarrow 3x+6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2 $
$HP_3=\{ x \geq -2 \} $
sehingga solusinya :
$ HP = HP_1 \cap HP_2 \cap HP_3 = \{ -1 < x \leq 0 \, \text{atau} \, 2 \leq x < 6 \} $
Jadi, $HP=\{ -1 < x \leq 0 \, \text{atau} \, 2 \leq x < 6 \} . \heartsuit$

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow \sqrt{x^2-2x} & < \sqrt{3x+6} \\ \sqrt{1^2-2.1} & < \sqrt{3.1+6} \\ \sqrt{-1} & < \sqrt{9} \, \, \text{(pasti salah)} \end{align*}$
yang ada $x=1$ salah, opsi yang salah adalah A dan C.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=-1 \Rightarrow \sqrt{x^2-2x} & < \sqrt{3x+6} \\ \sqrt{(-1)^2-2.(-1)} & < \sqrt{3.(-1)+6} \\ \sqrt{5} & < \sqrt{3} \, \, \text{(salah)} \end{align*}$
yang ada $x=-1$ salah, opsi yang salah adalah B dan D.
Jadi, opsi yang benar adalah E yaitu
$HP=\{ -1 < x \leq 0 \, \text{atau} \, 2 \leq x < 6 \} . \heartsuit$
Nomor 8
Jika $\cos x=2\sin x$ , maka nilai $\sin x \cos x$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\tan x$ dengan $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ :
$\cos x=2\sin x \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan x=\frac{1}{2}$
$\spadesuit \, $ Buat segitiga dari nilai $\tan x=\frac{1}{2}$ :
sbmptn_matdas_k611_1_2014.png
sehingga $\sin x \cos x=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$
Jadi, nilai $ \sin x \cos x=\frac{2}{5}. \, \heartsuit $
Nomor 9
Jumlah suku ke-4 dan suku ke-5 dari suatu barisan aritmetika adalah 55, sedangkan suku ke-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai 1. Jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Barisan aritmatika : $u_n=a+(n-1)b \, \, $ dan $\, s_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$u_4+u_5=55 \Rightarrow (a+3b)+(a+4b)=55 \Rightarrow 2a+7b=55 \, \text{...pes(i)} $
$u_9-2u_2=1 \Rightarrow (a+8b)-2(a+b)=1 \Rightarrow -a+6b=1 \, \text{...pes(ii)} $
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) , diperoleh $a=17$ dan $b=3$
$\clubsuit \, $ Jumlah 3 suku pertama ($s_3$) :
$s_3=\frac{3}{2}(2a+(3-1)b) \Rightarrow s_3=\frac{3}{2}(2.17+2.3) \Rightarrow s_3= 60$
Jadi, Jumlah 3 suku pertama adalah 60. $\heartsuit $
Nomor 10
Jika $\left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{matrix} \right)^{-1}\left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix} \right) \,$ dengan $x\neq -\frac{1}{2}$, maka nilai $\frac{1}{2}x+y=...$
$\spadesuit \, $ Kedua ruas dikalikan dengan matriks $\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{matrix} \right)$
dan gunakan sifat $A.A^{-1}=I$ serta $ I.B=B$
$\begin{align*} \left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) &=\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{matrix} \right)^{-1}\left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) &=\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{matrix} \right)^{-1}\left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & x \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) &=I.\left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x+2y \\ x^2-y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ \text{sehingga} \, \, x+2y & = 4 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\frac{1}{2}x+y$
$\begin{align*} x+2y & = 4 \, \, \text{(bagi 2 kedua ruas)} \\ \frac{1}{2}x+y & = 2 \end{align*}$
Jadi, nilai $\frac{1}{2}x+y=2. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 611 tahun 2014


Nomor 1
Tiga puluh data mempunyai rata-rata $p$. Jika rata-rata 20% data diantaranya adalah $p+0,1$ ; 40% lainnya adalah $p-0,1$ ; 10% lainnya lagi adalah $p-0,5$ dan rata-rata 30% data sisanya adalah $p+q$, maka $q=...$
$\clubsuit \, $ Rumus rata-rata gabungan : $\overline{x}_{gb}=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+...}{n_1+n_2+n_3+...}$
$\clubsuit \, $ Data dibagi menjadi 4 kelompok :
$n_1=20\%,\overline{x}_1=p+0,1 ; n_2=40\%, \overline{x}_2=p-0,1 ; \\ n_3=10\%, \overline{x}_3=p-0,5 ; n_4=30\% , \overline{x}_4=p+q ; \overline{x}_{gb}=p$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $q$
$\begin{align} \overline{x}_{gb}&=\frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3+n_4.\overline{x}_4}{n_1+n_2+n_3+n_4} \\ p&=\frac{20\%.(p+0,1)+40\%.(p-0,1)+10\%.(p-0,5)+30\%.(p+q)}{20\%+40\%+10\%+30\%} \\ p&=\frac{0,2p+0,02+0,4p-0,04+0,1p-0,05+0,3p+0,3q}{100\%} \\ \not{p}&=\frac{\not{p}-0,07+0,3q}{1} \\ q&=\frac{0,07}{0,3}=\frac{7}{30} \end{align}$
Jadi, $q=\frac{7}{30}. \heartsuit $
Nomor 2
Nilai $\frac{1}{2}+\left( {}^{3}log8 \right) \left( {}^{2}log3+{}^{4}log5 \right) - 4\, {}^{9}log45 \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma:
${}^{a^m}log \, b^n = \frac{n}{m}. {}^{a}log \, b $ atau ${}^{a^n}log \, b^n = {}^{a}log \, b $ dan
${}^{a}log \, b . {}^{b}log \, c = {}^{a}log \, c$

$\spadesuit \, $ Menyelesaiakan soal:
$\begin{align} &\frac{1}{2}+\left( {}^{3}log8 \right) \left( {}^{2}log3+{}^{4}log5 \right) - 4\, {}^{9}log45 \\ &= \frac{1}{2}+\left( {}^{3}log2^3 \right) \left( {}^{2}log3+{}^{4^\frac{1}{2}}log5^\frac{1}{2} \right) - 4\, {}^{9}log45 \\ &= \frac{1}{2}+\left( 3.{}^{3}log2 \right) \left( {}^{2}log3+{}^{2}log5^\frac{1}{2} \right) - 4\, {}^{9}log45 \\ &= \frac{1}{2}+\left( 3.{}^{3}log2 \right) \left( {}^{2}log3.5^\frac{1}{2} \right) - 4\, {}^{9}log(3^2.5) \\ &= \frac{1}{2}+\left( 3.{}^{3}log3.5^\frac{1}{2} \right) - {}^{9}log(3^2.5)^4 \\ &= {}^{9}log9^\frac{1}{2}+3.{}^{3^2}log\left( 3.5^\frac{1}{2} \right)^2 - {}^{9}log(3^8.5^4) \\ &= {}^{9}log3+3.{}^{3^2}log(3^2.5) - {}^{9}log(3^8.5^4) \\ &= {}^{9}log3+{}^{3^2}log(3^2.5)^3 - {}^{9}log(3^8.5^4) \\ &= {}^{9}log3+{}^{3^2}log(3^6.5^3) - {}^{9}log(3^8.5^4) \\ &= {}^{9}log\frac{3.3^6.5^3}{3^8.5^4} \\ &= {}^{9}log\frac{1}{15} \\ &= {}^{9}log(15)^{-1} \\ &= -{}^{9}log(15) \end{align}$
Jadi, $\frac{1}{2}+\left( {}^{3}log8 \right) \left( {}^{2}log3+{}^{4}log5 \right) - 4\, {}^{9}log45 = -{}^{9}log(15). \heartsuit $
Nomor 3
Jika fungsi $f(x)=a^2x^2-12x+c^2$ menyinggung sumbu X di $x=\frac{2}{3}$, maka $a^2-c^2=...$
$\clubsuit \, $ Grafik menyinggung sumbu $X$ di $x=\frac{2}{3}$ , sehingga titiknya $(\frac{2}{3},0)$ dan memiliki akar kembar (akarnya cuma satu)
$\clubsuit \, $ Substitusi titik $(\frac{2}{3},0)$ ke fungsinya :
$\begin{align*} f(x)&=a^2x^2-12x+c^2 \\ 0&= a^2\left( \frac{2}{3} \right)^2-12.\left( \frac{2}{3} \right)+c^2 \\ 0&=\frac{4}{9}a^2+c^2-8 \\ c^2&=8- \frac{4}{9}a^2 \, \, \text{...pers(i)} \end{align*} $
$\clubsuit \, $ Memiliki akar kembar , syarat $D=0 \Rightarrow b^2-4ac=0$
$\begin{align*} b^2-4ac&=0 \\ (-12)^2-4.a^2.c^2 &=0 \\ a^2.c^2 &=36 \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*} $
$\clubsuit \, $ Misalkan $a^2=p$ dan $c^2=q$, pers(i) dan (ii) menjadi :
pers(i) : $c^2 =8- \frac{4}{9}a^2 \Rightarrow q =8- \frac{4}{9}p$
pers(ii) : $a^2.c^2 =36 \Rightarrow p.q=36 $
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii), diperoleh $p=9$ dan $q=4$
sehingga $a^2-c^2=p-q=9-4=5$
Jadi, $a^2-c^2=5. \heartsuit $

Cara II :
$\clubsuit \, $ Grafik menyinggung sumbu $X$ di $x=\frac{2}{3}$ , sehingga titiknya $(\frac{2}{3},0)$ yang merupakan titik puncak parabola ($x_p,y_p$) dengan $ \, x_p = \frac{-b}{2a} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a^2 $ dengan titik puncak $ (x_p,y_p) = (\frac{2}{3},0) \, $
$ x_p = \frac{-b}{2a} \rightarrow \frac{2}{3} = \frac{-(-12)}{2a^2} \rightarrow a^2 = 9 $
sehingga nilai $ a^2 = 9 $
$\clubsuit \, $ Substitusi titik $(\frac{2}{3},0)$ ke fungsinya :
$\begin{align} f(x)&=a^2x^2-12x+c^2 \\ 0&= a^2\left( \frac{2}{3} \right)^2-12.\left( \frac{2}{3} \right)+c^2 \\ 0&=\frac{4}{9}a^2+c^2-8 \\ c^2&=8- \frac{4}{9}a^2 \, \, \text{(substitusi } \, a^2 = 9 ) \\ c^2&=8- \frac{4}{9}.9 = 8 - 4 = 4 \end{align} $
nilai $ c^2 = 4 $
sehingga $a^2-c^2=9-4=5$
Jadi, nilai $a^2-c^2=5. \heartsuit $
Nomor 4
Seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Dia mempunyai persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin dapat dibuat adalah ...
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Kendala: $x+2y \leq 20 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong pers. kendala terhadap sumbu $X$ dan sumbu $Y$ :
$x+2y \leq 20 \Rightarrow (0,20) \, \text{titik pojok} \, \text{dan} \, (40,0) \, \text{bukan titik pojok} $
$3x+y \leq 30 \Rightarrow (0,30) \, \text{bukan titik pojok} \, \text{dan} \, (10,0) \, \text{titik pojok} $

NOTE : disebut titik pojok jika titik tersebut memenuhi semua pertidaksamaan.

$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong kedua pertidaksamaan :
Eliminasi persamaan $x+2y = 20 $ dan $3x+y = 30$ diperoleh $x=4,y=18$, sehingga titik potongnya (4,18)
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuannya :
$(0,20) \Rightarrow f(0,20)=0+20=20 $
$(10,0) \Rightarrow f(10,0)=10+0=10 $
$(4,18) \Rightarrow f(4,18)=4+18=22 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $

Cara II : Memodifikasi fungsi kendala sehingga jika dioperasikan bentuknya akan sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
$\spadesuit \, $ Model matematika yang terbentuk adalah :
fungsi tujuannya : $f(x,y)=x+y $
Fungsi kendala:
$x+2y \leq 40 $ dan $1,5x+0,5y \leq 15 \Leftrightarrow 3x+y \leq 30 , x\geq 0 , y \geq 0$
$\spadesuit \, $ Memodifikasi fungsi kendalanya
$\begin{array}{c|c|cc} x+2y \leq 40 & \times 2 & 2x + 4y \leq 80 & \\ 3x+y \leq 30 & \times 1 & 3x+y \leq 30 & + \\ \hline & & 5x + 5y \leq 110 & \\ & & x + y \leq 22 & \end{array} $
Dari bentuk $ x + y \leq 22, \, $ artinya nilai maksimum dari $ x + y \, $ adalah 22, dan ini sama dengan fungsi tujuan yang ditanyakan.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 22 .$ \heartsuit $
Nomor 5
Jika $x_1$ dan $x_2$ akar-akar persamaan kuadrat $x^2+3x+1=0$, maka persamaan kuadrat dengan akar-akar $2+\frac{x_2}{x_1}$ dan $2+\frac{x_1}{x_2}$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menentukah jumlah dan kali akar
$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-3}{1}=-3$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$
$\clubsuit \, $ Persamaan kuadrat dengan akar-akar : $2+\frac{x_2}{x_1}$ dan $2+\frac{x_1}{x_2}$
$\begin{align*} HJ &= \left( 2+\frac{x_2}{x_1} \right) + \left( 2+\frac{x_1}{x_2} \right) = 4 + \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1.x_2} \\ &= 4 + \frac{(x_1 + x_2)^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2} = 4 + \frac{(-3)^2-2.1}{1}=11 \end{align*}$
$\begin{align*} HK &=\left( 2+\frac{x_2}{x_1} \right) . \left( 2+\frac{x_1}{x_2} \right) = 4 + \frac{2x_1}{x_2} + \frac{2x_2}{x_1} +1 \\ &= 5 + 2.\frac{(x_1 + x_2)^2-2x_1.x_2}{x_1.x_2} = 5 + 2.\frac{(-3)^2-2.1}{1}=19 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan kuadrat : $x^2-(HJ)x+HK=0$
$x^2-(HJ)x+HK=0 \Leftrightarrow x^2-(11)x+19=0$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $x^2-11x+19=0 . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Contoh Perhitungan Nilai Hasil Ujian Nasional tahun 2015 Berdasarkan Bobotnya


Hallo sobat. Mungkin sobat sudah pernah menbaca peraturan dan kriterian kelulusan UN tahun 2015 pada artikel Menentukan (aturan) Nilai atau Bobot Kelulusan Ujian Nasional (UN) tahun 2015 , kalau belum, silahkan baca dulu ya biar sobat tau dulu aturannya untuk kelulusan UN 2015.

Sebelumnya saya tuliskan singkatan-singkatan agar mudah dipahami.
RNR    : Rata-rata Nilai Raport setiap mata pelajaran
NUS    : Nilai Ujian Sekolah
NUN   : Nilai Ujian Nasional
NA      : Nilai Akhir
RNA   : Rata-rata Nilai Akhir semua Pelajaran

Berdasarkan Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan RI Nomor 144 tahun 2014 untuk UN tahun 2015, maka NA bisa ditentukan dengan rumus :


Untuk SMP/MTS dan SMA/MA yang menerapkan SKS nilai raport yang digunakan dari semester I sampai semester V, dan untuk SMA/MA yang tidak menerapkan SKS  nilai raport yang digunakan dari semester III sampai semester V.

Siswa/siswi dikatakan lulus jika:
NA setiap pelajaran yang di-UN-kan minimal (paling rendah) 4,0 dan RNA pelajaran yang di-UN-kan  minimal (paling rendah) 5,5 . Ini artinya kedua syarat tersebut harus terpenuhi.


 Berikut contoh atau kasus untuk menghitung NA dan RNA :

Seorang siswa SMP bernama ABC, berikut nilai yang diperoleh setelah mengikuti UN:






















Menentukan NA setiap mata pelajaran : 

 




























Nilai NA setiap pelajaran dan RNA semua memenuhi nilai minimal, ini artinya si ABC lulus.

      Jika sobat adalah siswa/siswi SMA/MA, cara menghitungnya hampir sama dengan contoh di atas, hanya saja nilai semester yang digunakan disesuaikan saja (memakai sistem SKS atau tidak) dan jumlah mata pelajaran yang di-UN-kan sesuai dengan jurusannya.

Semoga bermanfaat. Terima Kasih.
 

Menentukan (aturan) Nilai atau Bobot Kelulusan Ujian Nasional (UN) tahun 2015


       Hallo sobat. Bagaimana kabarnya hari ini? Baik-baik saja kan!!! Bagi sobat yang masih duduk di bangku sekolah, khususnya yang berada di kelas 9 SMP dan 12 SMA, akan menghadapi Ujian Nasional (UN) tahun 2015. Tentu sobat ingin lulus dengan nilai yang memuaskan atau minimal lulus dari UN dan lanjut ke jenjang sekolah yang lebih tinggi. Apakah sobat sudah tau kriteria kelulusaan atau nilai minimal yang harus diperoleh agar lulus??? Berikut akan dijelaskan tentang kelulusan dan nilai minimal yang harus diperoleh oleh siswa/siswi berdasarkan Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan RI Nomor 144 tahun 2014.

Istilah-istilah dalam UN :
1.     Satuan pendidikan adalah satuan pendidikan dasar dan menengah yang meliputi Sekolah Menengah 
        Pertama/Madrasah Tsanawiyah (SMP/MTs, Sekolah Menengah Pertama Luar Biasa (SMPLB), 
        Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah (SMA/MA), Sekolah Menengah Atas Luar Biasa, 
        (SMALB), Sekolah Menengah Kejuruan/Madrasah Aliyah Kejuruan (SMK/MAK), Pusat Kegiatan
        Belajar Masyarakat (PKBM), Sanggar  Kegiatan Belajar (SKB), dan Pondok Pesantren.
2.     Ujian Sekolah/Madrasah/Pendidikan Kesetaraan selanjutnya disebut Ujian S/M/PK adalah
        kegiatan pengukuran dan penilaian kompetensi peserta didik yang dilakukan oleh sekolah/madrasah
        /penyelenggara program pendidikan kesetaraan untuk semua mata pelajaran.
3.     Ujian Nasional yang selanjutnya disebut UN adalah kegiatan pengukuran dan penilaian pencapaian 
         standar kompetensi lulusan secara nasional pada mata pelajaran tertentu.
4.      Nilai Sekolah/Madrasah/Pendidikan Kesetaraan selanjutnya disebut Nilai S/M/PK adalah nilai 
         gabungan antara Nilai Ujian S/M/PK dan rata-rata nilai rapor atau rata-rata nilai derajat kompetensi 
         (NDK).
5.      Nilai Ujian Nasional yang selanjutnya disebut Nilai UN adalah nilai yang diperoleh peserta didik   
         dari UN.
6.      Nilai Akhir mata pelajaran yang selanjutnya disebut NA adalah nilai gabungan antara Nilai S/M/PK
         dan  Nilai UN.
7.      Kriteria kelulusan adalah persyaratan pencapaian minimal untuk dinyatakan lulus.

Peserta didik dinyatakan lulus dari satuan pendidikan setelah:
a. menyelesaikan seluruh program pembelajaran;
b. memperoleh nilai minimal baik pada penilaian akhir untuk 
    seluruh mata pelajaran;
c. lulus Ujian US/M/PK; dan
d. lulus UN.

Kriteria nilai minimal kelulusan :
1. Nilai S/M/PK diperoleh dari gabungan:
a. Rata-rata nilai rapor dengan bobot 70%:
1. Semester I sampai dengan semester V pada SMP/MTs, SMPLB,
    dan Paket B/Wustha;  
2. Semester III sampai dengan semester V pada SMA/MA, SMALB,
    SMK/MAK, dan Paket C;
3. Semester I sampai dengan semester V bagi SMP/MTs dan 
    SMA/MA yang
    menerapkan SKS.
b. Nilai Ujian S/M/PK dengan bobot 30%.

2. Kriteria kelulusan peserta didik untuk Ujian Nasional (UN) :
a. NA setiap mata pelajaran yang diujinasionalkan paling rendah 
    4,0 (empat koma nol); dan
b. rata-rata NA untuk semua mata pelajaran paling rendah 5,5 
    (lima koma lima).

3. NA merupakan gabungan Nilai S/M/PK dan Nilai UN dengan 
    bobot 50% Nilai S/M/PK dan 50% Nilai UN.

Jika sobat ingin membaca lebih mendetail dan lebih lengkap, bisa mendownload isi Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan RI Nomor 144 tahun 2014   di sini! .

Nah untuk contoh perhitungan dan nilai yang diperoleh, sobat bisa membaca artikel : Contoh Perhitungan Nilai Hasil Ujian Nasional tahun 2015 Berdasarkan Bobotnya . Semoga akan menjadi lebih jelas lagi.

Semoga Bermanfaat. Terima Kasih.