Pembahasan Matriks SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 233

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ A^T $ adalah transpos matriks A. Nilai $ ab $ yang memenuhi $ \left( \begin{matrix} a & 4 \\ b & a \end{matrix} \right)^T = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $ adalah ....
A). $ -20 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Transpose matriks
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
*). Perkalian matriks = Baris $ \times $ kolom

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Persamaan matriksnya :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} a & 4 \\ b & a \end{matrix} \right)^T & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a & b \\ 4 & a \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari persamaan matriks di atas,
$ a = 5 $ dan $ b = 4 $.
Sehingga nilai $ ab = 5.4 = 20 $.
Jadi, nilai $ a b = 20 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika Dasar Kode 233


Nomor 1
Misalkan $ A^T $ adalah transpos matriks A. Nilai $ ab $ yang memenuhi $ \left( \begin{matrix} a & 4 \\ b & a \end{matrix} \right)^T = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $ adalah ....
A). $ -20 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 20 $
Nomor 2
Jika himpunan penyelesaian $ |2x - a| < 5 $ adalah $ \{ x| -1 < x < 4 \} $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 3
Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bagian yang sama, berturut-turut oleh titik K, L, dan M, N. Jika luas $ \Delta ABC $ adalah $ x $ cm$^2$, maka luas $\Delta KMN $ adalah .... cm$^2$
A). $ \frac{x}{3} \, $ B). $ \frac{2x}{9} \, $ C). $ \frac{x}{9} \, $ D). $ \frac{x}{18} \, $ E). $ \frac{x}{36} $
Nomor 4
Jika $ f(x) = \frac{3-x}{x+1} $ dan $ g(x) = \frac{2-2x}{x-1} $, maka daerah asal $ f. g $ adalah ....
A). $\{ x | -\infty < x < \infty \} $
B). $\{ x | x \neq -1 \} $
C). $\{ x | x \neq -1 \, \text{ dan } \, x \neq 1 \} $
D). $\{ x | x < -1 \, \text{ atau } \, x > 1 \} $
B). $\{ x | -1 < x < 1 \} $
Nomor 5
Diketahui median dan rata-rata berat badan 5 balita adalah sama. Setelah ditambahkan satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita diurutan ke-4 adalah .... kg.
A). $ 4 \, $ B). $ \frac{9}{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ \frac{13}{2} \, $

Nomor 6
Hasil bagi suku pertama oleh suku ke-3 suatu barisan aritmetika adalah $ \frac{1}{2}$. Jika suku ke-5 barisan tersebut adalah 12, maka suku ke-7 adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 14 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 28 $
Nomor 7
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah $(6-0,02x) \, $ kg, dengan $ x $ menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah .... kg.
A). $ 400 \, $ B). $ 420 \, $ C). $ 435 \, $ D). $ 450 \, $ E). $ 465 $
Nomor 8
Lima bilangan asli membentuk suatu barisan geometri dengan rasio positif. Jika jumlah 3 suku terbesar dan jumlah 3 suku terkecil barisan geometri tersebut berturut-turut adalah 171 dan 76 maka jumlah 5 bilangan tersebut adalah ....
A). $ 125 \, $ B). $ 130 \, $ C). $ 180 \, $ D). $ 211 \, $ E). $ 347 $
Nomor 9
Diketahui fungsi $ f(x) = 2x - 4 $ dan $ g(x) = x^2 + ax + b $. Jika $ (g \circ f)(2) = 2 $ dan $ (g\circ f)(3) = 8 $ , maka nilai $ a + b $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 10

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan M dan N berturut-turut adalah titik tengah FG dan BC, serta T adalah titik pada AM sehingga NT tegak lurus AM seperti pada gambar. Jika panjang rusuk kubus tersebut 8 cm, maka panjang NT adalah ... cm.
A). $ \frac{8}{3}\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{8}{5}\sqrt{5} \, $ C). $ \frac{7}{5}\sqrt{5} \, $ D). $ \frac{5}{3}\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{3}{2}\sqrt{2} $

Nomor 11
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ x - y \leq 4 $, $ 2x + y \geq 2 $ , $ y \leq 0 $ adalah .... satuan luas.
A). $ 1\frac{1}{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 2\frac{1}{2} \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 12
Titik (2,3) dicerminkan terhadap garis $ y = -x $ dan kemudian ditranslasi dengan $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ ke titik (3,2). Peta titik (3,2) di bawah transformasi yang sama adalah ....
A). $ (-3,-2) \, $ B). $ (-2,-3) \, $ C). $ (3,2) \, $
D). $ (4,1) \, $ E). $ (6,4) $
Nomor 13
$ \int \frac{3(1-x)}{1 + \sqrt{x}} dx = .... $
A). $ 3x - 2x\sqrt{x} + C \, $
B). $ 2x - 3x\sqrt{x} + C \, $
C). $ 3x\sqrt{x} - 2x + C \, $
D). $ 2x\sqrt{x} - 3x + C \, $
E). $ 3x + 2x\sqrt{x} + C $
Nomor 14
Jika $ f(x) = ax^2+b $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}(1-x)}{f(x)} = -4 $, maka $ a + b = .... $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ -\frac{1}{8} \, $ D). $ 0 \, $ E). $ \frac{1}{8} $
Nomor 15
Sebuah bilangan ganjil 5 angka memuat tepat 4 angka ganjil dan tidak memiliki angka berulang, serta tidak memuat angka 0. Banyak bilangan berbeda dengan ciri tersebut adalah ....
A). 1.920
B). 1.940
C). 1.960
D). 2.100
E). 2.400

Pembahasan Trigonometri Segitiga UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Dari $ \Delta ABC $ yang lancip diketahui besar sudut-sudut $ \angle ABC = \beta $, $ \angle BCA = \gamma $ , dan panjang $ AC = p $. CK adalah garis tinggi melaui C dan KM adalah garis tinggi dalam $ \Delta AKC $ yang melalui K. Panjang AM = ....
A). $ p \sin ^2 (\beta + \gamma ) \, $
B). $ -p\sin \gamma \cos (\beta + \gamma ) \, $
C). $ -p \cos \gamma \cos (\beta + \gamma ) \, $
D). $ -p \cos (\beta + \gamma ) \sin (\beta + \gamma ) \, $
E). $ p \cos ^2 (\beta + \gamma ) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Hubungan kuadran :
$ \cos ( 180^\circ - x ) = -\cos x $
*). Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :  


$ \angle B = \beta , \, \angle C = \gamma $ dan $ AC = p $
*). Perhatikan segitiga ABC :
$ \begin{align} \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ \angle A + \beta + \gamma & = 180^\circ \\ \angle A & = ( 180^\circ - (\beta + \gamma)) \\ \cos \angle A & = \cos ( 180^\circ - (\beta + \gamma)) \\ \cos \angle A & = - \cos (\beta + \gamma) \end{align} $
*). Perhatikan segitiga AMK :
$ \begin{align} \cos A & = \frac{AM}{AK} \\ AM & = AK . \cos A = AK . (-cos (\beta + \gamma)) \\ AM & = -AK . \cos (\beta + \gamma) \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga AKC :
$ \begin{align} \cos A & = \frac{AK}{AC} \\ AK & = AC . \cos A = p . (-cos (\beta + \gamma)) \\ AM & = -p \cos (\beta + \gamma) \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} AM & = -AK . \cos (\beta + \gamma) \\ & = -( -p \cos (\beta + \gamma)) . \cos (\beta + \gamma) \\ & = p \cos ^2 (\beta + \gamma) \end{align} $
Jadi, nilai $ AM = p \cos ^2 (\beta + \gamma) . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Dari tiga huruf A, B, C dan tiga angka 1, 2, 3 akan dibuat plat nomor motor yang dimulai dengan satu huruf, diikuti dua angka dan diakhiri dengan satu huruf. Karena khawatir tidak ada yang mau memakai, pembuat plat nomor tidak diperbolehkan membuat plat nomor yang memuat angka 13. Banyaknya plat nomor yang dapat dibuat adalah ....
A). $ 11 \, $ B). $ 27 \, $ C). $ 45 \, $ D). $ 54 \, $ E). $ 72 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan kejadian pertama ada $ p $ cara dan kejadian kedua ada $ q $ cara, maka total cara adalah $ p \times q $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pilihan huruf ada 3 yaitu A, B, dan C. Pilihan angka ada 3 juga yaitu angka 1, 2, dan 3.
*). Akan disusun plat nomor yang terdiri dari empat digit yaitu satu huruf dua angka dan satu huruf lagi. Pembuatan plat nomor , angka atau huruf yang digunakan tidak harus sama, artinya huruf atau angka yang sudah dipakai boleh dipakai lagi. Agar plat nomor dengan angka 13 tidak kita buat, maka kita hitung dua tahap yaitu :
i). Pertama : kita anggap semua bilangan bisa kita buat sebagai plat nomor termasuk angka 13.
-). Pemilihan digit pertama : ada 3 pilihan huruf,
-). Pemilihan digit kedua : ada 3 pilihan angka,
-). Pemilihan digit ketiga : ada 3 pilihan angka,
-). Pemilihan digit keempat : ada 3 pilihan huruf lagi.
total cara (i) $ = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 $ cara.
ii). Kedua : Plat nomor dimana angkanya hanya memuat 13 saja.
-). Pemilihan digit pertama : ada 3 pilihan huruf,
-). Pemilihan digit kedua : ada 1 pilihan angka yaitu angka 1 saja,
-). Pemilihan digit ketiga : ada 1 pilihan angka yaitu angka 3 saja,
-). Pemilihan digit keempat : ada 3 pilihan huruf lagi.
total cara (ii) $ = 3 \times 1 \times 1 \times 3 = 9 $ cara.
*). Agar tidak memuat angka 13, maka cukup kita kurangkan cara (i) dan cara (ii) :
Total cara kejadian $ = 81 - 9 = 72 \, $ cara.
Jadi, ada 72 plat nomor yang dapat dibuat $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Grafik Turunan UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui grafik suatu fungsi $ y = f(x) $ yang mendatar sesaat untuk $ x = 6 $ sebagai berikut.
Grafik $ f^\prime (x) $ disekitar $ x = 6 $ akan terlihat sebagai berikut ....

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Grafik $ y = f(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ turun jika nilai $ f^\prime (x) < 0 $ pada interval tersebut.
*). Grafik $ y = f(x) $ turun dilihat dari kiri ke kanan.
*). Grafik turunan $ f^\prime (x) < 0 $ artinya grafik turunan pertamanya bernilai negatif yaitu grafiknya ada di bawah sumbu X.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan ilustrasi gambar grafik $ y = f(x) $ di sekitar $ x = 6 $ pada soal. Terlihat bahwa grafik $ y = f(x) $ di sekitar $ x = 6 $ menurun, sehingga grafik turunannya memenuhi $ f^\prime (x) < 0 $ disekitar $ x = 6 $ , artinya grafik turunannya ada di bawah sumbu X. Jawaban yang sesuai dengan ilustrasi ini adalah pilihan E yaitu grafik turunan bernilai negatif berada di bawah sumbu X.
Jadi, grafik $ f^\prime (x) $ disekitar $ x = 6 $ adalah grafik option E $ . \, \heartsuit $