Pembahasan Lingkaran UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x - 6y + 6 = 0 $ mempunyai kekhususan sebagai berikut ....
A). menyinggung $ y = 0 $
B). menyinggung $ x = 0 $
C). berpusat di O(0,0)
D). titik pusatnya terletak pada $ x - y = 0 $
E). berjari-jari 3

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Titik pusat $ = (a,b) = \left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C $
*). Syarat Dua kurva bersinggungan : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 - 6x - 6y + 6 = 0 $
$ A = -6 , B = -6 $ dan $ C = 6 $
-). Titik pusat $ (a,b) $ :
$ (a,b) = \left( -\frac{-6}{2}, -\frac{-6}{2} \right) = \left( 3,3 \right) $
-). Jari-jari $ ( r) $ :
$ r = \sqrt{3^2 + 3^2 - 6 } = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $
(Opsion C dan E salah).
*). Apakah bersinggungan dengan garis $ y = 0 $ atau $ x = 0 $.
-). Cek dengan garis $ y = 0 $ dengan substitusi $ y = 0 $ :
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 6x - 6y + 6 & = 0 \\ x^2 + 0^2 - 6x - 6.0 + 6 & = 0 \\ x^2 - 6x + 6 & = 0 \end{align} $
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4.1.6 = 36 - 24 = 12 $
Karena nilai $ D = 12 \neq 0 $ , maka lingkaran tidak menyinggung $ y = 0 $.
-). Cek dengan garis $ x = 0 $ dengan substitusi $ x = 0 $ :
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 6x - 6y + 6 & = 0 \\ 0^2 + y^2 - 6.0 - 6y + 6 & = 0 \\ y^2 - 6y + 6 & = 0 \end{align} $
$ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4.1.6 = 36 - 24 = 12 $
Karena nilai $ D = 12 \neq 0 $ , maka lingkaran tidak menyinggung $ x = 0 $.
(Opsion A dan B salah).
*). Apakah titik pusat (3,3) terletak pada $ x - y = 0 $? Mari kita cek dengan substitusi titik pusat ke persamaan garis tersebut :
$ \begin{align} x - y & = 0 \\ 3 - 3 & = 0 \\ 0 & = 0 \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Karena titik pusat $ (3,3) $ memenuhi persamaan garis $ x - y = 0 $ maka opsion D Benar.
Jadi, titik pusatnya terletak pada $ x - y = 0 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2003 Matematika IPA


Nomor 1
Lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x - 6y + 6 = 0 $ mempunyai kekhususan sebagai berikut ....
A). menyinggung $ y = 0 $
B). menyinggung $ x = 0 $
C). berpusat di O(0,0)
D). titik pusatnya terletak pada $ x - y = 0 $
E). berjari-jari 3
Nomor 2
Diketahui limas segitiga P.ABC. Titik K, L, M berturut-turut adalah titik tengah-titik tengah PA, PB, PC. Dibuat bidang pengiris KLM dan bidang pengiris KBM. Jika :
$ \, \, \, V_1 = \, $ volume bidang empat B.KLM,
$ \, \, \, V_2 = \, $ volume limas terpancung ABC.KLM,
maka $ \frac{V_2}{V_1} = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 2 \, $
Nomor 3
Bayangan kurva $ y = \sin x $ oleh refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi berpusat di O(0,0) dan faktor skala $ \frac{1}{2} $ adalah kurva ....
A). $ y = \sin 2x $
B). $ y = \frac{1}{2} \sin x $
C). $ y = \sin x \cos x $
D). $ y = -\sin x \cos x $
E). $ y = -\sin 2x $
Nomor 4
DIketahui kubus satuan ABCD.EFGH. Misalkan vektor-vektor : $ \vec{AB}=\vec{i} = (1,0,0) $, $ \vec{AD}=\vec{j}=(0,1,0)$ , dan $ \vec{AE}=\vec{k}=(0,0,1)$. Titik P adalah titik pusat sisi BCGF. Vektor proyeksi $ \vec{FP} $ ke vektor $ \vec{AC} $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{2}}{2} \, $ B). $ \frac{1}{2\sqrt{2}} \, $ C). $ \frac{1}{2\sqrt{2}} (0,1,1) \, $
D). $ \frac{1}{2\sqrt{2}} (1,1,0) \, $ E). $ \frac{1}{4} (1,1,0) \, $
Nomor 5
AKar-akar persamaan kuadrat $ x^2 + 6x + c = 0 $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $. Jika $ u, v $ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - (x_1^2 + x_2^2)x + 4 = 0 $ dan $ u + v = u.v $ , maka nilai $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 32 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ -64 \, $

Nomor 6
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2 \leq 3\left(\frac{x+2}{x-1}\right) - 2 $ adalah ....
A). $ x > 1 \, $ B). $ 1 < x \leq 2 \, $
C). $ x < 1 \, $ atau $ x \geq 4 $
D). $ x \neq 1 \, $ E). $ x \geq 4 \, $
Nomor 7
$ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^3 - (a+1)x^2 + ax}{(x^2-a) \tan (x-1)} = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 1 - a \, $ C). $ a \, $ D). $ 0 \, $ E). $ 2 - a \, $
Nomor 8
Jika $ \tan \beta > 0 $ , $ \tan 2\beta = - \frac{4}{3} $ dan $ \tan (\alpha - \beta ) = 1 $ , maka $ \tan ^2 \alpha - \tan ^2 \beta = .... $
A). $ 13 \, $ cm B). $ 5 \, $ cm C). $ \frac{13}{36} \, $ cm D). $ -\frac{5}{36} \, $ cm E). $ -5 \, $ cm
Nomor 9
Dua bilangan real $ a $ dan $ b $ memenuhi persamaan
$\left[\log (x^2+2)\right]^4 - \log (x^2+2)\log(x^2+2)^3 = 4 $ .
Maka $ a.b = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 1,99 \, $ E). $ -98 \, $
Nomor 10
Persamaan $ {}^{(x^2-6x+14)} \log (x-3) = {}^{(4x^2-4x+1)}\log (x^2-6x+9) $
dipenuhi oleh $ x = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 3 \, $ atau 5
C). $ 3 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 8 \, $

Nomor 11
Diketahui deret aritmetika $ a_1 + a_2 + a_3 + ....$. Jika jumlah 5 suku pertama sama dengan 5 dan $ {}^6 \log (3a_1+a_5) = 2 $ , maka jumlah 13 suku pertamanya sama dengan ....
A). $ -806 \, $ B). $ -611 \, $ C). $ -403 \, $ D). $ -79 \, $ E). $ 637 \, $
Nomor 12
Luas bagian bidang yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva $ y = \cos 3x $ dan $ y = \sin 3x $ adalah ....
A). $ \frac{1}{2}(\sqrt{3} + 1) \, $ B). $ \frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1) \, $
C). $ \frac{1}{3}(\sqrt{2} - 1) \, $ D). $ \frac{1}{3}(\sqrt{3} + 1) \, $
E). $ \frac{1}{6}(\sqrt{3}- \sqrt{2}) $
Nomor 13
Diketahui grafik suatu fungsi $ y = f(x) $ yang mendatar sesaat untuk $ x = 6 $ sebagai berikut.
Grafik $ f^\prime (x) $ disekitar $ x = 6 $ akan terlihat sebagai berikut ....
Nomor 14
Dari tiga huruf A, B, C dan tiga angka 1, 2, 3 akan dibuat plat nomor motor yang dimulai dengan satu huruf, diikuti dua angka dan diakhiri dengan satu huruf. Karena khawatir tidak ada yang mau memakai, pembuat plat nomor tidak diperbolehkan membuat plat nomor yang memuat angka 13. Banyaknya plat nomor yang dapat dibuat adalah ....
A). $ 11 \, $ B). $ 27 \, $ C). $ 45 \, $ D). $ 54 \, $ E). $ 72 \, $
Nomor 15
Dari $ \Delta ABC $ yang lancip diketahui besar sudut-sudut $ \angle ABC = \beta $, $ \angle BCA = \gamma $ , dan panjang $ AC = p $. CK adalah garis tinggi melaui C dan KM adalah garis tinggi dalah $ \Delta AKC $ yang melalui K. Panjang AM = ....
A). $ p \sin ^2 (\beta + \gamma ) \, $
B). $ -p\sin \gamma \cos (\beta + \gamma ) \, $
C). $ -p \cos \gamma \cos (\beta + \gamma ) \, $
D). $ -p \cos (\beta + \gamma ) \sin (\beta + \gamma ) \, $
E). $ p \cos ^2 (\beta + \gamma ) $