Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 436 tahun 2013 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sqrt{A}$ dan $\cos \alpha + \cos \beta = 2\sqrt{B}$ , maka $\cos (\alpha - \beta) = ...$
$\clubsuit \, $ Rumus Dasar :
$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \, \, \,$ dan $\, \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1$
$\clubsuit \, $ Kuadratkan kedua persamaan dan jumlahkan :
$\begin{array}{cc} \left( \sin \alpha + \sin \beta \right) ^2 = \left( 2\sqrt{A} \right)^2 \Rightarrow \sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta +2 \sin \alpha \sin \beta = 4A & \\ \left( \cos \alpha + \cos \beta \right) ^2 = \left( 2\sqrt{B} \right)^2 \Rightarrow \cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta +2 \cos \alpha \cos \beta = 4B & + \\ \hline (\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha) + (\cos ^2 \beta + \sin ^2 \beta) +2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 4A + 4B & \\ 1 + 1 +2\cos (\alpha - \beta) = 4A + 4B \\ 2\cos (\alpha - \beta) = 4A + 4B - 2 \\ \cos (\alpha - \beta) = 2A + 2B - 1 \end{array}$
Jadi, nilai $\cos (\alpha - \beta) = 2A + 2B - 1. \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui A(-3,0,0), B(0,3,0), dan C(0,0,7). Panjang vektor proyeksi $\vec{AC}$ ke vektor $\vec{AB}$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan vektor $\vec{AC}$ dan $\vec{AB}$ :
$\vec{AC} = C - A = (3 \, \, 0 \, \, 7) $
$\vec{AB} = B-A = (3 \, \, 3 \, \, 0) $
$\vec{AC}. \vec{AB} = 3.3 + 0.3 + 7.0 = 9 + 0 + 0 =9$
panjang $\vec{AB} = | \vec{AB} | = \sqrt{3^2+3^2+0^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$\spadesuit \, $ Menentukan Panjang vektor proyeksi $\vec{AC}$ ke vektor $\vec{AB}$
Panjang Proyeksi = $\frac{\vec{AC}. \vec{AB}}{| \vec{AB} |} = \frac{9}{3\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
Jadi, Panjang Proyeksi adalah $ \frac{3\sqrt{2}}{2} . \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui kubus ABCD.EFGH mempunyai sisi 4 cm. Titik P pada BC sehingga PB = 1 cm, titik Q pada GH sehingga HQ = 1 cm, R titik tengah AE. Jarak R ke PQ adalah ...
$\spadesuit \, $ Gambarnya :
sbmptn_mat_ipa_k436_7_2013.png sbmptn_mat_ipa_k436_8_2013.png
Jarak R ke garis PQ sama dengan panjang garis RN.
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang sisi pada segitiga PQR
$\Delta ABP, \, AP = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17} $
$\Delta APR, \, PR = \sqrt{2^2+(\sqrt{17})^2} = \sqrt{21} $
dari gambar, panjang PR = RQ = $\sqrt{21} $
$\Delta CGQ, \, CQ = \sqrt{4^2+3^2} = 5 $
$\Delta CPQ, \, PQ = \sqrt{5^2+3^2} = \sqrt{34} $
$\spadesuit \, $ Segitiga PQR sama kaki sehingga panjang QN = NP = $\frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2}\sqrt{34}$
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang garis RN
$\Delta PNR, \, RN = \sqrt{PR^2-PN^2} = \sqrt{(\sqrt{21})^2-\left( \frac{1}{2}\sqrt{34}\right)^2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} . $
Jadi, Jaraknya adalah $ \frac{5}{2}\sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui $f(x)=\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{1}{6}$ . Jika $g(x)=f(1-x)$ , maka $g$ naik pada selang ...
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $g(x)$ dan turunannya :
$\begin{align*} g(x) & = f(1-x) \\ g(x) & = \frac{2}{3}(1-x)^3-\frac{1}{2}(1-x)^2-3(1-x)+\frac{1}{6} \\ g^\prime (x) & = \frac{2}{3} . 3.(1-x)^2 . (-1) - \frac{1}{2}. 2. (1-x) . (-1) + 3 \\ & = -2(x^2-2x+1) + (1-x) + 3 \\ g^\prime (x) &= -2x^2 + 3x + 2 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Syarat fungsi $g(x)$ naik : $ g^\prime (x) > 0$
$\begin{align*} g^\prime (x) & > 0 \\ -2x^2 + 3x + 2 & > 0 \, \, \text{(kali -1 dan tanda dibalik)} \\ 2x^2-3x-2 & < 0 \\ (2x+1)(x-2) & < 0 \\ x = -\frac{1}{2} & \vee x = 2 \end{align*}$
sbmptn_mat_ipa_k436_9_2013.png
Jadi, interval naiknya adalah $ -\frac{1}{2} < x < 2 . \heartsuit $
Nomor 10
Diketahui $F(x)=(1+a)x^3-3bx^2-3x$ . Jika $F^{\prime \prime} $ habis dibagi $x+1$ , maka kurva $y=F(x)$ tidak mempunyai titik ekstrem lokal jika ...
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan kedua dari $F(x)$ :
$\begin{align*} F(x) & = (1+a)x^3-3bx^2-3x \\ F^\prime (x) & = 3(1+a)x^2 - 6bx - 3 \\ F^{\prime \prime } (x) & = 6(1+a)x - 6b \end{align*}$
$\clubsuit \, F^{\prime \prime} (x) $ habis dibagi $x+1$, artinya $F^{\prime \prime} (-1) = 0$
$F^{\prime \prime} (-1) = 0 \Rightarrow 6(1+a).(-1) - 6b = 0 \Rightarrow a = -b - 1$
$\clubsuit \, $ Substitusi $ a = -b - 1 \, \, $ ke turunan pertama :
$\begin{align*} F^\prime (x) & = 3(1+a)x^2 - 6bx - 3 \\ & = 3(1+-b - 1)x^2 - 6bx - 3 \\ F^\prime (x) & = -3bx^2 - 6bx - 3 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan titik ekstrim : Syarat $ F^\prime (x) = 0$
diperoleh : $ F^\prime (x) = 0 \Rightarrow -3bx^2 - 6bx - 3 = 0 \, $
(kali -1 dan bagi 3) $\, bx^2 + 2bx + 1 = 0 \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Agar $F(x) \, $ tidak punya invers, maka pers(i) harus tidak mempunyai penyelesaian (tidak punya akar). Karena pers(i) bentuknya persamaan kuadrat, agar tidak punya akar nilai Diskriminannya harus kurang dari nol ($D < 0 $).
$\begin{align*} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (2b)^2 - 4.b.1 & < 0 \\ 4b^2 - 4b & < 0 \\ 4b(b-1) & < 0 \\ b=0 \, & \vee \, b = 1 \end{align*}$
sbmptn_mat_ipa_k436_10_2013.png
Jadi, agar $y=F(x) \, $ tidak punya titik ekstrim syaratnya adalah $0 < b < 1 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 436 tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Banyak bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih 3 adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada beberapa kemungkinan agar angka pertama dan ketiga selisihnya 3 :
sbmptn_mat_ipa_k436_2_2013.png
Total = 10 + 6 $\times \, $ 20 = 130 bilangan.
$\spadesuit \, $ Penjelasan:
kejadian 2, angka ratusannya angka 4 dan satuannya harus 1 (agar selisihnya 3), sementara untuk angka puluhannya bebas yang bisa dipilih dari angka 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 yaitu 10 pililihan (cara). Jika dibalik juga berlaku, ratusannya angka 1 dan satuannya harus 4 dengan banyak cara 10 pilihan untuk puluhannya. sehingga total kejadian 2 ada 10 + 10 = 20 cara. Begitu juga untuk kejadian lainnya. Sementara kejadian 1 tidak bisa dibalik karena angka ratusan tidak boleh nol (angka 0). Contoh kejadian 2 :
401, 411, 421, 431, 441, 451, 461, 471, 481, 491, dan kebalikkannya :
104, 114, 124, 134, 144, 154, 164, 174, 184, 194.
Jadi, banyak bilangan ada 130 bilangan. $ \heartsuit $
Nomor 7
Transformasi $T$ merupakan komposisi pencerminan terhadap garis $y=5x$ dilanjutkan pencerminan terhadap garis $y=-\frac{x}{5}$ . Matriks penyajian $T$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien masing-masing garis :
$y=5x \Rightarrow m_1 = 5 \, $ dan $ \, y=-\frac{x}{5} \Rightarrow m_2 = -\frac{1}{5}$ .
$m_1.m_2 = 5. -\frac{1}{5} = -1 $ , karena perkalian gradien kedua garis nilainya -1, artinya kedua garis tegak lurus (sudutnya 90$^o$).
$\clubsuit \, $ Matriks Transformasi (MT) dua garis :
$MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) $
dengan $\theta \, $ adalah sudut antara kedua garis.
Sehingga MT kedua garis :
$MT = \left( \begin{matrix} \cos 2. 90^o & -\sin 2. 90^o \\ \sin 2. 90^o & \cos 2. 90^o \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)$
Jadi, Matriks transformasinya adalah $\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \heartsuit$
Nomor 8
$\int 8\sin ^2 x \cos ^2 x dx = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
$\sin px . \cos px = \frac{1}{2}.\sin 2px \, $ dan $\sin ^2 px = \frac{1}{2}(1-\cos 2px)$ .
$\int \cos ax dx = \frac{1}{a} \sin ax + c$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $\sin ^2 x \cos ^2 x$ :
$\begin{align*} \sin ^2 x \cos ^2 x & = (\sin x . \cos x)^2 \\ & = \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right)^2 \\ & = \frac{1}{4} \sin ^2 2x \\ & = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2}(1-\cos 4x) \right] \\ & = \frac{1}{8} (1-\cos 4x) \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil integral :
$\begin{align*} \int 8\sin ^2 x \cos ^2 x dx & = \int 8.\frac{1}{8} (1-\cos 4x) dx \\ & = \int (1 - \cos 4x )dx \\ & = x - \frac{1}{4}\sin 4x + c \end{align*}$
Jadi, hasil $\int 8\sin ^2 x \cos ^2 x dx = x - \frac{1}{4}\sin 4x + c. \heartsuit$
Nomor 9
Jika $L(a)$ adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu X dan parabola $y=ax-x^2, \, 0 < a < 1,$ maka peluang nilai $a$ sehingga $L(a) \geq \frac{1}{12}$ adalah ...
$\clubsuit \, $ Pada kasus ini, tidak mungkin menghitung banyaknya nilai $a$ yang memenuhi (karena nilai $a$ ada tak hingga banyaknya), tetapi diwakili panjang garisnya.
$\clubsuit \, $ Nilai $a$ dipilih dari selang $0 < a < 1 $
sbmptn_mat_ipa_k436_3_2013.png
sehingga panjang garisnya = 1 - 0 = 1. Diperoleh $n(S) = 1$
$\clubsuit \, $ Menghitung $L(a)$ :
sbmptn_mat_ipa_k436_4_2013.png
$\begin{align*} L(a) & =\int \limits_0^a (ax-x^2) dx = \left[ \frac{a}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3 \right]_0^a = \frac{a}{2}.a^2-\frac{1}{3}a^3 = \frac{a^3}{6} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan batas $a$ dari $L(a) \geq \frac{1}{12}$ :
$\begin{align*} L(a) & \geq \frac{1}{12} \Leftrightarrow \frac{a^3}{6} \geq \frac{1}{12} \Leftrightarrow a^3 \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow a \geq \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow a \geq \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{align*}$
sbmptn_mat_ipa_k436_5_2013.png
Panjang garis yang diinginkan = $1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $ . Diperoleh $n(A) = 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $ .
Sehingga peluangnya : $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}}{1}= 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} $ .
Jadi, peluangnya adalah $1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} . \heartsuit $
Nomor 10
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2-4$ dan $y=-3|x|$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menggambar grafik $y=x^2-4$ dan $y=-3|x|$
harga mutlak : $y=-3|x| = \left\{ \begin{array}{cc} -3x \, & , \text{untuk} \, x \geq 0 \\ -3(-x) = 3x \, & , \text{untuk} \, x < 0 \end{array} \right.$
sbmptn_mat_ipa_k436_6_2013.png
$\spadesuit \, $ Dari gambar, luas daerah A sama dengan luas B,
sehingga Luas arsir = 2L$_A$ = 2L$_B$ .
$\spadesuit \, $ Menentukan Luas arsiran :
$\begin{align*} \text{Luas Arsir} &= 2\text{L}_A=2\int \limits_{-1}^0 (3x)-(x^2-4) dx = 2\int \limits_{-1}^0 (-x^2+3x+4)dx \\ & \text{Atau} \\ \text{Luas Arsir} &= 2\text{L}_B=2\int \limits_{0}^1 (-3x)-(x^2-4) dx = 2\int \limits_{0}^1 (-x^2-3x+4)dx \\ & \text{Atau} \\ \text{Luas Arsir} &= \text{L}_A + \text{L}_B=\int \limits_{-1}^0 (-x^2+3x+4)dx + \int \limits_{0}^1 (-x^2-3x+4)dx \end{align*}$
Jadi, Luasnya adalah $2\int \limits_{-1}^0 (-x^2+3x+4)dx \, $ atau $\, 2\int \limits_{0}^1 (-x^2-3x+4)dx \, $ atau $\, \int \limits_{-1}^0 (-x^2+3x+4)dx + \int \limits_{0}^1 (-x^2-3x+4)dx $ . Pilihlah salah satu yang ada di opsi. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 436 tahun 2013


Nomor 1
Persamaan lingkaran dengan pusat (-1,1) dan menyinggung garis $3x-4y+12=0 \, $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Gambarnya :
sbmptn_mat_ipa_k436_1_2013.png
Jari-jari ($r$) lingkaran adalah jarak titik pusat ke garis singgungnya.
$r$ = Jarak = $\left| \frac{ 3(-1)-4(1)+12 }{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \right| = \left| \frac{ 5 }{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{ 5 }{5} \right|= 1$
$\clubsuit \, $ Persamaan lingkaran dengan pusat ($a,b$) = (-1,1) dan jari-jari $r=1$ :
$\begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-1))^2+(y-1)^2 & = 1^2 \\ (x+1)^2+(y-1)^2 & = 1 \\ x^2+2x+1+y^2-2y+1 & = 1 \\ x^2+y^2+2x-2y+1 & = 0 \end{align*}$
Jadi, Persamaan lingkarannya adalah $x^2+y^2+2x-2y+1 = 0.\heartsuit $
Nomor 2
$\cot 105^o \tan 15^o = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus Dasar :
$\tan (x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1+\tan x \tan y}$ dan $\cot (90^o+x) = -\tan x $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\tan 15^o$
$\begin{align} \tan 15^o & = \tan (45^o - 30^o) \\ & = \frac{\tan 45^o - \tan 30^o}{1+\tan 45^o \tan 30^o} \\ & = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1. \frac{1}{\sqrt{3}}} \\ & = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1+ \frac{1}{\sqrt{3}}} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \\ & = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} . \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1}\\ & = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1 }{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3} }{2} = 2 - \sqrt{3} \end{align}$
$\spadesuit \, \cot 105^o = \cot (90^o + 15^o) = -\tan 15^o$
Sehingga :
$\begin{align} \cot 105^o \tan 15^o & = -\tan 15^o \tan 15^o \\ & = -(\tan 15^o)^2 \\ & = -(2 - \sqrt{3})^2 \\ & = -(4 - 4\sqrt{3} + 3) \\ & = -(7 - 4\sqrt{3} ) = -7 + 4\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai $\cot 105^o \tan 15^o = -7 + 4\sqrt{3} . \, \heartsuit $
Nomor 3
Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 perempuan duduk berdampingan adalah ...
$\clubsuit \, $ 3L 3P duduk berjajar, banyak susunan yang mungkin adalah 6!, sehingga $n(S)=6!$ .
$\clubsuit \, $ Menghitung ($n(A)$), dengan 3P harus berdampingan.
$\spadesuit \, $ Agar 3P selalu berdampinga, kita blok 3 tempat untuk 3P dan dianggap satu orang, sehingga sekarang ada empat orang dengan 3L dan satu orang (3P diblok), banyak cara = 4!.
$\spadesuit \, $ Dari 3P yang diblok tadi, bisa disusun ulang sebanyak 3! cara.
sehingga $n(A)=4!.3!$
$\clubsuit \, $ Menghitung peluang :
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4!.3!}{6!} = \frac{4.3.2.1.3.2.1}{6.5.4.3.2.1} = \frac{1}{5} $
Jadi, Peluang 3P berdampingan adalah $\frac{1}{5} . \heartsuit $
Nomor 4
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x}}{\cos x - \cos 3x} = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
$\cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right)\sin \left( \frac{A-B}{2} \right) $ dan $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ax}{\sin bx} = \frac{a}{b} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk : $\cos x - \cos 3x $
$\begin{align} \cos x - \cos 3x & = -2 \sin \left( \frac{x+3x}{2} \right)\sin \left( \frac{x-3x}{2} \right) \\ & = -2 \sin \left( \frac{4x}{2} \right)\sin \left( \frac{-2x}{2} \right) \\ & = -2 \sin 2x \sin (-x) \\ & = -2 \sin 2x (-\sin x ) \\ & = 2 \sin 2x \sin x \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menghitung nilai limitnya :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x}}{\cos x - \cos 3x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x}}{2 \sin 2x \sin x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin 2x} . \frac{x}{\sin x} . \frac{\sqrt{4-x}}{2} \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{1} . \frac{\sqrt{4-0}}{2} \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{1} . \frac{2}{2} \\ & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x}}{\cos x - \cos 3x} = \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 5
Jika $x^4+ax^3+(b-10)x^2+15x-6=f(x)(x-1)$ dengan $f(x)$ habis dibagi $x-1$ , maka $a=...$
$x^4+ax^3+(b-10)x^2+15x-6=f(x)(x-1)$ ...pers(i)
$\clubsuit \, f(x) \, $ habis dibagi $x-1$ , berdasarkan teorema sisa maka $f(1)=0$ .
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1$ ke pers(i)
$\begin{align} x^4+ax^3+(b-10)x^2+15x-6 & = f(x)(x-1) \\ 1^4+a.1^3+(b-10).1^2+15.1-6 & = f(1)(1-1) \\ 1+a+b-10+15-6 & = 0 . 0 \\ a+ b & = 0 \Rightarrow b=-a \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Pers(i) diturunkan, diperoleh :
$4x^3+3ax^2+2(b-10)x+15 = f^\prime (x) . (x-1) + f(x) $ ...pers(iii)
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=1$ ke pers(iii) dan gunakan pers(ii)
$\begin{align} 4x^3+3ax^2+2(b-10)x+15 & = f^\prime (x) . (x-1) + f(x) \\ 4.1^3+3a.1^2+2(b-10).1+15 & = f^\prime (1) . (1-1) + f(1) \\ 4+3a+2(b-19)+15 & = f^\prime (1) . 0 + 0 \\ 3a+2b - 1 & = 0 \, \, \text{gunakan pers(ii)} \\ 3a+2(-a)-1 & = 0 \\ a& = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 1. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15