Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001 nomor 26 sampai 30


Nomor 26
Disuatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 orang. Calon yang tersedia terdiri dari 5 pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah ....
$\spadesuit \, $ Ada 5 pria dan 4 wanita, akan dipilih 6 orang dengan sekurang-kurangnya terpilih 3 pria, sehingga dibagi menjadi beberapa kasus :
1. 3P3W $ \rightarrow C_3^5.C_3^4 = 10.4 = 40 $
2. 4P2W $ \rightarrow C_4^5.C_2^4 = 5.6 = 30 $
3. 5P1W $ \rightarrow C_5^5.C_1^4 = 1.4 = 4 $
sehingga total = 40 + 30 + 4 = 74.
Keterangan :
3P3W artinya terpilih 3 pria dan 3 wanita
4P2W artinya terpilih 4 pria dan 2 wanita
5P1W artinya terpilih 5 pria dan 1 wanita
Jadi, banyaknya susunan perwakilan ada 74. $ \heartsuit $
Nomor 27
Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan. Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih kecil dari 400 adalah ....
$\clubsuit \, $ Pilihan angka ada 6 pilihan yaitu : angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9
$\clubsuit \, $ Bilangan tiga angka berlainan kurang dari 400, sebanyak
umptn_matdas_10_2001.png
total susunan = 2.5.4 = 40 bilangan
Keterangan :
* Karena berlainan, maka angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi.
* Ratusan (R) ada dua pilihan angka yaitu 2 atau 3 (agar kurang dari 400).
* Puluhan (P) ada lima pilihan karena satu angka sudah dipakai pada ratusan.
* Satuan (S) ada empat pilihan karena dua angka sudah dipakai untuk ratusan dan puluhan.
Jadi, banyak bilangan ada 40 bilangan. $ \heartsuit $
Nomor 28
Rusuk suatu kubus bertambah panjang dengan laju 7 cm per detik. Laju bertambahnya volume pada saat rusuk panjangnya 15 cm adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : Laju suatu fungsi adalah turunan pertamanya
$\spadesuit \, $ Rusuk (S) bertambah panjang dengan laju 7,
artinya $ \, S^\prime = 7 \, $ ( $ \, S^\prime \, $ adalah turunan dari S)
$\spadesuit \, $ Laju bertambahnya volume saat rusuk S = 15
$\begin{align} V & = S^3 \, \, \text{(volume kubus)} \\ V^\prime & = 3.S^2.S^\prime \\ V^\prime & = 3.(15)^2.7 \\ V^\prime & = 4725 \end{align}$
Jadi, laju bertambahnya volume adalah 4725 cm$^3$/detik . $ \heartsuit $
Nomor 29
Pertidaksamaan $ \, \left( \frac{1}{3} \right)^{2x+1} > \sqrt{\frac{27}{3^{x-1}}} \, $ mempunyai penyelesaian ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar : untuk $ a > 1 , \, a^{f(x)} > a^{g(x)} \rightarrow f(x) > g(x) $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \left( \frac{1}{3} \right)^{2x+1} & > \sqrt{\frac{27}{3^{x-1}}} \\ (3^{-1})^{2x+1} & > \sqrt{\frac{3^3}{3^{x-1}}} \\ 3^{-2x-1} & > \sqrt{3^{3-(x-1)}} \\ 3^{-2x-1} & > \sqrt{3^{-x+4}} \\ 3^{-2x-1} & > 3^\frac{-x+4}{2} \\ -2x-1 & > \frac{-x+4}{2} \, \, \text{(kali 2)} \\ -4x-2 & > -x+4 \\ -3x & > 6 \, \, \text{(bagi -3, ketaksamaan dibalik)} \\ x & < -2 \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ x < -2 \} . \heartsuit $
Nomor 30
Ditentukan rasio deret geometri tak hingga adalah $ \, {}^7 \log (4x-1) \, $ . Jika deret ini mempunyai jumlah (konvergen), maka nilai $x \, $ yang memenuhi adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan geometri dengan rasio $ \, r = {}^7 \log (4x-1) $
$\spadesuit \, $ Syarat deret tak hingga konvergen (mempunyai jumlah) : $ -1 < r < 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \, x $
$\begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < & {}^7 \log (4x-1) < 1 \\ {}^7 \log 7^{-1} < & {}^7 \log (4x-1) < {}^7 \log 7 \\ 7^{-1} < & 4x-1 < 7 \, \, \text{(jumlahkan 1)} \\ \frac{1}{7} + 1 < & (4x -1) + 1 < 7 + 1 \\ \frac{8}{7} < & 4x < 8 \, \, \text{(bagi 4)}\\ \frac{8}{7} : 4 < & 4x : 4 < 8:4 \\ \frac{2}{7} < & x < 2 \, \, \text{...(HP1)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Syarat logaritma
$ r = {}^7 \log (4x-1) $
Syarat : $4x-1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{4} \, \, $ ....(HP2)
Sehingga solusinya : $ HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ \frac{2}{7} < x < 2 \} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ HP = \{ \frac{2}{7} < x < 2 \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Berdasarkan penelitian, diketahui bahwa populasi hewan A berkurang menjadi setengahnya tiap 10 tahun. Pada tahun 2000 populasinya tinggal 1 juta ekor. Ini berarti pada tahun 1960 jumlah populasi hewan A adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ U_n = ar^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Populasi berkurang menjadi setengah, artinya rasio = $ \frac{1}{2}$
$\spadesuit \, $ Dari tahun 1960 sampai tahun 2000 ada 5 suku (perubahan setiap 10 tahun) yaitu 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 . Sehingga $U_5 = 1 \, $ juta (suku kelima)
$\spadesuit \, $ Menentukan $ a $ (populasi tahun 1960)
$\begin{align} U_5 & = 1 \\ ar^{5-1} & = 1 \\ a.\left( \frac{1}{2} \right)^4 & = 1 \\ a & = 16 \end{align}$
Jadi, populasi pada tahun 1960 adalah 16 juta. $ \heartsuit $
Nomor 22
Jumlah 5 suku pertama suatu deret aritmetika adalah 20. Jika masing-masing suku dikurangi dengan suku ke-3 maka hasil kali suku ke-1, suku ke-2, suku ke-4, dan suku ke-5 adalah 324. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ U_n = a+ (n-1)b \, $ dan $ \, S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
$\clubsuit \, $ Jumlah 5 suku = 20
$S_5 = 20 \rightarrow \frac{5}{2}(2a+4b) = 20 \rightarrow a+2b = 4 \, $ ....pers(i)
$\clubsuit \, $ Setiap suku dikurangi $ U_3 $ , barisannya menjadi :
$U_1-U_3, \, U_2 - U_3, \, U_3 - U_3 , \, U_4-U_3 , \, U_5-U_3 $
$a-(a+2b), (a+b)-(a+2b), 0, (a+3b)-(a+2b), (a+4b)-(a+2b) $
$-2b, \, -b, \, 0, \, b, \, 2b $
Perkaliannya = 324 $ \, \rightarrow (-2b).(-b).b.2b = 324 \rightarrow 4b^4 = 324 \rightarrow b = 3 \vee b= -3 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dari pers(i)
$b=3 \rightarrow a+2b = 4 \rightarrow a+2.3 = 4 \rightarrow a = -2 $
$b=-3 \rightarrow a+2b = 4 \rightarrow a+2.(-3) = 4 \rightarrow a = 10 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ S_8 $
Untuk $ a= -2 , \, b = 3 $
$\begin{align} S_8 & = \frac{8}{2}(2.(-2)+7.3) \\ & = 4(-4+21) \\ & = 4.(17) = 68 \end{align}$
Untuk $ a= 10 , \, b = -3 $
$\begin{align} S_8 & = \frac{8}{2}(2.10+7.(-3)) \\ & = 4(20+(-21)) \\ & = 4.(-1) = -4 \end{align}$
Jadi, jumlah 8 suku pertamanya adalah -4 dan 68. $ \heartsuit $
Nomor 23
Diketahui matriks-matriks :
$A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right), \, B = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right), \, C = \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) $
Jika determinan dari matriks - matriks $ \, 2A - B + C \, $ adalah 13, maka nilai $ \, a \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks $ \, 2A - B + C $
$\begin{align} 2A - B + C & = 2\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 6 & 8 \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4+1+a & 2-2-1 \\ 6-5+2 & 8-6+3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5+a & -1 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \, a \, $ dari determinan
$\begin{align} \left| 2A - B + C \right| & = 13 \\ \left| \begin{matrix} 5+a & -1 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right| & = 13 \\ 5(5+a) - 3.(-1) & = 13 \\ 25+5a+3 & = 13 \\ 5a & = -15 \rightarrow a = -3 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = -3 . \heartsuit $
Nomor 24
Kelas A terdiri dari 45 siswa dan kelas B 40 siswa. Nilai rata-rata kelas A 5 lebih tinggi rata-rata kelas B. Apabila kedua kelas digabungkan, maka nilai rata-ratanya menjadi 58. Nilai rata-rata kelas A adalah ....
$\clubsuit \,$ Data dibagi 2 kelompok
$n_A = 45, \, \overline{x}_A = a , \, n_B = 40, \, \overline{x}_B = a-5, \, \overline{x}_{gb} = 58 $
$\clubsuit \,$ Rata - rata gabungan
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_A.\overline{x}_A + n_B.\overline{x}_B}{n_A + n_B} \\ 58 & = \frac{45.a + 40.(a-5)}{45+40} \\ 58 & = \frac{45a + 40a-200}{85} \\ 58. 85 & = 85a - 200 \\ 4930 & = 85a - 200 85a & = 5130 \\ a & = \frac{5130}{85} = 60\frac{6}{17} \end{align}$
Jadi, nilai rata-rata kelas A adalah $ 60\frac{6}{17} . \heartsuit $
Nomor 25
Jika matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right), \, $ maka nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \left| A - x\lambda \right| = 0 \, $ dengan $ I \, $ matriks satuan dan $ \left| A - x\lambda \right| $ determinan dari $ A - x\lambda \, \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan matriks $ A - xI $
$\begin{align} A - xI & = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) - x \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x & 0 \\ 0 & x \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1-x & 4 \\ 2 & 3-x \end{matrix} \right) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \, x \, $ dari determinan
$\begin{align} \left| A - xI \right| & = 0 \\ \left| \begin{matrix} 1-x & 4 \\ 2 & 3-x \end{matrix} \right| & = 0 \\ (1-x)(3-x) - 2.4 & = 0 \\ 3-4x+x^2 - 8 & = 0 \\ x^2-4x-5 & = 0 \\ (x-5)(x+1) & = 0 \\ x=5 & \vee x = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ \, x \, $ adalah $ x=5 \vee x = -1 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30