Soal dan Pembahasan Simak UI 2009 Matematika Dasar Kode 951


Nomor 1
Empat tahun yang lalu, jumlah umur kakak dan adiknya dalam sebuah keluarga adalah empat kali selisihnya. Sekarang umur kakak adalah $ \frac{9}{7} $ umur adiknya. Maka 10 tahun yang akan datang umur kakak dan adiknya adalah ....
A). 17 dan 19 B). 20 dan 18
C). 18 dan 20 D). 19 dan 17
E). 21 dan 19
Nomor 2
Data berikut adalah hasil ujian suatu kelas di SMU yang nilai rata-ratanya adalah $ \overline{x}$.
$ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline \text{Nilai} & 3& 4 &5 &6& 7& 8 \\ \hline \text{Frekuensi} & 2 &4 &8& 13& 16& 7 \\ \hline \end{array} $
Siswa dinyatakan lulus jika nilainya lebih besar atau sama dengan $ \overline{x} - 1$. Banyaknya siswa yang lulus dari ujian ini adalah ....
A). $ 50 \, $ B). $ 48 \, $ C). $ 44 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 23 $
Nomor 3
Misalkan diberikan $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5 $ adalah lima suku pertama deret geometri. Jika $ \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5\log 3 $ , maka $ u_3 $ sama dengan ......
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{1}{3} \, $
Nomor 4
$ \frac{({}^4 \log 3)({}^4 \log 6)}{({}^4 \log 9)({}^8 \log 2) + ({}^4 \log 9)({}^8 \log 3)} $ sama dengan .....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{3}{4} \, $ C). $ \frac{4}{3} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 \, $
Nomor 5
Jika $ x + \frac{1}{x} = 5 $ , maka nilai dari $ x^3 + \frac{1}{x^3} = ..... $
A). $ 140 \, $ B). $ 125 \, $ C). $ 110 \, $ D). $ 75 \, $ E). $ 15 \, $

Nomor 6
Misalkan selisih akar-akar $ x^2 + 2x - a = 0 $ dan selisih akar-akar $ x^2-8x+(a-1)=0 $ bernilai sama, maka perkalian seluruh akar-akar kedua persamaan tersebut adalah .....
A). $ -56 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 56 \, $ E). $ 72 $
Nomor 7
Jika fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ melalui titik $ (0,3) $ dan mencapai minimum di titik $ (-2,1) $ , maka $ a - b + c $ sama dengan .....
A). $ \frac{9}{2} \, $ B). $ \frac{5}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ \frac{2}{9} \, $ E). $ -\frac{3}{2} $
Nomor 8
Diketahui $ x_0 $ dan $ y_0 $ adalah nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan : $ 2^{x+1} - 3^y = 7 $ dan $ -(2^{x-1}) - 3^{y+1} = -5 $ , maka $ x_0 + y_0 $ adalah ......
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $
Nomor 9
Diketahui $ a, b $ , dan $ c $ adalah bilangan real dimana $ \frac{a}{b} > 1 $ dan $ \frac{a}{c} < -1 $ . Pernyataan berikut yang BENAR adalah .....
A). $ a + b - c > 0 \, $
B). $ a > b \, $
C). $ (a-c)(b-c) > 0 \, $
D). $ a - b + c > 0 \, $ E). $ abc > 0 $
Nomor 10
Suatu kapal dapat mengangkut penumpang sebanyak 240 orang. Penumpang kelas utama boleh membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi sebanyak 20 kg. Kapal tersebut hanya dapat mengangkut bagasi seberat 7200 kg. Harga sebuah tiket kelas utama adalah Rp.100.000,00 dan kelas ekonomi Rp.75.000,00. Pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pengusaha kapal dari hasil penjualan tiket adalah ....... (dalam rupiah)
A). 18 juta B). 19,5 juta C). 21 juta
D). 21,5 juta E). 24 juta

Nomor 11
Dari huruf S, I, M, A, dan K dapat dibuat 120 "kata". Jika "kata" ini disusun secara alfabetikal, maka kata "SIMAK" akan berada pada urutan ke- .....
A). $ 105 \, $ B). $ 106 \, $ C). $ 107 \, $ D). $ 115 \, $ E). $ 116 $
Nomor 12
Diketahui sistem persamaan :
$ \begin{align} y + \frac{2}{x+z} & = 4 \\ 5y + \frac{18}{2x+y+z} & = 18 \\ \frac{8}{x+z}-\frac{6}{2x+y+z} & = 3 \end{align} $
Nilai dari $ y + \sqrt{x^2-2xz+z^2} \, $ adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $
Nomor 13
Diberikan fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $. Jika grafik fungsi tersebut melalui titik $ (2,21) $ dan mempunyai garis singgung yang sejajar dengan sumbu $ x $ pada $ (-2,-11) $ , maka nilai $ a + b + c $ adalah ......
A). $ 4 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 8 \, $
Nomor 14
Diketahui $ \sqrt{\left(\frac{1}{8}\right)^{x+1}} = 2^{(y-3)} $, maka nilai maksimum dari $ 3xy + 6x -3 $ adalah ......
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{15}{8} \, $ C). $ \frac{21}{6} \, $ D). $ \frac{25}{8} \, $ E). $ 5 $
Nomor 15
Jumlah dari tiga bilangan yang membentuk deret aritmatika adalah 27. Jika bilangan terbesar ditambah 12 maka ketiga bilangan tersebut membentuk deret geometri. Bilangan terkecil dari ketiga bilangan tersebut adalah .....
A). $ -9 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 15 $

Nomor 16
Pada suatu hari dilakukan pengamatan terhadap virus-virus tertentu yang berkembang dengan membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 2 virus. Pembelahan terjadi setiap 24 jam. Jika setiap 3 hari, seperempat dari virus dibunuh, maka banyaknya virus setelah satu minggu pertama adalah .....
A). $ 24 \, $ B). $ 36 \, $ C). $ 48 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 72 $
Nomor 17
Jika diketahui $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) $ , $ C = \left( \begin{matrix} 4 & -5 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) $ dan $ (B^{-1}AC)^{-1} = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) $, maka matriks $ B $ sama dengan .....
A). $ \left( \begin{matrix} 3 & -4 \\ -4 & 5 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} -5 & -4 \\ -4 & -3 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} -3 & -4 \\ -4 & -5 \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} 5 & -4 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) $
Nomor 18
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 1 + (1-\sqrt{2})\sin t - \sqrt{2}\sin ^2 t \leq 0 $ dengan $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $ adalah .....
A). $ \{ t \in R | \frac{\pi}{2} < t < \pi \} \, $
B). $ \{ t \in R | \frac{3\pi}{4} < t < \pi \} \, $
C). $ \{ t \in R | \frac{\pi}{2} < t \leq \frac{3\pi}{4} \} \, $
D). $ \{ t \in R | \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{4} \} \, $
E). $ \{ t \in R | \frac{3\pi}{4} \leq t < \pi \} \, $
Nomor 19
$ \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} = ..... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{48} \, $ C). $ \frac{1}{24} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ \infty $
Nomor 20
Jika kurva $ y = (x^2-a)(2x+b)^3 $ turun pada interval $ -1 < x < \frac{2}{5} $ , maka nilai $ ab = ..... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

Pembahasan Integral SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 232

Soal yang Akan Dibahas
$ \int \, \sqrt{x} \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx = .... $
A). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + C \, $
B). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + C \, $
C). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} + C \, $
D). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} + C \, $
E). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + C $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus integral dasar :
$ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
*). Sifat eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m+n} $ , $ \sqrt{x} = x^\frac{1}{2} $ dan $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hasil integralnya :
$\begin{align} \int \, \sqrt{x} \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx & = \int \, x^\frac{1}{2} \left( x^2 - x^{-\frac{1}{2}} \right) dx \\ & = \int \, \left( x^\frac{1}{2} . x^2 - x^\frac{1}{2} . x^{-2} \right) dx \\ & = \int \, \left( x^\frac{5}{2} - x^{- \frac{3}{2}} \right) dx \\ & = \frac{1}{\frac{5}{2} + 1} x^{\frac{5}{2} + 1} - \frac{1}{-\frac{3}{2} + 1} x^{- \frac{3}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{\frac{7}{2}} x^{\frac{7}{2} } - \frac{1}{-\frac{1}{2} } x^{- \frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{2}{7} x^{3 + \frac{1}{2} } + \frac{2}{1} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} + c \\ & = \frac{2}{7} x^3 . x^{\frac{1}{2} } + \frac{2}{\sqrt{x}} + c \\ & = \frac{2}{7} x^3 \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + c \end{align} $
Jadi, hasil integralnya : $ \frac{2}{7} x^3 \sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + c . \, \heartsuit $

Pembahasan Transformasi SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 232

Soal yang Akan Dibahas
Transformasi yang bersesuaian dengan matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & a \\ b & 0 \end{matrix} \right) $ memetakan titik $(1,2) $ ke titik $ (4,2) $. Jika transformasi yang sama memetakan titik $ (x,y) $ ke titik $ (12,6) $, maka nilai $ x - y $ adalah ....
A). $ -9 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Mencari bayangan oleh transformasi matriks A :
bayangan $ = A \times \, $ awal.

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & a \\ b & 0 \end{matrix} \right) $
*). Pertama, Titik awal $(1,2) $ , bayangannya $ (4,2) $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime} \\ y^{ \prime} \end{matrix} \right) & = A \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & a \\ b & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ 2a = 4 \rightarrow a = 2 \, $ dan $ b = 2 $
*). Kedua : titik awal $ (x,y) $ , bayangannya $(12,6) $
$\begin{align} \left( \begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2y \\ 2x \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ 2x = 6 \rightarrow x = 3 $ dan $ 2y = 12 \rightarrow y = 6 $.
Sehingga nilai $ x - y = 3 - 6 = -3 $ .
Jadi, nilai $ x - y = -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 232

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ y + 4x \leq 12 $, $ y + 2x \geq 8 $ , $ x \geq 0 $ adalah .... satuan luas.
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga :
Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menggambar daerah penyelesaian (DHP) :
I). $ y + 4x \leq 12 \rightarrow (0,12) $ dan $ (3,0)$
II). $ y + 2x \geq 8 \rightarrow (0,8) $ dan $ (4,0)$
III). $ x \geq 0 \rightarrow \, $ adalah sumbu Y.
 

*). Menentukan titik potong garis I dan garis II :
$ \begin{array}{cc} y + 4x = 12 & \\ y + 2x = 8 & - \\ \hline 2x = 4 & \\ x = 2 & \end{array} $
garis II : $ y + 2x = 8 \rightarrow y + 2.2 = 8 \rightarrow y = 4 $.
*). Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir yaitu berupa segitiga ABD dengan alas AB dan tingginya CD, Luasnya :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta ABD & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2}\times AB \times CD \\ & = \frac{1}{2}\times 4 \times 2 = 4 \end{align} $
Jadi, luas daerah penyelesaiannya adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 232

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik P terletak pada perpanjangan BF sehingga FP = 3 cm dan garis AP berpotongan dengan garis EF di titik Q. Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 6 cm, maka jarak Q ke D adalah ..... cm.
A). $ 2\sqrt{13} \, $ B). $ 2\sqrt{18} \, $ C). $ 2\sqrt{22} \, $ D). $ 4\sqrt{7} \, $ E). $ 4\sqrt{11} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua segitiga sebangun memiliki perbandingan sisi yang bersesuaian adalah sama.
*). untuk menentukan salah satu panjang garis pada dimensi tiga, kita bisa menggunakan pythagoras.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
 

*).Perhatikan segitiga PQF dan PAD, keduanya sebangun :
$\begin{align} \frac{QF}{AB} & = \frac{PF}{PB} \\ \frac{x}{6} & = \frac{3}{9} \\ \frac{x}{6} & = \frac{1}{3} \\ x & = 2 \end{align} $
sehingga panjang $ EQ = EF - QF = 6 - 2 = 4 $
*). Menentukan panjang AQ pada segitiga AEQ :
$\begin{align} AQ^2 & = AE^2 + EQ^2 \\ & = 6^2 + 4^2 \\ & = 36 + 16 = 52 \end{align} $
*).Menentukan panjang DQ pada segitiga ADQ yang siku-siku di A :
$\begin{align} DQ & = \sqrt{AD^2 + AQ^2} \\ & = \sqrt{6^2 + 52} \\ & = \sqrt{88} = \sqrt{ 4 \times 22} \\ & = 2\sqrt{22} \end{align} $
Jadi, jarak Q ke D adalah $ 2\sqrt{22} . \, \heartsuit $

Pembahasan Daerah Asal SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 232

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \sqrt{x-1} $ dan $ g(x) = \frac{x-5}{x-1} $, maka daerah asal fungsi $ f.g $ adalah ....
A). $ -\infty < x < \infty \, $ B). $ x \neq 0 $
C). $ x\neq 1 \, $ D). $ x \geq 1 \, $ E). $ x > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Fungsi
*). Domain (daerah asal) fungsi $ f(x) $ adalah nilai $ x $ yang bisa kita substitusi ke fungsi $ f(x) $ sehingga bisa kita hitung nilai fungsinya (biasanya hasilnya bilangan real untuk matematika tingkat SMA).
*). Bentuk $ y = \frac{f(x)}{g(x)} \, $ memiliki daerah asal $ x $ yang memenuhi $ g(x) \neq 0 $
*). Bentuk $ y = \sqrt{f(x)} \, $ memiliki daerah asal $ x $ yang memenuhi $ f(x) \geq 0 $
*). Misalkan daerah asal $ f(x) $ adalah $ D_f $, daerah asal fungsi $ g(x) $ adalah $ D_g $, maka daerah asal fungsi $ f.g $ adalah $ D_{f.g} = \{ x | D_f \cap D_g \} $
(irisan dari kedua daerah asal)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan daerah asal fungsi masing-masing :
$ f(x) = \sqrt{x-1} \rightarrow D_f = \{ x - 1 \geq 0 \} = \{ x \geq 1 \} $
$ g(x) = \frac{x-5}{x-1} \rightarrow D_g = \{ x - 1 \neq 0 \} = \{ x \neq 1 \} $
*). Menentukan daerah asal $ f.g $ :
$\begin{align} D_{f.g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x \geq 1 \} \cap \{ x \neq 1 \} \\ & = \{ x | x > 1 \} \end{align} $
Jadi, $ D_{f.g} = \{ x | x > 1 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 232

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ A^T $ adalah transpos matriks A dan $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $. Jika $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $ sehingga $ 2A + 3A^T = 15I $ , maka nilai $ a^2 + b^2 $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Transpose matriks
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
*). Penjumlahan matriks = jumlahkan unsur-unsur yang seletak.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Persamaan matriksnya :
$\begin{align} 2A + 3A^T & = 15I \\ 2\left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) + 3\left( \begin{matrix} a & 0 \\ b & 3 \end{matrix} \right) & = 15\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2a & 2b \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3a & 0 \\ 3b & 9 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 15 & 0 \\ 0 & 15 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 5a & 2b \\ 3b & 15 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 15 & 0 \\ 0 & 15 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari persamaan matriks di atas,
$ 5a = 15 \rightarrow a = 3 \, $ dan $ 2b = 0 \rightarrow b = 0 $.
Sehingga nilai $ a^2 + b^2 = 3^2 + 0^2 = 9 $.
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 = 9 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika Dasar Kode 232


Nomor 1
Misalkan $ A^T $ adalah transpos matriks A dan $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $. Jika $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $ sehingga $ 2A + 3A^T = 15I $ , maka nilai $ a^2 + b^2 $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 9 $
Nomor 2
Jika himpunan penyelesaian $ |2x - a| < 5 $ adalah $ \{ x| -1 < x < 4 \} $ , maka nilai $ a $ adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 3
Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bagian yang sama, berturut-turut oleh titik K, L, dan M, N. Jika luas $ \Delta ABC $ adalah $ x $ cm$^2$, maka luas $\Delta KMN $ adalah .... cm$^2$
A). $ \frac{x}{3} \, $ B). $ \frac{2x}{9} \, $ C). $ \frac{x}{9} \, $ D). $ \frac{x}{18} \, $ E). $ \frac{x}{36} $
Nomor 4
Jika $ f(x) = \sqrt{x-1} $ dan $ g(x) = \frac{x-5}{x-1} $, maka daerah asal fungsi $ f.g $ adalah ....
A). $ -\infty < x < \infty \, $ B). $ x \neq 0 $
C). $ x\neq 1 \, $ D). $ x \geq 1 \, $ B). $ x > 1 $
Nomor 5
Diketahui median dan rata-rata berat badan 5 balita adalah sama. Setelah ditambahkan satu data berat badan balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat badan tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat badan antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita diurutan ke-4 adalah .... kg.
A). $ 4 \, $ B). $ \frac{9}{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ \frac{13}{2} \, $

Nomor 6
Jumlah suku ke-3 dan ke-7 suatu barisan aritmetika dengan suku-sukunya bilangan asli adalah 28. Jika beda barisan tersebut 3, maka suku ke-7 adalah ....
A). $ 19 \, $ B). $ 20 \, $ C). $ 21 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 23 $
Nomor 7
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada saat panen dari kolam tersebut adalah $(6-0,02x) \, $ kg, dengan $ x $ menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada saat panen yang mungkin adalah .... kg.
A). $ 400 \, $ B). $ 420 \, $ C). $ 435 \, $ D). $ 450 \, $ E). $ 465 $
Nomor 8
Lima bilangan asli membentuk suatu barisan geometri dengan rasio positif. Jika jumlah 3 suku terbesar dan jumlah 3 suku terkecil barisan geometri tersebut berturut-turut adalah 171 dan 76 maka jumlah 5 bilangan tersebut adalah ....
A). $ 125 \, $ B). $ 130 \, $ C). $ 180 \, $ D). $ 211 \, $ E). $ 347 $
Nomor 9
Jika $ f(x) = x^2 + 2 $ dan $ g(x) = -3x + 8 $ , maka nilai maksimum fungsi $ ( g \circ f) (x) $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $
Nomor 10
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik P terletak pada perpanjangan BF sehingga FP = 3 cm dan garis AP berpotongan dengan garis EF di titik Q. Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 6 cm, maka jarak Q ke D adalah ..... cm.
A). $ 2\sqrt{13} \, $ B). $ 2\sqrt{18} \, $ C). $ 2\sqrt{22} \, $ D). $ 4\sqrt{7} \, $ E). $ 4\sqrt{11} $

Nomor 11
Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $ y + 4x \leq 12 $, $ y + 2x \geq 8 $ , $ x \geq 0 $ adalah .... satuan luas.
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 $
Nomor 12
Transformasi yang bersesuaian dengan matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & a \\ b & 0 \end{matrix} \right) $ memetakan titik $(1,2) $ ke titik $ (4,2) $. Jika transformasi yang sama memetakan titik $ (x,y) $ ke titik $ (12,6) $, maka nilai $ x - y $ adalah ....
A). $ -9 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 9 $
Nomor 13
$ \int \, \sqrt{x} \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx = .... $
A). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + C \, $
B). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + C \, $
C). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} + C \, $
D). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} + C \, $
E). $ \frac{2}{7}x^3\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} + C $
Nomor 14
Jika kurva $ f(x) = ax^2+bx + c $ memotong sumbu Y di titik $ (0,1) $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = -4 $, maka $ \frac{b + c}{a} = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $
Nomor 15
Sebuah bilangan ganjil 5 angka diketahui memuat tepat 2 angka genap dan tidak memiliki angka berulang, serta tidak memuat angka 0. Banyak bilangan berbeda dengan ciri tersebut adalah ....
A). 4.260 B). 4.290 C). 4.320
D). 5.400 E). 7.200

Pembahasan Turunan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Diketahui fungsi yang menyatakan posisi suatu benda bergerak pada waktu $ t $ (dalam detik) adalah $ s(t) = t^\frac{3}{2}(5-t) $ , $ t \geq 0 $, maka ......
(1). kecepatan benda tersebut pada waktu $ t $ adalah $ v(t) = \frac{5}{2}t^\frac{1}{2}(3-t) $
(2). benda tersebut berhenti bergerak setelah 3 detik
(3). arah benda bergerak berubah setelah 3 detik
(4). benda tersebut kembali pada posisi awal setelah 5 detik

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Misalkan ada fungsi jarak $ s(t) $ , kecepatan dapat kita peroleh dengan $ v(t) = s^\prime (t) $ . (turunan pertama dari fungsi jaraknya).
*). Suatu benda akan berhenti bergerak jika $ v(t) = 0 $.
*). Sifat eksponen : $ a^m.a^n = a^{m+n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi jaraknya : $ s(t) = t^\frac{3}{2}(5-t) = 5t^\frac{3}{2} - t^\frac{5}{2} $
*). Menentukan kecepatannya :
$ \begin{align} v(t) & = s^\prime (t) \\ & = \frac{3}{2}. 5 t^\frac{1}{2} - \frac{5}{2}t^\frac{3}{2} \\ & = \frac{5}{2} t^\frac{1}{2} ( 3 - t) \end{align} $
-). Pernyataan (1) BENAR.
*). Benda berhenti saat $ v(t) = 0 $ :
$ \begin{align} \frac{5}{2} t^\frac{1}{2} ( 3 - t) & = 0 \\ t^\frac{1}{2} = 0 \vee (3-t) & = 0 \\ t = 0 \vee t & = 3 \\ \end{align} $
-). Artinya benda tepat berhenti saat detik ke-0 dan detik ke-3, bukan setelahnya. Sehingga pernyataan (2) SALAH.
*). Menentukan arah gerak benda :
Arah gerak benda ditentukaan saat $ s^\prime (t) = 0 $ yang kita peroleh saat $ t = 0 \vee t = 3 $.
$ s^\prime (t) = \frac{5}{2} t^\frac{1}{2} ( 3 - t) $
-). Kita cek saat $ 0 \leq t < 3 $ dan $ t > 3 $ :
$ t = 1 \rightarrow s^\prime (1) = \frac{5}{2} .1^\frac{1}{2} ( 3 - 1) = 5 > 0 $
artinya pada interval $ 0 \leq t < 3 $ beda bergerak naik
$ t = 4 \rightarrow s^\prime (4) = \frac{5}{2} .4^\frac{1}{2} ( 3 - 4) = -5 < 0 $
artinya pada interval $ t > 3 $ beda bergerak turun
-). Artinya benda bergerak berubah arah setelah 3 detik. Pernyataan (3) BENAR.
*). Benda akan kembali keposisi awal saat $ s(t) = 0 $ :
$ \begin{align} s(t) & = 0 \\ t^\frac{3}{2}(5-t) & = 0 \\ t^\frac{3}{2} = 0 \vee 5 - t & = 0 \\ t = 0 \vee t & = 5 \end{align} $
-). Artinya benda kembali keposisi awal pada saat detik ke-0 atau detik ke-5, bukan setelah 5 detik. Sehingga pernyataan (4) SALAH.
*). Pernyataan yang benar adalah pernyataan (1) dan (3). Jawabannya B.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1) dan (3) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Dalam perhitungan suatu data, semua nilai pengamatan dikurangi 1500. Nilai baru menghasilkan jangkauan 40, rata-rata 15, simpangan kuartil 15, dan modus 16. Data asli mempunyai .......
(1). rata-rata = 1515
(2). jangkauan = 40
(3). modus = 1516
(4). simpangan kuartil = 20

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Perubahan data pada statistika :
-). Untuk rata-rata dan modus : berubah untuk semua operasi hitung.
-). Untuk jangkauan dan simpangan : berubah hanya untuk operasi kali atau bagi.
-). Misalkan Data dikurang $ a $, maka :
$ \overline{X}_{baru} =\overline{X}_{awal} - a $
$ \text{modus}_{baru} = \text{modus}_{awal} - a $
$ J_{baru} = J_{awal} $
$ \text{simpangan}_{baru} = \text{simpangan}_{awal} $
Silahkan baca artikelnya lebih mendalam pada "Statistika : Perubahan Data".

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Setelah setiap data dikurangkan 1500, kita peroleh nilai baru :
$ J_{baru} = 40 $ , $ \overline{X}_{baru} = 15 $ , $ \text{simpangan}_{baru} = 15 $, dan $ \text{modus}_{baru} = 16 $.
*). Menentukan nilai data awalnya :
-). $ \overline{X}_{baru} =\overline{X}_{awal} - a $
$ 15 =\overline{X}_{awal} - 1500 \rightarrow \overline{X}_{awal} = 1515 $
-). $ \text{modus}_{baru} = \text{modus}_{awal} - a $
$ 16 = \text{modus}_{awal} - 1500 \rightarrow \text{modus}_{baru} = 1516 $
-). $ J_{baru} = J_{awal} \rightarrow J_{awal} = 40 $
-). $ \text{simpangan}_{baru} = \text{simpangan}_{awal} \rightarrow \text{simpangan}_{awal} = 15 $
Sehingga pernyataan yang benar adalah pernyataan (1), (2), dan (3).
(Jawabannya A berdasarkan petunjuk C).
Jadi, pernyataan yang benar adalah (1), (2) dan (3) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Titik-titik $ (x,y) $ yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linier kuadrat
$ \begin{align} 2x + y & = 3 \\ (3x-2y-1)(-x+y-6) & = 0 \end{align} $
adalah .......
(1). $ (1,-1) \, $ (2). $ (1,1) \, $ (3). $ (-1,-5) \, $ (4). $ (-1,5) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, salah satunya dengan substitusi atau eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pers(i) : $ 2x + y = 3 \rightarrow y = -2x + 3 $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} (3x-2y-1)(-x+y-6) & = 0 \\ (3x-2(-2x + 3)-1)(-x+(-2x + 3)-6) & = 0 \\ (3x + 4x - 6-1)(-x-2x + 3 -6) & = 0 \\ (7x - 7)(-3x -3) & = 0 \\ (7x - 7) = 0 \vee (-3x -3) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = -1 \end{align} $
*). Substitusi $ x = 1 $ dan $ x = -1 $ ke pers (i) : $ y = -2x + 3 $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow y & = -2.1 + 3 = 1 \\ x = -1 \rightarrow y & = -2.(-1) + 3 = 5 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ (1,1) $ dan $ (-1,5) $, pernyataan yang benar adalah (2) dan (4), jawaban yang sesuai berdasarkan petunjuk C adalah C.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (2) dan (4) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Eksponen Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum fungsi $ f(x) = 2. 8^{-(1-x)^2} $ adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $\frac{1}{2} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = 2. 8^{-(1-x)^2} \\ & = 2^1. (2^3)^{-(1-x)^2} \\ & = 2^1. (2)^{-3(1-x)^2} \\ f(x) & = 2^{-3(1-x)^2 + 1} \end{align} $
Bentuk $ f(x) = 2^{-3(1-x)^2 + 1} $ akan maksimum jika pangkatnya maksimum.
-). Pangkatnya $ -3(1-x)^2 + 1 $ akan maksimum saat $ (1-x)^2 $ minimum yaitu saat $ x = 1 $.
*). Menentukan nilai maksimum fungsi eksponennya :
$\begin{align} f(x) & = 2^{-3(1-x)^2 + 1} \\ f_{maks} & = f(1) = 2^{-3(1-1)^2 + 1} \\ & = 2^{0 + 1} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan barisan bilangan berikut :
$ 4^{{}^2 \log x}, 4^{{}^2 \log 2x} , 4^{{}^2 \log 4x}, ..... $
Jika hasil kali 3 suku pertama dari barisan tersebut adalah 1, maka suku kelima dari barisan tersebut adalah ......
A). $ 256 \, $ B). $ 128 \, $ C). $ 64 \, $ D). $ 32 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
(i). $ {}^{a} \log b = {}^{a^n} \log b^n $ dan $ (a)^{ {}^a \log b } = b $
(ii). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat eksponen dan persamaannya :
$ a^m . a^n = a^{m+n} $
$ a^m = a^n \rightarrow m = n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui barisannya :
$ 4^{{}^2 \log x}, 4^{{}^2 \log 2x} , 4^{{}^2 \log 4x}, ..... $
Rumus suku ke-$n $ yaitu $ U_n = 4^{{}^2 \log 2^{n-1}x} $
*). Menentukan nilai $x $ :
$\begin{align} U_1.U_2.U_3 & = 1 \\ 4^{{}^2 \log x} . 4^{{}^2 \log 2x} . 4^{{}^2 \log 4x} & = 4^0 \\ 4^{{}^2 \log x+{}^2 \log 2x+{}^2 \log 4x} & = 4^0 \\ 4^{{}^2 \log x.2x.4x} & = 4^0 \\ 4^{{}^2 \log 8x^3} & = 4^0 \\ {}^2 \log 8x^3 & = 0 \\ 8x^3 & = 2^0 \\ 8x^3 & = 1 \\ x^3 & = \frac{1}{8} \\ x & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai suku ke-5 :
$\begin{align} U_n & = 4^{{}^2 \log 2^{n-1}x} \\ U_5 & = 4^{{}^2 \log 2^{5-1}. \frac{1}{2}} \\ & = 4^{{}^2 \log 16. \frac{1}{2}} \\ & = 4^{{}^2 \log 8} = 4^{3} = 64 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_5 = 64 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\pi(\pi-2x)\tan \left(x - \frac{\pi}{2}\right)}{2(x-\pi)\cos ^2 x} = ..... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Hubungan kuadrat :
$ \cos x = \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) $
*). Sifat-sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan af(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan af(x)}{\sin bf(x)} = \frac{a}{b} $ dengan syarat $ f(k) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\pi(\pi-2x)\tan \left(x - \frac{\pi}{2}\right)}{2(x-\pi)\cos ^2 x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\pi(\pi-2x)\tan \left(x - \frac{\pi}{2}\right)}{2(x-\pi)\sin ^2 \left( \frac{\pi}{2} - x \right) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\pi.2\left( \frac{\pi}{2} - x \right)\tan -\left( \frac{\pi}{2} - x \right)}{2(x-\pi)\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) . \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{2\pi}{2(x-\pi)} . \frac{\left( \frac{\pi}{2} - x \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) } . \frac{\tan -\left( \frac{\pi}{2} - x \right)}{ \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) } \\ & = \frac{\pi}{\frac{\pi}{2} -\pi} . \frac{1}{1} . \frac{-1}{ 1 } \\ & = \frac{\pi}{-\frac{\pi}{2} } . 1 . -1 \\ & = -2 . 1 . -1 = 2 \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Geometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Seekor semut merayap pada suatu koordinat Cartesius dimulai dari titik asal $ (0,0 ) $ , kemudian naik 2 unit, terus bergerak 1 unit ke kanan, turun $ \frac{1}{2} $ unit, $ \frac{1}{4} $ ke kiri, $ \frac{1}{8} $ unit ke atas, ..... sampai berhenti pada suatu koordinat tertentu. Koordinat tersebut adalah ......
A). $ \left( \frac{8}{5} , \frac{4}{5} \right) \, $ B). $ \left( \frac{4}{5} , \frac{8}{5} \right) \, $ C). $ (4,8) \, $ D). $ (8,4) \, $
E). Tidak dapat ditentukan

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah takhingga deret geometri :
$ U_1 + U_2 + U_3 + .... = S_\infty = \frac{a}{1-r} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio
dimana $ r = \frac{U_2}{U_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Semut berhenti pada koordinat tertentu dimana sebelumnya berjalan terus-menerus. Untuk menentukan koordinat berhentinya, kita hitung berdasarkan absis $(x)$ dan ordinat $(y)$ yaitu :
-). Pergerakan searah sumbu X : kanan positif dan kiri negatif
$\begin{align} x & = 1 + (-\frac{1}{4}) + ...... \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1- (-\frac{1}{4})} \\ & = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} \end{align} $
-). Pergerakan searah sumbu Y : atas positif dan bawah negatif
$\begin{align} y & = 2 + (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{8} + ...... \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1- (-\frac{1}{4})} \\ & = \frac{2}{\frac{5}{4}} = \frac{8}{5} \end{align} $
Sehingga koordinat berhentinya adalah $ \left( \frac{4}{5} , \frac{8}{5} \right) $
Jadi, koordinat berhentinya adalah $ \left( \frac{4}{5} , \frac{8}{5} \right) . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matdas kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ 3x - p > \frac{x-1}{5} + \frac{px}{2} $ dipenuhi oleh $ x < -3 $. Maka nilai $ p $ adalah ......
A). $ p < 16\frac{2}{5} \, $ B). $ p = 16\frac{2}{5} \, $ C). $ p > 16\frac{2}{5} \, $
D). $ p < 16 \, $ E). $ p = 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika suatu pertidaksamaan sudah diketahui solusinya, mislakan $ x < k $ , maka $ x = k $ adalah akar-akar dari pertidaksamaannya dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi sama dengan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ 3x - p > \frac{x-1}{5} + \frac{px}{2} $ dipenuhi oleh $ x < -3 $ , artinya $ x = -3 $ adalah akar-akar dari pertidaksamaannya dengan mengubah ketaksamaannya menjadi sama dengan. Kita substitusikan $ x = -3 $ ke pertidaksamaannya :
$\begin{align} 3x - p & > \frac{x-1}{5} + \frac{px}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali 10)} \\ 30x - 10p & > 2(x-1) + 5px \\ 30.(-3) - 10p & = 2(-3-1) + 5p.(-3) \\ -90 - 10p & = -8 -15p \\ 5p & = 82 \\ p & = \frac{82}{5} = 16\frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = 16\frac{2}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ 3x - p > \frac{x-1}{5} + \frac{px}{2} $ dipenuhi oleh $ x < -3 $. Maka nilai $ p $ adalah ......
A). $ p < 16\frac{2}{5} \, $ B). $ p = 16\frac{2}{5} \, $ C). $ p > 16\frac{2}{5} \, $
D). $ p < 16 \, $ E). $ p = 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Karena solusinya sudah ada, maka kita ubah bentuk pertidaksamaannya menjadi seperti bentuk solusinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Mengubah bentuk pertidaksamaannya :
$\begin{align} 3x - p & > \frac{x-1}{5} + \frac{px}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali 10)} \\ 30x - 10p & > 2(x-1) + 5px \\ 30x - 10p & > 2x- 2 + 5px \\ 30x - 2x - 5px & > 10p - 2 \\ 28x - 5px & > 10p - 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ 5px - 28x & < 2 - 10p \\ (5p - 28)x & < 2 - 10p \\ x & < \frac{2 - 10p }{(5p - 28)} \end{align} $
*). Karena solusinya $ x < -3 $ dan $ x < \frac{2 - 10p }{(5p - 28)} $ , maka :
$\begin{align} \frac{2 - 10p }{(5p - 28)} & = -3 \\ 2 - 10p & = -3 (5p - 28) \\ 2 - 10p & = -15p + 82 \\ 5p & = 82 \\ p & = \frac{82}{5} = 16\frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = 16\frac{2}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \sin \left( 2x - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} $ dimana $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan trigonometri :
Penyelesaian $ \sin f(x) = \sin \theta $ yaitu :
(1). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $
(2). $ f(x) = (180^\circ -\theta ) + k.360^\circ $
dengan $ k $ adalah bilangan bulat.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Persamaanannya :
$ \sin \left( 2x - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow \sin \left( 2x - \frac{\pi}{2} \right) = \sin 45^\circ $
artinya $ f(x) = 2x - \frac{\pi}{2} = 2x - 90^\circ $ dan $ \theta = 45^\circ $
Penyelesaiannya :
-). Pertama : $ f(x) = \theta + k.360^\circ $
$\begin{align} 2x - 90^\circ & = 45^\circ + k.360^\circ \\ 2x & = 45^\circ + 90^\circ + k.360^\circ \\ 2x & = 135^\circ + k.360^\circ \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 67,5^\circ + k.180^\circ \end{align} $
$ k = -1 \rightarrow x = 67,5^\circ + -1 \times 180^\circ = -112,5^\circ $
$ k = 0 \rightarrow x = 67,5^\circ + 0 \times 180^\circ = 67,5^\circ $
$ k = 1 \rightarrow x = 67,5^\circ + 1 \times 180^\circ = 247,5^\circ $
-). Kedua : $ f(x) = (180^\circ -\theta ) + k.360^\circ $
$\begin{align} 2x - 90^\circ & = (180^\circ - 45^\circ ) + k.360^\circ \\ 2x & = 225^\circ + k.360^\circ \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = 112,5^\circ + k.180^\circ \end{align} $
$ k = -1 \rightarrow x = 112,5^\circ + -1 \times 180^\circ = -67,5^\circ $
$ k = 0 \rightarrow x = 112,5^\circ + 0 \times 180^\circ = 112,5^\circ $
$ k = 1 \rightarrow x = 112,5^\circ + 1 \times 180^\circ = 292,5^\circ $
Karena intervalnya $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ , maka
himpunan penyelesaiannya $ x = \{ -67,5^\circ ; 67,5^\circ \} $
Jadi, ada dua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui A adalah sudut yang terletak di kuadran IV dan $ \cos A = \sqrt{\frac{x+1}{2x}} $ , $ x > 0 $, maka $ \tan A $ adalah ......
A). $ \frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} \, $ B). $ -\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1} \, $ C). $ - \frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} \, $
D). $ -\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} \, $ E). $ - \frac{\sqrt{x-1}}{x+1} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus perbandingan dasar trigonometri :
$ \sin A = \frac{de}{mi}, \, \cos A = \frac{sa}{mi} $ dan $ \tan A = \frac{de}{sa} $
*). Pada kuadran IV, nilai cos positif dan tan negatif.
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{a.b} $ dan $ \sqrt{a}.\sqrt{a} = a $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Diketahui :
$ \cos A = \sqrt{\frac{x+1}{2x}} = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x}} = \frac{sa}{mi} $
artinya pada segitiga siku-siku :
$ samping = \sqrt{x+1} $ dan $ miring = \sqrt{2x} $
untuk menentukan depan, kita gunakan Pythagoras :
$\begin{align} de & = \sqrt{mi^2 - sa^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{2x})^2 - (\sqrt{x+1})^2} \\ & = \sqrt{(2x) - (x+1) } \\ & = \sqrt{x - 1} \end{align} $
 

*). Karena A pada kuadran IV, maka nilai $ \tan A $ negatif :
$ \begin{align} \tan A & = - \frac{de}{sa} \\ & = - \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} \, \, \, \, \, \, \text{(rasionalkan)} \\ & = - \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} \times \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}} \\ & = - \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{x + 1} \\ & = - \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x + 1} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan A = - \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x + 1} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ A = \left( \begin{matrix} x+2 & 3 \\ 3 & 3 \end{matrix} \right) $, $ B = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 5 & x + 2 \end{matrix} \right) $ , maka perkalian nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ det(AB) = 36 \, $ adalah ......
A). $ -8 \, $ B). $ -7 \, $ C). $ -6 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan matriks :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad - bc $
*). Sifat determinan : $ |A.B| = |A|.|B| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Menentukan determinan masing-masing :
$\begin{align} A = \left( \begin{matrix} x+2 & 3 \\ 3 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |A| & = 3(x+2) - 3.3 \\ & = 3x - 3 = 3(x-1) \\ B = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 5 & x + 2 \end{matrix} \right) \rightarrow |B| & = 3(x+2) - 0 \\ & = 3(x+2) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ dengan $ |AB| = 36 $ :
$ \begin{align} |AB| & = 36 \\ |A|.|B| & = 36 \\ 3(x-1).3(x+2) & = 36 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 9)} \\ (x-1)(x+2) & = 4 \\ x^2 + x - 2 & = 4 \\ x^2 + x - 6 & = 0 \\ (x + 3)(x-2) & = 0 \\ x = -3 \vee x & = 2 \end{align} $
Sehingga hasil kalinya :
$ x_1.x_2 = -3.2 = -6 $
Jadi, hasil kali nilai $ x $ adalah $ -6. \, \heartsuit $

Catatan :
Jika bentuk $ x^2 + x - 6 = 0 $ ternyata sulit difaktorkan, kita gunakan operasi akar-akar yaitu :
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = -6 $ .

Cara 3 Pembahasan Limit TakHingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 101

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} = .... $
A). $ -\infty \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ + \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A $
*). Dengan pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ maka
$ 1 - \cos ^2 A = (1 - \cos A)(1 + \cos A) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \csc \frac{1}{x} - \cot \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \csc y - \cot y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{\sin y} - \frac{\cos y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos y}{\sin y} \, \, \, \, \text{(kalikan } \frac{\sin y}{\sin y} ) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos y}{\sin y} \times \frac{\sin y}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{(1 - \cos y)\sin y }{\sin ^2 y} \, \, \, \, \, \, \text{(identitas trigono)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{(1 - \cos y)\sin y }{1 - \cos ^2 y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{(1 - \cos y)\sin y }{(1 - \cos y)(1 + \cos y)} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin y }{ (1 + \cos y)} \\ & = \frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = \frac{0}{2} = 0 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
$(a,b) $ dan $ (c,d) $ adalah titik potong antara kurva $ x^2 - y^2 = 0 $ dan garis $ y + 2x = 11 $. Jika $ a $ dan $ b $ merupakan bilangan bulat, maka $ a - b + c - d = ...... $
A). $ -\frac{11}{3} \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{22}{3} \, $ D). $ \frac{44}{3} \, $ E). $ 22 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan bentuk sistem persamaan, cukup dengan substitusi atau eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).persamaannya : $ x^2 - y^2 = 0 $ dan $ y + 2x = 11 \rightarrow y = -2x + 11 $
*).Substitusi pers(ii) ke (i) :
$\begin{align} x^2 - y^2 & = 0 \\ x^2 - (-2x + 11)^2 & = 0 \\ x^2 - (4x^2 - 44x + 121) & = 0 \\ -3x^2 + 44x - 121 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 - 44x + 121 & = 0 \\ (3x - 11)(x - 11) & = 0 \\ x = \frac{11}{3} \vee x & = 11 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ x $ ke pers(ii) : $ y = -2x + 11 $
$ x = \frac{11}{3} \rightarrow y = -2. \frac{11}{3} + 11 = \frac{11}{3} $
$ x = 11 \rightarrow y = -2. 11 + 11 = -11 $
*). Karena $ (a,b) $ bulat, maka pasangannta :
$ (a,b) = (11,-11) $ dan $ (c,d) = \left( \frac{11}{3} , \frac{11}{3} \right) $
Sehingga nilai :
$ a - b + c - d = 11 - (-11) + \frac{11}{3} - \frac{11}{3} = 22 $
Jadi, nilai $ a - b + c - d = 22 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Perhatikan gambar berikut :

Dalam sistem pertidaksamaan $ 2y \geq x $ , $ y \leq 2x $ , $ 2y + x \leq 20 $ , $ y + x \geq 9 $ , nilai minimum dari $ -3y - x $ dicapai pada titik ......
A). O B). P C). Q D). R E). S

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menentukan nilai optimum program linear :
(1). Menentukan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP)
(2). Menentukan titik pojok pada DHP
(3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya
(4). Tinggal kita pilih nilai minimum atau maksimumnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Menentukan pasangan garis dan persamaannya :
(I). $ 2y \geq x \rightarrow (0,0) $ dan $ (2,1) $
(II). $ y \leq 2x \rightarrow (0,0) $ dan $ (2,4) $
(III). $ 2y + x \leq 20 \rightarrow (0,10) $ dan $ (20,0) $
(IV). $ y + x \geq 9 \rightarrow (0,9) $ dan $ (9,0) $
Sesuai dengan tanda ketaksamaan keempat garis tersebut, maka DHP nya :
 

*).Menentukan titik pojok pada DHPnya :
-). Titik P , perpotongan garis (I) dan (IV) :
substitusi (I) ke (IV), titik P(6,3)
-). Titik Q , perpotongan garis (II) dan (IV) :
substitusi (II) ke (IV), titik Q(3,6)
-). Titik R , perpotongan garis (II) dan (III) :
substitusi (II) ke (III), titik R(4,8)
-). Titik S , perpotongan garis (I) dan (III) :
substitusi (I) ke (III), titik S(10,5)
*).Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuan : $ z = -x - 3y $ :
$\begin{align} P(6,3) \rightarrow z & = -6-3.3 = - 15 \\ Q(3,6) \rightarrow z & = -3-3.6 = - 21 \\ R(4,8) \rightarrow z & = -4-3.8 = - 28 \\ S(10,5) \rightarrow z & = -10-3.5 = - 25 \end{align} $
Nilai minimumnya adalah $ - 28 $ pada titik pojok R.
Jadi, nilai minimum dicapai pada titik R $. \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Eksponen Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari
$ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} = \frac{1}{(x^2 - 4x + 4)^{-2x + 1}} $ , $ x \neq 2 $
adalah ......
A). $ \{1,2\} \, $ B). $ \{-2,2\} \, $ C). $ \{-2,3\} \, $
D). $ \{-2,1,3\} \, $ E). $ \{-2,1,2,3\} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian persamaan eksponen :
Bentuk $[ h(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian :
(1). $ f(x) = g(x) $
(2). $ h(x) = 1 $
(3). $ h(x) = 0 \, $ dengan syarat pangkatnya sama-sama positif.
(4). $ h(x) = -1 \, $ dengan syarat pangkatnya sama-sama genap atau ganjil.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Mengubah bentuk persamaannya :
$\begin{align} (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{(x^2 - 4x + 4)^{-2x + 1}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{[(x-2)^2]^{-2x + 1}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = \frac{1}{(x-2)^{-4x + 2}} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = (x-2)^{-(-4x + 2)} \\ (x-2)^{x^2 + 4x - 6} & = (x-2)^{4x - 2 } \\ [h(x)]^{f(x)} & = [h(x)]^{g(x)} \end{align} $
artinya $ h(x) = x-2 , f(x) = x^2 + 4x - 6 , g(x) = 4x - 2 $
dengan syarat $ x \neq 2 $.
*).Menentukan penyelesaiannya :
-). Pertama : $ f(x) = g(x) $
$\begin{align} x^2 + 4x - 6 & = 4x - 2 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
Karena syaratnya $ x \neq 2 $ , maka $ x_1 = -2 $ yang memenuhi.
-). Kedua : $ h(x) = 1 $
$\begin{align} x - 2 & = 1 \\ x_2 & = 3 \end{align} $
-). Ketiga : $ h(x) = 0 $
$\begin{align} x - 2 & = 0 \\ x & = 2 \end{align} $
karena $ x \neq 2 $ , maka solusi ketiga ini tidak memenuhi.
-). Kedua : $ h(x) = -1 \, $ dengan pangkatnya sama-sama genap atau ganjil
$\begin{align} x - 2 & = -1 \\ x & = 1 \end{align} $
Kita cek nilai pangkat untuk $ x = 1 $ :
$ x = 1 \rightarrow f(1) = 1^2 + 4.1 - 6 = -1 \, $ (ganjil)
$ x = 1 \rightarrow g(1) = 4.1-2 = 2 \, $ (genap)
karena nilai pangkat untuk $ x = 1 $ tidak sama-sama genap atau ganjil, maka solusi keempat ini tidak memenuhi.
Sehingga solusinya adalah $ \{ -2, 3 \} $
Jadi, HP $ = \{ -2, 3 \} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2016 Matematika Dasar Kode 571

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2. Jika $ f(2) = f(4) = 0 \, $ maka $ a + b + c = .... $
A). $-10 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -4 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ jika terpenuhi $ f(x_1) = f(x_2) = 0 $ .
*). Rumus titik puncak $(x_p , y_p ) $ :
$ x_p = -\frac{b}{2a} = \frac{x_1 + x_2}{2} $
dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ adalah titik potong sumbu X.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ordinat titik puncak fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2, artinya $ y_p = 2 $.
*). Diketahui $ f(2) = f(4) = 0 \, $ , artinya $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 $
sehingga $ x_p = \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 $
kita peroleh titik puncaknya : $ (x_p,y_p) = (3,2) $ .
*). Menyusun Persamaan dengan substitusi ke $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
$ \begin{align} f(2) = 0 \rightarrow a.2^2 + b.2 + c & = 0 \\ 4a + 2b + c & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ f(4) = 0 \rightarrow a.4^2 + b.4 + c & = 0 \\ 16a + 4b + c & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \\ (x,y)=(3,2) \rightarrow a.3^2 + b.3 + c & = 2 \\ 9a + 3b + c & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \end{align} $
*). ELiminasi persamaan yang terbentuk :
-). pers(i) dan (ii) : $ 12a + 2b = 0 \rightarrow b = -6a \, $ .....(iv) :
-). pers(i) dan (iii) : $ 5a + b = 2 \, $ .....(v)
-). Substitusi pers(iv) ke (v) :
$ 5a + b = 2 \rightarrow 5a + (-6a) = 2 \rightarrow a = -2 $
pers(iv) : $ b = -6a = -6.(-2) = 12 $
pers(i) : $ 4a + 2b + c = 0 \rightarrow 4.(-2) + 2.12 + c = 0 \rightarrow c = -16 $
Sehingga nilai $ a + b + c = -2 + 12 + (-16) = -6 $
Jadi, nilai $ a + b + c = -6 . \, \heartsuit $