Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan barisan geometri $ u_n $, dengan $ u_3+u_4 = 4(u_1+u_2) $ dan $ u_1u_4=4u_2 $. Jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 15 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus $ u_n $ dan $ s_n $ barisan geometri :
$ u_n = a.r^{n-1} $ dan $ s_n = \frac{a(r^n - a)}{r-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama :
$\begin{align} u_3 + u_4 & = 4(u_1+u_2) \\ ar^2 + ar^3 & = 4(a + ar) \\ r^2(a + ar) & = 4(a+ar) \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ r^2 & = 4 \\ r & = \pm 2 \end{align} $
-). Persamaan kedua :
$\begin{align} u_1.u_4 & =4u_2 \\ a.ar^3 & = 4 ar \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ ar^2 & = 4 \\ a. 4 & = 4 \\ a & = 1 \end{align} $
*). Menentukan $ s_4 $ :
-). Untuk $ a = 1 $ dan $ r = 2 $
$\begin{align} s_4 & = \frac{a(r^4 - 1)}{r-1} \\ & = \frac{1.(2^4 - 1)}{2-1} = 15 \end{align} $
-). Untuk $ a = 1 $ dan $ r = -2 $
$\begin{align} s_4 & = \frac{a(r^4 - 1)}{r-1} \\ & = \frac{1.((-2)^4 - 1)}{-2-1} \\ & = \frac{15}{-3} = -5 \end{align} $
Yang ada dioption adalah $ s_4 = 15 $.
Jadi, jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah $ 15. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penggunaan turunan pada limit (L'Hospital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $ .
*). Turunan fungsi :
1). $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
2). $ y = \sin f(x) \rightarrow y^\prime = f^\prime (x) . \cos f(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Merasionalkan penyebutnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{2\cos (2x-6)}{\frac{-1}{2\sqrt{4-x}}} \\ & = \frac{2\cos 0}{\frac{-1}{2\sqrt{4-3}}} = \frac{2}{\frac{-1}{2}} = -4 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -4. \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin af(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} $ dengan syarat $ f(k)=0 $.
*). Limit bentuk tak tentu $ \left( \frac{0}{0} \right) $ bisa diselesaikan dengan cara pemfaktoran, merasionalkan , dan turunan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Merasionalkan penyebutnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} \times \frac{\sqrt{4-x} +1}{\sqrt{4-x} +1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6) . \left( \sqrt{4-x} +1 \right) }{(4-x) -1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin 2(x-3) . \left( \sqrt{4-x} +1 \right) }{3-x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin 2(x-3) }{-(x-3)} . \left( \sqrt{4-x} +1 \right) \\ & = \frac{2 }{-1} . \left( \sqrt{4-3} +1 \right) \\ & = -2 . \left( 2 \right) = -4 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -4. \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ 2\sqrt{2} $ cm. Jika titik P di tengah-tengah AB dan titik Q di tengah-tengah BC, maka jarak antara titik H dengan garis PQ adalah ..... cm.
A). $ \sqrt{15} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \sqrt{17} \, $ D). $ 3\sqrt{2} \, $ E). $ \sqrt{19} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jarak titik ke garis adalah jarak terdekat titik tersebut dengan garis yang dimaksud. Agar jaraknya terdekat, maka tarik garis dari titik ke garis sehingga berpotongan tegak lurus.
*). Jarak titik A ke garis PQ, buat garis dari A ke PQ yang berptongan di titik B dan tegak lurus. Jarak terdekatnya adalah panjang garis AB. Untuk memudahkan, silahkan buat segitiga dengan menghubungkan titik A dan ujung-ujung garis PQ sehingga terbentuk segitiga APQ.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar : 

*). Jarak H ke PQ = jarak H ke R. Karena $ HP = HQ $ , maka segitiga HPQ sama kaki sehingga R ditengah-tengah PQ dan HR tegak lurus PQ.
*). Menentukan panjang masing-masing :
Panjang rusuk kubus : $ s = 2 \sqrt{2} $
$ AP = PB = BQ = \frac{1}{2}s = \sqrt{2} $
$ HA = s\sqrt{2} = 2\sqrt{2}. \sqrt{2} = 4 $
$ PQ = \sqrt{PB^2+BQ^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{4} = 2 $
$ PR = RQ = \frac{1}{2}PQ = 1 $
Segitiga HAP :
$ HP=\sqrt{HA^2+AP^2} = \sqrt{4^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{18} $
*). Menentukan panjang HR pada $ \Delta HPR $ :
$\begin{align} HR& = \sqrt{HP^2 - PR^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{18})^2 - 1^2} \\ & = \sqrt{17} \end{align} $
Artinya jarak H ke PQ = HR = $ \sqrt{17} $
Jadi, jarak H ke PQ adalah $ \sqrt{17} . \, \heartsuit $