Pembahasan Matriks Logaritma UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika matriks $ \left( \begin{matrix} {}^x \log a & \log (4a-14) \\ \log (b-4) & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \log b & 1 \\ \log a & 1 \end{matrix} \right) $ , maka $ a = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 10^6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kesamaan dua buah matriks yaitu unsur yang seletak nilainya sama.
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow a^c = b \, $ atau $ b = a^c $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Bentuk $ \log x = {}^{10} \log x $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} {}^x \log a & \log (4a-14) \\ \log (b-4) & 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \log b & 1 \\ \log a & 1 \end{matrix} \right) \\ {}^x \log a & = \log b \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ \log (4a - 14) & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \\ \log (b-4) & = \log a \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Persamaan (ii) :
$\begin{align} \log (4a - 14) & = 1 \\ {}^{10} \log (4a - 14) & = 1 \\ (4a - 14) & = 10^1 \\ 4a & = 10 + 14 \\ 4a & = 24 \\ a & = 6 \end{align} $
*). Persamaan (iii) :
$\begin{align} \log (b-4) & = \log a \\ b - 4 & = 6 \\ b & = 10 \end{align} $
*). Persamaan (i) :
$\begin{align} {}^x \log a & = \log b \\ {}^x \log 6 & = {}^{10} \log 10 \\ {}^x \log 6 & = 1 \\ x^1 & = 6 \\ x & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ x = 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Kuadrat UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Akar-akar persamaan $ x^2 - (a+3)x + 4a = 0 $ adalah $ \alpha $ dan $ \beta $. Nilai minimum dari $ \alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta \, $ dicapai untuk $ a = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ f(x) $ mencapai minimum pada saat $ f^\prime (x) = 0 $
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \alpha . \beta = \frac{c}{a} $
$ \alpha ^2 + \beta ^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha . \beta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - (a+3)x + 4a = 0 \, $ dengan akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
$\begin{align} \alpha + \beta & = \frac{-b}{a} = \frac{-[-(a+3)]}{1} = a + 3 \\ \alpha . \beta & = \frac{c}{a} = \frac{4a}{1} = 4a \end{align} $
*). Misalkan fungsinya : $ f(a) = \alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta $
*). Menentukan fungsi $ f(a) $ :
$\begin{align} f(a) & = \alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta \\ & = [(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha . \beta] + 4\alpha \beta \\ & = (\alpha + \beta)^2 + 2\alpha . \beta \\ & = (a+3)^2 + 2. (4a) \\ & = (a^2 + 6a + 9) + 8a \\ f(a) & = a^2 + 14a + 9 \\ f^\prime (a) & = 2a + 14 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan syarat $ f^\prime (a) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ 2a + 14 & = 0 \\ 2a & = -14 \\ a & = -7 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = -7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Matriks UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \left( \begin{matrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
maka $ p + q + r + s = .... $
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pada Matriks
*). Perkalian matriks , caranya :
Perkalian = baris kali kolom.
*). bentuk persamaan :
$ A + B = C \rightarrow B = C - A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1+2+0 & -1+0+0 \\ -3-1+4 & 3+0+2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 0 & -4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya nilai $ p = -2, q = 1 , r = 0 $ dan $ s = -4 $.
Sehingga nilai :
$ p+q+r+s = -2 + 1 + 0 + (-4) = -5 $
Jadi, nilai $ p+q+r+s = -5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Matriks UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Apabila $ A = \left[ \begin{matrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] $, $ A^T \, $ menyatakan transpose dari A dan $ A^{-1} $ menyatakan invers dari A, maka $ A^T + A^{-1} = .... $
A). $ \left[ \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right] \, $ B). $ \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right] \, $
C). $ \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{matrix} \right] \, $ D). $ \left[ \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \, $
E). $ \left[ \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{matrix} \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pada Matriks
*). Determinan :
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow Det(A) = |A| = ad - bc $
*). Transpose :
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow A^T = \left[ \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right] $
*). Invers Matriks :
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks $ A^T $ dan $ A^{-1} $ :
$\begin{align} A & = \left[ \begin{matrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] \rightarrow A^T = \left[ \begin{matrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] \\ A & = \left[ \begin{matrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] \rightarrow |A| = -5.(-1) - 2. 2 = 1 \\ A^{-1} & = \frac{1}{1} \left[ \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -2 \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menentukan $ A^T + A^{-1} $ :
$\begin{align} A^T + A^{-1} & = \left[ \begin{matrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{matrix} \right] \end{align} $
Jadi, nilai $ A^T + A^{-1} = \left[ \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{matrix} \right] . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika A dan B dua kejadian dengan $ P(B^c) = 0,45 $ , $ P(A \cap B ) = 0,45 $ dan $ P( A \cup B) = 0,85 $ , maka $ P(A^c) \, $ sama dengan ....
A). $ 0,15 \, $ B). $ 0,25 \, $ C). $ 0,45 \, $ D). $ 0,55 \, $ E). $ 0,75 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Peluang Komplemen :
$ P(A^c) = 1 - P(A) \, $ atau $ P(A) = 1 - P(A^c) $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A,
$ P(A^c) = \, $ peluang bukan kejadian A.
*). Peluang gabungan :
$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan peluang kejadian B :
$ P(B) = 1 - P(B^c) = 1 - 0,45 = 0,55 $
*). Menentukan peluang kejadian B :
$\begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ 0,85 & = P(A) + 0,55 - 0,45 \\ P(A) & = 0,75 \end{align} $
*). Menentukan $ P(A^c) $ :
$\begin{align} P(A^c) & = 1 - P(A) \\ & = 1 - 0,75 \\ & = 0,25 \end{align} $
Jadi, nilai $ P(A^c) = 0,25 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Hasil penjualan suatu toko serba ada diperlihatkan dalam diagram lingkaran di bawah ini. Jika diketahui hasil penjualan minyak lebih besar Rp 1.260.00,- dibandingkan hasil penjualan beras, maka hasil penjualan rokok adalah ....
A). Rp 1.260.000,-
B). Rp 1.380.000,-
C). Rp 1.800.000,-
D). Rp 1.890.000,-
E). Rp 1.900.000,-

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dalam menyelesaikan soal diagram lingkaran, bisa menggunakan perbandingan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan Minyak = M, Beras = B dan Rokok = R :
-). Penjualan minyak lebih besar Rp1.260.000 dibandingkan penjulana beras, sehingga persamaannya menjadi :
$ M = B + 1.260.000 \rightarrow M_B = 1.260.000 $
-). Menentukan besarnya persentase :
%R = 21%, %(M-B) = 20% - 6% = 14%.
*). Menentukan penjualan Rokok dengan perbandingan :
$\begin{align} \frac{R}{M-B} & = \frac{\% R}{\%(M-B)} \\ \frac{R}{1.260.000} & = \frac{21\%}{14\%} \\ \frac{R}{1.260.000} & = \frac{3}{2} \\ R & = \frac{3}{2} \times 1.260.000 \\ & = 1.890.000 \end{align} $
Jadi, penjualan rokok sebesar Rp1.890.000 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Empat buah bilangan merupakan suku berurutan suatu deret aritmetika. Hasil kali kedua suku tengahnya sama dengan 135 dan hasil kali kedua suku pinggirnya sama dengan 63. Jumlah kedua suku tengah tersebut adalah ....
A). $-35 \, $ atau $ 35 $
B). $-27 \, $ atau $ 27 $
C). $-24 \, $ atau $ 24 $
D). $-21 \, $ atau $ 21 $
E). $-15 \, $ atau $ 15 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ U_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan barisan aritmetikanya :
$ a, a+b , a + 2b , a + 3b $
*). Hasil kali dua suku tengah = 135 :
$\begin{align} (a + b).(a + 2b ) & = 135 \\ a^2 + 2ab + ab + 2b^2 & = 135 \\ (a^2 + 3ab) + 2b^2 & = 135 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Hasil kali suku pinggirnya = 63 :
$\begin{align} a . ( a + 3b) & = 63 \\ a^2 + 3ab & = 63 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (ii) ke (i) :
$\begin{align} (a^2 + 3ab) + 2b^2 & = 135 \\ (63) + 2b^2 & = 135 \\ 2b^2 & = 72 \\ b^2 & = 36 \\ b & = \pm 6 \end{align} $
*). Persamaan (i), substitusi $ b = 6 $ :
$\begin{align} a^2 + 3ab & = 63 \\ a^2 + 3a.6 & = 63 \\ a^2 + 18a - 63 & = 0 \\ (a +21)(a - 3) & = 0 \\ a = -21 \vee a = 3 \end{align} $
*). Menyusun barisannya :
-). Untul $ b = 6 $ dan $ a = -21 $
$ a, a+b , a + 2b , a + 3b \rightarrow -21, -15, -9, -3 $
Jumlah suku tengah $ = -15 + (-9) = -24 $
-). Untul $ b = 6 $ dan $ a = 3 $
$ a, a+b , a + 2b , a + 3b \rightarrow 3, 9, 15, 21 $
Jumlah suku tengah $ = 9 + 15 = 24 $
*). Untuk $ b = -6 $, hasil jumlah suku tengahnya juga sama yaitu $ -24 $ dan $ 24 $.
Jadi, jumlah kedua suku tengahnya adalah $ -24 $ atau $ 24 . \, \heartsuit $